преобразование Фурье

Математическое преобразование, выражающее функцию времени как функцию частоты.

Примером применения преобразования Фурье является определение составляющих высоты звука в музыкальном сигнале . Это изображение является результатом применения преобразования с постоянной добротностью ( преобразование, связанное с Фурье ) к форме волны фортепианного аккорда до мажор . Первые три пика слева соответствуют частотам основной частоты аккорда (C, E, G). Остальные более мелкие пики представляют собой более высокочастотные обертоны основных звуков. Алгоритм определения высоты тона может использовать относительную интенсивность этих пиков, чтобы определить, какую ноту нажал пианист.

В физике , технике и математике преобразование Фурье ( ПФ ) — это интегральное преобразование , которое преобразует функцию в форму, описывающую частоты, присутствующие в исходной функции. Результатом преобразования является комплексная функция частоты. Термин «преобразование Фурье» относится как к этой комплексной функции, так и к математической операции . Когда необходимо провести различие, преобразование Фурье иногда называют представлением исходной функции в частотной области . Преобразование Фурье аналогично разложению звука музыкального аккорда на интенсивности составляющих его звуков .

Красную синусоиду можно описать пиковой амплитудой (1), размахом амплитуды (2), среднеквадратичным значением (3) и длиной волны (4). Красная и синяя синусоиды имеют разность фаз θ .

Функции, локализованные во временной области, имеют преобразования Фурье, которые распространяются по частотной области, и наоборот, это явление известно как принцип неопределенности. Критическим случаем для этого принципа является функция Гаусса , имеющая существенное значение в теории вероятностей и статистике , а также при изучении физических явлений, демонстрирующих нормальное распределение (например, диффузию ). Преобразование Фурье функции Гаусса — это еще одна функция Гаусса. Жозеф Фурье ввел это преобразование в своем исследовании теплопередачи , где функции Гаусса появляются как решения уравнения теплопроводности .

Преобразование Фурье можно формально определить как несобственный интеграл Римана , что делает его интегральным преобразованием, хотя это определение не подходит для многих приложений, требующих более сложной теории интегрирования. ^{[примечание 1]} Например, во многих относительно простых приложениях используется дельта-функция Дирака , которую формально можно рассматривать как функцию, но обоснование требует математически более сложной точки зрения. ^{[заметка 2]}

Преобразование Фурье также можно обобщить на функции нескольких переменных в евклидовом пространстве , переводя функцию трехмерного «позиционного пространства» в функцию трехмерного импульса (или функцию пространства и времени в функцию четырехмерного импульса). ). Эта идея делает пространственное преобразование Фурье очень естественным при изучении волн, а также в квантовой механике , где важно иметь возможность представлять волновые решения как функции положения или импульса, а иногда и того и другого. В общем, функции, к которым применимы методы Фурье, являются комплекснозначными и, возможно, векторнозначными . ^{[примечание 3]} Еще дальнейшее обобщение возможно для функций на группах , которые, помимо исходного преобразования Фурье на ^{R или Rn} , в частности , включают преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT, группа = Z ), дискретное преобразование Фурье (DFT, group = Z mod N ) и ряд Фурье или круговое преобразование Фурье (группа = S 1 , единичная окружность ≈ замкнутый конечный интервал с идентифицированными концами). Последний обычно используется для обработки периодических функций . Быстрое преобразование Фурье (БПФ) — это алгоритм вычисления ДПФ.

Определение

Преобразование Фурье — это процесс анализа , разлагающий комплексную функцию на составляющие ее частоты и их амплитуды. Обратный процесс — это синтез , который воссоздает из своего преобразования. ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle f(x)}$

Мы можем начать с аналогии, ряда Фурье , который анализирует на ограниченном интервале некоторое положительное действительное число. Составляющие частоты представляют собой дискретный набор гармоник на частотах , амплитуда и фаза которых задаются формулой анализа: ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle x\in [-P/2,P/2],}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}},n\in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle c_{n}={\tfrac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\,e^{-i2\pi {\frac {n}{P}}x}\,dx.}$

Фактический ряд Фурье представляет собой формулу синтеза:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},\quad \textstyle x\in [-P/2,P/2].}$

Аналогию для функции можно получить формально из формулы анализа, приняв предел как , принимая в то же время так, что ^[1] (Кайзер 1994, стр. 29), (Рахман 2011, стр. 11). Формально выполняя это, получим для быстро убывающих : ^{[примечание 4] [2]} ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ ${\displaystyle P\to \infty }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}\to \xi \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f}$

преобразование Фурье

Легко видеть, предполагая гипотезу быстрого убывания, что интеграл (1) сходится при всех действительных , и (используя лемму Римана–Лебега ) что преобразованная функция также быстро убывает. Справедливость этого определения для классов функций , которые не обязательно быстро убывают, обсуждается позже в этом разделе. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

Вычисление уравнения 1 для всех значений дает функцию частотной области . Комплексное число в полярных координатах передает как амплитуду , так и фазу частоты . Интуитивная интерпретация уравнения 1 заключается в том, что эффект умножения на заключается в вычитании из каждого частотного компонента функции ^{[примечание 5].} Только тот компонент, который был на частоте, может дают ненулевое значение бесконечного интеграла, поскольку (по крайней мере формально) все остальные сдвинутые компоненты являются колебательными и интегрируются до нуля. (см. § Пример) ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle \xi }$

Соответствующая формула синтеза такой функции:

Обратное преобразование

Уравнение 2 представляет собой взвешенное суммирование комплексных показательных функций. ${\displaystyle f(x)}$

Это также известно как теорема обращения Фурье и впервые было введено в «Аналитической теории тепла» Фурье . ^{[3] [4] [5] [6]}

Функции и называются парой преобразований Фурье . ^[7]   Общепринятое обозначение для обозначения пар преобразований: ^[8] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ),}$   например   ${\displaystyle \operatorname {rect} (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \operatorname {sinc} (\xi ).}$

Определение интегрируемых по Лебегу функций

До сих пор мы имели дело с быстро убывающими на бесконечности функциями Шварца со всеми производными. Это исключает из определения многие функции, имеющие практическое значение, например функцию rect . Измеримая функция называется интегрируемой (по Лебегу), если интеграл Лебега от ее абсолютного значения конечен: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$

Две измеримые функции эквивалентны, если они равны, за исключением множества нулевой меры. Обозначим множество всех классов эквивалентности интегрируемых функций . Тогда: ^[9] ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$

Определение  .  Преобразование Фурье интегрируемой по Лебегу функции определяется формулой (1) . ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

Интегральное уравнение (1) четко определено для всех благодаря допущению . (Можно показать, что функция ограничена и равномерно непрерывна в частотной области и, более того, по лемме Римана–Лебега она равна нулю на бесконечности.) ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \|f\|_{1}<\infty }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C(\mathbb {R} )}$

Однако класс интегрируемых по Лебегу функций не идеален с точки зрения преобразования Фурье, поскольку не существует простой характеристики изображения и, следовательно, простой характеристики обратного преобразования.

Унитарность и определение функций, интегрируемых с квадратом

Хотя уравнение 1 определяет преобразование Фурье для (комплекснозначных) функций в , легко видеть, что оно недостаточно четко определено для других классов интегрируемости, и что наиболее важно . Для функций из и с соглашениями уравнения 1 преобразование Фурье является унитарным оператором относительно скалярного произведения Гильберта на , ограниченном плотным подпространством интегрируемых функций. Следовательно, он допускает единственное непрерывное расширение до унитарного оператора на , также называемого преобразованием Фурье. Это расширение важно отчасти потому, что преобразование Фурье сохраняет пространство , так что, в отличие от случая , преобразование Фурье и обратное преобразование находятся на одном основании, являясь преобразованиями одного и того же пространства функций в себя. ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}}$

Важно отметить, что для функций из преобразование Фурье больше не задается уравнением 1 (интерпретируемым как интеграл Лебега). Например, функция находится в , но не , поэтому интеграл (1) расходится. В таких случаях преобразование Фурье можно получить явно, регуляризируя интеграл и затем переходя к пределу. На практике интеграл часто рассматривается как несобственный интеграл , а не как собственный интеграл Лебега, но иногда для сходимости необходимо использовать слабый предел или главное значение вместо (поточечных) пределов, неявных в несобственном интеграле. Титчмарш (1986) и Дим и Маккин (1985) предлагают по три строгих способа расширения преобразования Фурье до интегрируемых с квадратом функций с использованием этой процедуры. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

Соглашения, выбранные в этой статье, относятся к гармоническому анализу и характеризуются как уникальные соглашения, такие, что преобразование Фурье является одновременно унитарным на L ² и гомоморфизмом алгебры от L ¹ до L ^∞ без перенормировки меры Лебега. ^[10]

Угловая частота (ω)

Когда независимая переменная ( ) представляет время (часто обозначается ), переменная преобразования ( ) представляет частоту (часто обозначается ). Например, если время измеряется в секундах , то частота — в герцах . Преобразование Фурье также можно записать через угловую частоту , единицами измерения которой являются радианы в секунду. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =2\pi \xi ,}$

Подстановка в уравнение 1 приводит к этому соглашению, где функция переименовывается ${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f_{1}}}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega \,x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{3}}}(\omega )\cdot e^{i\omega \,x}\,d\omega .\end{aligned}}}$

В отличие от определения уравнения 1 , преобразование Фурье больше не является унитарным преобразованием , и между формулами преобразования и его обратного преобразования меньше симметрии. Эти свойства восстанавливаются путем равномерного разделения фактора между преобразованием и обратным ему, что приводит к другому соглашению: ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{2}}}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$

Вариации всех трех соглашений могут быть созданы путем сопряжения комплексно-экспоненциального ядра как прямого, так и обратного преобразования. Знаки должны быть противоположными.

Расширение определения

При преобразование Фурье можно определить с помощью интерполяции Марцинкевича . ${\displaystyle 1<p<2}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Преобразование Фурье может быть определено в областях, отличных от действительной линии. Преобразование Фурье в евклидовом пространстве и преобразование Фурье в локально абелевых группах обсуждаются далее в статье.

Преобразование Фурье также можно определить для умеренных распределений , двойственных пространству быстро убывающих функций ( функций Шварца ). Функция Шварца — это гладкая функция, убывающая на бесконечности вместе со всеми своими производными. Пространство функций Шварца обозначается , а двойственное ему пространство умеренных распределений. Дифференцируя под интегралом и применяя лемму Римана-Лебега, легко увидеть, что преобразование Фурье функции Шварца (определяемой формулой (1 )) снова является функцией Шварца. Преобразование Фурье умеренного распределения определяется двойственностью: ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \langle {\widehat {T}},\phi \rangle =\langle T,{\widehat {\phi }}\rangle ;\quad \forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$

Существует множество других характеристик преобразования Фурье. Например, используется теорема Стоуна-фон Неймана : преобразование Фурье является уникальным унитарным переплетателем симплектического и евклидова представлений Шрёдингера группы Гейзенберга .

Фон

История

В 1822 году Фурье заявил (см. Жозеф Фурье § Аналитическая теория тепла ), что любую функцию, как непрерывную, так и прерывистую, можно разложить в ряд синусов. ^[11] Эта важная работа была исправлена ​​и расширена другими, чтобы обеспечить основу для различных форм преобразования Фурье, используемых с тех пор.

Рис.1 При изображении функции на комплексной плоскости вектор, образованный ее мнимой и действительной частями, вращается вокруг начала координат. Его реальная часть — синусоидальная волна. ${\displaystyle A\cdot e^{i2\pi \xi t}}$ ${\displaystyle y(t)}$

Сложные синусоиды

В общем случае коэффициенты представляют собой комплексные числа, имеющие две эквивалентные формы (см. формулу Эйлера ): ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$

Продукт с ( Уравнение 2 ) имеет следующие формы: ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$

Примечательно, насколько легко было упрощено произведение с использованием полярной формы и как легко была выведена прямоугольная форма с помощью формулы Эйлера.

Отрицательная частота

Формула Эйлера вводит возможность отрицательного значения.   И уравнение 1 определено. Только определенные комплексные значения имеют преобразования (см. Аналитический сигнал . Простой пример ): Но отрицательная частота необходима для характеристики всех других комплексных значений, встречающихся при обработке сигналов , уравнениях в частных производных. , радиолокация , нелинейная оптика , квантовая механика и другие. ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0).}$ ${\displaystyle f(x),}$

Для вещественного уравнения уравнение 1 обладает свойством симметрии (см. § Сопряжение ниже). Эта избыточность позволяет уравнению 2 отличить от   Но, конечно, оно не может указать нам фактический знак того, что и неотличимы только на линии действительных чисел. ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$ ${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}.}$ ${\displaystyle \xi _{0},}$ ${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$

Преобразование Фурье для периодических функций

Преобразование Фурье периодической функции нельзя определить непосредственно с помощью интегральной формулы. Чтобы определить интеграл в уравнении 1 , функция должна быть абсолютно интегрируемой . Вместо этого обычно используют ряд Фурье . Можно расширить определение, включив в него периодические функции, рассматривая их как умеренные распределения .

