Математическая формулировка Стандартной модели

Математика модели физики элементарных частиц

Стандартная модель физики элементарных частиц. На диаграмме показаны элементарные частицы Стандартной модели ( бозон Хиггса , три поколения кварков и лептонов , а также калибровочные бозоны ), включая их имена, массы, спины, заряды, киральность и взаимодействия с сильными , слабыми и электромагнитными . силы. Он также изображает решающую роль бозона Хиггса в нарушении электрослабой симметрии и показывает, как свойства различных частиц различаются в (высокоэнергетической) симметричной фазе (вверху) и (низкоэнергетической) фазе нарушенной симметрии (внизу). ).

В этой статье описывается математика Стандартной модели физики элементарных частиц , калибровочной квантовой теории поля , содержащей внутренние симметрии унитарной группы произведений SU (3) × SU(2) ×  U(1) . Теория обычно рассматривается как описание фундаментального набора частиц – лептонов , кварков , калибровочных бозонов и бозона Хиггса .

Стандартная модель является перенормируемой и математически непротиворечивой, ^[1] однако, несмотря на огромные и постоянные успехи в предоставлении экспериментальных предсказаний, она оставляет некоторые необъяснимые явления . ^[2] В частности, хотя физика специальной теории относительности включена, общая теория относительности отсутствует, и Стандартная модель потерпит неудачу на энергиях или расстояниях, где ожидается появление гравитона . Поэтому в контексте современной теории поля она рассматривается как эффективная теория поля .

Квантовая теория поля

Схема слабого изоспина T ₃ , слабого гиперзаряда Y _W и цветового заряда всех известных элементарных частиц, повернутая на угол слабого смешивания , чтобы показать электрический заряд Q примерно вдоль вертикали. Нейтральное поле Хиггса (серый квадрат) нарушает электрослабую симметрию и взаимодействует с другими частицами, придавая им массу.

Стандартная модель представляет собой квантовую теорию поля , то есть ее фундаментальными объектами являются квантовые поля , которые определены во всех точках пространства-времени. КТП рассматривает частицы как возбужденные состояния (также называемые квантами ) лежащих в их основе квантовых полей , которые более фундаментальны, чем частицы. Эти поля

• фермионные поля ψ , которые составляют «частицы материи»;
• электрослабые бозонные поля и B ; ${\displaystyle W_{1},W_{2},W_{3}}$
• глюонное поле , Г _а ; и
• поле Хиггса , φ .

Тот факт, что это квантовые , а не классические поля, имеет математическое следствие, заключающееся в том, что они являются операторно -значными. В частности, значения полей обычно не коммутируют. Как операторы они действуют на квантовое состояние ( кет-вектор ).

Альтернативные представления полей

Как это обычно бывает в квантовой теории, существует несколько способов взглянуть на вещи. На первый взгляд может показаться, что основные поля, приведенные выше, не совсем соответствуют «фундаментальным частицам» в приведенной выше таблице, но существует несколько альтернативных представлений, которые в определенных контекстах могут быть более подходящими, чем те, которые даны выше.

Фермионы

Вместо того, чтобы иметь одно фермионное поле ψ , его можно разделить на отдельные компоненты для каждого типа частиц. Это отражает историческую эволюцию квантовой теории поля, поскольку электронная компонента ψ _e (описывающая электрон и его античастицу позитрон ) тогда является исходным полем ψ квантовой электродинамики , которое позже сопровождалось полями ψ _μ и ψ _τ для мюона. и тауон соответственно (и их античастицы). Электрослабая теория добавлена ​​и для соответствующих нейтрино . Кварки добавляют еще дополнительные компоненты . Чтобы быть четырехспинорными , как электрон и другие лептонные компоненты, для каждой комбинации аромата и цвета должен существовать один кварковый компонент , в результате чего общее число составляет 24 (3 для заряженных лептонов, 3 для нейтрино и 2·3·3). = 18 для кварков). Каждый из них представляет собой четырехкомпонентный биспинор , всего 96 комплексных компонентов фермионного поля. ${\displaystyle \psi _{\nu _{\mathrm {e} }},\psi _{\nu _{\mu }}}$ ${\displaystyle \psi _{\nu _{\tau }}}$

Важным определением является фермионное поле с перемычкой , которое определяется как , где обозначает эрмитово сопряженное к ψ , а γ0 ^– нулевая гамма-матрица . Если ψ рассматривать как матрицу размера n  × 1 , то ее следует рассматривать как матрицу размера 1 ×  n . ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$ ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$

Киральная теория

Независимым разложением ψ является разложение на компоненты киральности :

• «Левая» хиральность:   ${\displaystyle \psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi }$
• «Правильная» хиральность:   ${\displaystyle \psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi }$

где пятая гамма-матрица . Это очень важно в Стандартной модели, поскольку левая и правая компоненты киральности по-разному обрабатываются калибровочными взаимодействиями . ${\displaystyle \gamma _{5}}$

В частности, при слабых изоспиновых преобразованиях SU(2) левые частицы представляют собой дублеты со слабым изоспином, тогда как правые являются синглетами, т. е. слабый изоспин ψ _R равен нулю. Проще говоря, слабое взаимодействие могло бы превратить, например, левый электрон в левое нейтрино (с испусканием W − ⁾ , но не могло сделать этого с теми же правыми частицами. Кроме того, правые нейтрино изначально не существовали в стандартной модели, но открытие осцилляций нейтрино подразумевает, что нейтрино должны иметь массу , а поскольку киральность может меняться во время распространения массивной частицы, должны существовать правые нейтрино. в действительности. Однако это не меняет (экспериментально доказанную) киральную природу слабого взаимодействия.

