Калибровочная теория (математика)

Исследование векторных расслоений, главных расслоений и расслоений.

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии и математической физике , калибровочная теория представляет собой общее исследование связей на векторных расслоениях , главных расслоениях и расслоениях . Калибровочную теорию в математике не следует путать с близкородственным понятием калибровочной теории в физике , которая представляет собой теорию поля , допускающую калибровочную симметрию . В математике теория означает математическую теорию , заключающую в себе общее исследование набора понятий или явлений, тогда как в физическом смысле калибровочная теория представляет собой математическую модель некоторого природного явления.

Калибровочная теория в математике обычно связана с изучением теоретико-калибровочных уравнений. Это дифференциальные уравнения , включающие связи в векторных расслоениях или главных расслоениях или включающие сечения векторных расслоений, поэтому между калибровочной теорией и геометрическим анализом существует сильная связь . Эти уравнения часто имеют физический смысл и соответствуют важным понятиям квантовой теории поля или теории струн , но также имеют важное математическое значение. Например, уравнения Янга-Миллса представляют собой систему уравнений в частных производных для связи на главном расслоении, а в физике решения этих уравнений соответствуют вакуумным решениям уравнений движения классической теории поля , частиц, известных как инстантоны .

Калибровочная теория нашла применение при построении новых инвариантов гладких многообразий , построении экзотических геометрических структур, таких как гиперкэлеровы многообразия , а также в предоставлении альтернативных описаний важных структур алгебраической геометрии , таких как пространства модулей векторных расслоений и когерентных пучков .

История

Коэффициент dx ¹ ⊗σ ₃ BPST - инстантона на (x ¹ ,x ² ) -срезе R ⁴ , где σ ₃ — третья матрица Паули (вверху слева). Коэффициент dx ² ⊗σ ₃ (вверху справа). Эти коэффициенты определяют ограничение инстантона A BPST с g=2,ρ=1,z=0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля сосредоточена вокруг z=0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля BPST-инстантона с центром z на компактификации S ⁴ из R ⁴ (внизу справа). Инстантон BPST представляет собой классическое инстантонное решение уравнений Янга–Миллса на R ⁴ .

Калибровочная теория берет свое начало еще в формулировке уравнений Максвелла, описывающих классический электромагнетизм, которые можно сформулировать как калибровочную теорию со структурной группой - группой кругов . Работы Поля Дирака о магнитных монополях и релятивистской квантовой механике породили идею о том, что расслоения и связи являются правильным способом формулировки многих проблем квантовой механики. Калибровочная теория в математической физике возникла как важная область исследований благодаря плодотворной работе Роберта Миллса и Чен-Нин Янга по так называемой калибровочной теории Янга-Миллса, которая в настоящее время является фундаментальной моделью, лежащей в основе стандартной модели физики элементарных частиц . ^[1]

Математическое исследование калибровочной теории берет свое начало в работах Майкла Атьи , Айседора Сингера и Найджела Хитчина по уравнениям самодуальности на римановом многообразии в четырех измерениях. ^{[2] [3]} В этой работе было изучено пространство модулей самодуальных связностей (инстантонов) в евклидовом пространстве и показано, что оно имеет размерность где - положительный целочисленный параметр. Это связано с открытием физиками BPST-инстантонов , вакуумных решений уравнений Янга-Миллса в четырех измерениях с . Такие инстантоны определяются выбором пяти параметров: центра и масштаба , соответствующих -мерному пространству модулей. Инстантон BPST изображен справа. ${\displaystyle 8k-3}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle 8-3=5}$

Примерно в то же время Атья и Ричард Уорд обнаружили связь между решениями уравнений самодуальности и алгебраическими расслоениями над комплексным проективным пространством . ^[4] Еще одним важным ранним открытием стала разработка конструкции ADHM Атьей, Владимиром Дринфельдом , Хитчиным и Юрием Маниным . ^[5] Эта конструкция позволила решить уравнения антиавтодуальности в евклидовом пространстве на основе чисто линейных алгебраических данных. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Значительные прорывы, способствующие развитию математической калибровочной теории, произошли в начале 1980-х годов. В это время важная работа Атьи и Рауля Ботта об уравнениях Янга-Миллса над римановыми поверхностями показала, что проблемы калибровочной теории могут привести к появлению интересных геометрических структур, стимулируя развитие бесконечномерных отображений моментов , эквивариантной теории Морса и отношений между Калибровочная теория и алгебраическая геометрия. ^[6] Важные аналитические инструменты геометрического анализа были разработаны в это время Карен Уленбек , которая изучала аналитические свойства соединений и кривизны, доказывая важные результаты о компактности. ^[7] Наиболее значительные достижения в этой области произошли благодаря работам Саймона Дональдсона и Эдварда Виттена .

Дональдсон использовал комбинацию алгебраической геометрии и методов геометрического анализа для построения новых инвариантов четырех многообразий , теперь известных как инварианты Дональдсона . ^{[8] [9]} С помощью этих инвариантов можно было доказать новые результаты, такие как существование топологических многообразий, не допускающих гладких структур, или существование множества различных гладких структур в евклидовом пространстве . За эту работу Дональдсон был награжден медалью Филдса в 1986 году. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Виттен аналогичным образом наблюдал способность калибровочной теории описывать топологические инварианты, связывая величины, возникающие из теории Черна – Саймонса в трех измерениях, с полиномом Джонса , инвариантом узлов . ^[10] Эта работа и открытие инвариантов Дональдсона, а также новая работа Андреаса Флоера по гомологии Флоера вдохновили на изучение топологической квантовой теории поля .

