Формальный степенной ряд

Бесконечная сумма, которая рассматривается независимо от какого-либо понятия сходимости.

В математике формальный ряд — это бесконечная сумма, которая рассматривается независимо от любого понятия сходимости и которой можно манипулировать с помощью обычных алгебраических операций над рядами (сложение, вычитание, умножение, деление, частичные суммы и т. д.).

Формальный степенной ряд — это особый вид формальных рядов вида

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots ,}$

где названные коэффициенты являются числами или, в более общем смысле, элементами некоторого кольца , а являются формальными степенями символа , который называется неопределенной или, обычно, переменной . Следовательно, степенные ряды можно рассматривать как обобщение полиномов , где число членов может быть бесконечным, и они отличаются от обычных степенных рядов отсутствием требований сходимости, что означает, что степенной ряд не может представлять собой функцию своего степенного ряда. переменная. Формальные степенные ряды находятся во взаимно однозначном соответствии со своими последовательностями коэффициентов, но эти два понятия не следует путать, поскольку операции, которые можно применять, различны. ${\displaystyle a_{n},}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x}$

Формальный степенной ряд с коэффициентами в кольце называется формальным степенным рядом над кольцом. Формальный степенной ряд над кольцом образует кольцо, обычно обозначаемое как ( x ) -адическое пополнение кольца многочленов, так же, как p - Адические целые числа представляют собой p -адическое пополнение кольца целых чисел. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[x]],}$ ${\displaystyle R[x],}$

Ряды формальных степеней в нескольких неопределенных определяются аналогично путем замены степеней одной неопределенной одночленами в нескольких неопределенных.

Формальные степенные ряды широко используются в комбинаторике для представления последовательностей целых чисел в виде производящих функций . В этом контексте рекуррентное соотношение между элементами последовательности часто можно интерпретировать как дифференциальное уравнение , которому удовлетворяет производящая функция. Это позволяет использовать методы комплексного анализа для комбинаторных задач (см. Аналитическая комбинаторика ).

Введение

Формальный степенной ряд можно условно представить как объект, похожий на многочлен , но с бесконечным количеством членов. В качестве альтернативы, для тех, кто знаком со степенным рядом (или рядом Тейлора ), можно думать о формальном степенном ряде как о степенном ряде, в котором мы игнорируем вопросы сходимости, не предполагая, что переменная X обозначает какое-либо числовое значение (даже неизвестное значение). ). Например, рассмотрим серию

${\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}$

Если бы мы изучали это как степенной ряд, его свойства включали бы, например, то, что его радиус сходимости равен 1. Однако, как формальный степенной ряд, мы можем полностью игнорировать это; все, что имеет значение, это последовательность коэффициентов [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Другими словами, формальный степенной ряд — это объект, который просто записывает последовательность коэффициентов. Вполне допустимо рассматривать формальный степенной ряд с факториалами [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...] в качестве коэффициентов, даже если соответствующий степенной ряд расходится для любого ненулевого значения X .

Арифметика формальных степенных рядов выполняется путем простого предположения, что эти ряды являются полиномами. Например, если

${\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+\cdots ,}$

затем мы добавляем A и B почленно:

${\displaystyle A+B=1-X+5X^{2}-3X^{3}+9X^{4}-5X^{5}+\cdots .}$

Мы можем умножать формальные степенные ряды, опять же, просто рассматривая их как полиномы (см., в частности, произведение Коши ):

${\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}$

Обратите внимание , что каждый коэффициент в произведении AB зависит только от конечного числа коэффициентов A и B. Например, член X ⁵ определяется выражением

${\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}$

По этой причине можно умножать формальные степенные ряды, не беспокоясь об обычных вопросах абсолютной , условной и равномерной сходимости , которые возникают при работе со степенными рядами в условиях анализа .

После того как мы определили умножение для формальных степенных рядов, мы можем определить мультипликативные обратные числа следующим образом. Мультипликативным обратным формальным степенным рядом A является формальный степенной ряд C такой, что AC = 1, при условии, что такой формальный степенной ряд существует. Оказывается, если A имеет мультипликативный обратный, то он единственный, и мы обозначаем его A ⁻¹ . Теперь мы можем определить деление формального степенного ряда, определив B / A как произведение BA ⁻¹ при условии, что существует обратное к A. Например, можно использовать приведенное выше определение умножения, чтобы проверить знакомую формулу.

${\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}$

Важной операцией над формальными степенными рядами является извлечение коэффициентов. В своей самой простой форме оператор извлечения коэффициентов, примененный к формальному степенному ряду в одной переменной, извлекает коэффициент в- й степени переменной, так что и . Другие примеры включают в себя ${\displaystyle [X^{n}]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [X^{2}]A=5}$ ${\displaystyle [X^{5}]A=-11}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\\\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n},\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}}$

Аналогичным образом, многие другие операции, выполняемые с полиномами, могут быть расширены до формального степенного ряда, как описано ниже.

