метрика Гёделя

Решение уравнений поля Эйнштейна

Метрика Гёделя , также известная как решение Гёделя или вселенная Гёделя , является точным решением , найденным в 1949 году Куртом Гёделем ^[1] уравнений поля Эйнштейна , в котором тензор энергии-импульса содержит два члена: первый представляет плотность вещества однородного распределения закрученных пылевых частиц (см. решение пыли ), а второй связан с отрицательной космологической постоянной (см. решение Лямбда-вакуума ).

Это решение имеет много необычных свойств — в частности, существование замкнутых времениподобных кривых , которые позволили бы путешествовать во времени во вселенной, описываемой решением. Его определение несколько искусственно, поскольку значение космологической постоянной должно быть тщательно выбрано, чтобы соответствовать плотности пылинок, но это пространство-время является важным педагогическим примером.

Определение

Как и любое другое лоренцево пространство-время , решение Гёделя представляет метрический тензор в терминах локальной координатной карты . Возможно, проще всего понять вселенную Гёделя, используя цилиндрическую систему координат (см. ниже), но в этой статье используется карта, первоначально использованная Гёделем. В этой карте метрика (или, что эквивалентно, элемент линии ) — это

${\displaystyle g={\frac {1}{2\omega ^{2}}}\left[-(dt+e^{x}\,dy)^{2}+dx^{2}+{\tfrac {1}{2}}e^{2x}\,dy^{2}+dz^{2}\right],\qquad -\infty <t,x,y,z<\infty ,}$

где — ненулевая действительная константа, которая дает угловую скорость окружающих пылинок вокруг оси y , измеренную «невращающимся» наблюдателем, сидящим на одной из пылинок. «Невращающийся» означает, что наблюдатель не чувствует центробежных сил, но в этой системе координат он будет вращаться вокруг оси, параллельной оси y . В этой вращающейся системе координат пылинки остаются при постоянных значениях x , y и z . Их плотность на этой координатной диаграмме увеличивается с x , но их плотность в их собственных системах отсчета везде одинакова. ${\displaystyle \omega }$

Характеристики

Для исследования свойств решения Гёделя можно предположить поле кадра (дуальное по отношению к ко-кадру, считанному из метрики, как указано выше),

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{x}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{y}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=2\omega \,\left(\exp(-x)\,\partial _{z}-\partial _{t}\right).}$

Эта структура определяет семейство инерциальных наблюдателей, которые «сопутствуют частицам пыли». Вычисление производных Ферми–Уокера относительно показывает , что пространственные системы вращаются с угловой скоростью . Из этого следует, что «невращающаяся инерциальная система», сопутствующая частицам пыли, есть ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$ ${\displaystyle -\omega }$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\cos(\omega t)\,{\vec {e}}_{1}-\sin(\omega t)\,{\vec {e}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\vec {e}}_{2}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}=\sin(\omega t)\,{\vec {e}}_{1}+\cos(\omega t)\,{\vec {e}}_{3}.}$

тензор Эйнштейна

Компоненты тензора Эйнштейна (относительно каждой из приведенных выше систем отсчета) равны

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (-1,1,1,1)+2\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,0,0).}$

Здесь первый член характерен для решения Лямбда-вакуума , а второй член характерен для идеальной жидкости или пылевого раствора без давления. Космологическая постоянная тщательно подбирается, чтобы частично компенсировать плотность материи пыли.

Топология

Пространство-время Гёделя является редким примером регулярного (без сингулярностей) решения уравнений поля Эйнштейна . Исходная карта Гёделя геодезически полна и свободна от сингулярностей. Следовательно, это глобальная карта, а пространство-время гомеоморфно R 4 и ^, следовательно, односвязно.

