Плотность поляризации

Векторное поле, описывающее плотность электрических дипольных моментов в диэлектрическом материале.

В классическом электромагнетизме плотность поляризации (или электрическая поляризация , или просто поляризация ) — это векторное поле , выражающее объёмную плотность постоянных или индуцированных электрических дипольных моментов в диэлектрическом материале. Когда диэлектрик помещается во внешнее электрическое поле , его молекулы приобретают электрический дипольный момент , и диэлектрик называется поляризованным.

Электрическая поляризация данного образца диэлектрического материала определяется как отношение электрического дипольного момента (векторная величина, выраженная как кулоны * метры (Кл * м) в единицах СИ ) к объему (кубированные метры). ^{[1] [2]} Плотность поляризации математически обозначается P ; ^[2] в единицах СИ, выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м ² ).

Плотность поляризации также описывает, как материал реагирует на приложенное электрическое поле, а также то, как материал меняет электрическое поле, и может использоваться для расчета сил, возникающих в результате этих взаимодействий. Его можно сравнить с намагниченностью , которая является мерой соответствующей реакции материала на магнитное поле в магнетизме .

Определение

Внешнее электрическое поле, приложенное к диэлектрическому материалу, вызывает смещение связанных заряженных элементов.

Связанный заряд — это заряд, который связан с атомом или молекулой внутри материала. Его называют «связанным», потому что он не может свободно перемещаться внутри материала, как свободные заряды . Положительно заряженные элементы смещаются в направлении поля, а отрицательно заряженные элементы смещаются против направления поля. Молекулы могут оставаться нейтральными по заряду, но при этом образуется электрический дипольный момент. ^{[3] [4]}

Для определенного элемента объема в материале, несущего дипольный момент , определим плотность поляризации P : ${\displaystyle \Delta V}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\Delta \mathbf {p} }{\Delta V}}}$$

В общем, дипольный момент меняется от точки к точке внутри диэлектрика. Следовательно, плотность поляризации P диэлектрика внутри бесконечно малого объема d V с бесконечно малым дипольным моментом d p равна: ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$

Суммарный заряд, возникающий в результате поляризации, называется связанным зарядом и обозначается . ${\displaystyle Q_{b}}$

Такое определение плотности поляризации как «дипольного момента на единицу объема» широко распространено, хотя в некоторых случаях оно может приводить к двусмысленностям и парадоксам. ^[5]

Другие выражения

Пусть внутри диэлектрика изолирован объем d V. Из-за поляризации положительный связанный заряд будет смещен на расстояние относительно отрицательного связанного заряда , что приведет к возникновению дипольного момента . Подстановка этого выражения в ( 1 ) дает ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{b}\mathbf {d} }$

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{b} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d} }$$

Поскольку заряд, ограниченный в объеме d V, равен уравнению для P , становится: ^[3] ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}\mathrm {d} V}$

где – плотность связанного заряда в рассматриваемом объеме. Из приведенного выше определения ясно, что диполи в целом нейтральны и, следовательно, уравновешиваются одинаковой плотностью противоположных зарядов внутри объема. Несбалансированные сборы являются частью бесплатного сбора, обсуждаемого ниже. ${\displaystyle \rho _{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}}$

Закон Гаусса для поля P

Для данного объема V , окруженного поверхностью S , связанный заряд внутри него равен потоку P через S , взятому со знаком минус, или ${\displaystyle Q_{b}}$

Доказательство

Пусть площадь поверхности S охватывает часть диэлектрика. При поляризации отрицательные и положительные связанные заряды будут смещены. Пусть d ₁ и d ₂ — расстояния связанных зарядов и соответственно от плоскости, образованной элементом площади d A после поляризации. И пусть d V ₁ и d V ₂ — объемы, заключенные ниже и выше площади d A . ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$

Вверху: элементарный объем d V = d V ₁ + d V ₂ (ограниченный элементом площади d A ) настолько мал, что заключенный в него диполь можно рассматривать как диполь, созданный двумя элементарными противоположными зарядами. Ниже вид сверху (нажмите на изображение, чтобы увеличить).