Это позволяет увидеть связь между рядом Фурье и преобразованием Фурье для периодических функций, имеющих сходящийся ряд Фурье . Если - периодическая функция с периодом , имеющая сходящийся ряд Фурье, то: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$

где – коэффициенты ряда Фурье , – дельта - функция Дирака . Другими словами, преобразование Фурье представляет собой гребенчатую функцию Дирака, зубцы которой умножаются на коэффициенты ряда Фурье. ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

Выборка преобразования Фурье

Преобразование Фурье интегрируемой функции можно отбирать через регулярные промежутки произвольной длины. Эти выборки можно получить из одного цикла периодической функции, коэффициенты ряда Фурье которой пропорциональны этим выборкам, по формуле суммирования Пуассона : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}.}$ ${\displaystyle f_{P}}$

${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} }$

Интегрируемость обеспечивает сходимость периодического суммирования. Следовательно, образцы можно определить с помощью анализа рядов Фурье: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)}$

${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$

Когда имеет компактный носитель , имеет конечное число членов в пределах интервала интегрирования. Когда нет компактной поддержки, численная оценка требует аппроксимации, такой как сужение или усечение количества членов. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Пример

Следующие рисунки наглядно иллюстрируют, как преобразование Фурье определяет, присутствует ли частота в конкретной функции. Изображенная функция колеблется с частотой 3  Гц (если измерять секунды) и быстро стремится к 0. (Второй фактор в этом уравнении — это огибающая функция , которая преобразует непрерывную синусоиду в короткий импульс.). был специально выбран для того, чтобы иметь реальное преобразование Фурье, которое можно легко построить. Первое изображение — это его график. Для расчета мы должны интегрировать продукт. Следующие два изображения — это действительная и мнимая части этого продукта. Действительная часть подынтегральной функции имеет неотрицательное среднее значение, поскольку чередующиеся знаки и колеблются с одинаковой скоростью и той же фазой, тогда как и имеют ту же скорость, но ортогональную фазу. В результате, когда вы интегрируете действительную часть подынтегральной функции, вы получаете относительно большое число (в данном случае ). Кроме того, когда вы пытаетесь измерить частоту, которой нет, как в случае, когда мы смотрим как на действительную, так и на мнимую составляющую продукта, они быстро изменяются между положительными и отрицательными значениями. Следовательно, интеграл очень мал, а значение преобразования Фурье для этой частоты близко к нулю. Общая ситуация обычно сложнее, чем эта, но эвристически именно так преобразование Фурье измеряет, какая часть отдельной частоты присутствует в функции. ${\displaystyle f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(3)}$ ${\displaystyle f(t)e^{-i2\pi 3t}.}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(5),}$ ${\displaystyle \displaystyle f(t).}$

Оригинальная функция, показывающая колебание 3 Гц. Действительная и мнимая части подынтегрального выражения для преобразования Фурье с частотой 3 Гц

• 
  Действительная и мнимая части подынтегрального выражения для преобразования Фурье при частоте 5 Гц
• 
  Величина преобразования Фурье с пометкой 3 и 5 Гц.

Чтобы подтвердить вышесказанное, причина отклика на   частоте Гц заключается в том, что     и     неразличимы. Преобразование     будет иметь только один отклик, амплитуда которого является интегралом гладкой огибающей:   тогда как   (второй график выше)   ${\displaystyle \xi =-3}$ ${\displaystyle \cos(2\pi 3t)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-3)t)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2.}$

Свойства преобразования Фурье

Пусть и представляют собой интегрируемые функции, измеримые по Лебегу на прямой, удовлетворяющие: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .}$

Обозначим преобразования Фурье этих функций как и соответственно. ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )}$

Основные свойства

Преобразование Фурье обладает следующими основными свойствами: ^[12]

Линейность

${\displaystyle a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C} }$

Временной сдвиг

${\displaystyle f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R} }$

Сдвиг частоты

${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R} }$

Масштабирование времени

${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$

Этот случай приводит к свойству обращения времени : ${\displaystyle a=-1}$

${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$

Симметрия

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на четные и нечетные части , получается четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. Между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования существует взаимно однозначное соответствие :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ f\quad &=\quad &f_{_{RE}}\quad &+\quad &f_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &f_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ f_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &{\widehat {f}}\quad &=\quad &{\widehat {f}}_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ {\widehat {f}}_{IO}} \quad &+\quad i\ &{\widehat {f}}_{IE}\quad &+\quad &{\widehat {f}}_{RO}\end{aligned}}}$

Отсюда вытекают различные зависимости, например :

• Преобразование вещественной функции ( f _RE + f _RO ) представляет собой четную симметричную функцию f̂ _RE + i f̂ _IO . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
• Преобразование мнимой функции ( i f _IE + i f _IO ) представляет собой нечетную симметричную функцию f̂ _RO + i f̂ _IE , и обратное верно.
• Преобразование четно-симметричной функции ( f _RE + i f _IO ) является действительной функцией f̂ _RE + f̂ _RO , и обратное верно.
• Преобразование нечетно-симметричной функции ( f _RO + i f _IE ) является мнимозначной функцией i f̂ _IE + i f̂ _IO , и обратное верно.

Спряжение

${\displaystyle {\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}}$

(Примечание : * обозначает комплексное сопряжение .)

В частности, если вещественно , то оно даже симметрично (так называемая эрмитова функция ): ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.}$

А если чисто мнимое, то нечетно - симметричное : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-{\widehat {f}}(\xi ).}$

Реальная и мнимая часть времени

${\displaystyle \operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$

Компонент нулевой частоты

Подставив в определение, получим: ${\displaystyle \xi =0}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.}$

Интеграл по своей области известен как среднее значение или постоянное смещение функции. ${\displaystyle f}$

Обратимость и периодичность

При подходящих условиях на функцию ее можно восстановить из преобразования Фурье . Действительно, если обозначить оператор преобразования Фурье через , so , то для подходящих функций двукратное применение преобразования Фурье просто переворачивает функцию: , что можно интерпретировать как «поворот времени». Поскольку обращение времени является двухпериодическим, применение этого дважды дает , поэтому оператор преобразования Фурье является четырехпериодическим, и аналогичным образом обратное преобразование Фурье может быть получено путем применения преобразования Фурье три раза: . В частности, преобразование Фурье обратимо (при подходящих условиях). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\hat {f}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\hat {f}}\right)=f}$

Точнее, определяя оператор четности такой , что мы имеем: ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}}$

Эти равенства операторов требуют тщательного определения пространства рассматриваемых функций, определения равенства функций (равенство в каждой точке? равенство почти всюду ?) и определения равенства операторов, то есть определения топологии в пространстве функций и пространстве операторов в вопрос. Они верны не для всех функций, но верны при различных условиях, которые и составляют содержание различных форм теоремы обращения Фурье .

Эта четырехкратная периодичность преобразования Фурье аналогична повороту плоскости на 90°, особенно потому, что двукратная итерация приводит к развороту, и на самом деле эту аналогию можно уточнить. Хотя преобразование Фурье можно просто интерпретировать как переключение временной и частотной областей, а обратное преобразование Фурье переключает их обратно, более геометрически его можно интерпретировать как поворот на 90° во временной и частотной области (рассматривая время как ось x и частота как ось y ), а преобразование Фурье можно обобщить до дробного преобразования Фурье , которое включает повороты на другие углы. Это можно далее обобщить на линейные канонические преобразования , которые можно визуализировать как действие специальной линейной группы SL ₂ ( R ) на плоскости время-частота с сохраненной симплектической формой, соответствующей принципу неопределенности, приведенному ниже. Этот подход особенно изучается при обработке сигналов , при частотно-временном анализе .

Единицы

Частотная переменная должна иметь единицы измерения, обратные единицам области определения исходной функции (обычно называемые t или x ). Например, если t измеряется в секундах, ξ должно быть в циклах в секунду или герцах . Если масштаб времени измеряется в единицах 2 π секунд, то вместо этого обычно используется другая греческая буква ω для обозначения угловой частоты (где ω = 2π ξ ) в радианах в секунду. Если использовать x для единиц длины, то ξ должна иметь обратную длину, например, волновые числа . Другими словами, существуют две версии реальной линии: одна представляет собой диапазон t и измеряется в единицах t , а другая представляет собой диапазон ξ и измеряется в единицах, обратных единицам t . Эти две разные версии реальной линии нельзя приравнивать друг к другу. Следовательно, преобразование Фурье переходит из одного пространства функций в другое пространство функций: функции, имеющие другую область определения.

В общем, ξ всегда следует рассматривать как линейную форму в пространстве своей области определения, то есть вторая вещественная линия является пространством, двойственным к первой вещественной прямой. См. статью о линейной алгебре для более формального объяснения и более подробной информации. Эта точка зрения становится существенной при обобщениях преобразования Фурье на группы общей симметрии , включая случай рядов Фурье.

Не существует единого предпочтительного способа (часто говорят «нет канонического способа») сравнения двух версий реальной линии, которые участвуют в преобразовании Фурье — фиксация единиц измерения на одной линии не приводит к изменению масштаба единиц измерения на другая линия — причина множества конкурирующих соглашений по определению преобразования Фурье. Различные определения, возникающие в результате разного выбора единиц измерения, различаются разными константами.

В других соглашениях преобразование Фурье имеет i в показателе степени вместо − i , и наоборот для формулы обращения. Это соглашение распространено в современной физике ^[13] и используется по умолчанию для Wolfram Alpha и не означает, что частота стала отрицательной, поскольку не существует канонического определения положительности частоты сложной волны. Это просто означает, что это амплитуда волны     вместо волны   (первая, со знаком минус, часто встречается во временной зависимости для синусоидальных плоских волновых решений уравнения электромагнитной волны или во временной зависимости для квантовой волны функции ). Многие тождества, включающие преобразование Фурье, остаются в силе в этих соглашениях при условии, что все термины, которые явно включают i , заменяются на - i . В электротехнике буква j обычно используется для мнимой единицы вместо i, потому что i используется для обозначения тока. ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$

При использовании безразмерных единиц постоянные коэффициенты могут даже не быть записаны в определении преобразования. Например, в теории вероятностей характеристическая функция Φ функции плотности вероятности f случайной величины X непрерывного типа определяется без отрицательного знака в экспоненте, а поскольку единицы x игнорируются, то нет и 2 π . :

${\displaystyle \phi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.}$

(В теории вероятностей и в математической статистике использование преобразования Фурье — Стилтьеса является предпочтительным, поскольку многие случайные величины не имеют непрерывного типа и не обладают функцией плотности, и приходится рассматривать не функции, а распределения , т. е. , меры, обладающие «атомами».)

С более высокой точки зрения групповых характеров , которая гораздо более абстрактна, все эти произвольные выборы исчезают, как будет объяснено в следующем разделе этой статьи, где рассматривается понятие преобразования Фурье функции на локально компактном абелевом элементе. группа .

Равномерная непрерывность и лемма Римана–Лебега.

Прямоугольная функция интегрируема по Лебегу .

Функция sinc , которая представляет собой преобразование Фурье прямоугольной функции, ограничена и непрерывна, но не интегрируема по Лебегу.

Преобразование Фурье может быть определено в некоторых случаях для неинтегрируемых функций, но преобразования Фурье интегрируемых функций обладают несколькими сильными свойствами.

Преобразование Фурье f̂ любой интегрируемой функции f равномерно непрерывно и ^[14]

${\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$

По лемме Римана – Лебега ^[15]

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$

Однако не обязательно должен быть интегрируемым. Например, преобразование Фурье прямоугольной функции , которая является интегрируемой, представляет собой функцию sinc , которая не является интегрируемой по Лебегу , поскольку ее несобственные интегралы ведут себя аналогично знакопеременному гармоническому ряду , сходясь к сумме, не будучи абсолютно сходящимся . ${\displaystyle {\hat {f}}}$

Обычно обратное преобразование невозможно записать в виде интеграла Лебега . Однако, когда оба f и интегрируемы, обратное равенство ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$

выполняется почти для каждого x . В результате преобразование Фурье инъективно на L ¹ ( R ) .

Теорема Планшереля и теорема Парсеваля.

Пусть f ( x ) и g ( x ) интегрируемы, и пусть f̂ ( ξ ) и ĝ ( ξ ) — их преобразования Фурье. Если f ( x ) и g ( x ) также интегрируемы с квадратом , то формула Парсеваля следующая: ^[16]

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$

где черта означает комплексное сопряжение .