После открытия способности калибровочной теории определять инварианты многообразий популярность математической калибровочной теории возросла. Были открыты и другие инварианты, такие как инварианты Зайберга – Виттена и инварианты Вафа – Виттена. ^{[11] [12]} Сильные связи с алгебраической геометрией были реализованы в работе Дональдсона, Уленбека и Шинг-Тунг Яу о соответствии Кобаяши-Хитчина, связывающем соединения Янга-Миллса со стабильными векторными расслоениями . ^{[13] [14]} Работа Найджела Хитчина и Карлоса Симпсона над расслоениями Хиггса продемонстрировала, что пространства модулей, возникающие из калибровочной теории, могут иметь экзотические геометрические структуры, такие как структура гиперкелеровых многообразий , а также связи с интегрируемыми системами через систему Хитчина . ^{[15] [16]} Были реализованы связи с теорией струн и зеркальной симметрией , где калибровочная теория важна для формулировки гипотезы гомологической зеркальной симметрии и соответствия AdS/CFT .

Фундаментальные объекты интереса

Основными объектами интереса в калибровочной теории являются связности на векторных и главных расслоениях . В этом разделе мы кратко напомним эти конструкции, а за подробностями отсылаем к основным статьям о них. Описанные здесь структуры являются стандартными в литературе по дифференциальной геометрии, а введение в эту тему с точки зрения калибровочной теории можно найти в книге Дональдсона и Питера Кронхаймера . ^[17]

Основные пакеты

Нетривиальное главное расслоение Z /2 Z над окружностью. Не существует очевидного способа определить, какая точка соответствует +1 или -1 в каждом волокне. Это расслоение нетривиально, поскольку не существует глобально определенного сечения проекции π .

Расслоение фреймов ленты Мёбиуса является нетривиальным главным -расслоением над окружностью. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Центральными объектами изучения калибровочной теории являются главные расслоения и векторные расслоения. Выбор того, что изучать, по существу произволен, поскольку между ними можно переходить, но главные расслоения являются с физической точки зрения естественными объектами для описания калибровочных полей , и математически они более элегантно кодируют соответствующую теорию связей и кривизны для векторных расслоений, связанных с им.

Главное расслоение со структурной группой ${\displaystyle G}$ , или главное -расслоение ${\displaystyle G}$ , состоит из пятерки где - гладкое расслоение с расслоением, изоморфным группе Ли , и представляет собой свободное и транзитивное действие правой группы , на котором сохраняются слои, в смысл, что для всех , для всех . Вот общее пространство и базовое пространство . Используя правое групповое действие для каждого и любого выбора , отображение определяет диффеоморфизм между слоем и группой Ли как гладкими многообразиями. Обратите внимание, однако, что не существует естественного способа снабдить слои структурой групп Ли, поскольку не существует естественного выбора элемента для каждого . ${\displaystyle (P,X,\pi ,G,\rho )}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle \pi (pg)=\pi (p)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle p\in P_{x}}$ ${\displaystyle g\mapsto pg}$ ${\displaystyle P_{x}\cong G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p\in P_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Простейшие примеры главных расслоений даны, когда группа кругов . В этом случае главный расслоение имеет размерность где . Другой естественный пример возникает, когда расслоение фреймов касательного расслоения многообразия или, в более общем смысле, расслоение фреймов векторного расслоения над . В этом случае слой задается полной линейной группой . ${\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \dim P=n+1}$ ${\displaystyle \dim X=n}$ ${\displaystyle P={\mathcal {F}}(TX)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Поскольку главное расслоение является расслоением, оно локально имеет структуру произведения. То есть, существует открытое накрытие и диффеоморфизмы, коммутирующие с проекциями и , такие, что функции перехода, определяемые удовлетворяют условию коцикла ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:P_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,g)=(x,g_{\alpha \beta }(x)g)}$

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x)g_{\beta \gamma }(x)=g_{\alpha \gamma }(x)}$

при любом тройном перекрытии . Чтобы определить главный расслоение, достаточно указать такой выбор функций перехода. Затем расслоение определяется путем склеивания тривиальных расслоений вдоль пересечений с помощью функций перехода. Условие коцикла точно гарантирует, что оно определяет отношение эквивалентности в непересекающемся объединении и, следовательно, что факторпространство корректно определено. Это известно как теорема о построении расслоений , и тот же процесс работает для любого расслоения, описываемого функциями перехода, а не только для главных расслоений или векторных расслоений. ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\times G}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G}$ ${\displaystyle P=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G/{\sim }}$

Обратите внимание, что выбор удовлетворяющего требованиям локального сечения является эквивалентным методом задания локальной карты тривиализации. А именно, можно определить, где находится уникальный элемент группы, такой что . ${\displaystyle s_{\alpha }:U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle \pi \circ s_{\alpha }=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(p)=(\pi (p),{\tilde {s}}_{\alpha }(p))}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}_{\alpha }(p)\in G}$ ${\displaystyle p{\tilde {s}}_{\alpha }(p)^{-1}=s_{\alpha }(\pi (p))}$

Векторные пучки

Векторное расслоение над базой сечения . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$

Векторное расслоение — это тройка где — расслоение со слоем, заданным векторным пространством, где — поле. Число — это ранг векторного расслоения. И снова имеется локальное описание векторного расслоения в терминах тривиализирующего открытого покрытия. Если – такое накрытие, то при изоморфизме ${\displaystyle (E,X,\pi )}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }:E_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times \mathbb {K} ^{r}}$

получаются выделенные локальные сечения, соответствующие координатным базисным векторам , обозначенным . Они определяются уравнением ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{r}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{r}}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }({\boldsymbol {e}}_{i}(x))=(x,e_{i}).}$

Поэтому для определения тривиализации эквивалентно дать набор локальных сечений, которые всюду линейно независимы, и использовать это выражение для определения соответствующего изоморфизма. Такая совокупность локальных разделов называется фреймом . ${\displaystyle r}$

Аналогично основным расслоениям можно получить функции перехода для векторного расслоения, определяемые формулой ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,v)=(x,g_{\alpha \beta }(x)v).}$

