полиномы Чебышева

Полиномиальная последовательность

График полинома Чебышева первого рода в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle n=5}$

Полиномы Чебышева — это две последовательности полиномов, связанных с функциями косинуса и синуса , обозначаемые как и . Их можно определить несколькими эквивалентными способами, один из которых начинается с тригонометрических функций : ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n}(x)}$

Полиномы Чебышева первого рода определяются следующим образом: ${\displaystyle T_{n}}$ $${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).}$$

Аналогично определяются полиномы Чебышева второго рода : ${\displaystyle U_{n}}$ $${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}.}$$

То, что эти выражения определяют многочлены в , может быть неочевидно на первый взгляд, но следует из переписывания и использования формулы де Муавра или многократного использования формул суммы углов для и . Например, формулы двойного угла , которые непосредственно следуют из формул суммы углов, могут быть использованы для получения и , которые являются соответственно многочленом в и многочленом в , умноженными на . Следовательно, и . ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \cos(n\theta )}$ ${\displaystyle \sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle T_{2}(\cos \theta )=\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1}$ ${\displaystyle U_{1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(2\theta )=2\cos \theta \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}$ ${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$

Важным и удобным свойством T _n ( x ) является то, что они ортогональны относительно следующего скалярного произведения : и U _n ( x ) ортогональны относительно другого, аналогичного скалярного произведения, приведенного ниже. $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$$

Полиномы Чебышева T _n — это полиномы с максимально возможным старшим коэффициентом, абсолютное значение которого на интервале [−1, 1] ограничено 1. Они также являются «экстремальными» полиномами для многих других свойств. ^[1]

В 1952 году Корнелиус Ланцош показал, что полиномы Чебышёва важны в теории приближений для решения линейных систем; ^[2] корни T _n ( x ) , которые также называются узлами Чебышёва , используются в качестве точек соответствия для оптимизации полиномиальной интерполяции . Полученный интерполяционный полином минимизирует проблему явления Рунге и обеспечивает приближение, близкое к наилучшему полиномиальному приближению к непрерывной функции при максимальной норме , также называемому критерием « минимакса ». Это приближение приводит непосредственно к методу квадратур Кленшоу–Кертиса .

Эти многочлены были названы в честь Пафнутия Чебышева . ^[3] Буква T используется из-за альтернативных транслитераций имени Чебышев как Tchebycheff , Tchebyshev (французский) или Tschebyschow (немецкий).

Определения

Определение повторяемости

График первых пяти полиномов Чебышева T _n (первого рода)

Полиномы Чебышева первого рода получаются из рекуррентного соотношения :

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$Рекуррентность также позволяет представить их явно как определитель трехдиагональной матрицы размера : ${\displaystyle k\times k}$

$${\displaystyle T_{k}(x)=\det {\begin{bmatrix}x&1&0&\cdots &0\\1&2x&1&\ddots &\vdots \\0&1&2x&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&1&2x\end{bmatrix}}}$$

Обычная производящая функция для T _n имеет вид: Существует несколько других производящих функций для полиномов Чебышева; экспоненциальная производящая функция имеет вид: $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\!\left(e^{t\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+e^{t\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)=e^{tx}\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$$

Производящая функция, соответствующая двумерной теории потенциала и мультипольному разложению, имеет вид: $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).}$$

График первых пяти полиномов _{Чебышева} (второго рода)

Полиномы Чебышева второго рода определяются рекуррентным соотношением: Обратите внимание, что два набора рекуррентных соотношений идентичны, за исключением vs. Обычная производящая функция для U _n имеет вид: а экспоненциальная производящая функция имеет вид: $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle T_{1}(x)=x}$ ${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}\!\left(\!\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\!\right).}$$

Тригонометрическое определение

Как описано во введении, многочлены Чебышёва первого рода можно определить как уникальные многочлены, удовлетворяющие: или, другими словами, как уникальные многочлены, удовлетворяющие: для n = 0, 1, 2, 3, … . $${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ if }}~|x|\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)&{\text{ if }}~x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\operatorname {arcosh} (-x))&{\text{ if }}~x\leq -1\end{cases}}}$$ $${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )}$$

Полиномы второго рода удовлетворяют: или что структурно весьма похоже на ядро ​​Дирихле D _n ( x ) : (Ядро Дирихле, по сути, совпадает с тем, что сейчас известно как полином Чебышёва четвертого рода.) $${\displaystyle U_{n-1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(n\theta ),}$$ $${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\,\theta {\big )}}{\sin \theta }},}$$ $${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\,\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\!\!\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).}$$

Эквивалентный способ сформулировать это — через возведение в степень комплексного числа : дано комплексное число z = a + bi с абсолютным значением, равным единице: Полиномы Чебышёва можно определить в этой форме при изучении тригонометрических полиномов . ^[4] $${\displaystyle z^{n}=T_{n}(a)+ibU_{n-1}(a).}$$

То, что cos nx является многочленом n- й степени относительно cos x, можно увидеть, заметив, что cos nx является действительной частью одной стороны формулы Муавра : Действительная часть другой стороны является многочленом относительно cos x и sin x , в котором все степени sin x четные и , таким образом, заменяемые посредством тождества cos ² x + sin ² x = 1. По тем же соображениям, sin nx является мнимой частью многочлена, в котором все степени sin x нечетные и, таким образом , если один множитель sin x вынести за скобки, оставшиеся множители можно заменить, чтобы создать многочлен ( n −1) -й степени относительно cos x . $${\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.}$$