Теорема Планшереля , следующая из вышесказанного, утверждает, что ^[17]

${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$

Теорема Планшереля позволяет расширить преобразование Фурье, используя аргумент непрерывности, до ^{унитарного} оператора в L2 ( R ) . На L ¹ ( R ) ∩ L ² ( R ) это расширение согласуется с исходным преобразованием Фурье, определенным на L ¹ ( R ) , тем самым расширяя область определения преобразования Фурье до L ¹ ( R ) + L ² ( R ) (и следовательно, к L ^p ( R ) для 1 ≤ p ≤ 2 ). Теорема Планшереля имеет в науках интерпретацию, согласно которой преобразование Фурье сохраняет энергию исходной величины. Терминология этих формул не совсем стандартизирована. Теорема Парсеваля была доказана только для рядов Фурье и впервые доказана Ляпуновым. Но формула Парсеваля имеет смысл и для преобразования Фурье, и поэтому, хотя в контексте преобразования Фурье она была доказана Планшерелем, ее до сих пор часто называют формулой Парсеваля, соотношением Парсеваля или даже теоремой Парсеваля.

См. Двойственность Понтрягина для получения общей формулировки этой концепции в контексте локально компактных абелевых групп.

Формула суммирования Пуассона

Формула суммирования Пуассона (PSF) представляет собой уравнение, которое связывает коэффициенты ряда Фурье периодического суммирования функции со значениями непрерывного преобразования Фурье функции. Формула суммирования Пуассона гласит, что для достаточно регулярных функций f ,

${\displaystyle \sum _{n}{\hat {f}}(n)=\sum _{n}f(n).}$

Он имеет множество полезных форм, которые получены из базовой формы путем применения свойств масштабирования и сдвига во времени преобразования Фурье. Формула находит применение в технике, физике и теории чисел . Двойственная стандартная формула суммирования Пуассона в частотной области также называется преобразованием Фурье дискретного времени .

Суммирование Пуассона обычно связано с физикой периодических сред, например, с теплопроводностью по кругу. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности на окружности называется тэта-функцией . Он используется в теории чисел для доказательства свойств преобразования тэта-функций, которые оказываются разновидностью модулярной формы , и в более общем плане связан с теорией автоморфных форм , где он появляется на одной стороне формулы следа Сельберга .

Дифференциация

Предположим, f ( x ) — абсолютно непрерывная дифференцируемая функция, и как f, так и ее производная f′ интегрируемы. Тогда преобразование Фурье производной имеет вид

${\displaystyle {\widehat {f'\,}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\hat {f}}(\xi ).}$

В более общем смысле преобразование Фурье n- й производной f ^{( n )} определяется выражением

${\displaystyle {\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\hat {f}}(\xi ).}$

Аналогично, , поэтому ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi )\right\}=(i2\pi x)^{n}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi ).}$

Применяя преобразование Фурье и используя эти формулы, некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения можно преобразовать в алгебраические уравнения, решать которые гораздо проще. Эти формулы также приводят к практическому правилу: « f ( x ) является гладким тогда и только тогда, когда f̂ ( ξ ) быстро падает до 0 при | ξ | → ∞ ». Используя аналогичные правила для обратного преобразования Фурье, можно также сказать: « f ( x ) быстро падает до 0 при | x | → ∞ тогда и только тогда, когда f̂ ( ξ ) является гладким».

Теорема о свертке

Преобразование Фурье выполняет преобразование между сверткой и умножением функций. Если f ( x ) и g ( x ) являются интегрируемыми функциями с преобразованиями Фурье f̂ ( ξ ) и ĝ ( ξ ) соответственно, то преобразование Фурье свертки задается произведением преобразований Фурье f̂ ( ξ ) и ĝ ( ξ ) (при других соглашениях для определения преобразования Фурье может фигурировать постоянный множитель).

Это означает, что если:

${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$

где * обозначает операцию свертки, тогда:

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\,{\hat {g}}(\xi ).}$

В теории систем с линейным инвариантом во времени (LTI) принято интерпретировать g ( x ) как импульсную характеристику системы LTI с входом f ( x ) и выходом h ( x ) , поскольку замена f ( x ) единичным импульсом дает час ( Икс ) знак равно г ( Икс ) . В этом случае ĝ ( ξ ) представляет частотную характеристику системы.

И наоборот, если f ( x ) можно разложить как произведение двух суммируемых с квадратом функций p ( x ) и q ( x ) , то преобразование Фурье f ( x ) задается сверткой соответствующих преобразований Фурье p̂ ( ξ ) и q̂ ( ξ ) .

Теорема о взаимной корреляции

Аналогичным образом можно показать, что если h ( x ) является взаимной корреляцией f ( x ) и g ( x ) :

${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$

тогда преобразование Фурье h ( x ) будет:

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,{\hat {g}}(\xi ).}$

В частном случае автокорреляция функции f ( x ) равна :

${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$

для которого

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$

Собственные функции

Преобразование Фурье — это линейное преобразование, собственные функции которого подчиняются ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi ,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$

Набор собственных функций находится, если отметить, что однородное дифференциальное уравнение

${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$

приводит к собственным функциям преобразования Фурье , пока форма уравнения остается инвариантной относительно преобразования Фурье. ^{[примечание 6]} Другими словами, каждое решение и его преобразование Фурье подчиняются одному и тому же уравнению. Предполагая уникальность решений, каждое решение должно быть собственной функцией преобразования Фурье. Форма уравнения остается неизменной при преобразовании Фурье, если ее можно разложить в степенной ряд, в котором для всех членов один и тот же множитель любого из членов возникает из множителей , введенных правилами дифференцирования при преобразовании Фурье однородного дифференциального уравнения, поскольку этот множитель может потом отменить. Простейшее из возможных значений приводит к стандартному нормальному распределению . ^[18] ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle \pm 1,\pm i}$ ${\displaystyle i^{n}}$ ${\displaystyle U(x)=x}$

В более общем смысле, набор собственных функций также находится, если отметить, что правила дифференцирования подразумевают, что обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$

с константой и непостоянной четной функцией, остается инвариантной по форме при применении преобразования Фурье к обеим частям уравнения. Приводится простейший пример, который эквивалентен рассмотрению уравнения Шрёдингера для квантового гармонического осциллятора . ^[19] Соответствующие решения обеспечивают важный выбор ортонормированного базиса для L 2 ( R ) и задаются «физическими» функциями Эрмита . Эквивалентно можно использовать ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle W(x)=x^{2}}$

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$

где He _n ( x ) — «вероятностные» полиномы Эрмита , определяемые как

${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$

Согласно этому соглашению о преобразовании Фурье, мы имеем следующее:

${\displaystyle {\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$

Другими словами, функции Эрмита образуют полную ортонормированную систему собственных функций преобразования Фурье на L ² ( R ) . ^{[12] [20]} Однако этот выбор собственных функций не является единственным. Поскольку существует только четыре различных собственных значения преобразования Фурье (корни четвертой степени из единицы ±1 и ± i ), и любая линейная комбинация собственных функций с одним и тем же собственным значением дает другую собственную функцию. ^[21] Как следствие этого, можно разложить L ² ( R ) как прямую сумму четырех пространств H ₀ , H ₁ , H ₂ и H ₃ , где преобразование Фурье действует на He _k просто путем умножения на я ^к . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$

Поскольку полный набор функций Эрмита ψ _n обеспечивает разрешение тождества, они диагонализуют оператор Фурье, т.е. преобразование Фурье может быть представлено такой суммой членов, взвешенных по указанным выше собственным значениям, и эти суммы можно суммировать явно:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$

Этот подход к определению преобразования Фурье был впервые предложен Норбертом Винером . ^[22] Помимо других свойств, функции Эрмита экспоненциально быстро убывают как в частотной, так и во временной областях, и поэтому они используются для определения обобщения преобразования Фурье, а именно дробного преобразования Фурье, используемого в частотно-временном анализе. ^[23] В физике это преобразование было введено Эдвардом Кондоном . ^[24] Такое изменение базисных функций становится возможным, поскольку преобразование Фурье является унитарным преобразованием при использовании правильных соглашений. Следовательно, при соответствующих условиях можно ожидать, что оно будет результатом самосопряженного генератора согласно ^[25] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$

Оператор представляет собой числовой оператор квантового гармонического осциллятора, записанный как ^{[26] [27]} ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right).}$

Его можно интерпретировать как генератор дробных преобразований Фурье для произвольных значений t и обычного непрерывного преобразования Фурье для конкретного значения с ядром Мелера, реализующим соответствующее активное преобразование . Собственные функции - это функции Эрмита , которые, следовательно, также являются собственными функциями ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t=\pi /2,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

При распространении преобразования Фурье на распределения гребенка Дирака также является собственной функцией преобразования Фурье.

Связь с группой Гейзенберга

Группа Гейзенберга — это некоторая группа унитарных операторов в гильбертовом пространстве L ² ( R ) суммируемых с квадратом комплекснозначных функций f на вещественной прямой, порожденных сдвигами ( T _y f )( x ) = f ( x + y ) и умножение на е ^{я 2π ξx} , ( M _ξ f )( Икс ) знак равно е ^{я 2π ξx} ж ( Икс ) . Эти операторы не коммутируют, так как их (групповой) коммутатор

${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x)}$

которое представляет собой умножение на константу (независимую от x ) e ^{i 2π ξy} ∈ U (1) ( группу кругов комплексных чисел с единичным модулем). Как абстрактная группа, группа Гейзенберга представляет собой трехмерную группу Ли троек ( x , ξ , z ) ∈ R ² × U (1) с групповым законом

${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{i2\pi \left(x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).}$

Обозначим группу Гейзенберга через H ₁ . Вышеописанная процедура описывает не только структуру группы, но и стандартное унитарное представление H ₁ в гильбертовом пространстве, которое мы обозначаем через ρ :  H 1 _→ B ( L 2 ⁽ R ) ) . ^{Определим} линейный автоморфизм R2 формулой

${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$

так что J ² = - I . Этот J можно расширить до единственного автоморфизма H ₁ :

${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).}$

Согласно теореме Стоуна–фон Неймана унитарные представления ρ и ρ ∘ j унитарно эквивалентны, поэтому существует единственный переплетатель W ∈ U ( L ² ( R )), такой что

${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$

Этот оператор W является преобразованием Фурье.

Многие из стандартных свойств преобразования Фурье являются непосредственными следствиями этой более общей схемы. ^[28] Например, квадрат преобразования Фурье, W ² , является переплетителем, связанным с J ² = − I , и поэтому мы имеем ( W ² f )( x ) = f (− x ) является отражением исходная функция f .

Сложный домен

Интеграл для преобразования Фурье

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \xi t}f(t)\,dt}$

можно изучать для комплексных значений его аргумента ξ . В зависимости от свойств f это может вообще не сходиться с действительной осью или может сходиться к комплексной аналитической функции для всех значений ξ = σ + iτ или чего-то промежуточного. ^[29]

Теорема Пэли –Винера утверждает, что f является гладкой (т. е. n -раз дифференцируемой для всех натуральных чисел n ) и имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда f̂ ( σ + iτ ) — голоморфная функция , для которой существует константа a > 0, такая что для любого целого числа n ≥ 0 ,

${\displaystyle \left\vert \xi ^{n}{\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }}$

для некоторой постоянной C . (В этом случае f поддерживается на [− a , a ] .) Это можно выразить, сказав, что f̂ — целая функция , которая быстро убывает по σ (при фиксированном τ ) и экспоненциально растет по τ (равномерно по σ ). ^[30]

(Если f не является гладкой, а только L ² , утверждение сохраняется и при n = 0. ^[31] ) Пространство таких функций комплексной переменной называется пространством Пэли — Винера. Эта теорема была обобщена на полупростые группы Ли . ^[32]

Если f поддерживается на полупрямой t ≥ 0 , то f называется «причинным», потому что функция импульсной характеристики физически реализуемого фильтра должна обладать этим свойством, поскольку никакое следствие не может предшествовать его причине. Пейли и Винер показали, что тогда f̂ продолжается до голоморфной функции в комплексной нижней полуплоскости τ < 0 , которая стремится к нулю при стремлении τ к бесконечности. ^[33] Обратное неверно, и неизвестно, как охарактеризовать преобразование Фурье причинной функции. ^[34]

Преобразование Лапласа

Преобразование Фурье f̂ ( ξ ) связано с преобразованием Лапласа F ( s ) , которое также используется для решения дифференциальных уравнений и анализа фильтров .

Может случиться так, что функция f , для которой интеграл Фурье вообще не сходится на вещественной оси, тем не менее имеет комплексное преобразование Фурье, определенное в некоторой области комплексной плоскости .

Например, если f ( t ) имеет экспоненциальный рост, т. е.

${\displaystyle \vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }}$

для некоторых констант C , a ≥ 0 , то ^[35]

${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,}$

сходящийся для всех 2π τ < − a , является двусторонним преобразованием Лапласа функции f .

Более обычная версия («односторонняя») преобразования Лапласа:

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$

Если f также является причинным и аналитическим, то: Таким образом, расширение преобразования Фурье на комплексную область означает, что оно включает преобразование Лапласа как особый случай в случае причинных функций, но с заменой переменной s = i 2π ξ . ${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau ).}$

С другой, возможно, более классической точки зрения, преобразование Лапласа по своей форме включает в себя дополнительный экспоненциальный регулирующий член, который позволяет ему сходиться за пределами воображаемой линии, где определено преобразование Фурье. По существу, оно может сходиться не более чем для экспоненциально расходящихся рядов и интегралов, тогда как исходное разложение Фурье не может, что позволяет анализировать системы с расходящимися или критическими элементами. Двумя конкретными примерами линейной обработки сигналов являются построение сетей всепропускающих фильтров из критических гребенчатых и смягчающих фильтров посредством точного подавления полюса-ноля на единичной окружности. Такие конструкции распространены при обработке звука, где требуется сильно нелинейная фазовая характеристика, например, в реверберации.