Кроме того, U(1) действует по-разному на и (поскольку они имеют разные слабые гиперзаряды ). ${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}}$

Собственные состояния массы и взаимодействия

Таким образом, можно провести различие между, например, массой и собственными состояниями взаимодействия нейтрино. Первое — это состояние, распространяющееся в свободном пространстве, тогда как второе — это другое состояние, участвующее во взаимодействиях. Какая частица является «фундаментальной»? Для нейтрино принято определять «аромат» (νе,νмкм, илиντ) по собственному состоянию взаимодействия, тогда как для кварков мы определяем аромат (вверх, вниз и т. д.) по массовому состоянию. Мы можем переключаться между этими состояниями, используя матрицу CKM для кварков или матрицу PMNS для нейтрино (с другой стороны, заряженные лептоны являются собственными состояниями как массы, так и аромата).

Кроме того, если в любой из этих матриц существует сложный фазовый член, это приведет к прямому нарушению CP , что может объяснить доминирование материи над антиматерией в нашей нынешней Вселенной. Это было доказано для матрицы CKM и ожидается для матрицы PMNS.

Положительные и отрицательные энергии

Наконец, квантовые поля иногда разлагаются на «положительную» и «отрицательную» энергетические части: ψ = ψ ⁺ + ψ ⁻ . Это не так часто встречается при создании квантовой теории поля, но часто занимает видное место в процессе квантования теории поля.

Бозоны

Угол Вайнберга θ _W и связь между константами связи g, g' и e . Адаптировано из книги Т. Д. Ли « Физика элементарных частиц и введение в теорию поля» (1981).

Благодаря механизму Хиггса электрослабые бозонные поля «смешиваются» , создавая состояния, которые физически наблюдаемы. Чтобы сохранить калибровочную инвариантность, лежащие в основе поля должны быть безмассовыми, но наблюдаемые состояния могут при этом приобретать массу . Эти состояния: ${\displaystyle W_{1},W_{2},W_{3}}$ ${\displaystyle B}$

Массивный нейтральный (Z) бозон :

$${\displaystyle Z=\cos \theta _{\rm {W}}W_{3}-\sin \theta _{\rm {W}}B}$$

$${\displaystyle A=\sin \theta _{\rm {W}}W_{3}+\cos \theta _{\rm {W}}B}$$

W-бозоны

$${\displaystyle W^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(W_{1}\mp iW_{2}\right)}$$

θW _— угол

Поле А – это фотон , который классически соответствует хорошо известному электромагнитному четырехпотенциалу  – т.е. электрическому и магнитному полям. Поле Z фактически вносит свой вклад в каждый процесс, который совершает фотон, но из-за его большой массы вклад обычно незначителен.

Пертурбативная КТП и картина взаимодействия

Большая часть качественных описаний стандартной модели в терминах «частиц» и «сил» исходит из взгляда на модель с точки зрения пертурбативной квантовой теории поля . При этом лагранжиан разлагается на отдельные лагранжианы свободного поля и взаимодействия . Свободные поля заботятся о частицах изолированно, тогда как процессы с участием нескольких частиц возникают в результате взаимодействий. Идея состоит в том, что вектор состояния должен меняться только при взаимодействии частиц, то есть свободная частица — это та частица, квантовое состояние которой постоянно. Это соответствует картине взаимодействия в квантовой механике. ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {I} }}$

В более распространенной картине Шрёдингера даже состояния свободных частиц изменяются со временем: обычно фаза меняется со скоростью, которая зависит от их энергии. В альтернативной картине Гейзенберга векторы состояния сохраняются постоянными за счет того, что операторы (в частности, наблюдаемые ) зависят от времени. Картина взаимодействия представляет собой промежуточное звено между ними, где некоторая зависимость от времени заложена в операторах (квантовых полях), а некоторая - в векторе состояния. В КТП первая называется частью модели в свободном поле, а вторая — частью взаимодействия. Модель свободного поля может быть решена точно, а затем решения полной модели могут быть выражены как возмущения решений свободного поля, например, с использованием ряда Дайсона .

Следует отметить, что разложение на свободные поля и взаимодействия в принципе произвольно. Например, перенормировка в КЭД изменяет массу электрона в свободном поле, чтобы она соответствовала массе физического электрона (с электромагнитным полем), и при этом добавляет член к лагранжиану свободного поля, который должен быть отменен контрчленом в Лагранжиан взаимодействия, который затем отображается в виде двухлинейной вершины на диаграммах Фейнмана . Считается, что именно так поле Хиггса придает частицам массу : часть члена взаимодействия, которая соответствует ненулевому вакуумному математическому ожиданию поля Хиггса, перемещается из взаимодействия в лагранжиан свободного поля, где он выглядит точно так же, как масса термин, не имеющий ничего общего с полем Хиггса.

Свободные поля

При обычном разложении свободных полей на взаимодействие, которое подходит для низких энергий, свободные поля подчиняются следующим уравнениям:

• Фермионное поле ψ удовлетворяет уравнению Дирака ; для каждого типа фермионов. ${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0}$ ${\displaystyle f}$
• Поле фотонов A удовлетворяет волновому уравнению . ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0}$
• Поле Хиггса φ удовлетворяет уравнению Клейна–Гордона .
• Поля слабого взаимодействия Z , W ^± удовлетворяют уравнению Прока .

Эти уравнения можно решить точно. Обычно это делают, рассматривая первые решения, периодические с некоторым периодом L вдоль каждой пространственной оси; позже переход к пределу: L → ∞ снимет это ограничение периодичности.