Определение коммутирующих многочленов

Полиномы Чебышева можно также охарактеризовать следующей теоремой: ^[5]

Если — семейство монических многочленов с коэффициентами в поле характеристики, такое что и для всех и , то с точностью до простой замены переменных либо для всех , либо для всех . ${\displaystyle F_{n}(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \deg F_{n}(x)=n}$ ${\displaystyle F_{m}(F_{n}(x))=F_{n}(F_{m}(x))}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(x)=2\cdot T_{n}(x/2)}$ ${\displaystyle n}$

Определение уравнения Пелля

Полиномы Чебышева также могут быть определены как решения уравнения Пелля : в кольце R [ x ] . ^[6] Таким образом, их можно сгенерировать стандартным для уравнений Пелля методом взятия степеней фундаментального решения: $${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-\left(x^{2}-1\right)U_{n-1}(x)^{2}=1}$$ $${\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}~.}$$

Соотношения между двумя видами полиномов Чебышева

Полиномы Чебышева первого и второго рода соответствуют дополнительной паре последовательностей Люка Ṽ _n ( P , Q ) и × _n ( P , Q ) с параметрами P = 2 x и Q = 1 : Отсюда следует, что они также удовлетворяют паре уравнений взаимной рекуррентности: ^[7] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}}$$

Второе из них можно переформулировать, используя определение рекуррентности для полиномов Чебышева второго рода, и получить: $${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.}$$

Итеративное использование этой формулы дает формулу суммы: в то время как замена и использование формулы производной для дает рекуррентное соотношение для производной от : $${\displaystyle U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j}^{n}T_{j}(x)+1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle U_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n-2}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}}$

$${\displaystyle 2\,T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),\qquad n=2,3,\ldots }$$

Это соотношение используется в спектральном методе Чебышева решения дифференциальных уравнений.

Неравенства Турана для полиномов Чебышева следующие: ^[8] $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0~.\end{aligned}}}$$

Интегральные соотношения имеют вид [ ^{7] : 187(47)(48)  [9]} , где интегралы рассматриваются как главные значения. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{y-x}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}&=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\[1.5ex]\int _{-1}^{1}{\frac {U_{n-1}(y)}{y-x}}\,{\sqrt {1-y^{2}}}\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}}$$

Явные выражения

Различные подходы к определению полиномов Чебышева приводят к различным явным выражениям. Тригонометрическое определение дает следующую явную формулу: Из этой тригонометрической формы определение рекуррентности может быть восстановлено путем непосредственного вычисления того, что базовые случаи выполняются: и и что выполняется тождество произведения в сумму : $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad \quad &{\text{ for }}~-1\leq x\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)\qquad \quad &{\text{ for }}~1\leq x\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}\qquad \quad &{\text{ for }}~x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle T_{0}(\cos \theta )=\cos(0\theta )=1}$$ $${\displaystyle T_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,}$$ $${\displaystyle 2\cos n\theta \cos \theta =\cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos \lbrack (n-1)\theta \rbrack .}$$

Используя определение возведения в степень комплексного числа многочлена Чебышева, можно вывести следующее выражение: Они эквивалентны, поскольку . $${\displaystyle T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{-n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle (x+{\sqrt {x^{2}-1}})(x-{\sqrt {x^{2}-1}})=1}$

Явная форма полинома Чебышева в терминах мономов x ^k следует из формулы Муавра : где Re обозначает действительную часть комплексного числа. Раскрывая формулу, получаем: Действительная часть выражения получается из слагаемых, соответствующих четным индексам. Отмечая и , получаем явную формулу: что в свою очередь означает, что: Это можно записать в виде гипергеометрической функции ₂ F ₁ : с обратной: ^{[10] [11]} $${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\operatorname {Re} (\cos n\theta +i\sin n\theta )=\operatorname {Re} ((\cos \theta +i\sin \theta )^{n}),}$$ $${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\sum \limits _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}i^{j}\sin ^{j}\theta \cos ^{n-j}\theta .}$$ ${\displaystyle i^{2j}=(-1)^{j}}$ ${\displaystyle \sin ^{2j}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{j}}$ $${\displaystyle \cos n\theta =\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(\cos ^{2}\theta -1)^{j}\cos ^{n-2j}\theta ,}$$ $${\displaystyle T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(x^{2}-1)^{j}x^{n-2j}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad \qquad {\text{ for }}~n>0\\\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad \qquad ~{\text{ for }}~n>0\\\\&={}_{2}F_{1}\!\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0 \atop j\,\equiv \,n{\pmod {2}}}^{n}\!\!{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}\!\;T_{j}(x),}$$где штрих у символа суммы указывает на то, что вклад j = 0 необходимо уменьшить вдвое, если он появляется.