Более того, когда для обработки сигналов требуются расширенные импульсные характеристики, самый простой способ их создания — это иметь одну схему, которая создает расходящийся временной отклик, а затем компенсировать его расхождение посредством задержанного противоположного и компенсаторного отклика. Здесь только промежуточная схема задержки допускает классическое описание Фурье, что имеет решающее значение. Обе боковые схемы неустойчивы и не допускают сходящегося разложения Фурье. Однако они допускают описание области Лапласа с идентичными полуплоскостями сходимости в комплексной плоскости (или, в дискретном случае, в Z-плоскости), при этом их эффекты компенсируются.

В современной математике преобразование Лапласа традиционно относят к методам Фурье. Оба они подчинены гораздо более общей и более абстрактной идее гармонического анализа .

Инверсия

Тем не менее , если является комплексно-аналитическим при a ⩽ τ ⩽ b , то ${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma }$

по интегральной теореме Коши . Следовательно, в формуле обращения Фурье можно использовать интегрирование по разным линиям, параллельным действительной оси. ^[36]

Теорема: Если f ( t ) = 0 для t < 0 и | ж ( т ) | < Се ^{а | т |} для некоторых констант C , a > 0 , то

${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma ,}$

для любого τ < −а/2π.

Из этой теоремы следует формула обращения Меллина для преобразования Лапласа ^[35]

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds}$

для любого b > a , где F ( s ) — преобразование Лапласа функции f ( t ) .

Гипотезы могут быть ослаблены, как и в результатах Карлесона и Ханта, до f ( t ) e ^{− при} значении L ¹ , при условии, что f имеет ограниченную вариацию в замкнутой окрестности точки t (см. теорему Дирихле–Дини), значение f при t принимается как среднее арифметическое левого и правого пределов, при условии, что интегралы берутся в смысле главных значений Коши. ^[37]

Также доступны версии L ² этих формул обращения. ^[38]

Преобразование Фурье в евклидовом пространстве.

Преобразование Фурье может быть определено в любом произвольном количестве измерений n . Как и в одномерном случае, здесь существует множество соглашений. Для интегрируемой функции f ( x ) в этой статье используется определение:

${\displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }$

где x и ξ — n -мерные векторы , а x · ξ — скалярное произведение векторов. Альтернативно, ξ можно рассматривать как принадлежащее двойственному векторному пространству , и в этом случае скалярное произведение становится сокращением x и ξ , обычно записываемым как ⟨ x , ξ ⟩ . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\star }}$

Все перечисленные выше основные свойства справедливы для n -мерного преобразования Фурье, как и теорема Планшереля и Парсеваля. Когда функция интегрируема, преобразование Фурье по-прежнему равномерно непрерывно и лемма Римана – Лебега выполняется. ^[15]

Принцип неопределенности

Вообще говоря, чем более концентрировано f ( x ) , тем более разбросанным должно быть его преобразование Фурье f̂ ( ξ ) . В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно рассматривать следующим образом: если мы сжимаем функцию в x , ее преобразование Фурье растягивается в ξ . Невозможно произвольно сосредоточить одновременно функцию и ее преобразование Фурье.

Компромисс между сжатием функции и ее преобразованием Фурье можно формализовать в форме принципа неопределенности , рассматривая функцию и ее преобразование Фурье как сопряженные переменные относительно симплектической формы в частотно-временной области : С точки зрения линейного канонического преобразования преобразование Фурье представляет собой поворот на 90° в частотно-временной области и сохраняет симплектическую форму .

Предположим, f ( x ) — интегрируемая и интегрируемая с квадратом функция. Без ограничения общности предположим, что f ( x ) нормализовано:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.}$

Из теоремы Планшереля следует , что f̂ ( ξ ) также нормирована.

Разброс вокруг x = 0 можно измерить с помощью дисперсии около нуля ^[39] , определяемой формулой

${\displaystyle D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$

С точки зрения вероятности, это второй момент | ж ( Икс ) | ² около нуля.

Принцип неопределенности гласит, что если f ( x ) абсолютно непрерывна и функции x · f ( x ) и f ′ ( x ) интегрируемы с квадратом, то ^[12]

${\displaystyle D_{0}(f)D_{0}({\hat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$.

Равенство достигается только в случае

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}}$

где σ > 0 произвольно и C ₁ =⁴ √ 2/√ σтак что f L 2 ^{-нормализована} . ^[12] Другими словами, где f — (нормализованная) функция Гаусса с дисперсией σ ^2/2 π , с центром в нуле, а ее преобразование Фурье — функция Гаусса с дисперсией σ ⁻² / 2 π .

Фактически, это неравенство означает, что:

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$

для любого Икс ₀ , ξ ₀ ∈ R . ^[40]

В квантовой механике волновые функции импульса и положения представляют собой пары преобразований Фурье с точностью до коэффициента постоянной Планка . При правильном учете этой константы приведенное выше неравенство становится формулировкой принципа неопределенности Гейзенберга . ^[41]

Более сильным принципом неопределенности является принцип неопределенности Хиршмана , который выражается как:

${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$

где H ( p ) — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности p ( x ) :

${\displaystyle H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$

где логарифмы могут находиться в любом последовательном основании. Равенство достигается для гауссиана, как и в предыдущем случае.

Синусные и косинусные преобразования

В исходной формулировке преобразования Фурье использовались не комплексные числа, а скорее синусы и косинусы. Статистики и другие специалисты до сих пор используют эту форму. Абсолютно интегрируемая функция f , для которой выполняется обращение Фурье, может быть расширена в терминах истинных частот (избегая отрицательных частот, которые иногда считаются трудно интерпретируемыми физически ^[42] ) λ по формуле

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .}$

Это называется разложением в тригонометрический интеграл или разложением в интеграл Фурье. Коэффициентные функции a и b можно найти с помощью вариантов косинусного преобразования Фурье и синусного преобразования Фурье (нормализации опять же не стандартизированы):

${\displaystyle a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt}$

и

${\displaystyle b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.}$

В более старой литературе упоминаются две функции преобразования: косинусное преобразование Фурье a и синусное преобразование Фурье b .

Функцию f можно восстановить из синусоидального и косинусного преобразования, используя

${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .}$

вместе с тригонометрическими тождествами. Это называется интегральной формулой Фурье. ^{[35] [43] [44] [45]}

Сферические гармоники

Обозначим через ^Ak множество однородных гармонических полиномов степени k на Rn . _{_} Множество Ak состоит из _{твердых} сферических гармоник степени k . Твердые сферические гармоники играют ту же роль в более высоких измерениях, что и полиномы Эрмита в первом измерении. В частности, если f ( x ) = e ^{−π| х | 2} P ( x ) для некоторого P ( x ) в A _k , то f̂ ( ξ ) знак равно я ^{- k} f ( ξ ) . Пусть множество H _k является замыканием в L ² ( R ⁿ ) линейных комбинаций функций вида f (| x |) P ( x ) , где P ( x ) находится в A _k . Пространство L2 ( Rn ) тогда является прямой суммой пространств Hk ^, и преобразование Фурье отображает каждое пространство _Hk в _себя ^{и позволяет охарактеризовать} действие преобразования Фурье на каждое _{пространство} Hk . ^[15]

Пусть f ( x ) = f ₀ (| x |) P ( x ) (с P ( x ) в A _k ), тогда

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )}$

где

${\displaystyle F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.}$

Здесь J _{( n + 2 k − 2)/2} обозначает функцию Бесселя первого рода с порядкомп + 2 к - 2/2. Когда k = 0 , это дает полезную формулу преобразования Фурье радиальной функции. ^[46] По сути, это преобразование Ханкеля . Более того, существует простая рекурсия, связывающая случаи n + 2 и n ^[47] , позволяющая вычислить, например, трехмерное преобразование Фурье радиальной функции по одномерной.

Проблемы с ограничениями

В более высоких измерениях становится интересным изучить проблемы ограничения преобразования Фурье. Преобразование Фурье интегрируемой функции непрерывно и определено ограничение этой функции на любое множество. Но для функции, интегрируемой с квадратом, преобразование Фурье может быть общим классом функций, интегрируемых с квадратом. По существу, ограничение преобразования Фурье функции L ² ( R ⁿ ) не может быть определено на множествах меры 0. Понимание проблем ограничения в L ^p для 1 < p < 2 по-прежнему является активной областью исследований . В некоторых случаях можно определить ограничение преобразования Фурье на набор S при условии, что S имеет ненулевую кривизну. Особый интерес представляет случай, когда S ^— единичная сфера в Rn . В этом случае ограничительная теорема Томаса– Стейна утверждает, что ограничение преобразования Фурье на единичную сферу в R ⁿ является ограниченным оператором на L ^p при условии, что 1 ⩽ p ⩽2 н + 2/п + 3.

Одно заметное различие между преобразованием Фурье в одномерном измерении и в более высоких измерениях касается оператора частичной суммы. Рассмотрим возрастающий набор измеримых множеств E _R с индексом R ∈ (0,∞) : таких как шары радиуса R с центром в начале координат или кубы со стороной 2 R . Для данной интегрируемой функции f рассмотрим функцию f _R , определяемую формулой:

${\displaystyle f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Предположим, кроме того, что f ∈ L ^p ( R ⁿ ) . Для n = 1 и 1 < p < ∞ , если взять E _R = (− R , R ) , то f _R сходится к f в L ^p , когда R стремится к бесконечности, в силу ограниченности преобразования Гильберта . Наивно можно надеяться, что то же самое справедливо и для n > 1 . Если в качестве E _R взять куб с длиной стороны R , то сходимость сохраняется. Другим естественным кандидатом является евклидов шар E _R = { ξ  : | ξ | < Р } . Чтобы этот оператор частичной суммы сходился, необходимо, чтобы множитель единичного шара был ограничен в L ^p ( R ⁿ ) . Для n ≥ 2 знаменитая теорема Чарльза Феффермана гласит , что множитель единичного шара никогда не ограничен, если только p = 2 . ^[22] Фактически, когда p ≠ 2 , это показывает, что не только f _R может не сходиться к f в L ^p , но и для некоторых функций f ∈ L ^p ( R ⁿ ) f _R даже не является элементом L p . ^п .

Преобразование Фурье в функциональных пространствах

В пространствах Lp _

На Л ¹

Определение преобразования Фурье по интегральной формуле

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$

справедливо для интегрируемых по Лебегу функций f ; то есть ж € L ¹ ( р ^п ) .

Преобразование Фурье F  : L1 ( Rn ) → L∞ ( Rn ) является ^{ограниченным оператором . _} Это следует из наблюдения, что

${\displaystyle \left\vert {\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,}$

что показывает, что его операторная норма ограничена единицей. Действительно, она равна 1, что видно, например, из преобразования прямоугольной функции. Образ L ¹ — это подмножество пространства C ₀ ( R ⁿ ) непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности (лемма Римана–Лебега ), хотя и не все пространство. Действительно, простой характеристики образа не существует.

На Л ²

Поскольку гладкие функции с компактным носителем интегрируемы и плотны в L2 ( Rn ⁾ , теорема Планшереля позволяет нам распространить определение преобразования Фурье на общие функции из ^L2 ( ^Rn ) ^с помощью аргументов непрерывности . Преобразование Фурье в L ² ( R ⁿ ) больше не задается обычным интегралом Лебега, хотя его можно вычислить с помощью несобственного интеграла , что означает, что для функции L ² f

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$

где предел берется в смысле L ² . (В более общем смысле, вы можете взять последовательность функций, которые находятся на пересечении L ¹ и L ² и которая сходится к f в L ² -норме, и определить преобразование Фурье f как L ² -предел Фурье преобразования этих функций. ^[48] )

Многие свойства преобразования Фурье в L ¹ переносятся на L ² с помощью подходящего ограничивающего аргумента.

Более того, F  : L ² ( R ⁿ ) → L ² ( R ⁿ ) — унитарный оператор . ^[49] Чтобы оператор был унитарным, достаточно показать, что он биективен и сохраняет скалярное произведение, поэтому в этом случае это следует из теоремы обращения Фурье в сочетании с тем фактом, что для любого f , g ∈ L ² ( R ^п ) у нас есть

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.}$

В частности, образ L ² ( R ⁿ ) сам подвергается преобразованию Фурье.