Инварианты кривизны

В любом лоренцевом пространстве-времени тензор Римана четвертого ранга является полилинейным оператором в четырехмерном пространстве касательных векторов (при некотором событии), но линейным оператором в шестимерном пространстве бивекторов при этом событии. Соответственно, он имеет характеристический многочлен , корни которого являются собственными значениями . В гёделевом пространстве-времени эти собственные значения очень просты:

• тройное собственное значение ноль,
• двойное собственное значение , ${\displaystyle -\omega ^{2}}$
• единственное собственное значение . ${\displaystyle \omega ^{2}}$

Убийство векторов

Это пространство-время допускает пятимерную алгебру Ли векторов Киллинга , которая может быть сгенерирована с помощью « временного переноса » , двух «пространственных переносов» и двух дополнительных векторных полей Киллинга: ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{y},\;\partial _{z}}$

${\displaystyle \partial _{x}-y\,\partial _{y}}$

и

${\displaystyle -2\exp(-x)\,\partial _{t}+y\,\partial _{x}+\left(\exp(-2x)-y^{2}/2\right)\,\partial _{y}.}$

Группа изометрий действует «транзитивно» (поскольку мы можем перевести в , а с четвертым вектором мы можем двигаться по ), поэтому пространство-время «однородно». Однако, как можно видеть, оно не «изотропно». ${\displaystyle t,y,z}$ ${\displaystyle x}$

Приведенные демонстраторы показывают, что срезы допускают транзитивную абелеву трехмерную группу преобразований , так что фактор решения может быть переинтерпретирован как стационарное цилиндрически симметричное решение. Срезы допускают действие SL(2, R ) , и срезы допускают Bianchi III (ср. четвертое векторное поле Киллинга). Это можно переписать как группу симметрии, содержащую трехмерные подгруппы с примерами типов Bianchi I, III и VIII. Четыре из пяти векторов Киллинга, а также тензор кривизны не зависят от координаты y. Решение Гёделя является декартовым произведением фактора R с трехмерным лоренцевым многообразием ( сигнатура −++). ${\displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle y=y_{0}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

Можно показать, что, за исключением локальной изометрии , решение Гёделя является единственным идеальным жидким решением уравнения поля Эйнштейна, которое допускает пятимерную алгебру Ли векторов Киллинга.

Тип Петрова и разложение Бела

Тензор Вейля решения Гёделя имеет тип Петрова D. Это означает, что для соответствующим образом выбранного наблюдателя приливные силы очень близки к тем, которые ощущались бы от точечной массы в ньютоновской гравитации.

Для более детального изучения приливных сил можно разложить Бела тензор Римана на три части: приливной или электрогравитационный тензор (который представляет приливные силы), магнитогравитационный тензор (который представляет спин-спиновые силы, действующие на вращающиеся пробные частицы, и другие гравитационные эффекты, аналогичные магнетизму) и топогравитационный тензор (который представляет пространственные секционные кривизны).

Наблюдатели, движущиеся вместе с частицами пыли, заметят, что приливной тензор (относительно , ​​компоненты которого оцениваются в нашей системе отсчета) имеет вид ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {E\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,1).}$

То есть они измеряют изотропное приливное натяжение, ортогональное выделенному направлению . ${\displaystyle \partial _{y}}$

Гравитомагнитный тензор тождественно равен нулю

${\displaystyle {B\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=0.}$

Это артефакт необычной симметрии этого пространства-времени, который подразумевает, что предполагаемое «вращение» пыли не имеет гравитомагнитных эффектов, обычно связанных с гравитационным полем, создаваемым вращающейся материей.

Главные инварианты Лоренца тензора Римана:

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=12\omega ^{4},\;R_{abcd}{{}^{\star }R}^{abcd}=0.}$

Исчезновение второго инварианта означает, что некоторые наблюдатели не измеряют гравитомагнетизм, что согласуется с тем, что было только что сказано. Тот факт, что первый инвариант ( инвариант Кречмана ) является постоянным, отражает однородность пространства-времени Гёделя.

