Число Писота–Виджаярагхавана

Тип алгебраического целого числа

В математике число Пизо–Виджаярагхавана , также называемое просто числом Пизо или числом PV , — это действительное алгебраическое целое число, большее 1, все сопряженные числа Галуа которого по абсолютной величине меньше 1. Эти числа были открыты Акселем Туэ в 1912 году и переоткрыты Г. Х. Харди в 1919 году в контексте диофантовых приближений . Они стали широко известны после публикации диссертации Шарля Пизо в 1938 году. Они также встречаются в проблеме единственности для рядов Фурье . Тируканнапурам Виджаярагхаван и Рафаэль Салем продолжили свое исследование в 1940-х годах. Числа Салема — это тесно связанный набор чисел.

Характерным свойством чисел PV является то, что их мощности приближаются к целым числам с экспоненциальной скоростью. Пизо доказал замечательное обратное : если α  > 1 — действительное число, такое, что последовательность

${\displaystyle \|\alpha ^{n}\|}$

измерение расстояния от его последовательных степеней до ближайшего целого числа является квадратично-суммируемым , или ℓ ² , тогда α является числом Пизо (и, в частности, алгебраическим). Основываясь на этой характеристике чисел PV, Салем показал, что множество S всех чисел PV замкнуто . Его минимальным элементом является кубическая иррациональность, известная как пластическое отношение . Многое известно о точках накопления S . Наименьшее из них — золотое сечение .

Определение и свойства

Алгебраическое целое число степени n является корнем α неприводимого монического многочлена P ( x ) степени n с целыми коэффициентами, его минимальным многочленом . Другие корни P ( x ) называются сопряженными числами α . Если α  > 1, но все другие корни P ( x ) являются действительными или комплексными числами с абсолютным значением меньше 1, так что они лежат строго внутри единичной окружности в комплексной плоскости , то α называется числом Пизо , числом Пизо–Виджаярагхавана или просто числом PV . Например, золотое сечение , φ ≈ 1,618, является действительным квадратичным целым числом , которое больше 1, в то время как абсолютное значение его сопряженного числа − φ ⁻¹ ≈ −0,618, меньше 1. Следовательно, φ является числом Пизо. Его минимальный многочлен равен x ² − x − 1.

Элементарные свойства

• Каждое целое число больше 1 является числом PV. И наоборот, каждое рациональное число PV является целым числом больше 1.
• Если α — иррациональное число PV, минимальный многочлен которого заканчивается на k, то α больше, чем | k  |.
• Если α является числом PV, то таковыми являются и его степени α ^k для всех положительных целых показателей k .
• Каждое поле действительных алгебраических чисел K степени n содержит число PV степени n . Это число является генератором поля. Множество всех чисел PV степени n в K замкнуто относительно умножения.
• При заданной верхней границе M и степени n существует лишь конечное число чисел PV степени n, которые меньше M.
• Каждое число PV является числом Перрона (действительным алгебраическим числом, большим единицы, все сопряженные числа которого имеют меньшее абсолютное значение).

Диофантовы свойства

Основной интерес к числам PV обусловлен тем фактом, что их мощности имеют очень «смещенное» распределение (mod 1). Если α — число PV, а λ — любое алгебраическое целое число в поле , то последовательность ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

${\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|,}$

где || x || обозначает расстояние от действительного числа x до ближайшего целого числа, приближается к 0 с экспоненциальной скоростью. В частности, это квадратично суммируемая последовательность, и ее члены сходятся к 0.

Известны два обратных утверждения: они характеризуют числа PV среди всех действительных чисел и среди алгебраических чисел (но при более слабом диофантовом предположении).

• Предположим, что α — действительное число, большее 1, а λ — ненулевое действительное число, такое что

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}<\infty .}$

Тогда α — число Пизо, а λ — алгебраическое число в поле ( теорема Пизо ). ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

• Предположим, что α — алгебраическое число, большее 1, а λ — ненулевое действительное число, такое что

${\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|\to 0,\quad n\to \infty .}$

Тогда α — число Пизо, а λ — алгебраическое число в поле . ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

Давняя проблема Писота–Виджаярагхавана спрашивает, можно ли исключить предположение об алгебраичности α из последнего утверждения. Если ответ утвердительный, числа Писота будут характеризоваться среди всех действительных чисел простой сходимостью || λα ⁿ || к 0 для некоторого вспомогательного действительного λ . Известно, что существует только счетное число чисел α с этим свойством. ^{[ необходима цитата ]} Задача состоит в том, чтобы решить, является ли какое-либо из них трансцендентным .