Если взять эти функции перехода и использовать их для построения локальной тривиализации главного расслоения со слоем, равным структурной группе , мы получим в точности расслоение фреймов , главное -расслоение. ${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

Связанные пакеты

Учитывая главный -расслоение и представление в векторном пространстве , можно построить ассоциированное векторное расслоение со слоем векторного пространства . Чтобы определить это векторное расслоение, необходимо рассмотреть правильное действие на произведение , определенное и определить как факторпространство по отношению к этому действию. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P\times V}$ ${\displaystyle (p,v)g=(pg,\rho (g^{-1})v)}$ ${\displaystyle P\times _{\rho }V=(P\times V)/G}$

С точки зрения функций перехода соответствующий пучок можно понять проще. Если главное расслоение имеет функции перехода относительно локальной тривиализации , то соответствующее векторное расслоение строится с использованием функций перехода . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \rho \circ g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \operatorname {GL} (V)}$

Соответствующее построение расслоения может быть выполнено для любого расслоения , а не только для векторного пространства, при условии, что оно является гомоморфизмом группы. Одним из ключевых примеров является присоединенное расслоение с заглавной буквой A со слоем , построенное с использованием группового гомоморфизма, определяемого сопряжением . Обратите внимание, что, несмотря на наличие расслоения , присоединенное расслоение не является ни основным расслоением, ни изоморфным себе как расслоение . Например, если абелев, то действие сопряжения тривиально и будет тривиальным -расслоением независимо от того, тривиально оно или нет как расслоение. Другим ключевым примером является присоединенное расслоение в нижнем регистре , построенное с использованием присоединенного представления где – алгебра Ли . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (G)}$ ${\displaystyle g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Калибровочные преобразования

Калибровочное преобразование векторного расслоения или главного расслоения является автоморфизмом этого объекта. Для главного расслоения калибровочное преобразование состоит из диффеоморфизма, коммутирующего с оператором проектирования и правым действием . Для векторного расслоения калибровочное преобразование аналогично определяется диффеоморфизмом, коммутирующим с оператором проектирования, который является линейным изоморфизмом векторных пространств на каждом слое. ${\displaystyle \varphi :P\to P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi :E\to E}$ ${\displaystyle \pi }$

Калибровочные преобразования ( или ) образуют группу по составу, называемую калибровочной группой , обычно обозначаемую . Эту группу можно охарактеризовать как пространство глобальных сечений присоединенного расслоения или, в случае векторного расслоения, где обозначает расслоение фреймов. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} (P))}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E)))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

Можно также определить локальное калибровочное преобразование как изоморфизм локального расслоения над тривиализирующим открытым подмножеством . Это можно однозначно определить как отображение ( в случае векторных расслоений), где индуцированный изоморфизм расслоения определяется формулой ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle g_{\alpha }:U_{\alpha }\to G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(p)=pg_{\alpha }(\pi (p))}$

и аналогично для векторных расслоений.

Обратите внимание, что для двух локальных тривиализаций главного расслоения над одним и тем же открытым подмножеством функция перехода является в точности локальным калибровочным преобразованием . То есть локальные калибровочные преобразования представляют собой изменения локальной тривиализации главных расслоений или векторных расслоений. ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \alpha }:U_{\alpha }\to G}$

Соединения на основных связках

Основное соединение пакета должно быть совместимо с правым групповым действием on . Это можно представить как правильное умножение, переводящее горизонтальные подпространства друг в друга. Эта эквивариантность горизонтальных подпространств , интерпретируемых в терминах формы связности, приводит к его характерным свойствам эквивариантности. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle H\subset TP}$ ${\displaystyle \omega }$

Форму соединения главного расслоения можно рассматривать как оператор проектирования на касательное расслоение главного расслоения . Ядро формы связности задается горизонтальными подпространствами для соответствующей связности Эресмана . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle TP}$ ${\displaystyle P}$

Соединение на основном пучке — это метод соединения соседних волокон, позволяющий уловить понятие постоянного или горизонтального сечения . Поскольку слои абстрактного главного расслоения естественным образом не отождествляются друг с другом или даже с самим расслоением , не существует канонического способа указать, какие сечения являются постоянными. Выбор локальной тривиализации приводит к одному возможному выбору, где если тривиально над множеством , то локальное сечение можно назвать горизонтальным, если оно постоянно относительно этой тривиализации, в том смысле, что для всех и одного . В частности, тривиальный главный расслоение снабжен тривиальным соединением . ${\displaystyle s:X\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(s(x))=(x,g)}$ ${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle P=X\times G}$

В общем случае связь задается выбором горизонтальных подпространств касательных пространств в каждой точке так, что в каждой точке имеется где - вертикальное расслоение, определяемое . Эти горизонтальные подпространства должны быть совместимы с основной структурой расслоения, требуя, чтобы горизонтальное распределение было инвариантным относительно действия правой группы: где обозначает правильное умножение на . Сечение называется горизонтальным , если где отождествляется с его изображением внутри , которое является подмногообразием с касательным расслоением . Учитывая векторное поле , существует уникальный горизонтальный лифт . Кривизна связи задается двойной формой со значениями в присоединенном расслоении, определяемом формулой ${\displaystyle H_{p}\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle T_{p}P=H_{p}\oplus V_{p}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\ker d\pi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{pg}=d(R_{g})(H_{p})}$ ${\displaystyle R_{g}:P\to P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T_{p}s\subset H_{p}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Ts}$ ${\displaystyle v\in \Gamma (TX)}$ ${\displaystyle v^{\#}\in \Gamma (H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))}$