В периодическом случае решение для поля F (любого из перечисленных) можно выразить в виде ряда Фурье вида

$${\displaystyle F(x)=\beta \sum _{\mathbf {p} }\sum _{r}E_{\mathbf {p} }^{-{\frac {1}{2}}}\left(a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p} )e^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}+b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} )e^{\frac {ipx}{\hbar }}\right)}$$

• β — нормировочный коэффициент; для фермионного поля это , где – объем рассматриваемой фундаментальной ячейки; для фотонного поля A ^μ это . ${\displaystyle \psi _{\rm {f}}}$ ${\textstyle {\sqrt {m_{\rm {f}}c^{2}/V}}}$ ${\displaystyle V=L^{3}}$ ${\displaystyle \hbar c/{\sqrt {2V}}}$
• Сумма по p производится по всем импульсам, соответствующим периоду L , т. е. по всем векторам, где – целые числа. ${\displaystyle {\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$
• Сумма по r охватывает другие степени свободы, специфичные для поля, такие как поляризация или спин; обычно оно получается в виде суммы от 1 до 2 или от 1 до 3 .
• E _p — релятивистская энергия длякванта поля с импульсом p , когда масса покоя равна m . ${\textstyle ={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}}$
• a _r ( p ) иявляются операторами уничтожения и рождения соответственно для «a-частиц» и «b-частиц» с импульсом p соответственно ; «В-частицы» являются античастицами «а-частиц». Разные поля имеют разные «а-» и «б-частицы». Для некоторых полей a и b одинаковы. ${\displaystyle b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$
• u _r ( p ) и v _r ( p ) не являются операторами, которые несут векторные или спинорные аспекты поля (где это применимо).
• ${\displaystyle p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )}$— четырехимпульс для кванта с импульсом p . обозначает скалярный продукт четырехвекторов . ${\displaystyle px=p_{\mu }x^{\mu }}$

В пределе L → ∞ сумма превратилась бы в интеграл с помощью V , скрытого внутри β . Числовое значение β также зависит от выбранной нормировки для и . ${\displaystyle u_{r}(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle v_{r}(\mathbf {p} )}$

Технически, является эрмитовым сопряженным оператором a _r ( p ) в пространстве внутреннего произведения кет -векторов . Идентификация и a _r ( p ) как операторов создания и уничтожения происходит на основе сравнения сохраняющихся величин состояния до и после того, как на него воздействовал один из них. можно, например, добавить одну частицу, потому что это добавит 1 к собственному значению оператора числа a-частиц , а импульс этой частицы должен быть p , поскольку собственное значение векторного оператора количества движения увеличивается на эту величину. . Эти выводы начинаются с выражений операторов в терминах квантовых полей. То, что операторы с являются операторами создания, а операторы без операторов уничтожения, является соглашением, налагаемым знаком постулируемых для них коммутационных соотношений. ${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle \dagger }$

Важным шагом в подготовке к вычислениям в пертурбативной квантовой теории поля является отделение «операторных» факторов a и b , указанных выше, от соответствующих им векторных или спинорных факторов u и v . Вершины графов Фейнмана возникают из-за того, что u и v из разных факторов лагранжиана взаимодействия совпадают, тогда как ребра возникают из-за того, что a и b должны перемещаться, чтобы поместить члены в ряд Дайсона. в нормальной форме.

Условия взаимодействия и подход интеграла по траекториям

Лагранжиан также можно получить без использования операторов рождения и уничтожения («канонический» формализм), используя формулировку интеграла по путям , впервые предложенную Фейнманом на основе более ранних работ Дирака. Диаграммы Фейнмана представляют собой графическое представление условий взаимодействия. Быстрый вывод действительно представлен в статье о диаграммах Фейнмана .

Лагранжев формализм

Взаимодействия в Стандартной модели. Все диаграммы Фейнмана в модели построены из комбинаций этих вершин. q — любой кварк, g — глюон, X — любая заряженная частица, γ — фотон, f — любой фермион, m — любая частица с массой (возможно, за исключением нейтрино), m _B — любой бозон с массой. На диаграммах с несколькими метками частиц, разделенными знаком /, выбирается одна метка частицы. На диаграммах метки частиц разделены знаком | метки должны быть выбраны в том же порядке. Например, в электрослабом случае четырех бозонов действительными диаграммами являются WWWW, WWZZ, WWγγ, WWZγ. Также допускается сопряжение каждой перечисленной вершины (изменение направления стрелок). ^[3]

Теперь мы можем дать более подробную информацию о вышеупомянутых свободных членах и членах взаимодействия, появляющихся в плотности лагранжиана Стандартной модели . Любой такой член должен быть инвариантным как по калибровке, так и по отношению к системе отсчета, иначе законы физики зависели бы от произвольного выбора или системы отсчёта наблюдателя. Следовательно, должна применяться глобальная симметрия Пуанкаре , состоящая из трансляционной симметрии , вращательной симметрии и инвариантности инерциальной системы отсчета, центральной для специальной теории относительности . Локальная калибровочная симметрия SU(3) × SU(2) × U(1) является внутренней симметрией . Три фактора калибровочной симметрии вместе приводят к трем фундаментальным взаимодействиям после определения некоторых соответствующих соотношений, как мы увидим.

Кинетические условия

Свободная частица может быть представлена ​​массовым термином и кинетическим термином, который относится к «движению» полей.

Фермионные поля

Кинетический член для фермиона Дирака:

$${\displaystyle i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$$

где обозначения перенесены из предыдущей статьи. ψ может представлять любой или все фермионы Дирака в стандартной модели. Обычно, как показано ниже, этот термин включается в связи (создавая общий «динамический» термин).

