Коммутативная алгебра , первоначально известная как теория идеалов , является разделом алгебры , изучающим коммутативные кольца , их идеалы и модули над такими кольцами. Как алгебраическая геометрия , так и алгебраическая теория чисел строятся на коммутативной алгебре. Известные примеры коммутативных колец включают кольца многочленов ; кольца алгебраических целых чисел , включая обычные целые числа ; и p -адические целые числа . [1]
Коммутативная алгебра является основным техническим инструментом алгебраической геометрии , и многие результаты и концепции коммутативной алгебры тесно связаны с геометрическими концепциями.
Изучение колец, которые не обязательно являются коммутативными, известно как некоммутативная алгебра ; оно включает в себя теорию колец , теорию представлений и теорию банаховых алгебр .
Коммутативная алгебра по сути является изучением колец, встречающихся в алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии .
Несколько концепций коммутативных алгебр были разработаны в связи с алгебраической теорией чисел, такие как кольца Дедекинда (основной класс коммутативных колец, встречающийся в алгебраической теории чисел), целочисленные расширения и кольца оценок .
Кольца полиномов от нескольких неопределенных над полем являются примерами коммутативных колец. Поскольку алгебраическая геометрия по сути является изучением общих нулей этих колец, многие результаты и концепции алгебраической геометрии имеют аналоги в коммутативной алгебре, и их названия часто напоминают об их геометрическом происхождении; например, « размерность Крулля », « локализация кольца », « локальное кольцо », « регулярное кольцо ».
Аффинное алгебраическое многообразие соответствует простому идеалу в кольце многочленов, а точки такого аффинного многообразия соответствуют максимальным идеалам , содержащим этот простой идеал. Топология Зарисского , первоначально определенная на алгебраическом многообразии, была расширена на множества простых идеалов любого коммутативного кольца; для этой топологии замкнутые множества являются множествами простых идеалов, содержащими заданный идеал.
Спектр кольца — это окольцованное пространство, образованное простыми идеалами , снабженными топологией Зарисского, и локализациями кольца на открытых множествах базиса этой топологии. Это отправная точка теории схем , обобщения алгебраической геометрии, введенной Гротендиком , которая в значительной степени основана на коммутативной алгебре и, в свою очередь, повлекла за собой множество разработок коммутативной алгебры.
Предмет, впервые известный как теория идеалов , начался с работы Ричарда Дедекинда об идеалах , которая сама основывалась на более ранней работе Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера . Позже Дэвид Гильберт ввел термин «кольцо» , чтобы обобщить более ранний термин «числовое кольцо» . Гильберт ввел более абстрактный подход, чтобы заменить более конкретные и ориентированные на вычисления методы, основанные на таких вещах, как комплексный анализ и классическая теория инвариантов . В свою очередь, Гильберт оказал сильное влияние на Эмми Нётер , которая переработала многие более ранние результаты в терминах условия восходящей цепи , теперь известного как условие Нётера. Другой важной вехой стала работа ученика Гильберта Эмануэля Ласкера , который ввел первичные идеалы и доказал первую версию теоремы Ласкера–Нётер .
Главной фигурой, ответственной за рождение коммутативной алгебры как зрелого предмета, был Вольфганг Крулль , который ввел фундаментальные понятия локализации и пополнения кольца, а также регулярных локальных колец . Он установил концепцию размерности Крулля кольца, сначала для нётеровых колец, прежде чем перейти к расширению своей теории, чтобы охватить общие кольца оценки и кольца Крулля . По сей день теорема о главном идеале Крулля широко считается единственной наиболее важной основополагающей теоремой в коммутативной алгебре. Эти результаты проложили путь для введения коммутативной алгебры в алгебраическую геометрию, идея, которая произвела революцию в последнем предмете.
Большая часть современного развития коммутативной алгебры делает акцент на модулях . Оба идеала кольца R и R -алгебры являются частными случаями R -модулей, поэтому теория модулей охватывает как теорию идеалов, так и теорию расширений колец . Хотя это уже было заложено в работе Кронекера , современный подход к коммутативной алгебре с использованием теории модулей обычно приписывают Круллю и Нётер .
Нётерово кольцо , названное в честь Эмми Нётер , — это кольцо, в котором каждый идеал конечно порождён ; то есть все элементы любого идеала могут быть записаны в виде линейных комбинаций конечного набора элементов с коэффициентами в кольце.
Многие обычно рассматриваемые коммутативные кольца являются нётеровыми, в частности, каждое поле , кольцо целых чисел и каждое кольцо многочленов от одной или нескольких неопределённостей над ними. Тот факт, что кольца многочленов над полем являются нётеровыми, называется теоремой Гильберта о базисе .
Более того, многие кольцевые конструкции сохраняют свойство нётеровости. В частности, если коммутативное кольцо R является нётеровым, то же самое верно для любого кольца многочленов над ним и для любого фактор-кольца , локализации или пополнения кольца.
Важность свойства нётеровости заключается в его повсеместности, а также в том факте, что многие важные теоремы коммутативной алгебры требуют, чтобы участвующие кольца были нётеровыми. Это касается, в частности, теоремы Ласкера–Нётер , теоремы Крулля о пересечении и леммы Накаямы .