Топологические свойства

Множество всех чисел Пизо обозначается S. Поскольку числа Пизо являются алгебраическими, множество S счетно. Рафаэль Салем доказал, что это множество замкнуто : оно содержит все свои предельные точки . ^[1] Его доказательство использует конструктивную версию основного диофантова свойства чисел Пизо: ^[2] если задано число Пизо α , то действительное число λ можно выбрать так, чтобы 0 < λ ≤ α и

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}\leq 9.}$

Таким образом, норма ℓ ² последовательности || λα ⁿ || может быть ограничена равномерной константой, не зависящей от α . На последнем этапе доказательства используется характеристика Пизо, чтобы заключить, что предел последовательности чисел Пизо сам по себе является числом Пизо.

Замкнутость S подразумевает, что он имеет минимальный элемент . Карл Зигель доказал, что он является положительным корнем уравнения x ³ − x − 1 = 0 ( пластическая постоянная ) и изолирован в S. ^[3] Он построил две последовательности чисел Пизо, сходящихся к золотому сечению φ снизу , и спросил, является ли φ наименьшей предельной точкой S. Позже это доказали Дюфренуа и Пизо, которые также определили все элементы S , которые меньше φ ; не все из них принадлежат двум последовательностям Зигеля. Виджаярагхаван доказал, что S имеет бесконечно много предельных точек; на самом деле, последовательность производных множеств

${\displaystyle S,S',S'',\ldots }$

не заканчивается. С другой стороны, пересечение этих множеств пусто , что означает, что ранг Кантора–Бендиксона S равен ω . Еще точнее, был определен тип порядка S. [ ^4] ${\displaystyle S^{(\omega )}}$

Множество чисел Салема , обозначаемое T , тесно связано с S. Было доказано, что S содержится в множестве T' предельных точек T. ^[5] [ ^6] Было высказано предположение , что объединение S и T замкнуто. [ ^7]

Квадратичные иррациональные числа

Если — квадратное иррациональное число, то существует только одно другое сопряженное число, , полученное путем изменения знака квадратного корня из ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =a+{\sqrt {D}}{\text{ to }}\alpha '=a-{\sqrt {D}}\,}$

или из

${\displaystyle \alpha ={\frac {a+{\sqrt {D}}}{2}}{\text{ to }}\alpha '={\frac {a-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}$

Здесь a и D — целые числа, а во втором случае a — нечетное число , а D сравнимо с 1 по модулю 4.

Требуемые условия: α  > 1 и −1 <  α'  < 1. Они выполняются в первом случае точно, когда a  > 0 и либо или , и выполняются во втором случае точно, когда и либо или . ${\displaystyle (a-1)^{2}<D<a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}<D<(a+1)^{2}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle (a-2)^{2}<D<a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}<D<(a+2)^{2}}$

Таким образом, первые несколько квадратичных иррациональных чисел, являющихся числами PV, следующие:

Степени PV-чисел

Числа Пизо–Виджаярагхавана можно использовать для генерации почти целых чисел : n- я степень числа Пизо приближается к целым числам по мере роста n . Например,

${\displaystyle (3+{\sqrt {10}})^{6}=27379+8658{\sqrt {10}}=54757.9999817\dots \approx 54758-{\frac {1}{54758}}.}$

Так как и отличаются только ${\displaystyle 27379\,}$ ${\displaystyle 8658{\sqrt {10}}\,}$ ${\displaystyle 0.0000182\dots ,\,}$

${\displaystyle {\frac {27379}{8658}}=3.162277662\dots }$

очень близко к

${\displaystyle {\sqrt {10}}=3.162277660\dots .}$

Действительно

${\displaystyle \left({\frac {27379}{8658}}\right)^{2}=10+{\frac {1}{8658^{2}}}.}$

Более высокие мощности дают соответственно лучшие рациональные приближения.

Это свойство вытекает из того факта, что для каждого n сумма n- х степеней алгебраического целого числа x и его сопряженных чисел является целым числом; это следует из применения тождеств Ньютона . Когда x является числом Пизо, n-е степени других сопряженных чисел стремятся к 0, когда n стремится к бесконечности. Поскольку сумма является целым числом, расстояние от x ⁿ до ближайшего целого числа стремится к 0 с экспоненциальной скоростью.