${\displaystyle F(v_{1},v_{2})=[v_{1}^{\#},v_{2}^{\#}]-[v_{1},v_{2}]^{\#}}$

где – скобка Ли векторных полей . Поскольку вертикальное расслоение состоит из касательных пространств к слоям и эти слои изоморфны группе Ли, касательное расслоение которой канонически отождествляется с , существует единственная двузначная алгебра Ли -форма, соответствующая кривизне. С точки зрения теоремы об интегрируемости Фробениуса кривизна точно измеряет степень, в которой горизонтальное распределение не может быть интегрируемым, и, следовательно, степень, в которой оно не может локально встроиться внутрь как горизонтальное подмногообразие. ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle TG=G\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

Выбор горизонтальных подпространств может быть эквивалентно выражен оператором проектирования, эквивариантным в правильном смысле, называемым одной формой связи . Для горизонтального распределения это определяется как где обозначает разложение касательного вектора относительно разложения в прямую сумму . Из-за эквивариантности эту проекционную одну-форму можно считать алгебраической со значениями, что дает некоторое . ${\displaystyle \nu :TP\to V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nu _{H}(h+v)=v}$ ${\displaystyle h+v}$ ${\displaystyle TP=H\oplus V}$ ${\displaystyle \nu \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$

Локальная тривиализация для эквивалентно задается локальным сечением , и единая форма связности и кривизна могут быть восстановлены по этому гладкому отображению. Это дает локальному соединению единую форму , которая принимает значения из присоединенного пакета . Структурное уравнение Картана гласит, что кривизна может быть выражена через локальную форму с помощью выражения ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\alpha }:U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle A_{\alpha }=s_{\alpha }^{*}\nu \in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$

${\displaystyle F=dA_{\alpha }+{\frac {1}{2}}[A_{\alpha },A_{\alpha }]}$

где мы используем скобку Ли на расслоении алгебры Ли , которая отождествляется с при локальной тривиализации . ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

При локальном калибровочном преобразовании так , что одноформа локальной связности преобразуется выражением ${\displaystyle g:U_{\alpha }\to G}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=(g\circ s)^{*}\nu }$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=\operatorname {ad} (g)\circ A_{\alpha }+(g^{-1})^{*}\theta }$

где обозначает форму Маурера–Картана группы Ли . В случае, когда – матричная группа Ли , имеет место более простое выражение ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}.}$

Связности на векторных расслоениях

Ковариантная производная соединения векторного расслоения может быть восстановлена ​​из его параллельного транспорта. Значения секции параллельно передаются по пути обратно в , а затем ковариантная производная берется в фиксированном векторном пространстве, слое над . ${\displaystyle s(\gamma (t))}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x}$

Соединение на векторном расслоении может быть задано аналогично описанному выше случаю с основными расслоениями, известное как соединение Эресмана . Однако связи векторных расслоений допускают более мощное описание в терминах дифференциального оператора. Связность на векторном расслоении — это выбор -линейного дифференциального оператора . ${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}X\otimes E)=\Omega ^{1}(E)}$

такой, что

${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$

для всех и разделов . Ковариантная производная сечения по направлению векторного поля определяется формулой ${\displaystyle f\in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \nabla _{v}(s)=\nabla s(v)}$

где справа мы используем естественное спаривание между и . Это новый раздел векторного расслоения , рассматриваемый как производная по направлению . Оператор является ковариантным оператором производной в направлении . Кривизна задается оператором со значениями в расслоении эндоморфизмов , определяемом формулой ${\displaystyle \Omega ^{1}(X)}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nabla _{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\operatorname {End} (E))}$

${\displaystyle F_{\nabla }(v_{1},v_{2})=\nabla _{v_{1}}\nabla _{v_{2}}-\nabla _{v_{2}}\nabla _{v_{1}}-\nabla _{[v_{1},v_{2}]}.}$

В локальной тривиализации внешняя производная действует как тривиальная связность (соответствующая в картине главного расслоения тривиальной связности, обсуждавшейся выше). А именно для локального фрейма определяется ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{r}}$

${\displaystyle d(s^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})=ds^{i}\otimes {\boldsymbol {e}}_{i}}$

где здесь мы использовали обозначения Эйнштейна для локального сечения . ${\displaystyle s=s^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}$

Любые два соединения отличаются однозначной формой . Чтобы убедиться в этом, заметьте, что разница двух связей -линейна : ${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}-\nabla _{2})(s).}$

В частности, поскольку каждое векторное расслоение допускает связность (с использованием разбиений единицы и локальных тривиальных связностей), набор связей векторного расслоения имеет структуру бесконечномерного аффинного пространства, смоделированного на векторном пространстве . Обычно это пространство обозначается . ${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Применяя это наблюдение локально, каждое соединение над тривиализирующим подмножеством отличается от тривиального соединения некоторой локальной формой соединения со свойством, что на . В терминах этой формы локального соединения кривизну можно записать как ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle \nabla =d+A_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle F_{A}=dA_{\alpha }+A_{\alpha }\wedge A_{\alpha }}$

где клиновое произведение встречается на компоненте одной формы, а эндоморфизмы составляются на компоненте эндоморфизма. Возвращаясь к теории главных расслоений, обратите внимание, что там, где справа, мы сейчас выполняем объединение одноформ и коммутатор эндоморфизмов. ${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$

При калибровочном преобразовании векторного расслоения связность переходит в связность сопряжением . Разница здесь заключается в воздействии на эндоморфизмы . При локальном калибровочном преобразовании получается то же выражение ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle u\cdot \nabla }$ ${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{v}(s)=u(\nabla _{v}(u^{-1}(s))}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla -\nabla =-(\nabla u)u^{-1}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}}$

как и в случае главных расслоений.