Отсюда следует, что отрицательный связанный заряд перемещался из внешней части поверхности d A внутрь, а положительный связанный заряд перемещался из внутренней части поверхности наружу. ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}=\rho _{b}^{-}\ \mathrm {d} V_{1}=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A}$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}=\rho _{b}\ \mathrm {d} V_{2}=\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A}$

По закону сохранения заряда полный связанный заряд, оставшийся внутри объема после поляризации, равен: ${\displaystyle \mathrm {d} Q_{b}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=\mathrm {d} q_{\text{in}}-\mathrm {d} q_{\text{out}}\\&=\mathrm {d} q_{b}^{-}-\mathrm {d} q_{b}^{+}\\&=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A-\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A\end{aligned}}}$$

С

$${\displaystyle \rho _{b}^{-}=-\rho _{b}}$$

и (см. изображение справа)

$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=(d-a)\cos(\theta )\\d_{2}&=a\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

Приведенное выше уравнение становится

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-\rho _{b}(d-a)\cos(\theta )\ \mathrm {d} A-\rho _{b}a\cos(\theta )\ \mathrm {d} A\\&=-\rho _{b}d\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

Из ( 2 ) следует, что , поэтому мы получаем: ${\displaystyle \rho _{b}d=P}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-P\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\\-\mathrm {d} Q_{b}&=\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

И, проинтегрировав это уравнение по всей замкнутой поверхности S, находим, что

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

что завершает доказательство.

Дифференциальная форма

По теореме о дивергенции закон Гаусса для поля P можно сформулировать в дифференциальной форме как:

$${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} ,}$$

∇ · PP ${\displaystyle \rho _{b}}$

Доказательство

По теореме о расходимости имеем, что

$${\displaystyle -Q_{b}=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V,}$$

для объема V , содержащего связанный заряд . А поскольку интеграл от связанной плотности заряда берется по всему объему V , заключенному в S , приведенное выше уравнение дает ${\displaystyle Q_{b}}$ ${\displaystyle Q_{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}}$

$${\displaystyle -\iiint _{V}\rho _{b}\ \mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V,}$$

что верно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} }$

Связь между полями P и E

Однородные изотропные диэлектрики

Силовые линии D - поля в диэлектрической сфере с большей восприимчивостью, чем ее окружение, помещенной в ранее однородное поле. ^[6] Силовые линии E - поля не показаны: они направлены в одних и тех же направлениях, но многие силовые линии начинаются и заканчиваются на поверхности сферы, где находится связанный заряд. В результате плотность силовых линий внутри сферы ниже, чем снаружи, что соответствует тому, что внутри сферы Е-поле слабее, чем снаружи.

В однородной , линейной, недисперсионной и изотропной диэлектрической среде поляризация направлена ​​вдоль и пропорциональна электрическому полю E : ^[7]

$${\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,}$$

где ε ₀ — электрическая постоянная , а χ — электрическая восприимчивость среды. Обратите внимание, что в этом случае χ упрощается до скаляра, хотя в более общем смысле это тензор . Это частный случай из-за изотропности диэлектрика.

Принимая во внимание эту связь между P и E , уравнение ( 3 ) принимает вид: ^[3]

${\displaystyle -Q_{b}=\chi \varepsilon _{0}\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

Выражение в интеграле представляет собой закон Гаусса для поля E , который дает полный заряд, как свободный, так и связанный , в объеме V , заключенном в S. ^[3] Следовательно, ${\displaystyle (Q_{f})}$ ${\displaystyle (Q_{b})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-Q_{b}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{f}+Q_{b}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{b}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{f},\end{aligned}}}$$

которую можно записать через плотности свободного заряда и связанного заряда (рассмотрев связь между зарядами, их объемными плотностями заряда и заданным объемом):

$${\displaystyle \rho _{b}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{f}}$$

Поскольку внутри однородного диэлектрика не может быть свободных зарядов , из последнего уравнения следует, что в материале нет объемного связанного заряда . А поскольку свободные заряды могут приближаться как к диэлектрику, так и к его самой верхней поверхности, из этого следует, что поляризация приводит только к поверхностно-связанной плотности заряда (обозначается во избежание двусмысленности с объемной плотностью заряда ). ^[3] ${\displaystyle (\rho _{f}=0)}$ ${\displaystyle (\rho _{b}=0)}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}}$

${\displaystyle \sigma _{b}}$может быть связано с P следующим уравнением: ^[8]

$${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$$

вектор нормалиSв плотности заряда ) ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}}$

Анизотропные диэлектрики

Класс диэлектриков, в которых плотность поляризации и электрическое поле не направлены в одном направлении, известен как анизотропные материалы.

В таких материалах i -я компонента поляризации связана с j -й компонентой электрического поля согласно: ^[7]

$${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\epsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},}$$

Это соотношение показывает, например, что материал может поляризоваться в направлении x, приложив поле в направлении z и так далее. Случай анизотропной диэлектрической среды описывается областью кристаллооптики .

Как и в большинстве случаев электромагнетизма, это соотношение имеет дело с макроскопическими средними значениями полей и дипольной плотности, так что мы имеем континуальное приближение диэлектрических материалов, которое пренебрегает поведением на атомном уровне. Поляризуемость отдельных частиц в среде можно связать со средней восприимчивостью и плотностью поляризации соотношением Клаузиуса–Моссотти .