Кольцо формального степенного ряда

Если рассматривать множество всех формальных степенных рядов в X с коэффициентами в коммутативном кольце R , то элементы этого множества вместе составляют другое кольцо, которое записывается и называется кольцом формальных степенных рядов по переменной  X над R. ${\displaystyle R[[X]],}$

Определение кольца формальных степенных рядов

Абстрактно можно охарактеризовать как пополнение кольца многочленов , снабженного определенной метрикой . Это автоматически дает структуру топологического кольца (и даже полного метрического пространства). Но общая конструкция пополнения метрического пространства более сложна, чем это необходимо здесь, и заставила бы формальные степенные ряды показаться более сложными, чем они есть на самом деле. Можно описать более подробно и определить кольцевую структуру и топологическую структуру отдельно следующим образом. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Кольцевая структура

Как набор, может быть построен как набор всех бесконечных последовательностей элементов , индексированных натуральными числами (включающими 0). Обозначая последовательность, чей член в индексе равен , определяют сложение двух таких последовательностей как ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

и умножение на

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}$

Этот тип произведения называется произведением Коши двух последовательностей коэффициентов и представляет собой своего рода дискретную свертку . С помощью этих операций становится коммутативным кольцом с нулевым элементом и мультипликативной единицей . ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle (1,0,0,\ldots )}$

Фактически это то же самое произведение, которое используется для определения произведения многочленов от одной неопределенной, что предполагает использование аналогичных обозначений. Встраивают , отправляя любую (константу) в последовательность и обозначая последовательность ; тогда, используя приведенные выше определения, каждая последовательность, содержащая только конечное число ненулевых членов, может быть выражена через эти специальные элементы как ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle a\in R}$ ${\displaystyle (a,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle (0,1,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i};}$

это именно полиномы в . Учитывая это, вполне естественно и удобно обозначать общую последовательность формальным выражением , хотя последнее и не является выражением, образованным определенными выше операциями сложения и умножения (из которых можно построить только конечные суммы). Это соглашение об обозначениях позволяет переформулировать приведенные выше определения как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

и

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}$

что весьма удобно, но нужно помнить о различии между формальным суммированием (простым соглашением) и фактическим сложением.

Топологическая структура

Условно оговорив, что

хотелось бы интерпретировать правую часть как четко определенное бесконечное суммирование. Для этого вводится понятие сходимости в и строится топология в . Существует несколько эквивалентных способов определения желаемой топологии. ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$

• Мы можем дать топологию продукта , где каждой копии присвоена дискретная топология . ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$
• Мы можем дать I-адическую топологию где - идеал, порожденный , который состоит из всех последовательностей, первый член которых равен нулю. ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I=(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}}$
• Желаемая топология также может быть получена из следующей метрики . Расстояние между различными последовательностями определяется как где - наименьшее натуральное число такое, что ; расстояние между двумя равными последовательностями, конечно, равно нулю. ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },}$ $${\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}$

Неформально две последовательности и становятся все ближе и ближе тогда и только тогда, когда все больше и больше их членов точно совпадают. Формально последовательность частичных сумм некоторого бесконечного суммирования сходится, если для каждой фиксированной степени коэффициента стабилизируется: существует точка, за которой все дальнейшие частичные суммы имеют тот же коэффициент. Очевидно, что это справедливо для правой части ( 1 ), независимо от значений , поскольку включение члена для дает последнее (и фактически единственное) изменение коэффициента при . Также очевидно, что предел последовательности частичных сумм равен левой части. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle i=n}$ ${\displaystyle X^{n}}$

Эта топологическая структура вместе с описанными выше кольцевыми операциями образует топологическое кольцо. Это называется кольцом формальных степенных рядов ${\displaystyle R}$ и обозначается . Топология обладает полезным свойством: бесконечное суммирование сходится тогда и только тогда, когда последовательность его членов сходится к 0, что просто означает, что любая фиксированная степень встречается только в конечном числе членов. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle X}$

Топологическая структура позволяет гораздо более гибко использовать бесконечные суммирования. Например, правило умножения можно переформулировать просто как

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j},}$

поскольку только конечное число членов справа влияет на любое фиксированное . Бесконечные произведения также определяются топологической структурой; можно видеть, что бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда последовательность его факторов сходится к 1 (в этом случае произведение не равно нулю) или бесконечное количество сомножителей не имеют постоянного члена (в этом случае произведение равно нулю). ${\displaystyle X^{n}}$

Альтернативные топологии

Вышеуказанная топология является наилучшей топологией, для которой

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}$

всегда сходится как суммирование к формальному степенному ряду, обозначаемому одним и тем же выражением, и этого часто достаточно, чтобы придать смысл бесконечным суммам и произведениям или другим видам пределов, которые кто-то хочет использовать для обозначения конкретного формального степенного ряда. Однако иногда может случиться так, что кто-то захочет использовать более грубую топологию, чтобы некоторые выражения стали сходящимися, которые в противном случае расходились бы. Это применимо, в частности, когда базовое кольцо уже имеет топологию, отличную от дискретной, например, если оно также является кольцом формальных степенных рядов. ${\displaystyle R}$

В кольце формальных степенных рядов топология приведенной выше конструкции относится только к неопределенному , поскольку наложенная топология была заменена дискретной топологией при определении топологии всего кольца. Так ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }XY^{i}}$