Поля датчиков

Для полей со спином 1 сначала определите тензор напряженности поля

$${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$$

для данного калибровочного поля (здесь мы используем A ) с калибровочной константой связи g . Величина f  ^abc является структурной константой конкретной калибровочной группы, определяемой коммутатором 

$${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c},}$$

где t _i — образующие группы. В абелевой (коммутативной) группе (такой как U(1), которую мы здесь используем) структурные константы равны нулю, поскольку все генераторы t _a коммутируют друг с другом. Конечно, в целом это не так – стандартная модель включает неабелевы группы SU(2) и SU(3) (такие группы приводят к так называемой калибровочной теории Янга–Миллса ).

Нам необходимо ввести по три калибровочных поля, соответствующих каждой из подгрупп SU(3) × SU(2) ×  U(1) .

• Тензор глюонного поля будем обозначать , где индекс a обозначает элементы 8- представления цвета SU(3) . Константу сильной связи обычно обозначают gs (или просто g _, где нет двусмысленности). Наблюдения, приведшие к открытию этой части Стандартной модели, обсуждаются в статье по квантовой хромодинамике . ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$
• Эти обозначения будут использоваться для тензора калибровочного поля группы SU(2) , где a пробегает три генератора этой группы. Связь можно обозначить gw _или просто g . Калибровочное поле будем обозначать . ${\displaystyle W_{\mu \nu }^{a}}$ ${\displaystyle W_{\mu }^{a}}$
• Тензор калибровочного поля для U(1) слабого гиперзаряда будем обозначать B _µν , связь – g′ , а калибровочное поле – B _µ .

Кинетический член теперь можно записать как

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {kin}}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }}$$

где следы проходят по индексам SU(2) и SU(3) , скрытым в W и G соответственно. Двухиндексные объекты представляют собой напряженности поля, полученные из векторных полей W и G. Есть также два дополнительных скрытых параметра: тета-углы для SU(2) и SU(3) .

Условия соединения

Следующим шагом будет «связывание» калибровочных полей с фермионами, что позволит обеспечить взаимодействие.

Электрослабый сектор

Электрослабый сектор взаимодействует с группой симметрии U(1) × SU(2) _L , где индекс L указывает на связь только с левыми фермионами.

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }=\sum _{\psi }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\left(i\partial _{\mu }-g^{\prime }{1 \over 2}Y_{\mathrm {W} }B_{\mu }-g{1 \over 2}{\boldsymbol {\tau }}\mathbf {W} _{\mu }\right)\psi }$$

где B _µ — калибровочное поле U(1) ; Y _W – слабый гиперзаряд (генератор группы U(1) ); W _µ – трехкомпонентное калибровочное поле SU(2) ; а компоненты τ — матрицы Паули (бесконечно малые генераторы группы SU(2) ), собственные значения которых задают слабый изоспин. Обратите внимание, что нам нужно переопределить новую симметрию U(1) слабого гиперзаряда , отличную от КЭД, чтобы добиться объединения со слабым взаимодействием. Электрический заряд Q , третий компонент слабого изоспина T ₃ (также называемый T _z , I ₃ или I _z ) и слабый гиперзаряд Y _W связаны соотношением

$${\displaystyle Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}Y_{\rm {W}},}$$

альтернативному соглашению Q = T ₃ + Y _Wформуле Гелла-Манна-Нисидзимы

Тогда можно определить сохраняющийся ток для слабого изоспина как

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mu }={1 \over 2}{\bar {\psi }}_{\rm {L}}\gamma _{\mu }{\boldsymbol {\tau }}\psi _{\rm {L}}}$$

$${\displaystyle j_{\mu }^{Y}=2(j_{\mu }^{\rm {em}}-j_{\mu }^{3})~,}$$

эти токи смешиваются ${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}}$ ${\displaystyle j_{\mu }^{3}}$

Чтобы объяснить это более простым способом, мы можем увидеть эффект электрослабого взаимодействия, выделив члены лагранжиана. Мы видим, что симметрия SU(2) действует на каждый (левый) дублет фермионов, содержащийся в ψ , например

$${\displaystyle -{g \over 2}({\bar {\nu }}_{e}\;{\bar {e}})\tau ^{+}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }{\begin{pmatrix}{\nu _{e}}\\e\end{pmatrix}}=-{g \over 2}{\bar {\nu }}_{e}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }e}$$

$${\displaystyle \tau ^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau ^{1}{+}i\tau ^{2})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$$

Это взаимодействие, соответствующее «вращению в слабом изоспиновом пространстве» или, другими словами, преобразованию между e _L и ν _eL посредством испускания W ⁻ бозона. С другой стороны, симметрия U (1) аналогична электромагнетизму, но действует на все « слабые гиперзаряженные » фермионы (как левые, так и правые) через нейтральный Z0 , а также на заряженные фермионы через фотон ^. .

Сектор квантовой хромодинамики

Сектор квантовой хромодинамики (КХД) определяет взаимодействия между кварками и глюонами с симметрией SU (3) , генерируемые T _a . Поскольку лептоны не взаимодействуют с глюонами, этот сектор на них не влияет. Лагранжиан Дирака кварков, связанных с глюонными полями, определяется выражением

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=i{\overline {U}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }U+i{\overline {D}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }D.}$$

где U и D — спиноры Дирака, связанные с кварками верхнего и нижнего типов, а остальные обозначения продолжаются из предыдущего раздела.