Более того, если кольцо является нётеровым, то оно удовлетворяет условию обрыва нисходящей цепи на простых идеалах , которое подразумевает, что каждое нётерово локальное кольцо имеет конечную размерность Крулля .
Идеал Q кольца называется первичным, если Q является собственным и всякий раз, когда xy ∈ Q , либо x ∈ Q , либо y n ∈ Q для некоторого положительного целого числа n . В Z первичные идеалы — это в точности идеалы вида ( p e ), где p — простое число, а e — положительное целое число. Таким образом, первичное разложение ( n ) соответствует представлению ( n ) как пересечения конечного числа первичных идеалов.
Приведенную здесь теорему Ласкера –Нётер можно рассматривать как некоторое обобщение основной теоремы арифметики:
Теорема Ласкера-Нётер — Пусть R — коммутативное нётерово кольцо, а I — идеал кольца R. Тогда I можно записать как пересечение конечного числа первичных идеалов с различными радикалами ; то есть:
с Q i первичным для всех i и Rad( Q i ) ≠ Rad( Q j ) для i ≠ j . Кроме того, если:
является разложением I с Rad( P i ) ≠ Rad( P j ) для i ≠ j , и оба разложения I являются неизбыточными (это означает, что никакое собственное подмножество { Q 1 , ..., Q t } или { P 1 , ..., P k } не дает пересечение, равное I ), t = k и (после возможной перенумерации Q i ) Rad( Q i ) = Rad( P i ) для всех i .
Для любого первичного разложения I множество всех радикалов, то есть множество {Rad( Q 1 ), ..., Rad( Q t )} остается тем же самым по теореме Ласкера–Нётер. Фактически, оказывается, что (для нётерова кольца) множество является в точности убийцей модуля R / I ; то есть множеством всех аннуляторов R / I ( рассматриваемых как модуль над R ) , которые являются простыми.
Локализация — это формальный способ введения «знаменателей» в данное кольцо или модуль. То есть, она вводит новое кольцо/модуль из существующего так, что оно состоит из дробей
где знаменатели s лежат в заданном подмножестве S множества R. Архетипическим примером является построение кольца Q рациональных чисел из кольца Z целых чисел.
Пополнение — это любой из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях , которые приводят к полным топологическим кольцам и модулям. Пополнение похоже на локализацию , и вместе они являются одними из самых основных инструментов в анализе коммутативных колец . Полные коммутативные кольца имеют более простую структуру, чем общие, и лемма Гензеля применима к ним.
Топология Зарисского определяет топологию на спектре кольца (множество простых идеалов). [2] В этой формулировке замкнутые по Зарисскому множества считаются множествами
где A — фиксированное коммутативное кольцо, а I — идеал. Это определяется по аналогии с классической топологией Зарисского, где замкнутые множества в аффинном пространстве определяются полиномиальными уравнениями. Чтобы увидеть связь с классической картиной, отметим, что для любого множества S полиномов (над алгебраически замкнутым полем) из Nullstellensatz Гильберта следует , что точки V ( S ) (в старом смысле) — это в точности кортежи ( a 1 , ..., a n ), такие что идеал ( x 1 - a 1 , ..., x n - a n ) содержит S ; более того, это максимальные идеалы, и согласно «слабому» Nullstellensatz идеал любого аффинного координатного кольца является максимальным тогда и только тогда, когда он имеет этот вид. Таким образом, V ( S ) «то же самое, что» максимальные идеалы, содержащие S . Нововведение Гротендика в определении Spec состояло в замене максимальных идеалов всеми простыми идеалами; в этой формулировке естественно просто обобщить это наблюдение до определения замкнутого множества в спектре кольца.
Коммутативная алгебра (в форме колец многочленов и их частных, используемых в определении алгебраических многообразий ) всегда была частью алгебраической геометрии . Однако в конце 1950-х годов алгебраические многообразия были включены в концепцию схемы Александра Гротендика . Их локальными объектами являются аффинные схемы или простые спектры, которые являются локально окольцованными пространствами, которые образуют категорию, которая антиэквивалентна (двойственна) категории коммутативных унитальных колец, расширяя двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над полем k и категорией конечно порождённых редуцированных k -алгебр. Склеивание осуществляется по топологии Зарисского; можно склеивать внутри категории локально окольцованных пространств, но также, используя вложение Йонеды, внутри более абстрактной категории предпучков множеств над категорией аффинных схем. Топология Зарисского в теоретико-множественном смысле затем заменяется топологией Зарисского в смысле топологии Гротендика . Гротендик ввел топологии Гротендика, имея в виду более экзотические, но геометрически более тонкие и чувствительные примеры, чем грубая топология Зарисского, а именно этальная топология и две плоские топологии Гротендика: fppf и fpqc. В настоящее время стали известны некоторые другие примеры, включая топологию Нисневича . Пучки могут быть далее обобщены до стеков в смысле Гротендика, обычно с некоторыми дополнительными условиями представимости, что приводит к стекам Артина и, еще более тонким, стекам Делиня–Мамфорда , которые часто называют алгебраическими стеками.