сходится (и его сумму можно записать как ); однако ${\displaystyle {\tfrac {X}{1-Y}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }X^{i}Y}$

будет считаться расходящимся, поскольку каждый член влияет на коэффициент . Эта асимметрия исчезает, если кольцу степенных рядов задана топология произведения, где каждой копии задана топология как кольцо формальных степенных рядов, а не дискретная топология. В этой топологии последовательность элементов сходится, если коэффициент каждой степени сходится к формальному степенному ряду в , что является более слабым условием, чем полная стабилизация. Например, в этой топологии во втором примере, приведенном выше, коэффициент сходится к , поэтому все суммирование сходится к . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-X}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{1-X}}}$

Этот способ определения топологии фактически является стандартным для повторяющихся конструкций колец формальных степенных рядов и дает ту же топологию, которую можно было бы получить, взяв формальные степенные ряды сразу со всеми неопределенными. В приведенном выше примере это означало бы построение, и здесь последовательность сходится тогда и только тогда, когда коэффициент каждого монома стабилизируется. Эта топология, которая также является -адической топологией, где - идеал, порожденный и , все еще обладает тем свойством, что суммирование сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к 0. ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X,Y]]}$ ${\displaystyle X^{i}Y^{j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Тот же принцип можно использовать для сближения других расходящихся пределов. Например, в пределе ${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}}$

не существует, поэтому, в частности, он не сходится к

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$

Это связано с тем, что коэффициент не стабилизируется при . Однако он сходится в обычной топологии , и фактически к коэффициенту . Следовательно, если бы кто-то дал топологию произведения, где топология является обычной топологией, а не дискретной, то вышеуказанный предел сходился бы к . Однако этот более либеральный подход не является стандартом при рассмотрении формальных степенных рядов, поскольку он привел бы к соображениям сходимости, которые столь же тонки, как и в анализе , в то время как философия формальных степенных рядов, напротив, делает вопросы сходимости столь же тривиальными, как и в анализе. они вполне могут быть. При такой топологии суммирование не сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к 0. ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{i}}/n^{i}}$ ${\displaystyle X^{i}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{i!}}}$ ${\displaystyle \exp(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(X)}$

Универсальная собственность

Кольцо можно охарактеризовать следующим универсальным свойством . Если - коммутативная ассоциативная алгебра над , если - идеал такой, что -адическая топология на полна, и если - элемент , то существует единственный со следующими свойствами: ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Phi :R[[X]]\to S}$

• ${\displaystyle \Phi }$является гомоморфизмом -алгебры ${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle \Phi }$является непрерывным

• ${\displaystyle \Phi (X)=x}$.

Операции над формальными степенными рядами

Можно выполнять алгебраические операции над степенными рядами для создания новых степенных рядов. ^{[1] [2]} Помимо операций с кольцевой структурой, определенных выше, мы имеем следующее.

Степенной ряд, возведенный в степени

Для любого натурального числа n n- я степень формального степенного ряда S определяется рекурсивно формулой $${\displaystyle {\begin{aligned}S^{1}&=S\\S^{n}&=S\cdot S^{n-1}\quad {\text{for }}n>1.\end{aligned}}}$$

Если m и a ₀ обратимы в кольце коэффициентов, можно доказать, что $${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}$$

В случае формальных степенных рядов с комплексными коэффициентами комплексные степени четко определены для ряда f с постоянным членом, равным 1 . В этом случае может определяться либо композицией с биномиальным рядом (1+ x ) ^α , либо композицией с экспоненциальным и логарифмическим рядом, либо как решение дифференциального уравнения (в терминах ряда) с постоянным членом 1 ; три определения эквивалентны. Правилам исчисления легко следовать. ${\displaystyle f^{\alpha }}$ ${\displaystyle f^{\alpha }=\exp(\alpha \log(f)),}$ ${\displaystyle f(f^{\alpha })'=\alpha f^{\alpha }f'}$ ${\displaystyle (f^{\alpha })^{\beta }=f^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle f^{\alpha }g^{\alpha }=(fg)^{\alpha }}$

Мультипликативный обратный

Сериал

${\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}$

обратима в том и только в том случае, если ее постоянный коэффициент обратим в . Это условие необходимо по следующей причине: если мы предполагаем, что имеет обратное, то постоянный член тождественного ряда является постоянным членом тождественного ряда, т. е. он равен 1. Это условие также является достаточным; мы можем вычислить коэффициенты обратного ряда с помощью явной рекурсивной формулы ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=b_{0}+b_{1}x+\cdots }$ ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$ ${\displaystyle A\cdot B}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}$

Важным частным случаем является то, что формула геометрической прогрессии действительна в : ${\displaystyle R[[X]]}$

${\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}$

Если - поле, то ряд обратим тогда и только тогда, когда постоянный член не равен нулю, т. е. тогда и только тогда, когда ряд не делится на . Это означает, что это кольцо дискретного нормирования с параметром униформизации . ${\displaystyle R=K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K[[X]]}$ ${\displaystyle X}$

Разделение

Вычисление частного ${\displaystyle f/g=h}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