Жесткое вращение

Приведенные выше поля фрейма являются инерциальными, но вектор вихря времениподобной геодезической конгруэнтности, определяемый времениподобными единичными векторами, равен ${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=0}$

${\displaystyle -\omega {\vec {e}}_{2}}$

Это означает, что мировые линии близлежащих пылевых частиц закручиваются друг вокруг друга. Более того, тензор сдвига конгруэнтности исчезает, поэтому пылевые частицы демонстрируют жесткое вращение. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Оптические эффекты

Если изучить световой конус прошлого данного наблюдателя, можно обнаружить, что нулевые геодезические движутся ортогонально по спирали внутрь к наблюдателю, так что если смотреть радиально, то можно увидеть другие пылинки в постепенно отстающих во времени положениях. Однако решение стационарно, поэтому может показаться, что наблюдатель, едущий на пылинке, не увидит, как другие пылинки вращаются вокруг себя. Однако напомним, что хотя первый кадр, приведенный выше ( ), на диаграмме выглядит статичным, производные Ферми–Уокера показывают, что он вращается относительно гироскопов. Второй кадр ( ) на диаграмме выглядит вращающимся, но он гиростабилизирован, и невращающийся инерциальный наблюдатель, едущий на пылинке, действительно увидит, как другие пылинки вращаются по часовой стрелке с угловой скоростью вокруг своей оси симметрии. Оказывается, что, кроме того, оптические изображения расширяются и сдвигаются в направлении вращения. ${\displaystyle \partial _{y}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{j}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{j}}$ ${\displaystyle \omega }$

Если невращающийся инерциальный наблюдатель смотрит вдоль своей оси симметрии, он видит своих соосных невращающихся инерциальных коллег, по-видимому, невращающихся относительно него самого, как и следовало ожидать.

Форма абсолютного будущего

По мнению Хокинга и Эллиса, еще одной замечательной особенностью этого пространства-времени является тот факт, что если несущественная координата y подавлена, свет, испускаемый событием на мировой линии данной пылевой частицы, спирально выходит наружу, образует круговой касп, затем спирально входит внутрь и сходится в последующем событии на мировой линии исходной пылевой частицы. Это означает, что наблюдатели, смотрящие ортогонально направлению, могут видеть только конечно далеко, а также видеть себя в более раннее время. ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$

Куспид представляет собой негеодезическую замкнутую нулевую кривую. (См. более подробное обсуждение ниже с использованием альтернативной координатной карты.)

Замкнутые времениподобные кривые

Из-за однородности пространства-времени и взаимного скручивания нашего семейства времениподобных геодезических, более или менее неизбежно, что пространство-время Гёделя должно иметь замкнутые времениподобные кривые (ЗВК). Действительно, ЗВК существуют для каждого события в пространстве-времени Гёделя. Эта причинная аномалия, по-видимому, рассматривалась как весь смысл модели самим Гёделем, который, по-видимому, стремился доказать, что уравнения пространства-времени Эйнштейна не согласуются с тем, что мы интуитивно понимаем под временем (т. е. что оно проходит, а прошлого больше не существует, позиция, которую философы называют презентизмом , тогда как Гёдель, похоже, отстаивал что-то больше похожее на философию этернализма ). ^[2]

Эйнштейн был знаком с решением Гёделя и прокомментировал в книге «Альберт Эйнштейн: философ-ученый» ^[3] , что если существует ряд причинно-связанных событий, в котором «ряд замкнут в себе» (другими словами, замкнутая времениподобная кривая), то это говорит о том, что не существует хорошего физического способа определить, произошло ли данное событие в ряду «раньше» или «позже», чем другое событие в ряду:

В этом случае различие «раньше-позже» отбрасывается для мировых точек, которые в космологическом смысле находятся далеко друг от друга, и возникают те парадоксы относительно направления причинной связи, о которых говорил г-н Гёдель.

Такие космологические решения уравнений гравитации (с неисчезающей константой A) были найдены г-ном Гёделем. Будет интересно взвесить, не следует ли их исключить по физическим причинам.