Связанное выражение для T _n как суммы одночленов с биномиальными коэффициентами и степенями двойки имеет вид $${\displaystyle T_{n}\left(x\right)=\sum \limits _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\left(-1\right)^{m}\left({\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.}$$

Аналогично, U _n можно выразить через гипергеометрические функции: $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}~n>0\\&=(n+1)\ {}_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right).\\\end{aligned}}}$$

Характеристики

Симметрия

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,T_{n}(x)={\begin{cases}T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\\\\U_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,U_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

То есть, многочлены Чебышева четного порядка имеют четную симметрию и поэтому содержат только четные степени x . Многочлены Чебышева нечетного порядка имеют нечетную симметрию и поэтому содержат только нечетные степени x .

Корни и экстремумы

Многочлен Чебышева любого вида со степенью n имеет n различных простых корней , называемых корнями Чебышева , в интервале [−1, 1] . Корни многочлена Чебышева первого рода иногда называют узлами Чебышева , поскольку они используются в качестве узлов в полиномиальной интерполяции. Используя тригонометрическое определение и тот факт, что: можно показать, что корни T _{n равны} : Аналогично, корни U _n равны: Экстремумы T n на интервале −1 ≤ x ≤ 1 расположены в: $${\displaystyle \cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0}$$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n}}\right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.}$$

Одно уникальное свойство многочленов Чебышёва первого рода заключается в том, что на интервале −1 ≤ x ≤ 1 все экстремумы имеют значения, равные либо −1, либо 1. Таким образом, эти многочлены имеют только два конечных критических значения , определяющее свойство многочленов Шабата . Как первый, так и второй вид многочленов Чебышёва имеют экстремумы в конечных точках, заданные как: $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}}$$

Экстремумы на интервале , где расположены при значениях . Они равны , или где , , и , т. е. и являются взаимно простыми числами. ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi k}{d}}\right)}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle d\;|\;2n}$ ${\displaystyle 0<k<d/2}$ ${\displaystyle (k,d)=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$

В частности, ^{[12] [13]} когда четно: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$если , или и четно. Существуют такие значения . ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle n/2+1}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$если и нечетно. Существуют такие значения . ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle x}$

Когда нечетное: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$если , или и четно. Существуют такие значения . ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle (n+1)/2}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$если , или и нечетно. Существуют такие значения . ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle (n+1)/2}$ ${\displaystyle x}$

Этот результат был обобщен на решения , ^[13] и на и для полиномов Чебышева третьего и четвертого рода соответственно. ^[14] ${\displaystyle U_{n}(x)\pm 1=0}$ ${\displaystyle V_{n}(x)\pm 1=0}$ ${\displaystyle W_{n}(x)\pm 1=0}$

Дифференциация и интеграция

Производные полиномов могут быть не совсем простыми. Дифференцируя полиномы в их тригонометрических формах, можно показать, что: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n\,{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n\,{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}}$$

Последние две формулы могут быть численно сложными из-за деления на ноль ( ⁠0/0⁠ неопределенная форма , в частности) при x = 1 и x = −1 . По правилу Лопиталя : $${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}}$$

В более общем плане это весьма полезно при численном решении задач на собственные значения . $${\displaystyle \left.{\frac {d^{p}T_{n}}{dx^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}~,}$$

Кроме того, имеем: где штрих у знаков суммирования означает, что член, вносимый k = 0, должен быть уменьшен вдвое, если он появляется. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}\,T_{n}(x)=2^{p}\,n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\,\equiv \,n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}\,T_{k}(x),~\qquad p\geq 1,}$$

Что касается интегрирования, первая производная T _n подразумевает, что: и рекуррентное соотношение для полиномов первого рода, включающих производные, устанавливает, что для n ≥ 2 : $${\displaystyle \int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}}$$ $${\displaystyle \int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {x\,T_{n}}{n-1}}.}$$

Последнюю формулу можно дополнительно преобразовать, чтобы выразить интеграл T _n как функцию только полиномов Чебышева первого рода: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,T_{n-1}.\end{aligned}}}$$

Кроме того, у нас есть: $${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}~n\neq 1\\0&{\text{ if }}~n=1.\end{cases}}}$$

Произведения полиномов Чебышева

Многочлены Чебышева первого рода удовлетворяют соотношению: которое легко доказывается из формулы произведения в сумму для косинуса: При n = 1 это приводит к уже известной рекуррентной формуле, просто упорядоченной по-другому, а при n = 2 она образует рекуррентное соотношение для всех четных или всех нечетных индексированных многочленов Чебышева (в зависимости от четности наименьшего m ), которое подразумевает четность или нечетность этих многочленов. Еще три полезные формулы для оценки многочленов Чебышева можно вывести из этого разложения произведения: $${\displaystyle T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}\!\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n\geq 0,}$$ $${\displaystyle 2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2\,T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\T_{2n+1}(x)&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\T_{2n-1}(x)&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}}$$

Многочлены второго рода удовлетворяют аналогичному соотношению: (с определением U ₋₁ ≡ 0 по соглашению). Они также удовлетворяют: для m ≥ n . Для n = 2 эта рекуррентность сводится к: что устанавливает четность или нечетность четных или нечетных индексированных многочленов Чебышёва второго рода в зависимости от того, начинается ли m с 2 или 3. $${\displaystyle T_{m}(x)\,U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\geq m-1,\\\\{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\leq m-2.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\,U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x)~.}$$ $${\displaystyle U_{m+2}(x)=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)=U_{m}(x)\,{\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x)~,}$$

Свойства состава и делимости

Тригонометрические определения T _n и U _n подразумевают свойства композиции или вложенности: ^[15] Для T _mn порядок композиции может быть обратным, что делает семейство полиномиальных функций T _n коммутативной полугруппой относительно композиции. $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}(T_{n}(x)),\\U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}(T_{n}(x))U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Так как T _m ( x ) делится на x , если m нечетно, то T _mn ( x ) делится на T _n ( x ) , если m нечетно. Кроме того, U _{mn −1} ( x ) делится на U _{n −1} ( x ) , а в случае, если m четно, делится на T _n ( x ) U _{n −1} ( x ) .