На других L ^п

Определение преобразования Фурье можно расширить до функций из L ^p ( R ⁿ ) для 1 ≤ p ≤ 2 путем разложения таких функций на часть жирового хвоста в L ² плюс часть жирового тела в L ¹ . В каждом из этих пространств преобразование Фурье функции из L ^p ( R ⁿ ) находится в L ^q ( R ⁿ ) , где q =п/п - 1является сопряженным по Гельдеру p (по неравенству Хаусдорфа–Юнга ). Однако, за исключением p = 2 , изображение нелегко охарактеризовать. Дальнейшие расширения становятся более техническими. Преобразование Фурье функций из L ^p для диапазона 2 < p < ∞ требует изучения распределений. ^[14] Фактически, можно показать, что в L ^p существуют функции с p > 2 , так что преобразование Фурье не определяется как функция. ^[15]

Умеренные дистрибутивы

Можно рассмотреть возможность расширения области преобразования Фурье от L ¹ + L ² путем рассмотрения обобщенных функций или распределений. Распределение на Rn ^— это непрерывный линейный функционал на пространстве Cc ( Rn ) гладких функций ^с _{компактным носителем, снабженный} подходящей топологией. Тогда стратегия состоит в том, чтобы рассмотреть действие преобразования Фурье на C _c ( R ⁿ ) и перейти к распределениям по двойственности. Препятствием для этого является то, что преобразование Фурье _не отображает Cc ( Rn ⁾ в Cc ₍ Rn ) ^. Фактически преобразование Фурье элемента из Cc ( Rn ⁾ не может обратиться в нуль на открытом множестве _; см. приведенное выше обсуждение принципа неопределенности. Правое пространство здесь — немного большее пространство функций Шварца . Преобразование Фурье является автоморфизмом в пространстве Шварца как топологическом векторном пространстве и, таким образом, индуцирует автоморфизм в его двойственном пространстве, пространстве умеренных распределений. ^[15] Умеренные распределения включают в себя все интегрируемые функции, упомянутые выше, а также хорошо себя зарекомендовавшие функции полиномиального роста и распределения с компактным носителем.

Для определения преобразования Фурье умеренного распределения пусть f и g — интегрируемые функции, а f̂ и ĝ — их преобразования Фурье соответственно. Тогда преобразование Фурье подчиняется следующей формуле умножения: ^[15]

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\hat {g}}(x)\,dx.}$

Каждая интегрируемая функция f определяет (индуцирует) распределение T _f соотношением

${\displaystyle T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$

для всех функций Шварца φ . Поэтому имеет смысл определить преобразование Фурье T̂ _f для T _f следующим образом:

${\displaystyle {\hat {T}}_{f}(\varphi )=T_{f}\left({\hat {\varphi }}\right)}$

для всех функций Шварца φ . Распространение этого на все умеренные распределения T дает общее определение преобразования Фурье.

Распределения можно дифференцировать, и вышеупомянутая совместимость преобразования Фурье с дифференцированием и сверткой остается верной для умеренных распределений.

Обобщения

Преобразование Фурье – Стилтьеса

Преобразование Фурье конечной борелевской меры µ на ​​R ⁿ определяется следующим образом: ^[50]

${\displaystyle {\hat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu .}$

Это преобразование продолжает обладать многими свойствами преобразования Фурье интегрируемых функций. Одно заметное отличие состоит в том, что лемма Римана–Лебега не работает для мер. ^[14] В случае, когда dμ = f ( x ) dx , приведенная выше формула сводится к обычному определению преобразования Фурье f . В случае, когда µ является распределением вероятностей, связанным со случайной величиной X , преобразование Фурье-Стилтьеса тесно связано с характеристической функцией , но типичные соглашения в теории вероятностей принимают e ^iξx вместо e ^{− i 2π ξx} . ^[12] В случае, когда распределение имеет функцию плотности вероятности, это определение сводится к преобразованию Фурье, применяемому к функции плотности вероятности, опять же с другим выбором констант.

Преобразование Фурье можно использовать для характеристики мер. Теорема Бохнера характеризует, какие функции могут возникнуть как преобразование Фурье – Стилтьеса положительной меры на окружности. ^[14]

Более того, дельта-функция Дирака хоть и не является функцией, но является конечной борелевской мерой. Его преобразование Фурье является постоянной функцией (конкретное значение которой зависит от формы используемого преобразования Фурье).

Локально компактные абелевы группы

Преобразование Фурье можно обобщить на любую локально компактную абелеву группу. Локально компактная абелева группа — это абелева группа , которая в то же время является локально компактным топологическим пространством Хаусдорфа , так что групповая операция непрерывна. Если G — локально компактная абелева группа, она имеет трансляционно-инвариантную меру µ , называемую мерой Хаара . Для локально компактной абелевой группы G множество неприводимых, т. е. одномерных, унитарных представлений называются ее характерами . Со своей естественной групповой структурой и топологией равномерной сходимости на компактах (т. е. топологией, индуцированной компактно -открытой топологией в пространстве всех непрерывных функций от до группы окружностей ), множество характеров Ĝ само является локально компактная абелева группа, называемая двойственной к G Понтрягину . Для функции f из L ¹ ( G ) ее преобразование Фурье определяется формулой ^[14] ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\hat {G}}.}$

В этом случае справедлива лемма Римана–Лебега; f̂ ( ξ ) — функция, исчезающая на бесконечности на Ĝ .

Преобразование Фурье для T = R/Z является примером; здесь T — локально компактная абелева группа, а меру Хаара µ на ​​T можно рассматривать как меру Лебега на [0,1). Рассмотрим представление T на комплексной плоскости C , которое представляет собой одномерное комплексное векторное пространство. Существует группа представлений (которые неприводимы, поскольку C 1-мерна), где для . ${\displaystyle \{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle x\in T}$

Характер такого представления, то есть след для каждого и , есть он сам. В случае представления конечной группы таблица характеров группы G представляет собой строки векторов, каждая из которых представляет собой характер одного неприводимого представления группы G , и эти векторы образуют ортонормированный базис пространства функций класса, которые отображаются из От G до C по лемме Шура. Теперь группа T уже не конечна, но все еще компактна и сохраняет ортонормированность таблицы характеров. Каждая строка таблицы является функцией, а внутренний продукт между двумя функциями класса (все функции являются функциями класса, поскольку T абелева) определяется как с нормализующим коэффициентом . Последовательность является ортонормированным базисом пространства функций классов . ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T}$ ${\displaystyle k\in Z}$ ${\displaystyle e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T,}$ ${\displaystyle f,g\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$ ${\displaystyle |T|=1}$ ${\displaystyle \{e_{k}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle L^{2}(T,d\mu )}$

Для любого представления V конечной группы G может быть выражено как промежуток ( являются ирреплениями G ), такой что . Аналогично для и , . Двойственный Понтриагину является и для , является его преобразованием Фурье для . ${\displaystyle \chi _{v}}$ ${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)}$ ${\displaystyle G=T}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\hat {f}}(k)e_{k}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}}$ ${\displaystyle \{e_{k}\}(k\in Z)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$ ${\displaystyle e_{k}\in {\hat {T}}}$

Преобразование Гельфанда

Преобразование Фурье также является частным случаем преобразования Гельфанда . В этом конкретном контексте оно тесно связано с картой двойственности Понтрягина, определенной выше.

Дана абелева локально компактная хаусдорфова топологическая группа G , как и раньше, мы рассматриваем пространство L1 ( G ) , определенное с помощью ^меры Хаара. Со сверткой как умножением L ¹ ( G ) является абелевой банаховой алгеброй . Он также имеет инволюцию *, заданную формулой

${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.}$

Дополнение по возможно наибольшей C * -норме дает ее обертывающую C * -алгебру, называемую групповой C * -алгеброй C * ( G ) группы G. (Любая C * -норма на L1 ( G ) ограничена нормой ^L1 , поэтому их верхняя грань существует. ⁾

Для любой абелевой С * -алгебры А преобразование Гельфанда дает изоморфизм между А и С0 ( _А ^) , где А ^ — мультипликативные линейные функционалы, т.е. одномерные представления на А со слабой топологией. Карта просто дана

${\displaystyle a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}}$

Оказывается, что мультипликативные линейные функционалы C *( G ) после подходящей идентификации являются в точности характерами G , а преобразование Гельфанда, ограниченное плотным подмножеством L ¹ ( G ), является преобразованием Фурье–Понтрягина.

Компактные неабелевы группы

Преобразование Фурье также можно определить для функций неабелевой группы при условии, что группа компактна . Если исключить предположение о том, что основная группа абелева, неприводимые унитарные представления не всегда должны быть одномерными. Это означает, что преобразование Фурье в неабелевой группе принимает значения как операторы гильбертова пространства. ^[51] Преобразование Фурье на компактных группах является основным инструментом в теории представлений ^[52] и некоммутативном гармоническом анализе .

Пусть G — компактная топологическая группа Хаусдорфа . Обозначим через Σ совокупность всех классов изоморфизма конечномерных неприводимых унитарных представлений вместе с определенным выбором представления _U ( ^{σ ) в} гильбертовом пространстве Hσ конечной размерности dσ для каждого σ ∈ _Σ . Если µ — конечная борелевская мера на G , то преобразование Фурье–Стилтьеса µ — это оператор на H _σ , определяемый формулой

${\displaystyle \left\langle {\hat {\mu }}\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle {\overline {U}}_{g}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g)}$

где U ^{( σ )} — комплексно-сопряженное представление U ^{( σ )} , действующее на H _σ . Если µ абсолютно непрерывна относительно левоинвариантной вероятностной меры λ на G , представленной в виде

${\displaystyle d\mu =f\,d\lambda }$

для некоторого f ∈ L ¹ ( λ ) можно отождествить преобразование Фурье f с преобразованием Фурье – Стилтьеса µ .

Отображение

${\displaystyle \mu \mapsto {\hat {\mu }}}$

определяет изоморфизм между банаховым пространством M ( G ) конечных борелевских мер (см. пространство rca ) и замкнутым подпространством банахова пространства C _∞ (Σ) , состоящим из всех последовательностей E = ( E _σ ), индексированных Σ из (ограниченных) линейные операторы E _σ  : H _σ → H _σ, для которых норма

${\displaystyle \|E\|=\sup _{\sigma \in \Sigma }\left\|E_{\sigma }\right\|}$

конечно. « Теорема о свертке » утверждает, что, кроме того, этот изоморфизм банаховых пространств на самом деле является изометрическим изоморфизмом C*-алгебр в подпространство C∞ ₍ Σ) . Умножение на M ( G ) задается сверткой мер и инволюцией *, определенной формулой

${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}},}$

и C _∞ (Σ) имеет естественную структуру C * -алгебры как операторы гильбертова пространства.

Верна теорема Петера -Вейля , и отсюда следует версия формулы обращения Фурье ( теорема Планшереля ): если f ∈ L2 ( G ) , ^то

${\displaystyle f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\hat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right)}$

где суммирование понимается как сходящееся в смысле L ² .

Обобщение преобразования Фурье на некоммутативную ситуацию также частично способствовало развитию некоммутативной геометрии . ^{[ нужна цитата ]} В этом контексте категориальным обобщением преобразования Фурье на некоммутативные группы является двойственность Таннаки-Крейна , которая заменяет группу характеров категорией представлений. Однако при этом теряется связь с гармоническими функциями.

Альтернативы

С точки зрения обработки сигналов , функция (времени) — это представление сигнала с идеальным временным разрешением , но без информации о частоте, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное разрешение по частоте , но без информации о времени: величина преобразования Фурье в точке это то, сколько частотного содержания имеется, но местоположение задается только фазой (аргумент преобразования Фурье в точке), а стоячие волны не локализованы во времени - синусоидальная волна продолжается до бесконечности, не затухая. Это ограничивает полезность преобразования Фурье для анализа сигналов, локализованных во времени, особенно переходных процессов или любого сигнала конечной протяженности.

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования или частотно-временные распределения для представления сигналов в форме, которая содержит некоторую информацию о времени и некоторую информацию о частоте – в соответствии с принципом неопределенности существует компромисс. между ними. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье или дробное преобразование Фурье , или другие функции для представления сигналов, например, вейвлет-преобразования и лирплетные преобразования , причем вейвлет-аналог (непрерывного) преобразования Фурье является непрерывное вейвлет-преобразование . ^[23]

Приложения

Некоторые проблемы, например некоторые дифференциальные уравнения, становится легче решать, если применить преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.

Линейные операции, выполняемые в одной области (времени или частоте), имеют соответствующие операции в другой области, которые иногда легче выполнить. Операция дифференцирования во временной области соответствует умножению на частоту ^{[примечание 7]} , поэтому некоторые дифференциальные уравнения легче анализировать в частотной области. Кроме того, свертка во временной области соответствует обычному умножению в частотной области (см. Теорему о свертке ). После выполнения желаемых операций преобразование результата может быть произведено обратно во временную область. Гармонический анализ — это систематическое исследование взаимосвязи между частотной и временной областями, включая виды функций или операций, которые «проще» в той или иной области, и имеет глубокие связи со многими областями современной математики.