предполагая, что знаменатель обратим (то есть обратим в кольце скаляров), может быть представлен как произведение и обратное значение или непосредственно приравнивание коэффициентов в : ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=gh}$

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{a_{0}}}\left(b_{n}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{n-k}\right).}$

Извлечение коэффициентов

Оператор извлечения коэффициентов, примененный к формальному степенному ряду

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

в Х написано

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)}$

и извлекает коэффициент X ^m , так что

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{m}.}$

Состав

Учитывая два формальных степенных ряда

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }$

${\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots }$

так, что можно составить композицию ${\displaystyle a_{0}=0,}$

${\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

где коэффициенты cn _{определяются} путем «разложения» степеней f ( X ):

${\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}$

Здесь сумма распространяется на все ( k , j ) с и с ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}}$ ${\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}$

Поскольку необходимо иметь и для каждого Это означает, что указанная выше сумма конечна и что коэффициент является коэффициентом в многочлене , где и являются многочленами, полученными путем усечения ряда, то есть путем удаления всех членов, включающих степень более высокого порядка. чем ${\displaystyle a_{0}=0,}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle j_{i}\leq n}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle g_{n}(f_{n}(X))}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle x^{n},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n.}$

Более явное описание этих коэффициентов дает формула Фаа ди Бруно , по крайней мере, в том случае, когда кольцо коэффициентов представляет собой поле характеристики 0 .

Композиция действительна только тогда, когда не имеет постоянного члена , так что каждый зависит только от конечного числа коэффициентов и . Другими словами , ряд для сходится в топологии . ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle g(X)}$ ${\displaystyle g(f(X))}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Пример

Предположим, что кольцо имеет характеристику 0 и ненулевые целые числа обратимы в . Если обозначить формальным степенным рядом ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \exp(X)}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}+\cdots ,}$

тогда равенство

${\displaystyle \exp(\exp(X)-1)=1+X+X^{2}+{\frac {5X^{3}}{6}}+{\frac {5X^{4}}{8}}+\cdots }$

имеет смысл как формальный степенной ряд, поскольку постоянный коэффициент при равен нулю. ${\displaystyle \exp(X)-1}$

Композиция обратная

Всякий раз, когда официальная серия

${\displaystyle f(X)=\sum _{k}f_{k}X^{k}\in R[[X]]}$

имеет f ₀ = 0 и f ₁ является обратимым элементом R , существует ряд

${\displaystyle g(X)=\sum _{k}g_{k}X^{k}}$

это композиция, обратная , что означает, что составление с дает ряд, представляющий функцию идентичности . Коэффициенты можно найти рекурсивно, используя приведенную выше формулу для коэффициентов композиции, приравнивая их к коэффициентам идентичности композиции X (то есть 1 в степени 1 и 0 в каждой степени, большей 1). В случае, когда кольцо коэффициентов представляет собой поле характеристики 0, формула обращения Лагранжа (обсуждаемая ниже) предоставляет мощный инструмент для вычисления коэффициентов g , а также коэффициентов (мультипликативных) степеней g . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x=0+1x+0x^{2}+0x^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle g}$

Формальная дифференциация

Учитывая формальный степенной ряд

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

мы определяем его формальную производную , обозначаемую Df или f ′, через

${\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}$

Символ D называется оператором формального дифференцирования . Это определение просто имитирует почленное дифференцирование полинома.

Эта операция является R - линейной :

${\displaystyle D(af+bg)=a\cdot Df+b\cdot Dg}$

для любых a , b в R и любых f , g в Кроме того, формальная производная обладает многими свойствами обычной производной исчисления. Например, действует правило продукта : ${\displaystyle R[[X]].}$

${\displaystyle D(fg)\ =\ f\cdot (Dg)+(Df)\cdot g,}$

и правило цепочки тоже работает:

${\displaystyle D(f\circ g)=(Df\circ g)\cdot Dg,}$

всякий раз, когда определены соответствующие составы серий (см. выше раздел «Состав серий»).

Таким образом, в этом отношении формальные степенные ряды ведут себя как ряды Тейлора . Действительно, для f, определенного выше, мы находим, что

${\displaystyle (D^{k}f)(0)=k!a_{k},}$

где D ^k обозначает k -ю формальную производную (т. е. результат формального дифференцирования k раз).

Формальная антидифференциация

Если кольцо с нулевой характеристикой и ненулевые целые числа обратимы в , то с учетом формального степенного ряда ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

мы определяем его формальную первообразную или формальный неопределенный интеграл по формуле

${\displaystyle D^{-1}f=\int f\ dX=C+\sum _{n\geq 0}a_{n}{\frac {X^{n+1}}{n+1}}.}$

для любой константы . ${\displaystyle C\in R}$

Эта операция является R - линейной :

${\displaystyle D^{-1}(af+bg)=a\cdot D^{-1}f+b\cdot D^{-1}g}$

для любых a , b в R и любых f , g в Кроме того, формальная первообразная обладает многими свойствами обычной первообразной исчисления. Например, формальная первообразная является правой обратной формальной производной: ${\displaystyle R[[X]].}$