Ортогональность

Оба T _n и U _n образуют последовательность ортогональных многочленов . Многочлены первого рода T _n ортогональны относительно веса: на интервале [−1, 1] , т.е. имеем: $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]\pi &~{\text{ if }}~n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m\neq 0.\end{cases}}}$$

Это можно доказать, положив x = cos θ и используя определяющее тождество T _n (cos θ ) = cos( nθ ) .

Аналогично, многочлены второго рода U _n ортогональны относительно веса: на интервале [−1, 1] , т.е. имеем: $${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$$ $${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m.\end{cases}}}$$

(Мера √ 1 − x ² d x с точностью до нормирующей константы представляет собой полукруговое распределение Вигнера .)

Эти свойства ортогональности следуют из того факта, что полиномы Чебышева решают дифференциальные уравнения Чебышева : которые являются дифференциальными уравнениями Штурма–Лиувилля . Общей чертой таких дифференциальных уравнений является то, что существует выделенный ортонормированный набор решений. (Другой способ определить полиномы Чебышева — как решения этих уравнений .) $${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}}$$

T _n также удовлетворяет дискретному условию ортогональности: где N — любое целое число, большее max( i , j ) , ^[9] а x _k — N узлов Чебышева (см . выше) T _N ( x ) : $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]N&~{\text{ if }}~i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&~{\text{ if }}~i=j\neq 0,\end{cases}}}$$  $${\displaystyle x_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1.}$$

Для многочленов второго рода и любого целого числа N > i + j с одинаковыми узлами Чебышёва x _k имеют место аналогичные суммы: и без весовой функции: $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}~i=j,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

Для любого целого числа N > i + j , на основе N нулей U _N ( x ) : можно получить сумму: и снова без весовой функции: $${\displaystyle y_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1,}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&~{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

Минимальный∞-норма

Для любого заданного n ≥ 1 среди многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 ( монических многочленов): — это тот, максимальное абсолютное значение которого на интервале [−1, 1] является минимальным. $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)}$$

Это максимальное абсолютное значение равно: и | f ( x ) | достигает этого максимума ровно n + 1 раз при: $${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$$ $${\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.}$$

Доказательство

Предположим, что w _n ( x ) — многочлен степени n со старшим коэффициентом 1, имеющий максимальное абсолютное значение на интервале [−1, 1], меньшее 1 / 2 ^{n  − 1} .

Определять $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)-w_{n}(x)}$$

Поскольку в крайних точках T _n мы имеем $${\displaystyle {\begin{aligned}|w_{n}(x)|&<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)&>0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k\leq n\\f_{n}(x)&<0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}}$$

Из теоремы о промежуточном значении следует , что f _n ( x ) имеет не менее n корней. Однако это невозможно, поскольку f _n ( x ) является многочленом степени n − 1 , поэтому из основной теоремы алгебры следует, что он имеет не более n − 1 корней.

Замечание

По теореме о равноколебаниях среди всех многочленов степени ≤  n многочлен f минимизирует ‖ f ‖ _∞   на [−1, 1] тогда и только тогда, когда существует n + 2 точки −1 ≤ x ₀ < x ₁ < ⋯ < x _{n + 1} ≤ 1 такие, что | f ( x _i ) | = ‖ f ‖ _∞    .

Конечно, нулевой полином на интервале [−1, 1] может быть аппроксимирован самим собой и минимизирует ∞ -норму.

Однако выше | f |   достигает своего максимума только n + 1 раз, поскольку мы ищем наилучший многочлен степени n ≥ 1 (поэтому приведенная ранее теорема не может быть использована).

Многочлены Чебышева как частные случаи более общих семейств многочленов

Полиномы Чебышева являются частным случаем ультрасферических или полиномов Гегенбауэра , которые, в свою очередь, являются частным случаем полиномов Якоби : ${\displaystyle C_{n}^{(\lambda )}(x)}$ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {n}{2}}\lim _{q\to 0}{\frac {1}{q}}\,C_{n}^{(q)}(x)\qquad ~{\text{ if }}~n\geq 1,\\&={\frac {1}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n}}{\binom {2n}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)~,\\[2ex]U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)\\&={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n+1}}{\binom {2n+2}{n+1}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)~.\end{aligned}}}$$

Полиномы Чебышёва также являются частным случаем полиномов Диксона : в частности, когда , они связаны соотношениями и . $${\displaystyle D_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=2\alpha ^{n}T_{n}(x)\,}$$ $${\displaystyle E_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=\alpha ^{n}U_{n}(x).\,}$$ ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle D_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{1-n}T_{n}(x)}$ ${\displaystyle E_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{-n}U_{n}(x)}$

Другие свойства

Кривые, заданные уравнением y = T _n ( x ) или, что эквивалентно, параметрическими уравнениями y = T _n (cos θ ) = cos nθ , x = cos θ , являются частным случаем кривых Лиссажу с отношением частот, равным n .