Глобально негиперболический

Если бы пространство-время Гёделя допускало любые безграничные временные гиперсрезы (например, поверхность Коши ), то любой такой ЗВК должен был бы пересекать его нечетное число раз, что противоречит факту, что пространство-время односвязно. Следовательно, это пространство-время не является глобально гиперболическим .

Цилиндрическая диаграмма

В этом разделе мы представляем еще одну координатную карту для решения Гёделя, на которой некоторые из упомянутых выше особенностей легче увидеть.

Вывод

Гёдель не объяснил, как он нашел свое решение, но на самом деле существует множество возможных выводов. Мы набросаем один из них здесь и одновременно проверим некоторые из утверждений, сделанных выше.

Начнем с простой рамки в цилиндрической диаграмме, содержащей две неопределенные функции радиальной координаты:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\,{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{b(r)}}\,\left(-a(r)\,\partial _{t}+\partial _{\varphi }\right)}$

Здесь мы думаем о времениподобном единичном векторном поле как о касательном к мировым линиям частиц пыли, и их мировые линии в общем случае будут демонстрировать ненулевую завихренность, но исчезающее расширение и сдвиг. Давайте потребуем, чтобы тензор Эйнштейна соответствовал члену пыли плюс члену энергии вакуума. Это эквивалентно требованию, чтобы он соответствовал идеальной жидкости; т. е. мы требуем, чтобы компоненты тензора Эйнштейна, вычисленные относительно нашей системы отсчета, принимали вид ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle G^{{\hat {i}}{\hat {j}}}=\mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+p\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

Это дает условия

${\displaystyle b^{\prime \prime \prime }={\frac {b^{\prime \prime }\,b^{\prime }}{b}},\;\left(a^{\prime }\right)^{2}=2\,b^{\prime \prime }\,b}$

Подставляя их в тензор Эйнштейна, мы видим, что на самом деле теперь у нас есть . Простейшее нетривиальное пространство-время, которое мы можем построить таким образом, очевидно, будет иметь этот коэффициент как некоторую ненулевую, но постоянную функцию радиальной координаты. В частности, с некоторой долей предусмотрительности, давайте выберем . Это дает ${\displaystyle \mu =p}$ ${\displaystyle \mu =\omega ^{2}}$

${\displaystyle b(r)={\frac {\sinh({\sqrt {2}}\omega \,r)}{{\sqrt {2}}\omega }},\;a(r)={\frac {\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}{\omega }}+c}$

Наконец, потребуем, чтобы эта рамка удовлетворяла

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\varphi }+O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$

Это дает , и наша рамка становится ${\displaystyle c=-1/\omega }$

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {{\sqrt {2}}\omega }{\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{\varphi }-{\frac {{\sqrt {2}}\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}{1+\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{t}}$

Внешний вид световых конусов

Из метрического тензора находим, что векторное поле , которое является пространственноподобным для малых радиусов, становится равным нулю в точке, где ${\displaystyle \partial _{\varphi }}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

${\displaystyle r_{c}={\frac {\operatorname {arccosh} (3)}{{\sqrt {2}}\omega }}}$

Это потому, что при этом радиусе мы находим, что и , следовательно, является нулевым. Окружность при заданном t является замкнутой нулевой кривой, но не нулевой геодезической. ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\tfrac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }-\partial _{t},}$ ${\displaystyle {\tfrac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }={\vec {e}}_{3}+{\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Рассматривая кадр выше, мы видим, что координата несущественна; наше пространство-время является прямым произведением фактора R с сигнатурой −++ трехмерного многообразия. Подавляя для того, чтобы сосредоточить наше внимание на этом трехмерном многообразии, давайте рассмотрим, как изменяется внешний вид световых конусов по мере того, как мы удаляемся от оси симметрии : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r=0}$

Два световых конуса (с соответствующими векторами кадров) на цилиндрической карте для решения лямбда-пыли Гёделя. По мере того, как мы движемся наружу от номинальной оси симметрии, конусы наклоняются вперед и расширяются . Вертикальные координатные линии (представляющие мировые линии пылевых частиц) времениподобны .