Массовые члены и механизм Хиггса

Массовые термины

Массовый член, возникающий из лагранжиана Дирака (для любого фермиона ψ ), не является инвариантным относительно электрослабой симметрии. В этом можно убедиться, записав ψ через левые и правые компоненты (пропуская фактические вычисления): ${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi }$

$${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi =-m({\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {R}}+{\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {L}})}$$

т.е. вклад и условия не отображаются. Мы видим, что массообразующее взаимодействие достигается за счет постоянного изменения киральности частиц. Частицы с половинным спином не имеют пары правой/левой киральности с одинаковыми представлениями SU (2) и равными и противоположными слабыми гиперзарядами, поэтому, если предположить, что эти калибровочные заряды сохраняются в вакууме, ни одна из частиц с полуспиновым полушарием никогда не сможет поменять киральность. и должен оставаться безмассовым. Кроме того, мы экспериментально знаем, что W- и Z-бозоны массивны, но член массы бозона содержит комбинацию, например, A ^μ A _μ , которая явно зависит от выбора калибровки. Следовательно, ни один из фермионов или бозонов стандартной модели не может «начинаться» с массы, а должен приобретать ее каким-то другим механизмом. ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}}$

Механизм Хиггса

Решение обеих этих проблем дает механизм Хиггса , в котором задействованы скалярные поля (количество которых зависит от точной формы механизма Хиггса), которые (если дать максимально краткое описание) «поглощаются» массивными бозонами как степени свобода, и какие пары с фермионами посредством взаимодействия Юкавы создают то, что выглядит как массовые члены.

В Стандартной модели поле Хиггса представляет собой комплексное скалярное поле группы SU(2) _L :

$${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\phi ^{+}\\\phi ^{0}\end{pmatrix}},}$$

где верхние индексы + и 0 указывают электрический заряд ( Q ) компонентов. Слабый гиперзаряд ( Y _W ) обоих компонентов равен 1 .

Хиггсовская часть лагранжиана равна

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {H}}=\left[\left(\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig'Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2},}$$

где λ > 0 и µ ² > 0 , так что можно использовать механизм спонтанного нарушения симметрии . Здесь есть параметр, поначалу скрытый внутри формы потенциала, который очень важен. Калибр унитарности можно установить и сделать реальным. Тогда – ненулевое вакуумное математическое ожидание поля Хиггса. имеет единицы массы, и это единственный параметр Стандартной модели, который не является безразмерным. Он также намного меньше масштаба Планка и примерно в два раза больше массы Хиггса, что устанавливает масштаб для массы всех других частиц в Стандартной модели. Это единственная реальная точная настройка до небольшого ненулевого значения в Стандартной модели. Возникают квадратичные члены в Wμ и Bμ , которые задают массы W- и Z- _{бозонам :} ${\displaystyle \phi ^{+}=0}$ ${\displaystyle \phi ^{0}}$ ${\displaystyle \langle \phi ^{0}\rangle =v}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\rm {W}}&={\tfrac {1}{2}}vg\\M_{\rm {Z}}&={\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {g^{2}+{g'}^{2}}}\end{aligned}}}$$

Масса самого бозона Хиггса определяется выражением ${\textstyle M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.}$

Взаимодействие Юкавы

Условия взаимодействия Юкавы :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Yukawa}}=(Y_{u})_{mn}({\bar {q}}_{L})_{m}{\tilde {\varphi }}(u_{R})_{n}+(Y_{d})_{mn}({\bar {q}}_{L})_{m}\varphi (d_{R})_{n}+(Y_{e})_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}{\tilde {\varphi }}(e_{R})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$

где , и являются матрицами связей Юкавы размером 3 × 3 , где член mn обозначает связь поколений m и n , а hc означает эрмитово сопряжение предыдущих членов. Поля и представляют собой левые кварковые и лептонные дублеты. Точно так же и являются правыми кварками верхнего типа, кварками нижнего типа и лептонными синглетами. Наконец, это дублет Хиггса и ${\displaystyle Y_{u}}$ ${\displaystyle Y_{d}}$ ${\displaystyle Y_{e}}$ ${\displaystyle q_{L}}$ ${\displaystyle L_{L}}$ ${\displaystyle u_{R},d_{R}}$ ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}=i\tau _{2}\varphi ^{*}}$

Массы нейтрино

Как упоминалось ранее, данные показывают, что нейтрино должны иметь массу. Но в рамках стандартной модели правого нейтрино не существует, поэтому даже при взаимодействии Юкавы нейтрино остаются безмассовыми. Очевидным решением ^[4] является простое добавление правого нейтрино ν _R , что требует добавления нового массового члена Дирака в секторе Юкавы:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Dir}}=(Y_{\nu })_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}\varphi (\nu _{R})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$

Однако это поле должно быть стерильным нейтрино , поскольку, будучи правым, оно экспериментально принадлежит синглету изоспина ( T ₃ = 0 ), а также имеет заряд Q = 0 , что подразумевает Y _W = 0 (см. выше), т.е. оно даже не участвует в слабом взаимодействии. Экспериментальные доказательства существования стерильных нейтрино в настоящее время неубедительны. ^[5]

Другая возможность, которую следует учитывать, заключается в том, что нейтрино удовлетворяет уравнению Майораны , что на первый взгляд кажется возможным из-за его нулевого электрического заряда. В этом случае к сектору Юкава добавляется новый массовый термин Майораны :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Maj}}=-{\frac {1}{2}}m\left({\overline {\nu }}^{C}\nu +{\overline {\nu }}\nu ^{C}\right)}$$

где C обозначает зарядово-сопряженную (т.е. анти-) частицу, а термины последовательно характеризуют всю левую (или всю правую) киральность (обратите внимание, что проекция левой киральности античастицы является правосторонним полем; здесь необходимо соблюдать осторожность из-за иногда используются различные обозначения). Здесь мы, по сути, переключаемся между левыми нейтрино и правыми антинейтрино (более того, возможно, но не обязательно, что нейтрино являются собственными античастицами, поэтому эти частицы одинаковы). Однако для нейтрино с левой киральностью этот член меняет слабый гиперзаряд на 2 единицы – что невозможно при стандартном взаимодействии Хиггса, требующем расширения поля Хиггса за счет включения дополнительного триплета со слабым гиперзарядом = 2 ^[4] – тогда как для нейтрино с правой киральностью киральности нейтрино, расширения Хиггса не нужны. Как для левой, так и для правой киральности члены Майораны нарушают лептонное число , но, возможно, на уровне, превышающем текущую чувствительность экспериментов по обнаружению таких нарушений. ${\displaystyle \nu }$

В одну и ту же теорию можно включить массовые члены Дирака и Майораны, что (в отличие от подхода Дирака, основанного только на массе) может дать «естественное» объяснение малости наблюдаемых масс нейтрино, связывая правые передал нейтрино еще неизвестной физике в масштабе Великого Объединения ^[6] (см. механизм качелей ).