Аналогично формуле: имеем аналогичную формулу: $${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ),}$$ $${\displaystyle T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1)^{n}\sin \left(\left(2n+1\right)\theta \right).}$$

Для x ≠ 0 : и: что следует из того факта, что это справедливо по определению для x = e ^iθ . $${\displaystyle T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)={\frac {x^{n}+x^{-n}}{2}}}$$ $${\displaystyle x^{n}=T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)+{\frac {x-x^{-1}}{2}}\ U_{n-1}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right),}$$

Существуют соотношения между полиномами Лежандра и полиномами Чебышева.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}P_{k}\left(x\right)T_{n-k}\left(x\right)=\left(n+1\right)P_{n}\left(x\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}P_{k}\left(x\right)P_{n-k}\left(x\right)=U_{n}\left(x\right)}$

Эти тождества можно доказать с помощью производящих функций и дискретной свертки.

Примеры

Первый вид

Первые несколько полиномов Чебышёва первого рода в области −1 < x < 1 : плоские T ₀ , T ₁ , T ₂ , T ₃ , T ₄ и T ₅ .

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода — это OEIS : A028297 $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\end{aligned}}}$$

Второй вид

Первые несколько полиномов Чебышёва второго рода в области −1 < x < 1 : плоские U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ , U ₄ и U ₅ . Хотя это и не видно на изображении, U _n (1) = n  + 1 и U _n (−1) = ( n  + 1)(−1) ⁿ .

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода — это OEIS : A053117 $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\\U_{10}(x)&=1024x^{10}-2304x^{8}+1792x^{6}-560x^{4}+60x^{2}-1\end{aligned}}}$$

В качестве базового набора

Негладкая функция (вверху) y = − x ³ H (− x ) , где H — ступенчатая функция Хевисайда , и (внизу) 5-я частичная сумма ее разложения Чебышева. 7-я сумма неотличима от исходной функции при разрешении графика.

В соответствующем пространстве Соболева набор полиномов Чебышёва образует ортонормированный базис , так что функция в том же пространстве может быть выражена при −1 ≤ x ≤ 1 через разложение: ^[16] $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).}$$

Кроме того, как упоминалось ранее, полиномы Чебышева образуют ортогональный базис, который (помимо прочего) подразумевает, что коэффициенты a _n могут быть легко определены посредством применения скалярного произведения . Эта сумма называется рядом Чебышева или разложением Чебышева .

Поскольку ряд Чебышева связан с рядом Фурье косинусов посредством замены переменных, все теоремы, тождества и т. д., которые применяются к рядам Фурье, имеют аналог Чебышева. ^[16] Эти атрибуты включают в себя:

• Многочлены Чебышева образуют полную ортогональную систему.
• Ряд Чебышева сходится к f ( x ), если функция кусочно- гладкая и непрерывная . Требование гладкости может быть ослаблено в большинстве случаев — до тех пор, пока существует конечное число разрывов в f ( x ) и ее производных.
• В точке разрыва ряд будет сходиться к среднему значению правого и левого пределов.

Обилие теорем и тождеств, унаследованных от рядов Фурье , делает полиномы Чебышёва важными инструментами в численном анализе ; например, они являются наиболее популярными базисными функциями общего назначения, используемыми в спектральном методе [ ^16], часто в пользу тригонометрических рядов из-за, как правило, более быстрой сходимости для непрерывных функций ( явление Гиббса все еще остается проблемой).

Пример 1

Рассмотрим разложение Чебышева log(1 +  x ) . Можно выразить: $${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)~.}$$

Коэффициенты a _n можно найти либо через применение скалярного произведения, либо через дискретное условие ортогональности. Для скалярного произведения: что дает: $${\displaystyle \int _{-1}^{+1}\,{\frac {T_{m}(x)\,\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\,T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}-\log 2&{\text{ for }}~n=0,\\{\frac {-2(-1)^{n}}{n}}&{\text{ for }}~n>0.\end{cases}}}$$

В качестве альтернативы, когда внутренний продукт аппроксимируемой функции не может быть оценен, дискретное условие ортогональности дает часто полезный результат для аппроксимационных коэффициентов: где δ _ij — дельта-функция Кронекера , а x _k — N нулей Гаусса–Чебышева функции T _N ( x ) : Для любого N эти аппроксимационные коэффициенты обеспечивают точное приближение функции в точке x _k с контролируемой ошибкой между этими точками. Точные коэффициенты получаются при N = ∞ , таким образом точно представляя функцию во всех точках в [−1,1] . Скорость сходимости зависит от функции и ее гладкости. $${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {\,2-\delta _{0n}\,}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\,\log(1+x_{k}),}$$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right).}$$

Это позволяет нам очень эффективно вычислять приближенные коэффициенты a _n с помощью дискретного косинусного преобразования : $${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi \left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right)\log(1+x_{k}).}$$

Пример 2

Приведем еще один пример: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1-x^{2}\right)^{\alpha }&=-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha \choose \alpha -n}\,T_{2n}(x)\\[1ex]&=2^{-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha +1 \choose \alpha -n}\,U_{2n}(x).\end{aligned}}}$$