Когда мы достигаем критического радиуса, конусы становятся касательными к замкнутой нулевой кривой.

Конгруэнтность замкнутых времениподобных кривых

При критическом радиусе векторное поле становится нулевым. Для больших радиусов оно времениподобно . Таким образом, в соответствии с нашей осью симметрии мы имеем времениподобную конгруэнтность, составленную из окружностей и соответствующую определенным наблюдателям. Однако эта конгруэнтность определена только вне цилиндра . ${\displaystyle r=r_{c}}$ ${\displaystyle \partial _{\varphi }}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Это не геодезическое соответствие; скорее, каждый наблюдатель в этой семье должен поддерживать постоянное ускорение , чтобы удерживать свой курс. Наблюдатели с меньшими радиусами должны ускоряться сильнее; поскольку величина ускорения расходится, что как раз и ожидается, учитывая, что это нулевая кривая. ${\displaystyle r\rightarrow r_{c}}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Нулевые геодезические

Если мы рассмотрим световой конус прошлого события на оси симметрии, то обнаружим следующую картину:

Нулевые геодезические спирально закручиваются против часовой стрелки к наблюдателю на оси симметрии. Это показывает их «сверху».

Напомним, что вертикальные координатные линии на нашей диаграмме представляют мировые линии частиц пыли, но, несмотря на их прямой вид на нашей диаграмме , конгруэнтность, образованная этими кривыми, имеет ненулевую завихренность, поэтому мировые линии на самом деле закручиваются друг вокруг друга . Тот факт, что нулевые геодезические спирально закручиваются внутрь, как показано выше, означает, что когда наш наблюдатель, глядя радиально наружу , видит близлежащие частицы пыли не в их текущих местоположениях, а в их более ранних местоположениях. Это то, чего мы ожидали бы, если бы частицы пыли на самом деле вращались друг вокруг друга.

Нулевые геодезические линии геометрически прямые ; на рисунке они кажутся спиралями только потому, что координаты «вращаются», чтобы частицы пыли казались неподвижными.

Абсолютное будущее

По мнению Хокинга и Эллиса (см. монографию, цитируемую ниже), все световые лучи, испущенные событием на оси симметрии, сходятся вновь в более позднем событии на этой оси, при этом нулевые геодезические образуют круговой касп (который является нулевой кривой, но не нулевой геодезической):

Картина Хокинга и Эллиса расширения и повторного схождения света, испускаемого наблюдателем на оси симметрии.

Это означает, что в решении Гёделя о лямбда-пыли абсолютное будущее каждого события имеет характер, сильно отличающийся от того, который мы могли бы наивно ожидать.

Космологическая интерпретация

Следуя Гёделю, мы можем интерпретировать частицы пыли как галактики, так что решение Гёделя становится космологической моделью вращающейся Вселенной . Помимо вращения, эта модель не демонстрирует расширения Хаббла , поэтому она не является реалистичной моделью Вселенной, в которой мы живем, но может рассматриваться как иллюстрация альтернативной Вселенной, которая в принципе допускается общей теорией относительности (если признать законность отрицательной космологической постоянной). Менее известные решения Гёделя демонстрируют как вращение, так и расширение Хаббла и обладают другими качествами его первой модели, но путешествие в прошлое невозможно. По словам Стивена Хокинга , эти модели вполне могли бы быть разумным описанием Вселенной, которую мы наблюдаем , однако данные наблюдений совместимы только с очень низкой скоростью вращения. ^[4] Качество этих наблюдений постоянно улучшалось вплоть до смерти Гёделя, и он всегда спрашивал: «Вселенная уже вращается?» и ему отвечали: «Нет, не вращается». ^[5]

Мы видели, что наблюдатели, лежащие на оси y (в исходной схеме), видят остальную вселенную вращающейся по часовой стрелке вокруг этой оси. Однако однородность пространства-времени показывает, что различается направление , но не положение этой "оси".