Индуцированные связи

Связность на главном расслоении индуцирует связность на связанных векторных расслоениях. Один из способов увидеть это — использовать формы локального подключения, описанные выше. А именно, если основное соединение расслоения имеет локальные формы связности и является представлением определения ассоциированного векторного расслоения , то индуцированные одноформы локального связности определяются формулой ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$

${\displaystyle \rho _{*}A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E)).}$

Вот индуцированный гомоморфизм алгебры Ли из , и мы воспользуемся тем, что это отображение индуцирует гомоморфизм векторных расслоений . ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\to \operatorname {End} (E)}$

Индуцированную кривизну можно просто определить как

${\displaystyle \rho _{*}F_{A}\in \Omega ^{2}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E)).}$

Здесь видно, как связаны локальные выражения кривизны для главных расслоений и векторных расслоений, поскольку скобка Ли на алгебре Ли отправляется в коммутатор эндоморфизмов гипоморфизма алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$

Пространство связей

Центральным объектом исследования математической калибровочной теории является пространство связностей векторного или главного расслоения. Это бесконечномерное аффинное пространство, смоделированное на основе векторного пространства (или, в случае векторных расслоений). Две связности называются калибровочно эквивалентными, если существует такое калибровочное преобразование, что . Калибровочная теория занимается классами калибровочной эквивалентности связностей. Поэтому в некотором смысле калибровочная теория занимается свойствами факторпространства , которое, вообще говоря, не является ни хаусдорфовым пространством , ни гладким многообразием . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle A,A'\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A'=u\cdot A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$

Многие интересные свойства базового многообразия могут быть закодированы в геометрии и топологии пространств модулей связностей на главных расслоениях и векторных расслоениях над . Инварианты , такие как инварианты Дональдсона или инварианты Зайберга – Виттена, могут быть получены путем вычисления числовых величин, полученных из пространств модулей связностей над . Самым известным применением этой идеи является теорема Дональдсона , которая использует пространство модулей связностей Янга–Миллса на главном -расслоении над односвязным четырехмерным многообразием для изучения формы его пересечения. За эту работу Дональдсон был награжден Филдсовской медалью . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle X}$

Соглашения об обозначениях

Существуют различные соглашения об обозначениях, используемые для соединений векторных и основных расслоений, которые будут обобщены здесь.

• Буква является наиболее распространенным символом, используемым для обозначения соединения в векторном или основном расслоении. Это происходит от того, что если выбрать фиксированную связь всех связей, то любую другую связь можно записать для некоторой единственной одноформы . Оно также происходит от использования для обозначения локальной формы связи на векторном расслоении, которая впоследствии возникает из электромагнитного потенциала в физике. Иногда этот символ также используется для обозначения формы соединения, обычно в основном пакете, и обычно в этом случае относится к одной форме глобального соединения на всем пространстве основного пакета, а не к соответствующим локальным формам соединений. Этого соглашения обычно избегают в математической литературе, поскольку оно часто противоречит использованию формы Кэлера , когда основное многообразие является многообразием Кэлера . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nabla _{0}\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \nabla =\nabla _{0}+A}$ ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$
• Этот символ чаще всего используется для обозначения соединения векторного расслоения в виде дифференциального оператора и в этом смысле используется взаимозаменяемо с буквой . Он также используется для обозначения ковариантных производных операторов . Альтернативное обозначение оператора связи и ковариантных производных операторов призвано подчеркнуть зависимость от выбора , или или . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nabla _{X}}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D_{A}}$ ${\displaystyle d_{A}}$
• Оператор чаще всего относится к внешней ковариантной производной соединения (и так иногда пишется для соединения ). Поскольку внешняя ковариантная производная в степени 0 такая же, как и обычная ковариантная производная, сама связность или ковариантная производная часто обозначается вместо . ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{\nabla }}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \nabla }$
• Символ или чаще всего используется для обозначения кривизны соединения. Когда соединение обозначается , кривизна обозначается вместо . Другие соглашения включают или или , по аналогии с тензором римановой кривизны в римановой геометрии , который обозначается . ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F_{\omega }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{A}}$ ${\displaystyle R_{\nabla }}$ ${\displaystyle R}$
• Буква часто используется для обозначения основного связочного соединения или соединения Эресмана, когда акцент должен быть сделан на горизонтальном распределении . В этом случае оператор вертикальной проекции, соответствующий (одной форме связи на ), обычно обозначается , или , или . Используя это соглашение, кривизну иногда обозначают , чтобы подчеркнуть зависимость, и она может относиться либо к оператору кривизны всего пространства , либо к кривизне основания . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\subset TP}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle F_{H}}$ ${\displaystyle F_{H}}$ ${\displaystyle F_{H}\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F_{H}\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))}$
• Сопряженное расслоение алгебры Ли обычно обозначается , а сопряженное расслоение группы Ли - . Это противоречит соглашению в теории групп Ли , где относится к представлению on , и относится к представлению алгебры Ли на себе скобкой Ли . В теории групп Ли действие сопряжения (определяющее расслоение ) часто обозначается через . ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$

Словарь математической и физической терминологии

Математическая и физическая области калибровочной теории предполагают изучение одних и тех же объектов, но для их описания используют разную терминологию. Ниже приводится краткое описание того, как эти термины соотносятся друг с другом.