${\displaystyle D(D^{-1}(f))=f}$

для любого . ${\displaystyle f\in R[[X]]}$

Характеристики

Алгебраические свойства кольца формальных степенных рядов

${\displaystyle R[[X]]}$— ассоциативная алгебра , над которой содержится кольцо многочленов над ; полиномы соответствуют последовательностям, оканчивающимся нулями. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R}$

Радикал Джекобсона - это идеал , порожденный и радикалом Джекобсона ; это подразумевается критерием обратимости элемента, обсуждавшимся выше. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$

Максимальные идеалы всех возникают из идеалов в следующим образом: идеал является максимальным тогда и только тогда, когда является максимальным идеалом и порождается как идеал посредством и . ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle M\cap R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\cap R}$

Некоторые алгебраические свойства наследуются : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

• если - локальное кольцо , то так оно и есть (с множеством неединиц - единственным максимальным идеалом), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$
• если нётерово , то так и есть (вариант базовой теоремы Гильберта ), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$
• если это область целостности , то так и есть , и ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$
• если – поле , то – кольцо дискретного нормирования . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[[X]]}$

Топологические свойства кольца формальных степенных рядов

Метрическое пространство является полным . ${\displaystyle (R[[X]],d)}$

Кольцо компактно тогда и только тогда , когда R конечно . Это следует из теоремы Тихонова и характеристики топологии on как топологии-произведения. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Препарат Вейерштрасса

Кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами в полном локальном кольце удовлетворяет подготовительной теореме Вейерштрасса .

Приложения

Формальные степенные ряды можно использовать для решения повторяющихся задач, возникающих в теории чисел и комбинаторике. Пример поиска выражения в замкнутой форме для чисел Фибоначчи см. в статье « Примеры производящих функций» .

Можно использовать формальные степенные ряды, чтобы доказать несколько отношений, знакомых из анализа, в чисто алгебраическом контексте. Рассмотрим, например, следующие элементы : ${\displaystyle \mathbb {Q} [[X]]}$

${\displaystyle \sin(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}}$

${\displaystyle \cos(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}}$

Тогда можно будет показать, что

${\displaystyle \sin ^{2}(X)+\cos ^{2}(X)=1,}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}\sin(X)=\cos(X),}$

${\displaystyle \sin(X+Y)=\sin(X)\cos(Y)+\cos(X)\sin(Y).}$

Последний действителен на ринге ${\displaystyle \mathbb {Q} [[X,Y]].}$

Для поля K кольцо часто используется как «стандартное, наиболее общее» полное локальное кольцо над K в алгебре. ${\displaystyle K[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$

Интерпретация формальных степенных рядов как функций

В математическом анализе каждый сходящийся степенной ряд определяет функцию со значениями в действительных или комплексных числах. Формальные степенные ряды над некоторыми специальными кольцами также можно интерпретировать как функции, но нужно быть осторожными с областью определения и кодоменом . Позволять

${\displaystyle f=\sum a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

и предположим, что это коммутативная ассоциативная алгебра над , является идеалом в такой, что I-адическая топология на полна, и является элементом . Определять: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}.}$

Этот ряд гарантированно сходится при сделанных выше предположениях о . Кроме того, у нас есть ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

и

${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x).}$

В отличие от случая с истинными функциями, эти формулы не являются определениями, а требуют доказательства.

Поскольку топология on является -адической топологией и является полной, мы можем, в частности, применять степенные ряды к другим степенным рядам, при условии, что аргументы не имеют постоянных коэффициентов (так что они принадлежат идеалу ): , и все хорошо определено для любого формального степенного ряда ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle (X)}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle (X)}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(X^{2}-X)}$ ${\displaystyle f((1-X)^{-1}-1)}$ ${\displaystyle f\in R[[X]].}$

С помощью этого формализма мы можем дать явную формулу для мультипликативного обратного степенного ряда, постоянный коэффициент которого обратим в : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a=f(0)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f^{-1}=\sum _{n\geq 0}a^{-n-1}(a-f)^{n}.}$

Если формальный степенной ряд с неявно задан уравнением ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(0)=0}$

${\displaystyle f(g)=X}$

где – известный степенной ряд с , то коэффициенты можно явно вычислить с помощью формулы обращения Лагранжа. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle g}$

Обобщения

Формальная серия Лорана

Формальные ряды Лорана над кольцом определяются аналогично формальным степенным рядам, за исключением того, что мы также допускаем конечное число членов отрицательной степени. То есть это ряды, которые можно записать как ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

для некоторого целого числа , так что существует только конечное число отрицательных чисел с . (Это отличается от классического ряда Лорана комплексного анализа .) Для ненулевого формального ряда Лорана минимальное целое число, такое, которое называется порядком и обозначается (Порядок нулевого ряда равен .) ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (f).}$ ${\displaystyle +\infty }$

Можно определить умножение таких рядов. Действительно, аналогично определению формального степенного ряда, коэффициент двух рядов с соответствующими последовательностями коэффициентов и равен Эта сумма имеет лишь конечное число ненулевых членов из-за предполагаемого исчезновения коэффициентов при достаточно отрицательных индексах. ${\displaystyle X^{k}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ $${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}b_{k-i}.}$$