Анализ дифференциальных уравнений

Возможно, наиболее важным применением преобразования Фурье является решение уравнений в частных производных . Многие уравнения математической физики девятнадцатого века можно трактовать именно таким образом. Фурье изучил уравнение теплопроводности, которое в одном измерении и в безразмерных единицах имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.}$

Пример, который мы приведем, немного более сложный, — это волновое уравнение в одном измерении:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.}$

Как обычно, проблема не в том, чтобы найти решение: их бесконечно много. Проблема заключается в так называемой «граничной задаче»: найти решение, удовлетворяющее «граничным условиям».

${\displaystyle y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).}$

Здесь f и g — заданные функции. Для уравнения теплопроводности может потребоваться только одно граничное условие (обычно первое). Но для волнового уравнения по-прежнему существует бесконечно много решений y , удовлетворяющих первому граничному условию. Но когда накладываются оба условия, существует только одно возможное решение.

Легче найти преобразование Фурье ŷ решения, чем искать решение напрямую. Это связано с тем, что преобразование Фурье переводит дифференцирование в умножение на двойственную Фурье переменную, и поэтому уравнение в частных производных, примененное к исходной функции, преобразуется в умножение на полиномиальные функции двойственных переменных, примененных к преобразованной функции. После того, как ŷ определено, мы можем применить обратное преобразование Фурье, чтобы найти y .

Метод Фурье заключается в следующем. Прежде всего заметим, что любая функция форм

${\displaystyle \cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\mbox{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}}$

удовлетворяет волновому уравнению. Их называют элементарными решениями.

Во-вторых, заметим, что поэтому любой интеграл

$${\displaystyle {\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}}$$

удовлетворяет волновому уравнению для произвольных a ₊ , a ₋ , b ₊ , b ₋ . Этот интеграл можно интерпретировать как непрерывную линейную комбинацию решений линейного уравнения.

Теперь это напоминает формулу синтеза Фурье функции. По сути, это действительное обратное преобразование Фурье a _± и b _± по переменной x .

Третий шаг — выяснить, как найти конкретные неизвестные коэффициентные функции a _± и b _± , которые приведут к тому, что y будет удовлетворять граничным условиям. Нас интересуют значения этих решений при t = 0 . Итак, мы установим t = 0 . Предполагая, что условия, необходимые для обращения Фурье, выполнены, мы можем затем найти синусные и косинусные преобразования Фурье (по переменной x ) обеих сторон и получить

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}}$

и

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.}$

Аналогично, взяв производную y по t и затем применив синусоидальные и косинусоидальные преобразования Фурье, получим

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)}$

и

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).}$

Это четыре линейных уравнения для четырех неизвестных a _± и b _± в терминах синус- и косинус-преобразований Фурье граничных условий, которые легко решаются с помощью элементарной алгебры, при условии, что эти преобразования могут быть найдены.

Таким образом, мы выбрали набор элементарных решений, параметризованных ξ , из которых общим решением была бы (непрерывная) линейная комбинация в виде интеграла по параметру ξ . Но этот интеграл имел форму интеграла Фурье. Следующим шагом было выразить граничные условия через эти интегралы и приравнять их к заданным функциям f и g . Но эти выражения также приняли форму интеграла Фурье из-за свойств преобразования Фурье производной. Последним шагом было использование инверсии Фурье путем применения преобразования Фурье к обеим сторонам, что позволило получить выражения для коэффициентных функций a _± и b _± через заданные граничные условия f и g .

С более высокой точки зрения процедуру Фурье можно переформулировать более концептуально. Поскольку существует две переменные, мы будем использовать преобразование Фурье как для x , так и для t , а не действовать, как это делал Фурье, который преобразовывал только пространственные переменные. Обратите внимание, что ŷ следует рассматривать в смысле распределения, поскольку y ( x , t ) не будет L ¹ : как волна, она будет сохраняться во времени и, следовательно, не является временным явлением. Но оно будет ограниченным, поэтому его преобразование Фурье можно определить как распределение. Операционные свойства преобразования Фурье, имеющие отношение к этому уравнению, заключаются в том, что оно преобразует дифференцирование по x в умножение на i 2π ξ , а дифференцирование по t — в умножение на i 2π f , где f — частота. Тогда волновое уравнение становится алгебраическим уравнением относительно ŷ :

${\displaystyle \xi ^{2}{\hat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\hat {y}}(\xi ,f).}$

Это эквивалентно требованию ŷ ( ξ , f ) = 0 , если только ξ = ± f . Это сразу же объясняет, почему выбор элементарных решений, который мы сделали ранее, сработал так хорошо: очевидно, f̂ = δ ( ξ ± f ) будут решениями. Применяя обращение Фурье к этим дельта-функциям, мы получаем элементарные решения, которые мы выбрали ранее. Но с более высокой точки зрения не выбирают элементарных решений, а рассматривают пространство всех распределений, которые опираются на (вырожденную) конику ξ ² − f ² = 0 .

Мы также можем рассматривать распределения, поддерживаемые на конике, которые задаются распределениями одной переменной на линии ξ = f плюс распределениями на линии ξ = - f следующим образом: если Φ — какая-либо пробная функция,

${\displaystyle \iint {\hat {y}}\phi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\phi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\phi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,}$

где s ₊ и s− _— распределения одной переменной.

Тогда инверсия Фурье дает для граничных условий нечто очень похожее на то, что мы имели более конкретно выше (положим Φ ( ξ , f ) = e ^{i 2π( xξ + tf )} , что явно имеет полиномиальный рост):

${\displaystyle y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi }$

и

${\displaystyle {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .}$

Теперь, как и раньше, применение преобразования Фурье с одной переменной по переменной x к этим функциям от x дает два уравнения в двух неизвестных распределениях s _± (которые можно считать обычными функциями, если граничные условия L ¹ или L ² ).

С вычислительной точки зрения недостатком, конечно, является то, что нужно сначала вычислить преобразования Фурье граничных условий, затем собрать из них решение, а затем вычислить обратное преобразование Фурье. Формулы в закрытой форме встречаются редко, за исключением случаев, когда существует некоторая геометрическая симметрия, которую можно использовать, а численные расчеты затруднены из-за колебательного характера интегралов, что делает сходимость медленной и трудно поддающейся оценке. Для практических расчетов часто используют другие методы.

В двадцатом веке эти методы были распространены на все линейные уравнения в частных производных с полиномиальными коэффициентами, а за счет расширения понятия преобразования Фурье, включив в него интегральные операторы Фурье, а также некоторые нелинейные уравнения.

Фурье-спектроскопия

Преобразование Фурье также используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и других видах спектроскопии , например, инфракрасной ( FTIR ). В ЯМР сигнал затухания свободной индукции (FID) экспоненциальной формы регистрируется во временной области и преобразуется Фурье в лоренцеву форму линии в частотной области. Преобразование Фурье также используется в магнитно-резонансной томографии (МРТ) и масс-спектрометрии .

Квантовая механика

Преобразование Фурье полезно в квантовой механике по крайней мере двумя разными способами. Начнем с того, что основная концептуальная структура квантовой механики постулирует существование пар дополнительных переменных , связанных принципом неопределенности Гейзенберга . Например, в одном измерении пространственная переменная q , скажем, частицы, может быть измерена только с помощью квантовомеханического « оператора положения » ценой потери информации об импульсе p частицы. Следовательно, физическое состояние частицы может быть описано либо функцией q , называемой «волновой функцией», либо функцией p , но не функцией обеих переменных. Переменная p называется переменной, сопряженной с q . В классической механике физическое состояние частицы (существующей в одном измерении, для простоты изложения) будет задано путем одновременного присвоения определенных значений как p , так и q . Таким образом, совокупность всех возможных физических состояний представляет собой двумерное вещественное векторное пространство с осями p и осями q , называемое фазовым пространством .

Напротив, квантовая механика выбирает поляризацию этого пространства в том смысле, что она выбирает подпространство размером в половину измерения, например, только ось q , но вместо того, чтобы рассматривать только точки, берет набор всех комплексных значений. «волновые функции» на этой оси. Тем не менее, выбор оси p является столь же допустимой поляризацией, приводящей к другому представлению набора возможных физических состояний частицы. Оба представления волновой функции связаны преобразованием Фурье, так что

${\displaystyle \phi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \psi (q)=\int dp\,\phi (p)e^{ipq/h}.}$

Физически реализуемые состояния — это L ² , и поэтому по теореме Планшереля их преобразования Фурье также являются L ² . (Обратите внимание, что, поскольку q выражено в единицах расстояния, а p — в единицах импульса, присутствие постоянной Планка в показателе степени делает показатель степени безразмерным , как и должно быть.)

Следовательно, преобразование Фурье можно использовать для перехода от одного способа представления состояния частицы с помощью волновой функции положения к другому способу представления состояния частицы: с помощью волновой функции импульса. Возможно бесконечно много различных поляризаций, и все они одинаково действительны. Возможность преобразовывать состояния из одного представления в другое с помощью преобразования Фурье не только удобна, но и является основной причиной принципа неопределенности Гейзенберга.

Другое применение преобразования Фурье как в квантовой механике, так и в квантовой теории поля — решение применимого волнового уравнения. В нерелятивистской квантовой механике уравнение Шрёдингера для изменяющейся во времени волновой функции в одном измерении, не подверженной воздействию внешних сил, имеет вид

${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$

Это то же самое, что и уравнение теплопроводности, за исключением присутствия мнимой единицы i . Для решения этого уравнения можно использовать методы Фурье.

При наличии потенциала, заданного функцией потенциальной энергии V ( x ) , уравнение принимает вид

${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$

«Элементарные решения», как мы называли их выше, представляют собой так называемые «стационарные состояния» частицы, и алгоритм Фурье, описанный выше, все еще можно использовать для решения краевой задачи будущей эволюции ψ учитывая его значения для t = 0 . Ни один из этих подходов не имеет большого практического применения в квантовой механике. Краевые задачи и эволюция волновой функции во времени не представляют большого практического интереса: наиболее важны стационарные состояния.

В релятивистской квантовой механике уравнение Шредингера становится волновым уравнением, как это было обычно в классической физике, за исключением того, что рассматриваются комплексные волны. Простым примером при отсутствии взаимодействия с другими частицами или полями является свободное одномерное уравнение Клейна – Гордона – Шредингера – Фока, на этот раз в безразмерных единицах:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).}$

С математической точки зрения это то же самое, что и решенное выше волновое уравнение классической физики (но с комплексной волной, что не имеет никакого значения в методах). Это очень полезно в квантовой теории поля: каждый отдельный компонент Фурье волны можно рассматривать как отдельный гармонический осциллятор, а затем квантовать - процедура, известная как «второе квантование». Методы Фурье были адаптированы и для решения нетривиальных взаимодействий.

Наконец, числовой оператор квантового гармонического осциллятора можно интерпретировать, например, через ядро ​​Мелера , как генератор преобразования Фурье . ^[26] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Обработка сигнала

Преобразование Фурье используется для спектрального анализа временных рядов. Однако при статистической обработке сигналов преобразование Фурье обычно не применяется к самому сигналу. Даже если реальный сигнал действительно является нестационарным, на практике оказалось целесообразным моделировать сигнал функцией (или, альтернативно, случайным процессом), которая является стационарной в том смысле, что ее характерные свойства постоянны во все времена. Преобразование Фурье такой функции не существует в обычном смысле, и для анализа сигналов было сочтено более полезным вместо этого использовать преобразование Фурье ее автокорреляционной функции.

Автокорреляционная функция R функции f определяется формулой

${\displaystyle R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+\tau )\,dt.}$

Эта функция является функцией временной задержки τ , проходящей между значениями f , подлежащими корреляции.

Для большинства функций f , встречающихся на практике, R является ограниченной четной функцией запаздывания τ и для типичных зашумленных сигналов оказывается равномерно непрерывной с максимумом при τ = 0 .

Автокорреляционная функция, более правильно называемая автоковариационной функцией, если она не нормализована каким-либо подходящим образом, измеряет силу корреляции между значениями f , разделенными временной задержкой. Это способ поиска связи f с собственным прошлым. Это полезно даже для других статистических задач, помимо анализа сигналов. Например, если f ( t ) представляет температуру в момент времени t , можно ожидать сильной корреляции с температурой с задержкой в ​​24 часа.

Он обладает преобразованием Фурье,

${\displaystyle P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-i2\pi \xi \tau }\,d\tau .}$

Это преобразование Фурье называется функцией спектральной плотности мощности f . (Если сначала из f не отфильтровать все периодические компоненты , этот интеграл будет расходиться, но такие периодичности легко отфильтровать.)

Спектр мощности, как указано этой функцией плотности P , измеряет величину дисперсии, вносимой в данные частотой ξ . В электрических сигналах дисперсия пропорциональна средней мощности (энергии в единицу времени), поэтому спектр мощности описывает, какой вклад различные частоты вносят в среднюю мощность сигнала. Этот процесс называется спектральным анализом временных рядов и аналогичен обычному дисперсионному анализу данных, не являющихся временными рядами ( ANOVA ).

Знание того, какие частоты «важны» в этом смысле, имеет решающее значение для правильной конструкции фильтров и правильной оценки измерительных приборов. Это также может быть полезно для научного анализа явлений, ответственных за получение данных.