В качестве демонстрации этого словаря рассмотрим взаимодействующий член поля электрон-позитронных частиц и электромагнитного поля в лагранжиане квантовой электродинамики : ^[19]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}$

Математически это можно переписать

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\langle \psi ,({D\!\!\!\!/}_{A}-m)\psi \rangle _{L^{2}}+\|F_{A}\|_{L^{2}}^{2}}$

где – связность на главном расслоении , – сечение ассоциированного спинорного расслоения и – индуцированный оператор Дирака индуцированной ковариантной производной на этом ассоциированном расслоении. Первый член представляет собой взаимодействующий член в лагранжиане между спинорным полем (полем, представляющим электрон-позитрон) и калибровочным полем (представляющим электромагнитное поле). Второе слагаемое представляет собой регулярный функционал Янга–Миллса , описывающий основные невзаимодействующие свойства электромагнитного поля (связь ). Термин формы является примером того, что в физике называется минимальной связью, то есть простейшим возможным взаимодействием между полем материи и калибровочным полем . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {D\!\!\!\!/}_{A}}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nabla _{A}\psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$

Теория Янга – Миллса

Преобладающей теорией, которая встречается в математической калибровочной теории, является теория Янга – Миллса. Эта теория предполагает изучение связей, которые являются критическими точками функционала Янга–Миллса, определяемого формулой

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}}$

где – ориентированное риманово многообразие с римановой формой объема и -нормой на присоединенном расслоении . Этот функционал представляет собой квадрат -нормы кривизны соединения , поэтому критическими точками этой функции являются соединения с минимально возможной кривизной (или с более высокими локальными минимумами ). ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{g}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {YM} }$

Эти критические точки характеризуются как решения связанных с ними уравнений Эйлера–Лагранжа , уравнений Янга–Миллса.

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0}$

где – индуцированная внешняя ковариантная производная от on и – оператор звезды Ходжа . Такие решения называются связями Янга – Миллса и представляют значительный геометрический интерес. ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \star }$

Тождество Бьянки утверждает, что для любого соединения . По аналогии с дифференциальными формами гармоническая форма характеризуется условием ${\displaystyle d_{A}F_{A}=0}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle d\star \omega =d\omega =0.}$

Если определить гармоническую связь условием, что

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=d_{A}F_{A}=0}$

тогдашнее изучение связей Янга–Миллса по своему характеру сходно с исследованием гармонических форм. Теория Ходжа обеспечивает уникального гармонического представителя каждого класса когомологий де Рама . Заменив класс когомологий калибровочной орбитой , исследование связностей Янга – Миллса можно рассматривать как попытку найти уникальные представители для каждой орбиты в факторпространстве связностей по модулю калибровочных преобразований. ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle \{u\cdot A\mid u\in {\mathcal {G}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$

Уравнения самодуальности и антиавтодуальности

В четвертом измерении оператор звезды Ходжа отправляет две формы в две формы, и квадраты в тождественный оператор, . Таким образом, звезда Ходжа, действующая на двух формах, имеет собственные значения , а две формы на ориентированном римановом четырехмерном многообразии распадаются как прямая сумма. ${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$ ${\displaystyle \star ^{2}=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}$

на самодуальную и антиавтодуальную две формы, заданные и собственными пространствами оператора звезды Ходжа соответственно. То есть самодвойственна, если , и антиавтодуальна, если , и каждая дифференциальная двуформа допускает расщепление на самодуальную и антиавтодуальную части. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{2}(X)}$ ${\displaystyle \star \alpha =\alpha }$ ${\displaystyle \star \alpha =-\alpha }$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{+}+\alpha _{-}}$

Если кривизна связности на главном расслоении над четырехмногообразием самодуальна или антиавтодуальна, то по тождеству Бьянки , поэтому связность автоматически является связностью Янга – Миллса. Уравнение ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=\pm d_{A}F_{A}=0}$

${\displaystyle \star F_{A}=\pm F_{A}}$

является уравнением в частных производных первого порядка для связи , и поэтому его проще изучать, чем полное уравнение Янга – Миллса второго порядка. Уравнение называется уравнением самодуальности , а уравнение называется уравнением антиавтодуальности , а решениями этих уравнений являются самодуальные связи или антиавтодуальные связи соответственно. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \star F_{A}=F_{A}}$ ${\displaystyle \star F_{A}=-F_{A}}$

Уменьшение размеров

Один из способов получения новых и интересных калибровочных уравнений — применить процесс уменьшения размерностей к уравнениям Янга–Миллса. Этот процесс включает в себя рассмотрение уравнений Янга-Миллса над многообразием (обычно принимаемым за евклидово пространство ) и требование, чтобы решения уравнений были инвариантными относительно группы трансляционных или других симметрий. Благодаря этому процессу уравнения Янга-Миллса приводят к уравнениям Богомольного , описывающим монополи на , уравнениям Хитчина, описывающим расслоения Хиггса на римановых поверхностях , и уравнениям Нама на действительных интервалах путем наложения симметрии при сдвигах в одном, двух и трех направлениях соответственно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Калибровочная теория в одном и двух измерениях

Здесь обсуждаются уравнения Янга–Миллса, когда базовое многообразие имеет низкую размерность. В этом случае уравнения резко упрощаются из-за того, что в первом измерении нет двух-форм, а во втором измерении оператор звезды Ходжа на двух-формах действует как . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to C^{\infty }(X)}$

Теория Янга – Миллса

Уравнения Янга–Миллса можно изучать непосредственно на многообразии размерности два. Теория уравнений Янга-Миллса, когда базовое многообразие представляет собой компактную риманову поверхность, была разработана Майклом Атьей и Раулем Боттом . ^[6] В этом случае пространство модулей связностей Янга–Миллса над комплексным векторным расслоением допускает различные богатые интерпретации, и теория служит простейшим случаем для понимания уравнений в более высоких измерениях. Уравнения Янга–Миллса в этом случае принимают вид ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \star F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}}$

для некоторой топологической константы , зависящей от . Такие связи называются проективно плоскими , и в случае, когда векторное расслоение топологически тривиально (поэтому ) они являются именно плоскими связностями. ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda (E)=0}$

Когда ранг и степень векторного расслоения взаимно просты , пространство модулей связностей Янга–Миллса является гладким и имеет естественную структуру симплектического многообразия . Атья и Ботт заметили, что, поскольку связности Янга–Миллса проективно плоские, их голономия дает проективные унитарные представления фундаментальной группы поверхности, так что это пространство имеет эквивалентное описание как пространство модулей проективных унитарных представлений фундаментальной группы поверхности . Риманова поверхность, многообразие характеров . Теорема Нарасимхана и Сешадри дает альтернативное описание этого пространства представлений как пространства модулей стабильных голоморфных векторных расслоений , гладко изоморфных . ^[20] Благодаря этому изоморфизму пространство модулей связностей Янга–Миллса приобретает сложную структуру, которая взаимодействует с симплектической структурой Атьи и Ботта, превращая его в компактное кэлерово многообразие. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle E}$