Формальные ряды Лорана образуют кольцо формальных рядов Лорана над , обозначаемых . ^[а] Оно равно локализации кольца формальных степенных рядов по множеству положительных степеней . Если — поле , то на самом деле это поле, которое альтернативно можно получить как поле дробей области целого . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((X))}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R=K}$ ${\displaystyle K((X))}$ ${\displaystyle K[[X]]}$

Как и в случае , кольцу формальных рядов Лорана можно придать структуру топологического кольца введением метрики ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R((X))}$ $${\displaystyle d(f,g)=2^{-\operatorname {ord} (f-g)}.}$$

Формальное дифференцирование формальных рядов Лорана можно определить естественным (почленным) способом. Точнее, формальная производная формального ряда Лорана, приведенного выше, снова является формальным рядом Лорана. Если - непостоянный формальный ряд Лорана и с коэффициентами в поле характеристики 0, то он имеет Однако, как правило, это не так, поскольку множитель для члена низшего порядка может быть равен 0 в . ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f'=Df=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1},}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {ord} (f')=\operatorname {ord} (f)-1.}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$

Формальный остаток

Предположим, что это поле характеристики 0. Тогда отображение ${\displaystyle K}$

${\displaystyle D\colon K((X))\to K((X))}$

определенное выше, является выводом , который удовлетворяет ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ker D=K}$

${\displaystyle \operatorname {im} D=\left\{f\in K((X)):[X^{-1}]f=0\right\}.}$

Последнее показывает, что особый интерес представляет коэффициент in ; его называют формальным вычетом и обозначают . Карта ${\displaystyle X^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f)}$

${\displaystyle \operatorname {Res} :K((X))\to K}$

-линейна , и согласно приведенному выше наблюдению существует точная последовательность ${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\to K\to K((X)){\overset {D}{\longrightarrow }}K((X))\;{\overset {\operatorname {Res} }{\longrightarrow }}\;K\to 0.}$

Некоторые правила исчисления . Как совершенно прямое следствие приведенного выше определения и правил формального вывода, для любого ${\displaystyle f,g\in K((X))}$

1. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f')=0;}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Res} (fg')=-\operatorname {Res} (f'g);}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=\operatorname {ord} (f),\qquad \forall f\neq 0;}$
4. ${\displaystyle \operatorname {Res} \left((g\circ f)f'\right)=\operatorname {ord} (f)\operatorname {Res} (g),}$если ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)>0;}$
5. ${\displaystyle [X^{n}]f(X)=\operatorname {Res} \left(X^{-n-1}f(X)\right).}$

Свойство (i) является частью точной последовательности, приведенной выше. Свойство (ii) следует из (i) применительно к . Свойство (iii): любое можно записать в форме , с и : тогда подразумевается обратимое, откуда Свойство (iv): Поскольку мы можем писать с . Следовательно, и (iv) следует из (i) и (iii). Свойство (v) ясно из определения. ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=X^{m}g}$ ${\displaystyle m=\operatorname {ord} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$ ${\displaystyle f'/f=mX^{-1}+g'/g.}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K[[X]]\subset \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=m.}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$ ${\displaystyle g=g_{-1}X^{-1}+G',}$ ${\displaystyle G\in K((X))}$ ${\displaystyle (g\circ f)f'=g_{-1}f^{-1}f'+(G'\circ f)f'=g_{-1}f'/f+(G\circ f)'}$

Формула обращения Лагранжа

Как упоминалось выше, любой формальный ряд с f ₀ = 0 и f ₁ ≠ 0 имеет обратную композицию. Между коэффициентами g ⁿ и f ^{− k} имеет место следующее соотношение (« ${\displaystyle f\in K[[X]]}$ ${\displaystyle g\in K[[X]].}$Формула обращения Лагранжа "):

${\displaystyle k[X^{k}]g^{n}=n[X^{-n}]f^{-k}.}$

В частности, для n  = 1 и всех k  ≥ 1,

${\displaystyle [X^{k}]g={\frac {1}{k}}\operatorname {Res} \left(f^{-k}\right).}$

Поскольку доказательство формулы обращения Лагранжа представляет собой очень короткое вычисление, стоит сообщить о нем здесь. Принимая во внимание , мы можем применить приведенные выше правила исчисления, особенно Правило (iv), заменив , чтобы получить: ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)=1}$ ${\displaystyle X\rightsquigarrow f(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k[X^{k}]g^{n}&\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(g^{n}X^{-k-1}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(iv)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(X^{n}f^{-k-1}f'\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ -\operatorname {Res} \left(X^{n}(f^{-k})'\right)\\&\ {\stackrel {\mathrm {(ii)} }{=}}\ \operatorname {Res} \left(\left(X^{n}\right)'f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ n\operatorname {Res} \left(X^{n-1}f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ n[X^{-n}]f^{-k}.\end{aligned}}}$

Обобщения. Можно заметить, что приведенное выше вычисление можно повторить в более общих условиях, чем K (( X )): уже доступно обобщение формулы обращения Лагранжа, работающее в -модулях , где α - комплексный показатель степени. Как следствие, если f и g такие же, как указано выше, с , мы можем связать комплексные степени f / X и g / X : точно, если α и β - ненулевые комплексные числа с отрицательной целой суммой, тогда ${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$ ${\displaystyle X^{\alpha }\mathbb {C} ((X)),}$ ${\displaystyle f_{1}=g_{1}=1}$ ${\displaystyle m=-\alpha -\beta \in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}[X^{m}]\left({\frac {f}{X}}\right)^{\alpha }=-{\frac {1}{\beta }}[X^{m}]\left({\frac {g}{X}}\right)^{\beta }.}$

Например, таким образом можно найти степенной ряд для комплексных степеней функции Ламберта .