Частичные суммы

Частичные суммы: очень полезны при аппроксимации различных функций и решении дифференциальных уравнений (см. спектральный метод ). Два распространенных метода определения коэффициентов a _n — это использование скалярного произведения , как в методе Галеркина , и использование коллокации , которая связана с интерполяцией . $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)}$$

В качестве интерполянта коэффициенты N ( N  − 1) -й частичной суммы обычно получаются на точках Чебышева–Гаусса–Лобатто ^[17] (или сетке Лобатто), что приводит к минимальной ошибке и позволяет избежать явления Рунге, связанного с равномерной сеткой. Этот набор точек соответствует экстремумам полинома наивысшего порядка в сумме, плюс конечные точки и задается как: $${\displaystyle x_{k}=-\cos \left({\frac {k\pi }{N-1}}\right);\qquad k=0,1,\dots ,N-1.}$$

Многочлен в форме Чебышева

Произвольный многочлен степени N можно записать через многочлены Чебышева первого рода. ^[9] Такой многочлен p ( x ) имеет вид: $${\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x).}$$

Многочлены в форме Чебышева можно оценить с помощью алгоритма Кленшоу .

Семейства многочленов, родственные многочленам Чебышева

Иногда используются многочлены, обозначаемые и тесно связанные с многочленами Чебышёва. Они определяются как: ^[18] и удовлетворяют: А. Ф. Хорадам назвал многочлены многочленами Виета–Лукаса и обозначил их . Он назвал многочлены многочленами Виета–Фибоначчи и обозначил их . ^[19] Списки обоих наборов многочленов приведены в Opera Mathematica Виета , Глава IX, Теоремы VI и VII. ^[20] Многочлены Виета–Лукаса и Виета–Фибоначчи действительного аргумента с точностью до степени и сдвига индекса в случае последнего равны многочленам Люкаса и Фибоначчи L _n и F _n мнимого аргумента. ${\displaystyle C_{n}(x)}$ ${\displaystyle S_{n}(x)}$ $${\displaystyle C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right),\qquad S_{n}(x)=U_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle C_{n}(x)=S_{n}(x)-S_{n-2}(x).}$$ ${\displaystyle C_{n}(x)}$ ${\displaystyle v_{n}(x)}$ ${\displaystyle S_{n}(x)}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle i}$

Сдвинутые полиномы Чебышева первого и второго рода связаны с полиномами Чебышева соотношением: ^[18] $${\displaystyle T_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1),\qquad U_{n}^{*}(x)=U_{n}(2x-1).}$$

Когда аргумент многочлена Чебышева удовлетворяет 2 x − 1 ∈ [−1, 1], аргумент сдвинутого многочлена Чебышева удовлетворяет x ∈ [0, 1] . Аналогично можно определить сдвинутые многочлены для общих интервалов [ a , b ] .

Около 1990 года термины «третий вид» и «четвертый вид» стали использоваться в связи с многочленами Чебышёва, хотя многочлены, обозначаемые этими терминами, имели более раннее развитие под названием многочлены аэродинамического профиля . Согласно Дж. К. Мейсону и Г. Х. Эллиотту, терминология «третий вид» и «четвертый вид» принадлежит Вальтеру Гаучи , «при консультации с коллегами в области ортогональных многочленов». ^[21] Многочлены Чебышёва третьего рода определяются как: а многочлены Чебышёва четвертого рода определяются как: где . ^{[21] [22]} В литературе по аэродинамическим профилям и обозначаются как и . Семейства многочленов , , , и ортогональны относительно весов: и пропорциональны многочленам Якоби с: ^[22] $${\displaystyle V_{n}(x)={\frac {\cos \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {\frac {2}{1+x}}}T_{2n+1}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle W_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}=U_{2n}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right),}$$ ${\displaystyle \theta =\arccos x}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle W_{n}(x)}$ ${\displaystyle t_{n}(x)}$ ${\displaystyle u_{n}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n}(x)}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle W_{n}(x)}$ $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)^{-1/2},\quad \left(1-x^{2}\right)^{1/2},\quad (1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad (1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}}$$ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$ $${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right).}$$

Все четыре семейства удовлетворяют рекуррентному соотношению с , где , , , или , но они различаются в зависимости от того, равно ли , , , или . ^[21] ${\displaystyle p_{n}(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)}$ ${\displaystyle p_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle p_{n}=T_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle p_{1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 2x-1}$ ${\displaystyle 2x+1}$

Модифицированные полиномы Чебышева четного порядка

Некоторые приложения полагаются на полиномы Чебышева, но могут быть неспособны приспособиться к отсутствию корня в нуле, что исключает использование стандартных полиномов Чебышева для таких приложений. Примером этого являются конструкции фильтров Чебышева четного порядка, использующие одинаково терминированные пассивные сети. ^[23] Однако полиномы Чебышева четного порядка могут быть изменены для перемещения самых низких корней вниз к нулю, при этом сохраняя желаемый эффект равноволнистости Чебышева. Такие измененные полиномы содержат два корня в нуле и могут называться модифицированными полиномами Чебышева четного порядка. Модифицированные полиномы Чебышева четного порядка могут быть созданы из узлов Чебышева таким же образом, как и стандартные полиномы Чебышева. $${\displaystyle P_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-C_{i})}$$

