Электрический потенциал

Электрический потенциал (также называемый потенциалом электрического поля , падением потенциала, электростатическим потенциалом ) определяется как количество работы / энергии, необходимое на единицу электрического заряда для перемещения заряда из опорной точки в определенную точку в электрическом поле. Точнее, электрический потенциал — это энергия на единицу заряда для тестового заряда , который настолько мал, что возмущение рассматриваемого поля пренебрежимо мало. Предполагается, что движение по полю происходит с пренебрежимо малым ускорением, чтобы избежать приобретения тестовым зарядом кинетической энергии или создания излучения. По определению, электрический потенциал в опорной точке равен нулю единиц. Обычно опорной точкой является земля или точка на бесконечности , хотя можно использовать любую точку.

В классической электростатике электростатическое поле — это векторная величина, выраженная как градиент электростатического потенциала, который является скалярной величиной, обозначаемой $V$ или иногда $φ$ , ^[1] равной электрической потенциальной энергии любой заряженной частицы в любом месте (измеряемой в джоулях ), деленной на заряд этой частицы (измеряемый в кулонах ). Разделив заряд частицы, получаем частное, которое является свойством самого электрического поля. Короче говоря, электрический потенциал — это электрическая потенциальная энергия на единицу заряда.

Это значение может быть рассчитано либо в статическом (неизменном во времени), либо в динамическом (изменяющемся во времени) электрическом поле в определенное время с единицей измерения джоуль на кулон (Дж⋅Кл ⁻¹ ) или вольт (В). Электрический потенциал на бесконечности предполагается равным нулю.

В электродинамике , когда присутствуют изменяющиеся во времени поля, электрическое поле не может быть выражено только как скалярный потенциал . Вместо этого электрическое поле может быть выражено как скалярный электрический потенциал и магнитный векторный потенциал . ^[2] Электрический потенциал и магнитный векторный потенциал вместе образуют четырехвектор , так что два вида потенциала смешиваются при преобразованиях Лоренца .

На практике электрический потенциал является непрерывной функцией во всем пространстве, поскольку пространственная производная прерывистого электрического потенциала дает электрическое поле невозможно бесконечной величины. Примечательно, что электрический потенциал, обусловленный идеализированным точечным зарядом (пропорциональный $1 ⁄ r$ , где $r —$ расстояние от точечного заряда), непрерывен во всем пространстве, за исключением местоположения точечного заряда. Хотя электрическое поле не является непрерывным поперек идеализированного поверхностного заряда , оно не бесконечно ни в одной точке. Следовательно, электрический потенциал непрерывен поперек идеализированного поверхностного заряда. Кроме того, идеализированная линия заряда имеет электрический потенциал (пропорциональный $ln(r)$ , где $r —$ радиальное расстояние от линии заряда), непрерывный везде, за исключением линии заряда.

Введение

Классическая механика исследует такие понятия, как сила , энергия и потенциал . ^[3] Сила и потенциальная энергия напрямую связаны. Чистая сила, действующая на любой объект, заставит его ускоряться . Когда объект движется в направлении силы, действующей на него, его потенциальная энергия уменьшается. Например, гравитационная потенциальная энергия пушечного ядра на вершине холма больше, чем у подножия холма. Когда оно катится вниз по склону, его потенциальная энергия уменьшается и преобразуется в движение — кинетическую энергию .

Можно определить потенциал некоторых силовых полей так, что потенциальная энергия объекта в этом поле будет зависеть только от положения объекта относительно поля. Два таких силовых поля — это гравитационное поле и электрическое поле (при отсутствии изменяющихся во времени магнитных полей). Такие поля влияют на объекты из-за внутренних свойств (например, массы или заряда) и положений объектов.

Объект может обладать свойством, известным как электрический заряд . Поскольку электрическое поле оказывает силу на заряженный объект, если объект имеет положительный заряд, сила будет направлена в направлении вектора электрического поля в месте расположения заряда; если заряд отрицательный, сила будет направлена в противоположном направлении.

Величина силы определяется величиной заряда, умноженной на величину вектора электрического поля,

$|\mathbf {F} |=q|\mathbf {E} |.$

Электростатика

Электрический потенциал отдельных положительных и отрицательных точечных зарядов показан в виде цветовой гаммы от пурпурного (+) через желтый (0) до голубого (−). Круговые контуры представляют собой эквипотенциальные линии. Линии электрического поля выходят из положительного заряда и входят в отрицательный заряд.