В общем, восприимчивость является функцией частоты ω приложенного поля. Когда поле является произвольной функцией времени t , поляризация представляет собой свертку преобразования Фурье χ ( ω ) с E ( t ) . Это отражает тот факт, что диполи в материале не могут мгновенно реагировать на приложенное поле, а соображения причинности приводят к соотношениям Крамерса-Кронига .

Если поляризация Р не линейно пропорциональна электрическому полю Е , среда называется нелинейной и описывается полем нелинейной оптики . В хорошем приближении (для достаточно слабых полей, при условии отсутствия постоянных дипольных моментов) P обычно задается рядом Тейлора по E , коэффициенты которого представляют собой нелинейные восприимчивости:

$${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\epsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots }$$

где - линейная восприимчивость, - восприимчивость второго порядка (описывающая такие явления, как эффект Поккельса , оптическое выпрямление и генерация второй гармоники ), и - восприимчивость третьего порядка (описывающая эффекты третьего порядка, такие как эффект Керра и электрический ток). оптическое выпрямление, индуцированное полем). ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

В сегнетоэлектриках однозначного соответствия между P и E вообще нет из-за гистерезиса .

Плотность поляризации в уравнениях Максвелла

Поведение электрических полей ( E , D ), магнитных полей ( B , H ), плотности заряда ( ρ ) и плотности тока ( J ) описываются уравнениями Максвелла в веществе .

Отношения между E, D и P

С точки зрения объемной плотности заряда плотность свободного заряда определяется выражением ${\displaystyle \rho _{f}}$

$${\displaystyle \rho _{f}=\rho -\rho _{b}}$$

где - полная плотность заряда. Учитывая связь каждого из членов приведенного выше уравнения с дивергенцией соответствующих им полей (полей электрического смещения D , E и P в указанном порядке), это можно записать как: ^[9] ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .}$$

Это известно как материальное уравнение для электрических полей. Здесь ε ₀ — электрическая проницаемость пустого пространства. В этом уравнении P — это (отрицательное) поле, индуцированное в материале, когда «фиксированные» заряды, диполи, смещаются в ответ на общее основное поле E , тогда как D — это поле, создаваемое оставшимися зарядами, известное как «бесплатные» сборы. ^{[5] [10]}

В общем, P варьируется в зависимости от E в зависимости от среды, как описано далее в статье. Во многих задачах удобнее работать с D и свободными зарядами, чем с E и полным зарядом. ^[1]

Следовательно, поляризованную среду с помощью теоремы Грина можно разбить на четыре компонента.

• Связанная объемная плотность заряда: ${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$
• Плотность связанного поверхностного заряда: ${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$
• Объемная плотность свободного заряда: ${\displaystyle \rho _{f}=\nabla \cdot \mathbf {D} }$
• Плотность заряда свободной поверхности: ${\displaystyle \sigma _{f}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D} }$

Изменяющаяся во времени плотность поляризации

Когда плотность поляризации изменяется со временем, зависящая от времени плотность связанного заряда создает плотность тока поляризации

$${\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

так что полная плотность тока, которая входит в уравнения Максвелла, определяется выражением

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

где J _f - плотность тока свободного заряда, а второй член - плотность тока намагничивания (также называемая плотностью связанного тока ), вклад магнитных диполей атомного масштаба (когда они присутствуют).

Неоднозначность поляризации [ сомнительно – обсудить ]

Пример того, насколько неоднозначна плотность поляризации в объемном кристалле. а) Твердый кристалл. (б) При определенном соединении положительных и отрицательных зарядов кристалл приобретает восходящую поляризацию. (в) Из-за разного соединения зарядов кристалл приобретает нисходящую поляризацию.

Кристаллические материалы

Поляризация внутри твердого тела, как правило, не определена однозначно. Поскольку объемное твердое тело является периодическим, необходимо выбрать элементарную ячейку для расчета поляризации (см. Рисунок). ^{[11] [12]} Другими словами, два человека, Алиса и Боб, глядя на одно и то же тело, могут вычислить разные значения P , и ни один из них не ошибется. Например, если Алиса выберет элементарную ячейку с положительными ионами вверху, а Боб выберет элементарную ячейку с отрицательными ионами вверху, их вычисленные векторы P будут иметь противоположные направления. Алиса и Боб сходятся во мнении о микроскопическом электрическом поле E в твердом теле, но расходятся во мнениях относительно величины поля смещения . ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$