Степенной ряд от нескольких переменных

Могут быть определены формальные степенные ряды от любого числа неопределенных (даже бесконечно многих). Если I — набор индексов, а _XI — набор неопределенных величин _Xi для i ∈ I , то мономом Xα ^{является} _любое конечное произведение элементов XI (повторения разрешены); формальный степенной ряд в X _I с коэффициентами из кольца R определяется любым отображением множества мономов X ^α в соответствующий коэффициент c _α и обозначается . Обозначается множество всех таких формальных степенных рядов, и ему придается кольцевая структура путем определения ${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$ ${\displaystyle R[[X_{I}]],}$

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

и

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\beta }d_{\beta }X^{\beta }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }}$

Топология

Топология на такова, что последовательность ее элементов сходится только в том случае, если для каждого монома ^Xα стабилизируется соответствующий коэффициент. Если I конечно, то это J -адическая топология, где J — идеал, порожденный всеми неопределенными из X _I . Это неверно, если I бесконечно. Например, если тогда последовательность с не сходится ни к какой J -адической топологии на R , но, очевидно, для каждого монома соответствующий коэффициент стабилизируется. ${\displaystyle R[[X_{I}]]}$ ${\displaystyle R[[X_{I}]]}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f_{n}=X_{n}+X_{n+1}+X_{n+2}+\cdots }$

Как отмечалось выше, топология на кольце повторяющихся формальных степенных рядов типа обычно выбирается таким образом, что оно становится изоморфным как топологическое кольцо ${\displaystyle R[[X]][[Y]]}$ ${\displaystyle R[[X,Y]].}$

Операции

Все операции, определенные для рядов с одной переменной, могут быть распространены на случай нескольких переменных.

• Ряд обратим тогда и только тогда, когда его постоянный член обратим в R.
• Композиция f ( g ( X )) двух серий f и g определяется, если f - ряд с одной неопределенной величиной, а постоянный член g равен нулю. Для ряда f , состоящего из нескольких неопределенных, аналогичным образом может быть определена форма «композиции», в которой вместо g будет столько отдельных серий , сколько имеется неопределенных.

В случае формальной производной теперь существуют отдельные операторы частной производной , которые дифференцируются по каждой из неопределенных величин. Они все ездят друг с другом.

Универсальная собственность

В случае нескольких переменных универсальное свойство, характеризующее, становится следующим. Если S — коммутативная ассоциативная алгебра над R , если I — идеал S такой, что I- адическая топология на S полна, и если x1 _, …, xr _— элементы I , то существует единственное отображение с следующие свойства: ${\displaystyle R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$ ${\displaystyle \Phi :R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]\to S}$

• Φ — гомоморфизм R -алгебры
• Φ непрерывен
• Φ( Икс _я ) знак равно Икс _я для я знак равно 1, …, р .

Некоммутирующие переменные

Случай с несколькими переменными можно дополнительно обобщить, взяв некоммутирующие переменные X _i в качестве i ∈ I , где I — набор индексов, а затем моном X ^α — любое слово из X _I ; формальный степенной ряд в X _I с коэффициентами из кольца R определяется любым отображением множества мономов X ^α в соответствующий коэффициент c _α и обозначается . Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается R « X _I », и ему придается кольцевая структура путем определения поточечного сложения. ${\displaystyle \textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

и умножение на

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha }\cdot X^{\beta }}$

где · обозначает объединение слов. Эти формальные степенные ряды над R образуют кольцо Магнуса над R. ^{[3] [4]}

На полукольце

Дан алфавит и полукольцо . Формальный степенной ряд по поддерживаемому на языке обозначается . Он состоит из всех отображений , где – свободный моноид , порожденный непустым множеством . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle r:\Sigma ^{*}\to S}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Элементы можно записать в виде формальных сумм ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$

${\displaystyle r=\sum _{w\in \Sigma ^{*}}(r,w)w.}$

где обозначает значение слова . Элементы называются коэффициентами . ${\displaystyle (r,w)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle w\in \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle (r,w)\in S}$ ${\displaystyle r}$

Для поддержки есть набор ${\displaystyle r\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {supp} (r)=\{w\in \Sigma ^{*}|\ (r,w)\neq 0\}}$

Ряд, в котором каждый коэффициент либо является, либо называется характеристическим рядом своего носителя. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Подмножество, состоящее из всех рядов с конечным носителем, обозначается и называется полиномами. ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle S\langle \Sigma ^{*}\rangle }$