Электрический потенциал вблизи двух разноименных точечных зарядов.

Электрический потенциал в точке $r$ в статическом электрическом поле $E$ определяется линейным интегралом

$V_{\mathbf {E} }=-\int _{\mathcal {C}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,$

где $C$ — произвольный путь от некоторой фиксированной точки отсчета до $r$ ; он однозначно определен с точностью до константы, которая добавляется или вычитается из интеграла. В электростатике уравнение Максвелла-Фарадея показывает, что ротор равен нулю, что делает электрическое поле консервативным . Таким образом, линейный интеграл выше не зависит от конкретного выбранного пути $C$ , а только от его конечных точек, что делает его хорошо определенным везде. Тогда теорема о градиенте позволяет нам записать: ${\textstyle \nabla \times \mathbf {E} }$ ${\textstyle V_{\mathbf {E} }}$

$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V_{\mathbf {E} }\,$

Это говорит о том, что электрическое поле указывает "вниз" к более низким напряжениям. По закону Гаусса , потенциал также может быть найден удовлетворяющим уравнению Пуассона : $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \cdot \left(-\mathbf {\nabla } V_{\mathbf {E} }\right)=-\nabla ^{2}V_{\mathbf {E} }=\rho /\varepsilon _{0}$

где $ρ$ — полная плотность заряда , а обозначает дивергенцию . ${\textstyle \mathbf {\nabla } \cdot }$

Понятие электрического потенциала тесно связано с потенциальной энергией . Пробный заряд q $имеет$ электрическую потенциальную энергию U $E,$ определяемую формулой

$U_{\mathbf {E} }=q\,V.$

Потенциальная энергия, а следовательно, и электрический потенциал, определяются только с точностью до некоторой аддитивной константы: необходимо произвольно выбрать положение, в котором потенциальная энергия и электрический потенциал равны нулю.

Эти уравнения не могут быть использованы, если , т.е. в случае неконсервативного электрического поля (вызванного изменяющимся магнитным полем ; см. уравнения Максвелла ). Обобщение электрического потенциала на этот случай описано в разделе § Обобщение на электродинамику. ${\textstyle \nabla \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }$

Электрический потенциал, обусловленный точечным зарядом

Электрический потенциал, возникающий из точечного заряда $Q$ на расстоянии $r$ от местоположения $Q$ , наблюдается как где $ε$ $0$ - диэлектрическая проницаемость вакуума ^[4] , $V$ $E$ известен как кулоновский потенциал . Обратите внимание, что в отличие от величины электрического поля, вызванного точечным зарядом, электрический потенциал масштабируется относительно обратной величины радиуса, а не квадрата радиуса. $V_{\mathbf {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}},$

Электрический потенциал в любой точке, $r$ , в системе точечных зарядов равен сумме индивидуальных электрических потенциалов, обусловленных каждым точечным зарядом в системе. Этот факт значительно упрощает вычисления, поскольку сложение потенциальных (скалярных) полей намного проще, чем сложение электрических (векторных) полей. В частности, потенциал набора дискретных точечных зарядов $q i$ в точках $r i$ становится

$V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}\,$

где

$r$ — точка, в которой оценивается потенциал;
$r i$ — точка, в которой имеется ненулевой заряд; и
$q i$ — заряд в точке $r i$ .

И потенциал непрерывного распределения заряда $ρ (r)$ становится

$V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{R}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,$

где

$r$ — точка, в которой оценивается потенциал;
$R$ — область, содержащая все точки, в которых плотность заряда отлична от нуля;
$r'$ — точка внутри $R$ ; и
$ρ (r')$ — плотность заряда в точке $r'$ .

Уравнения, приведенные выше для электрического потенциала (и все уравнения, используемые здесь), имеют формы, требуемые единицами СИ . В некоторых других (менее распространенных) системах единиц, таких как СГС-Гауссова , многие из этих уравнений были бы изменены.