Саймон Дональдсон дал альтернативное доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри, которое напрямую перешло от связей Янга – Миллса к стабильным голоморфным структурам. ^[21] Атья и Ботт использовали эту переформулировку проблемы, чтобы пролить свет на тесную взаимосвязь между экстремальными связями Янга–Миллса и устойчивостью векторных расслоений как бесконечномерного отображения моментов для действия калибровочной группы , заданного формулой сама карта кривизны . Это наблюдение формулирует теорему Нарасимхана-Сешадри как своего рода бесконечномерную версию теоремы Кемпфа-Несса из геометрической теории инвариантов , связывающую критические точки квадрата нормы отображения моментов (в данном случае соединений Янга-Миллса) со стабильными точками. на соответствующем алгебраическом факторе (в данном случае стабильных голоморфных векторных расслоениях). Эта идея впоследствии оказала большое влияние на калибровочную теорию и сложную геометрию с момента ее появления. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle A\mapsto F_{A}}$

Уравнения Нама

Уравнения Нама, введенные Вернером Намом , получены как размерная редукция антиавтодуальности в четырех измерениях к одному измерению путем наложения трансляционной инвариантности в трех направлениях. ^[22] Конкретно требуется, чтобы форма связи не зависела от координат . В этой постановке уравнения Нама между системой уравнений на отрезке для четырех матриц , удовлетворяющих тройке уравнений ${\displaystyle A=A_{0}\,dx^{0}+A_{1}\,dx^{1}+A_{2}\,dx^{2}+A_{3}\,dx^{3}}$ ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}\in C^{\infty }(I,{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dT_{1}}{dt}}+[T_{0},T_{1}]+[T_{2},T_{3}]=0\\{\frac {dT_{2}}{dt}}+[T_{0},T_{2}]+[T_{3},T_{1}]=0\\{\frac {dT_{3}}{dt}}+[T_{0},T_{3}]+[T_{1},T_{2}]=0.\end{cases}}}$

Нам было показано, что решения этих уравнений (которые можно получить довольно легко, так как они представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений ) могут быть использованы для построения решений уравнений Богомольного , описывающих монополи на . Найджел Хитчин показал, что решения уравнений Богомольного можно использовать для построения решений уравнений Нама, показав, что решения этих двух проблем эквивалентны. ^[23] Дональдсон далее показал, что решения уравнений Нама эквивалентны рациональным отображениям степени комплексной проективной линии в себя, где – заряд соответствующего магнитного монополя. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$

Пространство модулей решений уравнений Нама имеет структуру гиперкэлова многообразия.

Уравнения Хитчина и расслоения Хиггса

Уравнения Хитчина, представленные Найджелом Хитчиным , получены как размерное сокращение уравнений самодуальности в четырех измерениях до двух измерений путем введения трансляционной инвариантности в двух направлениях. ^[25] В этом случае два дополнительных компонента формы связности могут быть объединены в один комплекснозначный эндоморфизм , и при такой формулировке уравнения становятся конформно-инвариантными и, следовательно, их естественно изучать на компактной римановой поверхности, а не на компактной римановой поверхности . Уравнения Хитчина утверждают, что для пары на комплексном векторном расслоении где , что ${\displaystyle A_{3}\,dx^{3}+A_{4}\,dx^{4}}$ ${\displaystyle \Phi =A_{3}+iA_{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (A,\Phi )}$ ${\displaystyle E\to \Sigma }$ ${\displaystyle \Phi \in \Omega ^{1,0}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=0\\{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0\end{cases}}}$

где -компонента . _ Решения уравнений Хитчина называются парами Хитчина . ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle d_{A}}$

В то время как решения уравнений Янга-Миллса на компактной римановой поверхности соответствуют проективным унитарным представлениям группы поверхностей, Хитчин показал, что решения уравнений Хитчина соответствуют проективным комплексным представлениям группы поверхностей. Пространство модулей пар Хитчина естественным образом имеет (когда ранг и степень расслоения взаимно просты) структуру кэлерова многообразия. С помощью аналога наблюдения Атьи и Ботта об уравнениях Янга–Миллса Хитчин показал, что пары Хитчина соответствуют так называемым стабильным расслоениям Хиггса , где расслоение Хиггса — это пара, где — голоморфное векторное расслоение и голоморфный эндоморфизм со значениями. в каноническом расслоении римановой поверхности . Это показано посредством построения бесконечномерного отображения моментов, и это пространство модулей расслоений Хиггса также имеет сложную структуру, которая отличается от структуры, исходящей от пар Хитчина, что приводит к двум комплексным структурам в пространстве модулей расслоений Хиггса. В совокупности они дают третье, что делает это пространство модулей гиперкэлеровым многообразием . ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle E\to \Sigma }$ ${\displaystyle \Phi :E\to E\otimes K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Работа Хитчина была впоследствии широко обобщена Карлосом Симпсоном , а соответствие между решениями уравнений Хитчина и расслоениями Хиггса над произвольным кэлером многообразием известно как неабелева теорема Ходжа . ^{[26] [27] [28] [29] [30]}

Калибровочная теория в трех измерениях

Монополи

Размерное приведение уравнений Янга–Миллса к трем измерениям путем введения трансляционной инвариантности в одном направлении приводит к уравнениям Богомольного для пары где – семейство матриц. ^[31] Уравнения: ${\displaystyle (A,\Phi )}$ ${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{3}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle F_{A}=\star d_{A}\Phi .}$