Некоторые интерпретировали Вселенную Гёделя как контрпример надеждам Эйнштейна на то, что общая теория относительности должна демонстрировать некую разновидность принципа Маха ^[4], ссылаясь на тот факт, что материя вращается (мировые линии закручиваются друг вокруг друга) таким образом, что это позволяет выделить предпочтительное направление, хотя и без выделенной оси вращения.

Другие ^{[ требуется ссылка ]} считают, что принцип Маха означает некий физический закон, связывающий определение невращающихся инерциальных систем отсчета в каждом событии с глобальным распределением и движением материи во всей Вселенной, и говорят, что поскольку невращающиеся инерциальные системы отсчета точно связаны с вращением пыли именно так, как предполагает принцип Маха, эта модель согласуется с идеями Маха.

Известно много других точных решений, которые можно интерпретировать как космологические модели вращающихся вселенных. ^[6]

Смотрите также

• пыль Ван Штокума , для другого решения вращающейся пыли с (истинной) цилиндрической симметрией,
• Пылевой раствор , статья о пылевых растворах в общей теории относительности.

Ссылки

1. Гёдель, Курт (1949-07-01). «Пример нового типа космологических решений уравнений гравитации Эйнштейна». Reviews of Modern Physics . 21 (3): 447–450. doi :10.1103/RevModPhys.21.447. ISSN  0034-6861.
2. Yourgrau, Palle (2005). Мир без времени: забытое наследие Гёделя и Эйнштейна . Нью-Йорк: Basic Books. ISBN 0465092942.
3. Эйнштейн, Альберт (1949). «Ответ Эйнштейна на критику». Альберт Эйнштейн: философ-ученый . Cambridge University Press . Получено 29 ноября 2012 г.
4. Gödel, Kurt; Feferman, Solomon (1986). "Gödel 1949: Вступительная заметка к 1949 и 1952, SW Hawking". Собрание сочинений (на английском и немецком языках). Oxford [Oxfordshire] : New York: Clarendon Press ; Oxford University Press. стр. 189. ISBN 978-0-19-503964-1.
5. Ван, Хао (2002). Размышления о Курте Гёделе . Книга Брэдфорда (6-е печатное издание). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 183. ISBN 978-0-262-73087-7.
6. Райан, Майкл П.; Шепли, Лоуренс К. (1975). Однородные релятивистские космологии . Принстонская серия по физике. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08146-5.

Примечания

• G. Dautcourt и M. Abdel-Megied (2006). «Возвращаясь к световому конусу Вселенной Гёделя». Классическая и квантовая гравитация . 23 (4): 1269–1288. arXiv : gr-qc/0511015 . Bibcode :2006CQGra..23.1269D. doi :10.1088/0264-9381/23/4/013. S2CID  14666907.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малкольм; Хоенселаерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.Теорему единственности см . в разделе 12.4 .
• Хокинг, Стивен; Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4.См. раздел 5.7 для классического обсуждения ЗВК в пространстве-времени Гёделя. Предупреждение: на рис. 31 световые конусы действительно опрокидываются, но они также расширяются, так что вертикальные координатные линии всегда времениподобны; действительно, они представляют мировые линии частиц пыли, поэтому они времениподобны геодезическим.
• Гёдель, Курт (1949-07-01). "Пример нового типа космологических решений уравнений гравитации Эйнштейна". Reviews of Modern Physics . 21 (3): 447–450. Bibcode : 1949RvMP...21..447G. doi : 10.1103/RevModPhys.21.447 . ISSN  0034-6861.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
• Вукович Р. (2014): Тензорная модель вращающейся Вселенной, упражнение по специальной теории относительности. Архивировано 13 ноября 2014 г. на Wayback Machine .