С другой стороны, хотя значение P не определено однозначно в объемном твердом теле, изменения P определены однозначно . ^[11] Если кристалл постепенно переходит от одной структуры к другой, внутри каждой элементарной ячейки будет возникать ток из-за движения ядер и электронов. Этот ток приводит к макроскопическому переносу заряда с одной стороны кристалла на другую, и поэтому его можно измерить амперметром (как и любой другой ток), когда провода присоединены к противоположным сторонам кристалла. Интеграл по времени от тока пропорционален изменению P. Ток можно рассчитать с помощью компьютерного моделирования (например, теории функционала плотности ); формула интегрального тока оказывается своего рода фазой Берри . ^[11]

Неединственность P не проблематична, потому что каждое измеримое следствие P на самом деле является следствием непрерывного изменения P . ^[11] Например, когда материал помещается в электрическое поле E , которое возрастает от нуля до конечного значения, электронные и ионные положения материала слегка смещаются. Это меняет P , и результатом становится электрическая восприимчивость (и, следовательно, диэлектрическая проницаемость ). Другой пример: при нагревании некоторых кристаллов их электронные и ионные положения слегка смещаются, изменяя P. Результатом является пироэлектричество . Во всех случаях интересующие свойства связаны с изменением P.

Несмотря на то, что поляризация в принципе не уникальна, на практике она часто (не всегда) определяется соглашением особым, уникальным образом. Например, в идеально центросимметричном кристалле P равно нулю из соображений симметрии.

Это можно увидеть в пироэлектрическом материале. Выше температуры Кюри материал не поляризован и имеет центросимметричную конфигурацию. Понижение температуры ниже температуры Кюри вызывает структурный фазовый переход, нарушающий центросимметричность. P материала растет пропорционально искажению, что позволяет однозначно определить его .

Аморфные материалы

Другая проблема в определении P связана с произвольным выбором «единицы объема», точнее масштаба системы . ^[5] Например, на микроскопическом уровне плазму можно рассматривать как газ свободных зарядов, поэтому P должно быть равно нулю. Напротив, в макроскопическом масштабе ту же плазму можно описать как сплошную среду, обладающую диэлектрической проницаемостью и, следовательно, чистой поляризацией P ≠ 0 . ${\displaystyle \varepsilon (\omega )\neq 1}$

Смотрите также

• Кристальная структура
• Сегнетоэлектричество
• Электрет
• Поляризация (значения)

Ссылки и примечания

1. Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Гриффитс, Pearson Education, Дорлинг Киндерсли, 2007, ISBN  81-7758-293-3
2. Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е издание), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 
3. Иродов, И.Э. ​​(1986). Основные законы электромагнетизма . Издательство «Мир», Издатели и дистрибьюторы CBS. ISBN 81-239-0306-5 
4. Матвеев. АН (1986). Электричество и магнетизм . Издательство «Мир».
5. CA Гонано; Р.Э. Зич; М. Муссетта (2015). «Определение поляризации P и намагниченности M полностью соответствует уравнениям Максвелла» (PDF) . Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма Б . 64 : 83–101. дои : 10.2528/PIERB15100606 .
6. На основе уравнений Грея, Эндрю (1888). Теория и практика абсолютных измерений в электричестве и магнетизме. Macmillan & Co., стр. 126–127., что относится к работам сэра У. Томсона.
7. Фейнман, Р.П.; Лейтон, Р.Б. и Сэндс, М. (1964) Фейнмановские лекции по физике: Том 2 , Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-02117-X 
8. Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 
9. Салех, BEA; Тейч+, MC (2007). Основы фотоники . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли . п. 154. ИСБН 978-0-471-35832-9.
10. А. Герчинский (2013). «Связанные заряды и токи» (PDF) . Американский журнал физики . 81 (3): 202–205. Бибкод : 2013AmJPh..81..202H. дои : 10.1119/1.4773441.
11. Реста, Рафаэле (1994). «Макроскопическая поляризация в кристаллических диэлектриках: геометрический фазовый подход» (PDF) . Преподобный Мод. Физ . 66 (3): 899–915. Бибкод : 1994РвМП...66..899Р. doi : 10.1103/RevModPhys.66.899.См. также: Д. Вандербильт, Фазы Берри и кривизны в теории электронной структуры, PowerPoint для вводного уровня.
12. Спалдин, Никола А. (2012). «Руководство для начинающих по современной теории поляризации». Журнал химии твердого тела . 195 : 2–10. arXiv : 1202.1831 . Бибкод : 2012JSSCh.195....2S. дои : 10.1016/j.jssc.2012.05.010. S2CID  55374298.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с электрической поляризацией, на Викискладе?