Спектр мощности сигнала также можно приблизительно измерить непосредственно путем измерения средней мощности, которая остается в сигнале после того, как все частоты за пределами узкой полосы были отфильтрованы.

Спектральный анализ проводится и для визуальных сигналов. Спектр мощности игнорирует все фазовые соотношения, что достаточно хорошо для многих целей, но для видеосигналов также необходимо использовать другие типы спектрального анализа, по-прежнему используя преобразование Фурье в качестве инструмента.

Другие обозначения

Другие распространенные обозначения включают: ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(\xi ),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right)(\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f(t){\bigr )},\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.}$

В науке и технике также часто делаются такие замены:

${\displaystyle \xi \rightarrow f,\quad x\rightarrow t,\quad f\rightarrow x,\quad {\hat {f}}\rightarrow X.}$

Таким образом, пара преобразований может стать ${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle x(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ X(f)}$

Недостаток записи заглавными буквами заключается в том, что при выражении преобразований, таких как или которые становятся более неуклюжими и ${\displaystyle {\widehat {f\cdot g}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f'}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'\}.}$

В некоторых контекстах, таких как физика элементарных частиц, один и тот же символ может использоваться как для функции, так и для преобразования Фурье, причем эти два элемента различаются только своим аргументом . Ie будет относиться к преобразованию Фурье из-за аргумента импульса, а будет относиться к к исходной функции из-за позиционного аргумента. Хотя тильды могут использоваться, например, для обозначения преобразований Фурье, тильды также могут использоваться для обозначения модификации величины с более лоренц-инвариантной формой, например , поэтому необходимо соблюдать осторожность. Точно так же часто обозначает преобразование Гильберта . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(k_{1}+k_{2})}$ ${\displaystyle f(x_{0}+\pi {\vec {r}})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

Интерпретации комплексной функции f̂ ( ξ ) можно помочь, выразив ее в форме полярных координат.

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}}$

в терминах двух вещественных функций A ( ξ ) и φ ( ξ ) , где:

${\displaystyle A(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|,}$

это амплитуда и

${\displaystyle \varphi (\xi )=\arg \left({\hat {f}}(\xi )\right),}$

— фаза (см. функцию arg ).

Тогда обратное преобразование можно записать:

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\bigr )}}\,d\xi ,}$

который представляет собой рекомбинацию всех частотных компонентов f ( x ) . Каждый компонент представляет собой комплексную синусоиду формы e ^{2π ixξ} , амплитуда которой равна A ( ξ ) , а начальный фазовый угол (при x = 0 ) равен φ ( ξ ) .

Преобразование Фурье можно рассматривать как отображение функциональных пространств. Это отображение здесь обозначается F , а F ( f ) используется для обозначения преобразования Фурье функции f . Это отображение является линейным, что означает, что F также можно рассматривать как линейное преобразование в функциональном пространстве, и подразумевает, что стандартные обозначения в линейной алгебре применения линейного преобразования к вектору (здесь функция f ) могут использоваться для записи F ж вместо F ( ж ) . Поскольку результатом применения преобразования Фурье снова является функция, нас может интересовать значение этой функции, оцененное по значению ξ для ее переменной, и это обозначается либо как F f ( ξ ) , либо как ( F f )( ξ ) . Обратите внимание, что в первом случае неявно подразумевается, что F сначала применяется к f , а затем результирующая функция оценивается в ξ , а не наоборот.

В математике и различных прикладных науках часто необходимо различать функцию f и значение f , когда ее переменная равна x , обозначаемая f ( x ) . Это означает, что обозначение типа F ( f ( x )) формально можно интерпретировать как преобразование Фурье значений f в точке x . Несмотря на этот недостаток, предыдущее обозначение встречается часто, часто, когда необходимо преобразовать конкретную функцию или функцию определенной переменной. Например,

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )}$

иногда используется для выражения того, что преобразование Фурье прямоугольной функции является функцией sinc , или

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,e^{i2\pi x_{0}\xi }}$

используется для выражения свойства сдвига преобразования Фурье.

_{Обратите внимание: последний пример верен только в предположении ,} что преобразованная функция является функцией от x , а не от x0 .

Как обсуждалось выше, характеристическая функция случайной величины такая же, как преобразование Фурье – Стилтьеса ее меры распределения, но в этом контексте типично принять другое соглашение для констант. Обычно характеристическая функция определяется

${\displaystyle E\left(e^{it\cdot X}\right)=\int e^{it\cdot x}\,d\mu _{X}(x).}$

Как и в случае с соглашением о «неунитарной угловой частоте», приведенном выше, коэффициент 2 π не появляется ни в нормирующей константе, ни в показателе степени. В отличие от любого из соглашений, упомянутых выше, это соглашение принимает противоположный знак в показателе степени.

Методы расчета

Соответствующий метод вычисления во многом зависит от того, как представлена ​​исходная математическая функция, и от желаемой формы выходной функции.

Поскольку фундаментальным определением преобразования Фурье является интеграл, функции, которые могут быть выражены в виде выражений в замкнутой форме, обычно вычисляются путем аналитической обработки интеграла, чтобы в результате получить выражение в замкнутой форме в сопряженной переменной преобразования Фурье. Этот метод используется для создания таблиц преобразований Фурье, ^[53] включая таблицы, приведенные в таблице ниже (преобразование Фурье#Таблицы важных преобразований Фурье).

Многие системы компьютерной алгебры, такие как Matlab и Mathematica , способные к символьному интегрированию , способны аналитически вычислять преобразования Фурье. Например, чтобы вычислить преобразование Фурье cos(6π t ) e ^{−π t 2} , можно ввести команду integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infв Wolfram Alpha . ^{[примечание 8]}

Численное интегрирование функций замкнутой формы

Если входная функция имеет замкнутую форму, а желаемая выходная функция представляет собой серию упорядоченных пар (например, таблицу значений, из которой можно построить график) в указанной области, то преобразование Фурье можно сгенерировать путем численного интегрирования . при каждом значении сопряженной переменной Фурье (например, частоте), для которого требуется значение выходной переменной. ^[54] Обратите внимание, что этот метод требует вычисления отдельного численного интегрирования для каждого значения частоты, для которого требуется значение преобразования Фурье. ^{[55] [56]} Подход численного интегрирования работает с гораздо более широким классом функций, чем аналитический подход, поскольку он дает результаты для функций, которые не имеют замкнутой формы интегралов преобразования Фурье.

Численное интегрирование серии упорядоченных пар

Если входная функция представляет собой серию упорядоченных пар (например, временной ряд, полученный при многократном измерении выходной переменной в течение определенного интервала времени), то выходная функция также должна представлять собой серию упорядоченных пар (например, зависимость комплексного числа от частоты). в указанной области частот), если только не сделаны определенные предположения и аппроксимации, позволяющие аппроксимировать выходную функцию выражением в замкнутой форме. В общем случае, когда предполагается, что доступные входные серии упорядоченных пар представляют собой выборки, представляющие непрерывную функцию в течение интервала (например, зависимость амплитуды от времени), серия упорядоченных пар, представляющая желаемую выходную функцию, может быть получена путем численного интегрирования входные данные в доступном интервале для каждого значения сопряженной переменной Фурье (например, частоты), для которого требуется значение преобразования Фурье. ^[57]

Явное численное интегрирование по упорядоченным парам может дать выходное значение преобразования Фурье для любого желаемого значения переменной сопряженного преобразования Фурье (например, частоты), так что спектр может быть создан с любым желаемым размером шага и в любом желаемом диапазоне переменных для точное определение амплитуд, частот и фаз, соответствующих изолированным пикам. В отличие от ограничений методов ДПФ и БПФ, явное численное интегрирование может иметь любой желаемый размер шага и вычислять преобразование Фурье в любом желаемом диапазоне переменной сопряженного преобразования Фурье (например, частоты).

Дискретные преобразования Фурье и быстрые преобразования Фурье

Если упорядоченные пары, представляющие исходную входную функцию, расположены на одинаковом расстоянии друг от друга по входной переменной (например, с равными шагами по времени), то преобразование Фурье известно как дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое можно вычислить либо путем явного численного интегрирования, либо путем явного численного интегрирования. путем явной оценки определения ДПФ или с помощью методов быстрого преобразования Фурье (БПФ). В отличие от явного интегрирования входных данных, использование методов ДПФ и БПФ дает преобразования Фурье, описываемые упорядоченными парами с размером шага, равным обратному значению исходного интервала выборки. Например, если входные данные отбираются каждые 10 секунд, выходные данные методов ДПФ и БПФ будут иметь разнос частот 0,1 Гц.

Таблицы важных преобразований Фурье

В следующих таблицах записаны некоторые преобразования Фурье в закрытой форме. Для функций f ( x ) и g ( x ) обозначайте их преобразования Фурье через f̂ и ĝ . Включены только три наиболее распространенных соглашения. Может быть полезно заметить, что запись 105 дает связь между преобразованием Фурье функции и исходной функцией, которую можно рассматривать как связь преобразования Фурье и его обратного.

Функциональные отношения, одномерные

Преобразования Фурье в этой таблице можно найти у Эрдели (1954) или Каммлера (2000, приложение).

Функции, интегрируемые с квадратом, одномерные

Преобразования Фурье в этой таблице можно найти у Кэмпбелла и Фостера (1948), Эрдели (1954) или Каммлера (2000, приложение).

Распределения одномерные

Преобразования Фурье в этой таблице можно найти у Эрдели (1954) или Каммлера (2000, приложение).

Двумерные функции

Формулы для общих n -мерных функций

Смотрите также

• Аналоговая обработка сигналов
• Полоса Биверса – Липсона
• Преобразование с постоянной Q
• Дискретное преобразование Фурье
  • Матрица ДПФ
• Быстрое преобразование Фурье
• Интегральный оператор Фурье
• Теорема обращения Фурье
• Множитель Фурье
• ряд Фурье
• Синусоидальное преобразование Фурье
• Преобразование Фурье – Делиня
• Преобразование Фурье – Мукая
• Дробное преобразование Фурье
• Косвенное преобразование Фурье
• Интегральное преобразование
  • Преобразование Ханкеля
  • Преобразование Хартли
• Преобразование Лапласа
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Линейное каноническое преобразование
• Преобразование Меллина
• Многомерное преобразование
• NGC 4622 , особенно изображение NGC 4622 с преобразованием Фурье m = 2 .
• Нелокальный оператор
• Квантовое преобразование Фурье
• Квадратичное преобразование Фурье
• Кратковременное преобразование Фурье
• Спектральная плотность
  • Оценка спектральной плотности
• Символическая интеграция
• Дисперсионное преобразование Фурье с растяжением во времени
• Преобразование (математика)

Примечания

1. В зависимости от применения наиболее подходящим может быть интегральный , распределительный или другой подход Лебега.
2. Вретблад (2000) дает убедительное обоснование этих формальных процедур, не углубляясь слишком глубоко в функциональный анализ или теорию распределений .
3. В релятивистской квантовой механике встречаются векторные преобразования Фурье многокомпонентных волновых функций. В квантовой теории поля часто используются операторные преобразования Фурье операторных функций пространства-времени, см., например, Greiner & Reinhardt (1996).
4. В этой статье быстро убывающая функция — это функция действительных чисел, которая стремится к нулю вместе со всеми производными как : . См. функцию Шварца . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f^{(n)}(x)=0,n=0,1,2,\dots }$
5. Возможный источник путаницы - свойство сдвига частоты; т.е. преобразование функции равно .   Значение этой функции     означает , что частота сдвинута к нулю (см. также Отрицательная частота ). ${\displaystyle f(x)e^{-i2\pi \xi _{0}x}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi +\xi _{0}).}$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{0}),}$ ${\displaystyle \xi _{0}}$
6. Оператор определяется путем замены на в разложении Тейлора ${\displaystyle U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle U(x).}$
7. С точностью до мнимого постоянного коэффициента, величина которого зависит от того, какое преобразование Фурье используется.
8. Прямая команда fourier transform of cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2)также будет работать для Wolfram Alpha, хотя параметры соглашения (см. Преобразование Фурье § Другие соглашения) должны быть изменены по сравнению с параметром по умолчанию, который фактически эквивалентен integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(i*omega*t) /sqrt(2*pi) from -inf to inf.
9. В Гельфанде и Шилове 1964, с. 363, с учетом неунитарных соглашений этой таблицы, преобразование дано таким, из которого это следует, с . ${\displaystyle |\mathbf {x} |^{\lambda }}$
   ${\displaystyle 2^{\lambda +n}\pi ^{{\tfrac {1}{2}}n}{\frac {\Gamma \left({\frac {\lambda +n}{2}}\right)}{\Gamma \left(-{\frac {\lambda }{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-\lambda -n}}$
   ${\displaystyle \lambda =-\alpha }$