Поскольку в любом случае для объяснения экспериментальных результатов необходимо постулировать новые поля, нейтрино являются очевидными воротами к поиску физики за пределами Стандартной модели .

Подробная информация

В этом разделе представлена ​​более подробная информация о некоторых аспектах, а также некоторые справочные материалы. Здесь также представлены явные условия Лагранжа .

Подробное содержание поля

Стандартная модель имеет следующие поля. Они описывают одно поколение лептонов и кварков, а их три, то есть существует три копии каждого фермионного поля. По симметрии CPT существует набор фермионов и антифермионов с противоположной четностью и зарядом. Если левый фермион охватывает некоторое представление, его античастица (правый антифермион) охватывает двойственное представление ^[7] (обратите внимание, что для SU(2), поскольку оно псевдовещественно ). В столбце « Представление » указано, под какими представлениями калибровочных групп каждое поле преобразует в порядке (SU(3), SU(2), U(1)) и для группы U(1) значение указан слабый гиперзаряд . В каждом поколении левых компонентов лептонного поля в два раза больше, чем правых, но одинаковое количество левых и правых кварковых компонентов поля. ${\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}={\mathbf {2} }}$

Содержание фермионов

Эта таблица частично основана на данных, собранных группой Particle Data Group . ^[9]

Свободные параметры

При написании наиболее общего лагранжиана с безмассовыми нейтрино обнаруживается, что динамика зависит от 19 параметров, числовые значения которых устанавливаются экспериментально. Для простого расширения Стандартной модели с использованием массивных нейтрино требуется еще 7 параметров (3 массы и 4 параметра матрицы PMNS), всего 26 параметров. ^[10] Значения параметров нейтрино до сих пор не определены. Здесь суммированы 19 определенных параметров.

Выбор свободных параметров несколько произволен. В таблице выше калибровочные муфты указаны как свободные параметры, поэтому при таком выборе угол Вайнберга не является свободным параметром – он определяется как . Аналогично, константа тонкой структуры КЭД равна . Вместо масс фермионов в качестве свободных параметров можно выбрать безразмерные связи Юкавы. Например, масса электрона зависит от связи Юкавы электрона с полем Хиггса, и ее значение равно . Вместо массы Хиггса в качестве свободного параметра можно выбрать силу самосвязи Хиггса , составляющую примерно 0,129. Вместо вакуумного среднего Хиггса можно выбрать параметр непосредственно из члена самодействия Хиггса . Его значение составляет , или примерно ГэВ. ${\displaystyle \tan \theta _{\rm {W}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {(g_{1}g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}}}}$ ${\displaystyle m_{\rm {e}}={\frac {y_{\rm {e}}}{\sqrt {2}}}v}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2v^{2}}}}$ ${\displaystyle \mu ^{2}}$ ${\displaystyle \mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}}$ ${\displaystyle \mu ^{2}=\lambda v^{2}={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \mu =88.45}$

Значение энергии вакуума (точнее, масштаб перенормировки , используемый для расчета этой энергии) также можно рассматривать как дополнительный свободный параметр. Масштаб перенормировки может быть отождествлен со шкалой Планка или точно настроен в соответствии с наблюдаемой космологической постоянной . Однако оба варианта проблематичны . ^[11]

Дополнительные симметрии Стандартной модели

С теоретической точки зрения Стандартная модель демонстрирует четыре дополнительные глобальные симметрии, не постулированные в начале ее построения, которые в совокупности обозначаются случайными симметриями , которые представляют собой непрерывные глобальные симметрии U (1) . Преобразования, оставляющие лагранжев инвариант:

$${\displaystyle \psi _{\text{q}}(x)\to e^{i\alpha /3}\psi _{\text{q}}}$$

$${\displaystyle E_{\rm {L}}\to e^{i\beta }E_{\rm {L}}{\text{ and }}(e_{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(e_{\rm {R}})^{c}}$$

$${\displaystyle M_{\rm {L}}\to e^{i\beta }M_{\rm {L}}{\text{ and }}(\mu _{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(\mu _{\rm {R}})^{c}}$$

$${\displaystyle T_{\rm {L}}\to e^{i\beta }T_{\rm {L}}{\text{ and }}(\tau _{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(\tau _{\rm {R}})^{c}}$$

Первое правило преобразования является сокращенным и означает, что все поля кварков всех поколений должны одновременно вращаться по одинаковой фазе. Поля M _L , T _L и являются аналогами EL _и полей 2-го (мюонного) и 3-го (тау) поколений . ${\displaystyle (\mu _{\rm {R}})^{c},(\tau _{\rm {R}})^{c}}$ ${\displaystyle (e_{\rm {R}})^{c}}$

По теореме Нётер , каждая симметрия, описанная выше, имеет связанный с ней закон сохранения : сохранение барионного числа , ^[12] числа электронов , числа мюонов и тау-числа . Каждому кварку присвоено барионное число , а каждому антикварку — барионное число . Сохранение барионного числа означает, что число кварков минус количество антикварков является константой. В пределах эксперимента нарушений этого закона сохранения обнаружено не было. ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{3}}}$