Для и сумма определяется формулами ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}+r_{2},w)=(r_{1},w)+(r_{2},w)}$

Произведение (Коши) определяется формулой ${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}\cdot r_{2},w)=\sum _{w_{1}w_{2}=w}(r_{1},w_{1})(r_{2},w_{2})}$

Произведение Адамара определяется формулой ${\displaystyle r_{1}\odot r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}\odot r_{2},w)=(r_{1},w)(r_{2},w)}$

А произведения по скаляру и по ${\displaystyle sr_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}s}$

${\displaystyle (sr_{1},w)=s(r_{1},w)}$и соответственно. ${\displaystyle (r_{1}s,w)=(r_{1},w)s}$

С помощью этих операций и получаются полукольца, где находится пустое слово в . ${\displaystyle (S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (S\langle \Sigma ^{*}\rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

Эти формальные степенные ряды используются для моделирования поведения взвешенных автоматов в теоретической информатике , когда коэффициенты ряда принимаются за вес пути с меткой в ​​автоматах. ^[5] ${\displaystyle (r,w)}$ ${\displaystyle w}$

Замена набора индексов упорядоченной абелевой группой

Предположим, это упорядоченная абелева группа, то есть абелева группа с полным порядком с учетом сложения группы, так что тогда и только тогда, когда для всех . Пусть I — упорядоченное подмножество , то есть я не содержит бесконечной нисходящей цепи. Рассмотрим множество, состоящее из ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a+c<b+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}X^{i}}$

для всех таких I в коммутативном кольце , где мы предполагаем, что для любого набора индексов, если все из них равны нулю, то сумма равна нулю. Тогда – кольцо формальных степенных рядов на ; из-за того, что набор индексов упорядочен, произведение корректно определено, и мы, конечно, предполагаем, что два элемента, отличающиеся на ноль, одинаковы. Иногда это обозначение используется для обозначения . ^[6] ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [[R^{G}]]}$ ${\displaystyle R((G))}$

Различные свойства перевода в . Если это поле, то и . Если поле — упорядоченное, мы можем упорядочить его, присвоив любому элементу тот же знак, что и его старший коэффициент, определяемый как наименьший элемент набора индексов, который я связал с ненулевым коэффициентом. Наконец, если — делимая группа и — вещественное замкнутое поле , то — вещественное замкнутое поле, а если алгебраически замкнуто , то и . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$

Эта теория принадлежит Гансу Хану , который также показал, что подполя получаются, когда число (ненулевых) терминов ограничено некоторой фиксированной бесконечной мощностью.

Примеры и связанные темы

• Ряды Белла используются для изучения свойств мультипликативных арифметических функций.
• Формальные группы используются для определения абстрактного группового закона с использованием формальных степенных рядов.
• Ряды Пюизо являются расширением формальных рядов Лорана, позволяющим дробные показатели.
• Рациональная серия

Смотрите также

• Кольцо серии ограниченной мощности

Примечания

1. Для каждого ненулевого формального ряда Лорана порядок является целым числом (то есть степени членов ограничены ниже). Но в кольце собраны серии всех порядков. ${\displaystyle R((X))}$

Рекомендации

1. Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «0,313». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. с. 18. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.(А также несколько предыдущих выпусков.)
2. Нивен, Иван (октябрь 1969 г.). «Формальная силовая серия». Американский математический ежемесячник . 76 (8): 871–889. дои : 10.1080/00029890.1969.12000359.
3. Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. наук. Том. 62 (2-е издание 1-го изд.). Спрингер-Верлаг . п. 167. ИСБН 978-3-540-63003-6. Збл  0819.11044.
4. Моран, Зигфрид (1983). Математическая теория узлов и кос: Введение . Математические исследования Северной Голландии. Том. 82. Эльзевир. п. 211. ИСБН 978-0-444-86714-8. Збл  0528.57001.
5. Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальный степенной ряд. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. дои : 10.1007/978-3-642-01492-5_1, с. 12
6. Шамседдин, Ходр; Берз, Мартин (2010). «Анализ поля Леви-Чивита: краткий обзор» (PDF) . Современная математика . 508 : 215–237. дои : 10.1090/conm/508/10002. ISBN 9780821847404.

• Берстель, Жан ; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 137. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19022-0. Збл  1250.68007.
• Николя Бурбаки : Алгебра , IV, §4. Спрингер-Верлаг 1988.

дальнейшее чтение

• В. Куич. Полукольца и формальные степенные ряды: их отношение к формальным языкам и теории автоматов. В редакторах Г. Розенберга и А. Саломаа, «Справочник по формальным языкам», том 1, глава 9, страницы 609–677. Шпрингер, Берлин, 1997, ISBN 3-540-60420-0 . 
• Дросте М. и Куич В. (2009). Полукольца и формальный степенной ряд. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. дои : 10.1007/978-3-642-01492-5_1
• Арто Саломаа (1990). «Формальные языки и степенные ряды». Ян ван Леувен (ред.) . Формальные модели и семантика . Справочник по теоретической информатике. Том. Б. Эльзевир. стр. 103–132. ISBN 0-444-88074-7.