где

• ${\displaystyle P_{N}}$является полиномом Чебышева N -го порядка
• ${\displaystyle C_{i}}$является i -м чебышевским узлом

В случае модифицированных полиномов Чебышёва чётного порядка модифицированные узлы Чебышёва чётного порядка используются для построения модифицированных полиномов Чебышёва чётного порядка. $${\displaystyle Pe_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-Ce_{i})}$$

где

• ${\displaystyle Pe_{N}}$является модифицированным многочленом Чебышева четного порядка N -го порядка
• ${\displaystyle Ce_{i}}$это модифицированный узел Чебышева i -го четного порядка

Например, полином Чебышева 4-го порядка из примера выше — , который при осмотре не содержит нулевых корней. Создание полинома из модифицированных узлов Чебышева четного порядка создает модифицированный полином Чебышева четного порядка 4-го порядка , который при осмотре содержит два корня в нуле и может использоваться в приложениях, требующих нулевых корней. ${\displaystyle X^{4}-X^{2}+.125}$ ${\displaystyle X^{4}-.828427X^{2}}$

Смотрите также

• Математический портал

• фильтр Чебышева
• кубический корень Чебышева
• Полиномы Диксона
• полиномы Лежандра
• полиномы Лагерра
• Многочлены Эрмита
• Минимальный многочлен 2cos(2pi/n)
• Полиномы Романовского
• Чебышевские рациональные функции
• Теория приближения
• Аппроксимация функции
• Система Chebfun
• Дискретное преобразование Чебышева
• Неравенство братьев Марковых
• Алгоритм Кленшоу

Ссылки

1. Ривлин, Теодор Дж. (1974). "Глава 2, Экстремальные свойства". Многочлены Чебышева . Чистая и прикладная математика (1-е изд.). Нью-Йорк-Лондон-Сидней: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons]. стр. 56–123. ISBN 978-047172470-4.
2. Ланцош, К. (1952). «Решение систем линейных уравнений с помощью минимизированных итераций». Журнал исследований Национального бюро стандартов . 49 (1): 33. doi : 10.6028/jres.049.006 .
3. Полиномы Чебышева были впервые представлены в Чебышеве, Польша (1854 г.). «Теория механизмов, соединённых под псевдонимом параллелограмм». Mémoires des Savants étrangers presentés à l'Académie de Saint-Pétersbourg (на французском языке). 7 : 539–586.
4. Шеффер, AC (1941). «Неравенства А. Маркова и С. Бернштейна для полиномов и связанных с ними функций». Бюллетень Американского математического общества . 47 (8): 565–579. doi : 10.1090/S0002-9904-1941-07510-5 . ISSN  0002-9904.
5. Ритт, Дж. Ф. (1922). «Простые и составные многочлены». Trans. Amer. Math. Soc . 23 : 51–66. doi : 10.1090/S0002-9947-1922-1501189-9 .
6. Демейер, Йерун (2007). Диофантовы множества над кольцами многочленов и десятая проблема Гильберта для функциональных полей (PDF) (диссертация на соискание степени доктора философии). стр. 70. Архивировано из оригинала (PDF) 2 июля 2007 г.
7. Bateman, Harry ; Проект рукописи Bateman (1953). Erdélyi, Arthur (ред.). Высшие трансцендентальные функции. Том II. Научные сотрудники: W. Magnus , F. Oberhettinger  [de] , F. Tricomi (1-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 184, ур. (3), (4). LCCN  53-5555.Переиздание: 1981. Мельбурн, Флорида: Krieger. ISBN 0-89874-069-X . 
8. Беккенбах, Э.Ф.; Зайдель, В.; Сас, Отто (1951), «Рекуррентные определители Лежандра и ультрасферических полиномов», Duke Math. J. , 18 : 1–10, doi :10.1215/S0012-7094-51-01801-7, MR  0040487
9. Мейсон и Хэндскомб 2002.
10. Коди, У. Дж. (1970). «Обзор практических рациональных и полиномиальных приближений функций». SIAM Review . 12 (3): 400–423. doi :10.1137/1012082.
11. Матар, Р. Дж. (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». J. Comput. Appl. Math . 196 (2): 596–607. arXiv : math/0403344 . Bibcode : 2006JCoAM.196..596M. doi : 10.1016/j.cam.2005.10.013. S2CID  16476052.
12. Гурташ, YZ (2017). «Чебышевские многочлены и минимальный многочлен ». American Mathematical Monthly . 124 (1): 74–78. doi :10.4169/amer.math.monthly.124.1.74. S2CID  125797961. ${\displaystyle \cos(2\pi /n)}$
13. Wolfram, DA (2022). «Разложение многочленов Чебышёва первого и второго рода на минимальные многочлены ». American Mathematical Monthly . 129 (2): 172–176. doi :10.1080/00029890.2022.2005391. S2CID  245808448. ${\displaystyle \cos(2\pi /d)}$
14. Вольфрам, ДА (2022). "Разложение многочленов Чебышёва на минимальные многочлены ". Бюллетень Австралийского математического общества . arXiv : 2106.14585 . doi : 10.1017/S0004972722000235. ${\displaystyle \cos(2\pi /d)}$
15. Rayes, MO; Trevisan, V.; Wang, PS (2005), "Свойства факторизации полиномов Чебышева", Computers & Mathematics with Applications , 50 (8–9): 1231–1240, doi : 10.1016/j.camwa.2005.07.003
16. Boyd, John P. (2001). Спектральные методы Чебышева и Фурье (PDF) (второе изд.). Dover. ISBN 0-486-41183-4. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г. . Получено 19 марта 2009 г. .
17. "Chebyshev Interpolation: An Interactive Tour". Архивировано из оригинала 18 марта 2017 года . Получено 2 июня 2016 года .
18. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 778. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
19. Хорадам, А.Ф. (2002), «Многочлены Виета» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 40 (3): 223–232
20. Виет, Франсуа (1646). Francisco Vietae Opera mathematica: in unum Volumen congesta ac recognita / Opera atque Studio Francisco a Schooten (PDF) . Национальная библиотека Франции.
21. Мейсон, Дж. К.; Эллиотт, Г. Х. (1993), «Почти минимаксная комплексная аппроксимация четырьмя видами разложения полиномов Чебышева», J. Comput. Appl. Math. , 46 (1–2): 291–300, doi : 10.1016/0377-0427(93)90303-S
22. Desmarais, Robert N.; Bland, Samuel R. (1995), "Таблицы свойств многочленов аэродинамического профиля", Справочная публикация NASA 1343 , Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства
23. Саал, Рудольф (январь 1979 г.). Справочник по проектированию фильтров (на английском и немецком языках) (1-е изд.). Мюнхен, Германия: Allgemeine Elektricitais-Gesellschaft. стр. 25, 26, 56–61, 116, 117. ISBN. 3-87087-070-2.{{cite book}}: CS1 maint: year (link)