Точно так же каждому электрону и связанному с ним нейтрино присваивается номер электрона +1, в то время как антиэлектрон и связанное с ним антинейтрино имеют номер электрона -1. Точно так же мюонам и их нейтрино присвоено мюонное число +1, а тау-лептонам присвоено тау-лептонное число +1. Стандартная модель предсказывает, что каждое из этих трех чисел должно сохраняться отдельно, подобно тому, как сохраняется барионное число. Эти числа известны под общим названием «числа семейства лептонов» (LF). (Этот результат зависит от предположения, сделанного в Стандартной модели, что нейтрино не имеют массы. Экспериментально нейтринные осцилляции показывают, что отдельные числа электронов, мюонов и тау не сохраняются.) ^{[13] [14]}

Помимо случайных (но точных) симметрий, описанных выше, Стандартная модель демонстрирует несколько приближенных симметрий . Это « кустодиальная симметрия SU(2) » и «ароматическая симметрия кварков SU(2) или SU(3)».

Симметрия U(1)

Для лептонов калибровочную группу можно записать SU(2) _l  × U(1) _L  × U(1) _R . Два фактора U(1) можно объединить в U(1) _Y  × U(1) _l , где l — лептонное число . Калибровка лептонного числа исключается экспериментально, остается только возможная калибровочная группа SU(2) _L  × U(1) _Y . Аналогичный аргумент в кварковом секторе дает тот же результат и для электрослабой теории.

Взаимодействие заряженного и нейтрального тока и теория Ферми

Заряженные токи ${\displaystyle j^{\mp }=j^{1}\pm ij^{2}}$

$${\displaystyle j_{\mu }^{-}={\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }.}$$

теорию бета-распада Ферми

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {CC}}={\frac {g}{\sqrt {2}}}(j_{\mu }^{+}W^{-\mu }+j_{\mu }^{-}W^{+\mu }).}$$

Ферми ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}G_{\rm {F}}~~J_{\mu }^{+}J^{\mu ~~-}}$

Однако теперь калибровочная инвариантность требует, чтобы компонента калибровочного поля была также связана с током, лежащим в тройке SU(2). Однако он смешивается с U(1), и в этом секторе необходим другой ток. Эти токи должны быть незаряженными, чтобы сохранить заряд. Поэтому нейтральные токи также необходимы, ${\displaystyle W^{3}}$

$${\displaystyle j_{\mu }^{3}={\frac {1}{2}}\left({\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }U_{i\mathrm {L} }-{\overline {D}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }\nu _{i\mathrm {L} }-{\overline {l}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }\right)}$$

$${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}={\frac {2}{3}}{\overline {U}}_{i}\gamma _{\mu }U_{i}-{\frac {1}{3}}{\overline {D}}_{i}\gamma _{\mu }D_{i}-{\overline {l}}_{i}\gamma _{\mu }l_{i}.}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {NC}}=ej_{\mu }^{\rm {em}}A^{\mu }+{\frac {g}{\cos \theta _{\rm {W}}}}(J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}J_{\mu }^{\rm {em}})Z^{\mu }.}$$

Физика за пределами Стандартной модели

Физика за пределами Стандартной модели (BSM) относится к теоретическим разработкам, необходимым для объяснения недостатков Стандартной модели , таких как неспособность объяснить фундаментальные параметры стандартной модели, сильная проблема CP , нейтринные осцилляции , асимметрия материи-антивещества , и природа темной материи и темной энергии . ^[15] Другая проблема заключается в математической структуре самой Стандартной модели: Стандартная модель несовместима с моделью общей теории относительности , и одна или обе теории терпят неудачу при определенных условиях, таких как сингулярности пространства-времени , такие как Большой взрыв и событие черной дыры. горизонты .

Теории, выходящие за рамки Стандартной модели, включают различные расширения стандартной модели посредством суперсимметрии , такие как минимальная суперсимметричная стандартная модель (MSSM) и следующая за минимальной суперсимметричная стандартная модель (NMSSM), а также совершенно новые объяснения, такие как теория струн . М-теория и дополнительные измерения . Поскольку эти теории имеют тенденцию воспроизводить все современные явления, вопрос о том, какая теория является правильной или, по крайней мере, «лучшим шагом» к Теории Всего , может быть решен только посредством экспериментов и является одним из наиболее активных области исследований как в теоретической , так и в экспериментальной физике . ^[16]

Смотрите также

• Обзор Стандартной модели физики элементарных частиц
• Фундаментальное взаимодействие
• Некоммутативная стандартная модель
• Открытые вопросы: CP-нарушение , Массы нейтрино , Кварковая материя.
• Физика за пределами Стандартной модели
• Сильные взаимодействия
  • Вкус
  • Квантовая хромодинамика
  • Кварковая модель
• Слабые взаимодействия
  • Электрослабое взаимодействие
  • Взаимодействие Ферми
• Угол Вайнберга
• Симметрия в квантовой механике
• Квантовая теория поля в двух словах А. Зи