Маленькие числа Пизо

Все числа Пизо, не превышающие золотое сечение φ, были определены Дюфренуа и Пизо. В таблице ниже перечислены десять наименьших чисел Пизо в порядке возрастания. ^[8]

Поскольку эти числа PV меньше 2, они все являются единицами: их минимальные многочлены заканчиваются на 1 или −1. Многочлены в этой таблице ^[9] , за исключением

${\displaystyle x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1,}$

являются факторами либо

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+1}$

или

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1).}$

Первый многочлен делится на x ²  − 1, когда n нечетное, и на x  − 1, когда n четное . У него есть еще один действительный ноль, который является числом PV. Деление любого многочлена на x ⁿ дает выражения, которые стремятся к x ²  −  x  − 1, когда n становится очень большим, и имеют нули, которые сходятся к φ . Дополнительная пара многочленов,

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-1}$

и

${\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-(x^{2}-1)\,}$

дает числа Пизо, которые приближаются к φ сверху.

Двумерное моделирование турбулентности с использованием логарифмических спиральных цепей с самоподобием, определяемым постоянным масштабным коэффициентом, можно воспроизвести с некоторыми малыми числами Пизо. ^[10]

Ссылки

1. Салем, Р. (1944). «Замечательный класс алгебраических целых чисел. Доказательство гипотезы Виджаярагхавана». Duke Math. J . 11 : 103–108. doi :10.1215/s0012-7094-44-01111-7. Zbl  0063.06657.
2. Салем (1963) стр.13
3. Siegel, Carl Ludwig (1944). «Алгебраические целые числа, сопряженные которым лежат в единичной окружности». Duke Math. J . 11 : 597–602. doi :10.1215/S0012-7094-44-01152-X. Zbl  0063.07005.
4. Boyd, David W. ; Mauldin, R. Daniel (1996). «Тип порядка множества чисел Пизо». Топология и ее приложения . 69 : 115–120. doi : 10.1016/0166-8641(95)00029-1 .
5. Салем, Р. (1945). «Степенные ряды с целыми коэффициентами». Duke Math. J . 12 : 153–172. doi :10.1215/s0012-7094-45-01213-0. Zbl  0060.21601.
6. Салем (1963) стр.30
7. Салем (1963) стр. 31
8. Дюфресной, Дж.; Писо, Ч. (1955), «Этюд определенных функций мероморфов, рожденных в едином круге. Применение в ансамбле ферме d'entiers algébriques», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке), 72 : 69–92, MR  0072902. Наименьшие из этих чисел перечислены в числовом порядке на стр. 92.
9. Бертин и др., стр. 133.
10. « Спиральные цепочечные модели двумерной турбулентности». Physical Review E. 100. arXiv : 1903.09494 . doi : 10.1103/PhysRevE.100.043113.

• М. Дж. Бертен; А. Декомп-Гийу; М. Гранде-Юго; г-н Патио-Делефосс; Дж. П. Шрайбер (1992). Числа Писо и Салема . Биркхойзер. ISBN 3-7643-2648-4.
• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии в анализ и теорию чисел . Книги CMS по математике. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Збл  1020.12001.Глава 3.
• Бойд, Дэвид В. (1978). «Числа Пизо и Сейлема в интервалах действительной прямой». Math. Comp . 32 : 1244–1260. doi : 10.2307/2006349 . ISSN  0025-5718. Zbl  0395.12004.
• Касселс, Дж. В. С. (1957). Введение в диофантовы приближения . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Т. 45. Издательство Кембриджского университета . С. 133–144.
• Харди, Г. Х. (1919). «Проблема диофантовых приближений». J. Indian Math. Soc . 11 : 205–243.
• Ö. D. Gürcan; Shaokang Xu; P. Morel (2019). "Спиральные цепочечные модели двумерной турбулентности". Physical Review E . 100 . arXiv : 1903.09494 . doi :10.1103/PhysRevE.100.043113.
• Писо, Чарльз (1938). «Перераспределение по модулю 1 и алгебраическим числам». Энн. наук. Норм. Супер. Пиза II . Сер. 7 (на французском языке): 205–248. Збл  0019.15502.
• Салем, Рафаэль (1963). Алгебраические числа и анализ Фурье . Математические монографии Хита. Бостон, Массачусетс: DC Heath and Company . Zbl  0126.07802.
• Туэ, Аксель (1912). «Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Größe haben kann». Христиания Виденск. сельск. Скрифтер . 2 (20): 1–15. ЖФМ  44.0480.04.

Внешние ссылки

• Число Пизо, Энциклопедия математики
• Терр, Дэвид и Вайсштейн, Эрик В. «Число Писо». Математический мир .