Цитаты

1. Харе, Кедар; Бутола, манси; Раджора, Сунаина (2023). «Глава 2.3 Преобразование Фурье как предельный случай ряда Фурье». Оптика Фурье и вычислительная визуализация (2-е изд.). Спрингер. стр. 13–14. дои : 10.1007/978-3-031-18353-9. ISBN 978-3-031-18353-9. S2CID  255676773.
2. Дим и Маккин, 1985 г.
3. Фурье 1822, с. 525.
4. Фурье 1878, с. 408.
5. (Иордания, 1883) на стр. 216–226 доказывает интегральную теорему Фурье перед изучением рядов Фурье.
6. Титчмарш 1986, с. 1.
7. Рахман 2011, с. 10.
8. Оппенгейм 1999, с. 58
9. Штейн и Вайс 1971
10. Фолланд 1989.
11. Фурье 1822.
12. Пински 2002.
13. Арфкен, Джордж (1985). Математические методы для физиков (3-е изд.). Академическая пресса. ISBN 9780120598205.
14. Кацнельсон 1976.
15. Штейн и Вайс 1971.
16. Рудин 1987, с. 187.
17. Рудин 1987, с. 186.
18. Фолланд 1992, с. 216.
19. Вольф 1979, с. 307ff
20. Фолланд 1989, с. 53.
21. Челегини, Энрико; Гаделла, Мануэль; дель Ольмо, Мариано А. (2021). «Функции Эрмита и ряды Фурье». Симметрия . 13 (5): 853. arXiv : 2007.10406 . Бибкод : 2021Symm...13..853C. дои : 10.3390/sym13050853 .
22. Duoandikoetxea 2001.
23. Боашаш 2003.
24. Кондон 1937.
25. Вольф 1979, с. 320
26. Вольф 1979, с. 312
27. Фолланд 1989, с. 52.
28. Хоу 1980.
29. Пейли и Винер 1934.
30. Гельфанд и Виленкин 1964.
31. Кириллов и Гвишиани 1982.
32. Клозель и Делорм 1985, стр. 331–333.
33. де Гроот и Мазур 1984, стр. 146.
34. Чампни 1987, с. 80.
35. Колмогоров и Фомин 1999.
36. Винер 1949.
37. Чампни 1987, с. 63.
38. Виддер и Винер 1938, с. 537.
39. Пинский 2002, с. 131.
40. Штейн и Шакарчи 2003.
41. Штейн и Шакарчи 2003, с. 158.
42. Чатфилд 2004, с. 113.
43. Фурье 1822, с. 441.
44. Пуанкаре 1895, с. 102.
45. Уиттакер и Уотсон 1927, с. 188.
46. Графакос 2004.
47. Графакос и Тешль 2013.
48. «Прикладной анализ Фурье и элементы современной обработки сигналов, лекция 3» (PDF) . 12 января 2016 года . Проверено 11 октября 2019 г.
49. Штейн и Вайс 1971, Thm. 2.3.
50. Пинский 2002, с. 256.
51. Хьюитт и Росс 1970, Глава 8.
52. Кнапп 2001.
53. Градштейн и др. 2015.
54. Пресс и др. 1992.
55. Бэйли и Шварцтраубер 1994.
56. Ладо 1971.
57. Симонен и Олкконен 1985.
58. «Свойство интегрирования преобразования Фурье». Преобразование Фурье.com . 2015 [2010]. Архивировано из оригинала 26 января 2022 г. Проверено 20 августа 2023 г.
59. Штейн и Вайс 1971, Thm. IV.3.3.
60. Истон, Роджер Л. младший (2010). Методы Фурье в визуализации. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-68983-7. Проверено 26 мая 2020 г.
61. Штейн и Вайс 1971, Thm. 4.15.
62. Штейн и Вайс 1971, с. 6.

Рекомендации

• Бейли, Дэвид Х.; Шварцтраубер, Пол Н. (1994), «Быстрый метод численной оценки непрерывных преобразований Фурье и Лапласа» (PDF) , SIAM Journal on Scientific Computing , 15 (5): 1105–1110, Бибкод : 1994SJSC...15.1105 B, CiteSeerX  10.1.1.127.1534 , doi : 10.1137/0915067, заархивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2008 г. , получено 1 ноября 2017 г..

• Боашаш, Б., изд. (2003), Частотно-временной анализ и обработка сигналов: полный справочник , Оксфорд: Elsevier Science, ISBN 978-0-08-044335-5.

• Бохнер, С .; Чандрасекхаран, К. (1949), Преобразования Фурье , Princeton University Press.

• Брейсвелл, Р.Н. (2000), Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.), Бостон: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8.

• Кэмпбелл, Джордж; Фостер, Рональд (1948), Интегралы Фурье для практических приложений , Нью-Йорк: D. Van Nostand Company, Inc..

• Чампени, округ Колумбия (1987), Справочник по теоремам Фурье , издательство Кембриджского университета..

• Чатфилд, Крис (2004), Анализ временных рядов: введение, Тексты по статистической науке (6-е изд.), Лондон: Chapman & Hall/CRC, ISBN 9780203491683.

• Клозель, Лоран; Делорм, Патрис (1985), «Sur le theorème de Paley-Wiener invariant pour les groupes de Lie reductifs reels», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 300 : 331–333.

• Кондон, ЕС (1937), «Погружение преобразования Фурье в непрерывную группу функциональных преобразований», Proc. Натл. акад. наук. , 23 (3): 158–164, Бибкод : 1937PNAS...23..158C, doi : 10.1073/pnas.23.3.158 , PMC  1076889 , PMID  16588141.

• де Гроот, Сибрен Р.; Мазур, Питер (1984), Неравновесная термодинамика (2-е изд.), Нью-Йорк: Дувр..

• Дуоандикоэчеа, Хавьер (2001), Анализ Фурье , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2172-5.

• Дым, Х. ; Маккин, Х. (1985), Ряды Фурье и интегралы , Academic Press , ISBN 978-0-12-226451-1.

• Эрдели, Артур, изд. (1954), Таблицы интегральных преобразований , вып. 1, МакГроу-Хилл.

• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения , том. II (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , MR  0270403..

• Фолланд, Джеральд (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Princeton University Press.

• Фолланд, Джеральд (1992), Анализ Фурье и его приложения , Wadsworth & Brooks/Cole..

• Фурье, Ж. Б. Жозеф (1822), Théorie analytique de la chaleur (на французском языке), Париж: Firmin Didot, père et fils, OCLC  2688081.

• Фурье, Дж. Б. Джозеф (1878) [1822], Аналитическая теория тепла , перевод Александра Фримена, The University Press(перевод с французского).

• Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015), Цвиллингер, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.), Таблица интегралов, рядов и произведений , перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.), Academic Press , ISBN 978-0-12-384933-5.

• Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье , Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-035399-3.

• Графакос, Лукас; Тешль, Джеральд (2013), «О преобразованиях Фурье радиальных функций и распределений», J. Fourier Anal. Прил. , 19 : 167–179, arXiv : 1112.5469 , doi : 10.1007/s00041-012-9242-5, S2CID  1280745.

• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer , ISBN 978-3-540-59179-5.

• Гельфанд, ИМ ; Шилов Г.Е. (1964), Обобщенные функции , вып. 1, Нью-Йорк: Академическая пресса.(перевод с русского).

• Гельфанд, ИМ ; Виленкин, Нью-Йорк (1964), Обобщенные функции , вып. 4, Нью-Йорк: Академическая пресса.(перевод с русского).

• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1970), Абстрактный гармонический анализ , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, vol. II: Структура и анализ компактных групп. Анализ локально компактных абелевых групп, Springer , MR  0262773..

• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные операторы с частными производными , вып. 1, Спрингер , ISBN 978-3-540-00662-6.

• Хоу, Роджер (1980), «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе», Бюллетень Американского математического общества , 3 (2): 821–844, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 , МР  0578375.

• Джеймс, Дж. Ф. (2011), Руководство для студентов по преобразованиям Фурье (3-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-17683-5.

• Джордан, Камилла (1883), Cours d'Analyse de l'École Polytechnique , vol. II, Calcul Intégral: Intégrales définies et indéfinies (2-е изд.), Париж{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).

• Кайзер, Джеральд (1994), «Дружественное руководство по вейвлетам», Physics Today , 48 (7): 57–58, Bibcode : 1995PhT....48g..57K, doi : 10.1063/1.2808105, ISBN 978-0-8176-3711-8.

• Каммлер, Дэвид (2000), Первый курс анализа Фурье , Прентис Холл, ISBN 978-0-13-578782-3.

• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ , Дувр , ISBN 978-0-486-63331-2.

• Кириллов Александр ; Гвишиани, Алексей Д. (1982) [1979], Теоремы и проблемы функционального анализа , Springer(перевод с русского).

• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09089-4.

• Колмогоров Андрей Николаевич ; Фомин, Сергей Васильевич (1999) [1957], Элементы теории функций и функционального анализа, Дувр.(перевод с русского).

• Ладо, Ф. (1971), «Численные преобразования Фурье в одном, двух и трех измерениях для расчетов в жидком состоянии», Журнал вычислительной физики , 8 (3): 417–433, Бибкод : 1971JCoPh...8..417L , дои : 10.1016/0021-9991(71)90021-0.

• Мюллер, Мейнард (2015), Преобразование Фурье в двух словах. (PDF) , Springer , doi : 10.1007/978-3-319-21945-5, ISBN 978-3-319-21944-8, S2CID  8691186; также доступно в разделе «Основы обработки музыки», раздел 2.1, стр. 40–56.

• Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999), Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.), Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл, ISBN 0-13-754920-2

• Палей, РЕАК ; Винер, Норберт (1934), Преобразования Фурье в сложной области , Публикации коллоквиума Американского математического общества, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.

• Пинский, Марк (2002), Введение в анализ Фурье и вейвлеты, Брукс/Коул, ISBN 978-0-534-37660-4.

• Пуанкаре, Анри (1895), Аналитическая теория распространения мусора , Париж: Карре.

• Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (1998), Справочник по интегральным уравнениям , Бока-Ратон: CRC Press , ISBN 978-0-8493-2876-3.

• Пресс, Уильям Х.; Фланнери, Брайан П.; Теукольский, Саул А.; Веттерлинг, Уильям Т. (1992), Числовые рецепты на C: Искусство научных вычислений, второе издание (2-е изд.), Cambridge University Press.

• Проакис, Джон Г.; Манолакис, Дмитрий Г. (1996). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Нью-Джерси: Прентис-Холл Интернэшнл. Бибкод : 1996dspp.book.....P. ISBN 9780133942897. sAcfAQAAIAAJ..

• Рахман, Матюр (2011), Применение преобразований Фурье к обобщенным функциям, WIT Press, ISBN 978-1-84564-564-9.

• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Сингапур: McGraw Hill, ISBN 978-0-07-100276-9.

• Симонен, П.; Олкконен, Х. (1985), «Быстрый метод вычисления интегрального преобразования Фурье посредством численного интегрирования Симпсона», Journal of Biomedical Engineering , 7 (4): 337–340, doi : 10.1016/0141-5425(85)90067-6 , PMID  4057997.

• Смит, Джулиус О. «Математика дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с аудиоприложениями — второе издание». ccrma.stanford.edu . Проверено 29 декабря 2022 г. Мы можем думать о настоящей синусоиде как о сумме комплексной синусоиды положительной частоты и отрицательной частоты..

• Штейн, Элиас; Шакарчи, Рами (2003), Анализ Фурье: введение, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11384-5.

• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08078-9.

• Танеха, Х.К. (2008), «Глава 18: Интегралы Фурье и преобразования Фурье», Advanced Engineering Mathematics , vol. 2, Нью-Дели, Индия: IK International Pvt Ltd, ISBN 978-8189866563.

• Титчмарш, Э. (1986) [1948], Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Оксфордский университет: Clarendon Press , ISBN 978-0-8284-0324-5.

• Вретблад, Андерс (2000), Анализ Фурье и его приложения , Тексты для аспирантов по математике , том. 223, Нью-Йорк: Спрингер , ISBN. 978-0-387-00836-3.

• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1927), Курс современного анализа (4-е изд.), Cambridge University Press.

• Виддер, Дэвид Вернон; Винер, Норберт (август 1938 г.), «Замечания о классической формуле обращения для интеграла Лапласа», Бюллетень Американского математического общества , 44 (8): 573–575, doi : 10.1090/s0002-9904-1938-06812-7.

• Винер, Норберт (1949), Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных рядов с помощью инженерных приложений , Кембридж, Массачусетс: Technology Press, John Wiley & Sons и Chapman & Hall..

• Уилсон, Р.Г. (1995), Ряд Фурье и методы оптического преобразования в современной оптике , Нью-Йорк: Wiley , ISBN 978-0-471-30357-2.

• Вольф, Курт Б. (1979), Интегральные преобразования в науке и технике, Springer , doi : 10.1007/978-1-4757-0872-1, ISBN 978-1-4757-0874-5.

• Йосида, К. (1968), Функциональный анализ , Springer , ISBN 978-3-540-58654-8.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с преобразованием Фурье, на Викискладе?
• Энциклопедия математики
• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Фурье». Математический мир .