Ссылки и внешние ссылки

1. Фактически, существуют математические вопросы, касающиеся квантовых теорий поля, которые все еще обсуждаются (см., например, полюс Ландау ), но все предсказания, извлеченные из Стандартной модели с помощью современных методов, являются самосогласованными. Для дальнейшего обсуждения см., например, Р. Манн, глава 25.
2. Прощай, Деннис (11 сентября 2023 г.). «Не ждите, что «Теория всего» объяснит все - даже самая продвинутая физика не может раскрыть все, что мы хотим знать об истории и будущем космоса или о нас самих». Нью-Йорк Таймс . Архивировано из оригинала 11 сентября 2023 года . Проверено 11 сентября 2023 г.
3. Линдон, Джек (2020). Коллайдерные исследования темной энергии, темной материи и общих признаков, выходящих за рамки стандартной модели, в событиях с энергичной струей и большим недостающим поперечным импульсом с использованием детектора ATLAS на БАК (доктор философии). ЦЕРН.
4. Раби, Стюарт; Слански, Ричард. «Массы нейтрино - как добавить их в Стандартную модель» (PDF) . Проект ФАС о государственной тайне . Проверено 3 ноября 2023 г.
5. «Нейтринные осцилляции сегодня». t2k-experiment.org .
6. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 26 февраля 2014 г. Проверено 26 февраля 2014 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
7. «2.3.1 Изоспин и SU (2), Redux» . math.ucr.edu . Проверено 9 августа 2020 г.
8. Маккейб, Гордон. (2007). Структура и интерпретация стандартной модели . Амстердам: Эльзевир. стр. 160–161. ISBN 978-0-444-53112-4. ОСЛК  162131565.
9. В.-М. Яо и др . ( Группа данных о частицах ) (2006). «Обзор физики элементарных частиц: кварки» (PDF) . Журнал физики Г. 33 (1): 1. arXiv : astro-ph/0601168 . Бибкод : 2006JPhG...33....1Y. дои : 10.1088/0954-3899/33/1/001. S2CID  117958297.
10. Марк Томсон (5 сентября 2013 г.). Современная физика элементарных частиц. Издательство Кембриджского университета. стр. 499–500. ISBN 978-1-107-29254-3.
11. Мартин, Жером (июль 2012 г.). «Все, что вы всегда хотели знать о проблеме космологической постоянной (но боялись спросить)». Comptes Rendus Physique . 13 (6–7): 566–665. arXiv : 1205.3365 . Бибкод : 2012CRPhy..13..566M. дои : 10.1016/j.crhy.2012.04.008. S2CID  119272967.
12. Барионное число в СМ сохраняется только на классическом уровне. Существуют непертурбативные эффекты, которые не сохраняют барионное число: Нарушение барионного числа, отчет, подготовленный для исследования общественного планирования – Сноумасс, 2013 г.
13. Лептонное число в СМ сохраняется только на классическом уровне. Существуют непертурбативные эффекты, которые не сохраняют лептонное число: см. Fuentes-Martín, J.; Портолес, Дж.; Руис-Фемения, П. (январь 2015 г.). «Инстантон-опосредованное нарушение барионного числа в неуниверсальных расширенных моделях». Журнал физики высоких энергий . 2015 (1): 134. arXiv : 1411.2471 . Бибкод : 2015JHEP...01..134F. дои : 10.1007/JHEP01(2015)134 . ISSN  1029-8479.или Барионное и лептонное числа в физике элементарных частиц за пределами стандартной модели
14. Нарушение лептонного и барионного числа компенсируют друг друга, и по сути B - L является точной симметрией Стандартной модели. Расширение Стандартной модели массивными нейтрино Майораны нарушает симметрию BL, а расширение Стандартной модели массивными нейтрино Дирака - нет: см. Ма, Эрнест; Шривастава, Рахул (30 августа 2015 г.). «Массы нейтрино Дирака или обратные качели из калиброванной симметрии B – L». Буквы по современной физике А. 30 (26): 1530020. arXiv : 1504.00111 . Бибкод : 2015МПЛА...3030020М. дои : 10.1142/S0217732315300207. ISSN  0217-7323. S2CID  119111538., Хек, Джулиан (декабрь 2014 г.). «Ненарушенная симметрия B – L». Буквы по физике Б. 739 : 256–262. arXiv : 1408.6845 . Бибкод : 2014PhLB..739..256H. дои : 10.1016/j.physletb.2014.10.067 ., Виссани, Франческо (3 марта 2021 г.). «Что такое материя с точки зрения физики элементарных частиц и зачем пытаться наблюдать за ее созданием в лаборатории». Вселенная . 7 (3): 61. arXiv : 2103.02642 . Бибкод : 2021Унив....7...61В. дои : 10.3390/universe7030061 .
15. Уомерсли, Дж. (февраль 2005 г.). «За пределами стандартной модели» (PDF) . Журнал «Симметрия» . Архивировано из оригинала (PDF) 17 октября 2007 г. Проверено 23 ноября 2010 г.
16. Прощай, Деннис (11 сентября 2023 г.). «Не ждите, что «Теория всего» объяснит все - даже самая продвинутая физика не может раскрыть все, что мы хотим знать об истории и будущем космоса или о нас самих». Нью-Йорк Таймс . Архивировано из оригинала 11 сентября 2023 года . Проверено 11 сентября 2023 г.

• Введение в квантовую теорию поля М. Е. Пескина и Д. В. Шредера (HarperCollins, 1995) ISBN 0-201-50397-2 . 
• Калибровочная теория физики элементарных частиц , Т.П. Ченг и Л.Ф. Ли (Oxford University Press, 1982) ISBN 0-19-851961-3 . 
• Лагранжиан стандартной модели с явными членами Хиггса (TD Gutierrez, около 1999 г.) (версии PDF, PostScript и LaTeX)
• Квантовая теория полей (том 2), С. Вайнберг (Cambridge University Press, 1996) ISBN 0-521-55002-5 . 
• Квантовая теория поля в двух словах (второе издание), А. Зи (Princeton University Press, 2010) ISBN 978-1-4008-3532-4 . 
• Введение в физику элементарных частиц и стандартную модель , Р. Манн (CRC Press, 2010) ISBN 978-1420082982 
• Физика из симметрии Дж. Швихтенберга (Springer, 2015) ISBN 3319192000 . Особенно стр. 86.