Обобщение на электродинамику

При наличии изменяющихся во времени магнитных полей (что справедливо всегда, когда имеются изменяющиеся во времени электрические поля, и наоборот) невозможно описать электрическое поле просто как скалярный потенциал $V$ , поскольку электрическое поле больше не является консервативным : оно зависит от пути, поскольку (из-за уравнения Максвелла-Фарадея ). $\textstyle \int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0}$

Вместо этого можно по-прежнему определять скалярный потенциал, включая также магнитный векторный потенциал $A.$ В частности, $A$ определяется так, чтобы удовлетворять:

$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$

где $B$ — магнитное поле . По фундаментальной теореме векторного исчисления такое $A$ всегда можно найти, поскольку дивергенция магнитного поля всегда равна нулю из-за отсутствия магнитных монополей . Теперь величина является консервативным полем, поскольку ротор от сокращается ротором от согласно уравнению Максвелла–Фарадея . Поэтому можно записать $\mathbf {F} =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {E}$ ${\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},$

где $V$ — скалярный потенциал , определяемый консервативным полем $F.$

Электростатический потенциал — это просто частный случай этого определения, где $A$ не зависит от времени. С другой стороны, для полей, изменяющихся во времени, в отличие от электростатики. $-\int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\neq V_{(b)}-V_{(a)}$

Свобода измерения

Электростатический потенциал может иметь любую константу, добавленную к нему, не влияя на электрическое поле. В электродинамике электрический потенциал имеет бесконечно много степеней свободы. Для любого (возможно, изменяющегося во времени или пространстве) скалярного поля, $𝜓$ , мы можем выполнить следующее калибровочное преобразование , чтобы найти новый набор потенциалов, которые производят точно такие же электрические и магнитные поля: ^[5]

${\begin{aligned}V^{\prime }&=V-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\\\mathbf {A} ^{\prime }&=\mathbf {A} +\nabla \psi \end{aligned}}$

При различных вариантах калибровки электрический потенциал может иметь совершенно разные свойства. В кулоновской калибровке электрический потенциал задается уравнением Пуассона

$\nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

как в электростатике. Однако в калибровке Лоренца электрический потенциал является запаздывающим потенциалом , который распространяется со скоростью света и является решением неоднородного волнового уравнения :

$\nabla ^{2}V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

Единицы

Единицей электрического потенциала, полученной в системе СИ, является вольт (в честь Алессандро Вольта ), обозначаемый как V, поэтому разность электрических потенциалов между двумя точками в пространстве называется напряжением . Более старые единицы сегодня используются редко. Варианты системы единиц сантиметр-грамм-секунда включали ряд различных единиц для электрического потенциала, включая абвольт и статвольт .

Потенциал Гальвани против электрохимического потенциала

Внутри металлов (и других твердых тел и жидкостей) энергия электрона зависит не только от электрического потенциала, но и от конкретной атомной среды, в которой он находится. Когда вольтметр подключается между двумя различными типами металлов, он измеряет разность потенциалов , скорректированную для различных атомных сред. ^[6] Величина, измеряемая вольтметром, называется электрохимическим потенциалом или уровнем Ферми , в то время как чистый нескорректированный электрический потенциал, $V$ , иногда называют потенциалом Гальвани , $ϕ$ . Термины «напряжение» и «электрический потенциал» немного двусмысленны, но можно ссылаться на любой из них в разных контекстах.

Общие формулы

Смотрите также

Ссылки

^ Голдстейн, Герберт (июнь 1959). Классическая механика . США: Addison-Wesley. стр. 383. ISBN 0201025108.
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику . Pearson Prentice Hall. стр. 416–417. ISBN 978-81-203-1601-0.
^ Янг, Хью А.; Фридман, Роджер Д. (2012). Университетская физика Сирса и Земанского с современной физикой (13-е изд.). Бостон: Addison-Wesley. стр. 754.
^ "Значение CODATA 2022: электрическая проницаемость вакуума". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024 г. Получено 18.05.2024 .
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. стр. 420. ISBN 013805326X.
^ Багоцкий ВС (2006). Основы электрохимии. John Wiley & Sons. С. 22. ISBN 978-0-471-70058-6.

Дальнейшее чтение

На Викискладе есть медиафайлы по теме Электрический потенциал .

Политцер П., Трулар Д.Г. (1981). Химические приложения атомных и молекулярных электростатических потенциалов: реакционная способность, структура, рассеяние и энергетика органических, неорганических и биологических систем . Бостон, Массачусетс: Springer US. ISBN 978-1-4757-9634-6.
Сен К, Мюррей Дж. С. (1996). Молекулярные электростатические потенциалы: концепции и приложения . Амстердам: Elsevier. ISBN 978-0-444-82353-3.
Гриффитс DJ (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
Джексон Дж. Д. (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). США: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-30932-1.
Wangsness RK (1986). Электромагнитные поля (2-е, исправленное, иллюстрированное изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-81186-2.