Источники

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Детте, Хольгер (1995). «Заметка о некоторых своеобразных нелинейных экстремальных явлениях полиномов Чебышёва». Труды Эдинбургского математического общества . 38 (2): 343–355. arXiv : math/9406222 . doi :10.1017/S001309150001912X. S2CID  16703489.
• Эллиотт, Дэвид (1964). «Оценка и оценка коэффициентов в ряду Чебышева для разложения функции». Math. Comp . 18 (86): 274–284. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7 . MR  0166903.
• Еременко, А.; Лемперт, Л. (1994). "Экстремальная задача для многочленов" (PDF) . Труды Американского математического общества . 122 (1): 191–193. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1 . MR  1207536.
• Эрнандес, МА (2001). «Алгоритмы приближения Чебышева и их применение». Компьютеры и математика с приложениями . 41 (3–4): 433–445. doi : 10.1016/s0898-1221(00)00286-8 .
• Мейсон, Дж. К. (1984). «Некоторые свойства и приложения полиномов Чебышева и рациональная аппроксимация». Рациональная аппроксимация и интерполяция . Конспект лекций по математике. Том 1105. С. 27–48. doi : 10.1007/BFb0072398 . ISBN 978-3-540-13899-0.
• Мейсон, Дж. К.; Хэндскомб, Д. К. (2002). Многочлены Чебышева. Chapman and Hall/CRC. doi :10.1201/9781420036114. ISBN 978-1-4200-3611-4.

• Mathar, Richard J. (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». Журнал вычислительной и прикладной математики . 196 (2): 596–607. arXiv : math/0403344 . Bibcode :2006JCoAM.196..596M. doi : 10.1016/j.cam.2005.10.013 . S2CID  16476052.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), «Ортогональные многочлены», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Ремес, Евгений. «Об одном экстремальном свойстве многочленов Чебышёва» (PDF) .
• Salzer, Herbert E. (1976). «Преобразование интерполяционных рядов в ряды Чебышева с помощью рекуррентных формул». Mathematics of Computation . 30 (134): 295–302. doi : 10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3 . MR  0395159.
• Scraton, RE (1969). «Решение интегральных уравнений в рядах Чебышева». Mathematics of Computation . 23 (108): 837–844. doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4 . MR  0260224.
• Смит, Лайл Б. (1966). «Вычисление коэффициентов ряда Чебышева». Comm. ACM . 9 (2): 86–87. doi : 10.1145/365170.365195 . S2CID  8876563. Алгоритм 277.
• Суетин, П.К. (2001) [1994], "Чебышевские многочлены", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с полиномами Чебышева на Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. «Многочлены Чебышева первого рода». MathWorld .
• Mathews, John H. (2003). "Module for Chebyshev polynomials". Кафедра математики. Учебные заметки по курсу Math 340 Numerical Analysis и Math 440 Advanced Numerical Analysis . Фуллертон, Калифорния: Калифорнийский государственный университет. Архивировано из оригинала 29 мая 2007 года . Получено 17 августа 2020 года .
• «Интерполяция Чебышева: интерактивный тур». Математическая ассоциация Америки (MAA)– включает в себя иллюстративный Java-апплет .
• «Численные вычисления с функциями». Проект Chebfun .
• «Существует ли интуитивное объяснение экстремального свойства полиномов Чебышёва?». Math Overflow . Вопрос 25534.
• «Оценка полинома Чебышева и преобразование Чебышева». Boost . Math.