Когда главный расслоение имеет структурную группу группу кругов , решения уравнений Богомольного моделируют монополь Дирака , описывающий магнитный монополь в классическом электромагнетизме. Работа Нама и Хитчина показывает, что, когда структурная группа является специальной унитарной группой, решения монопольных уравнений соответствуют решениям уравнений Нама, а согласно работе Дональдсона они далее соответствуют рациональным отображениям из в себя степени где заряд монополя. Эта плата определяется как предел ${\displaystyle P\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{S_{R}}(\Phi ,F_{A})=4\pi k}$

интеграла от спаривания по сферам возрастающего радиуса . ${\displaystyle (\Phi ,F_{A})\in \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle S_{R}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle R}$

Теория Черна – Саймонса

Теория Черна-Саймонса в трех измерениях представляет собой топологическую квантовую теорию поля с функционалом действия, пропорциональным интегралу формы Черна-Саймонса , трехформы, определяемой формулой

${\displaystyle \operatorname {Tr} (F_{A}\wedge A-{\frac {1}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

Классические решения уравнений Эйлера–Лагранжа функционала Черна–Саймонса на замкнутом трехмерном многообразии соответствуют плоским связностям на главном -расслоении . Однако когда есть граница, ситуация усложняется. Теория Черна-Саймонса использовалась Эдвардом Виттеном для выражения полинома Джонса , инварианта узла, через вакуумное математическое ожидание петли Вильсона в теории Черна-Саймонса на трехсфере . ^[10] Это была яркая демонстрация способности задач калибровочной теории обеспечить новое понимание топологии, а также один из первых примеров топологической квантовой теории поля . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle S^{3}}$

При квантовании классической теории Черна–Саймонса изучаются индуцированные плоские или проективно плоские связности на главном расслоении, ограниченном поверхностями внутри 3-многообразия. Классические пространства состояний, соответствующие каждой поверхности, являются в точности пространствами модулей уравнений Янга – Миллса, изученных Атьей и Боттом. ^[6] Геометрическое квантование этих пространств было достигнуто Найджелом Хитчиным и Аксельродом-Деллой Пьетра-Виттеном независимо, а в случае, когда структурная группа комплексна, конфигурационное пространство представляет собой пространство модулей расслоений Хиггса, и его квантование было достигнуто путем Виттен. ^{[32] [33] [34]} ${\displaystyle \Sigma \subset X}$

Гомологии Флоера

Андреас Флоер ввел тип гомологии на 3-многообразиях, определенный аналогично гомологиям Морса в конечных измерениях. ^[35] В этой теории гомологии функция Морса является функционалом Черна–Саймонса в пространстве связностей на главном расслоении над 3-многообразием . Критическими точками являются плоские соединения, а линии тока определяются как инстантоны Янга – Миллса, которые ограничиваются критическими плоскими соединениями на двух граничных компонентах. Это приводит к инстантонной гомологии Флоера . Гипотеза Атьи-Флоера утверждает, что инстантонные гомологии Флоера согласуются с лагранжевыми пересечениями Флоера пространства модулей плоских связностей на поверхности, определяющих расщепление Хегора , которое является симплектическим из-за наблюдений Атьи и Ботта. ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\times I}$ ${\displaystyle \Sigma \subset X}$ ${\displaystyle X}$

По аналогии с инстантонными гомологиями Флёра можно определить гомологию Флёра Зайберга–Виттена, где инстантоны заменяются решениями уравнений Зайберга–Виттена . По работам Клиффорда Таубса известно, что он изоморфен вложенным контактным гомологиям, а затем гомологиям Хегаарда Флоера.

Калибровочная теория в четырех измерениях

Калибровочная теория наиболее интенсивно изучалась в четырех измерениях. Здесь математическое исследование калибровочной теории существенно пересекается с ее физическим происхождением, поскольку стандартную модель физики элементарных частиц можно рассматривать как квантовую теорию поля в четырехмерном пространстве-времени . Изучение задач калибровочной теории в четырех измерениях естественным образом приводит к изучению топологической квантовой теории поля . Такие теории представляют собой физические калибровочные теории, которые нечувствительны к изменениям римановой метрики основного четырехмногообразия и, следовательно, могут использоваться для определения топологических (или гладких) инвариантов многообразия.

Уравнения антисамодуальности

В четырех измерениях уравнения Янга – Миллса допускают упрощение до уравнений антиавтодуальности первого порядка для связности на главном расслоении над ориентированным римановым четырехмерным многообразием . ^[17] Эти решения уравнений Янга–Миллса представляют собой абсолютные минимумы функционала Янга–Миллса, а высшие критические точки соответствуют решениям, которые не возникают из антиавтодуальных связей. Пространство модулей решений уравнений антиавтодуальности позволяет вывести полезные инварианты относительно основного четырехмногообразия. ${\displaystyle \star F_{A}=-F_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$

Кобордизмы, заданные пространством модулей антиавтодуальных связностей в теореме Дональдсона

Эта теория наиболее эффективна в том случае, когда односвязна . Например, в этом случае теорема Дональдсона утверждает, что если четырехмерное многообразие имеет отрицательно определенную форму пересечения (4-многообразие) , и если главное расслоение имеет структурную группу, специальную унитарную группу и второй класс Черна , то пространство модулей равно пяти -мерен и дает кобордизм между собой и несвязное объединение копий с обратной ориентацией. Отсюда следует, что форма пересечения такого четырехмногообразия диагонализуема. Существуют примеры односвязных топологических четырехмногообразий с недиагонализируемой формой пересечения, такие как многообразие E8 , поэтому теорема Дональдсона подразумевает существование топологических четырехмногообразий без гладкой структуры . Это резко контрастирует с двумя или тремя измерениями, в которых топологические структуры и гладкие структуры эквивалентны: любое топологическое многообразие размерности меньше или равной 3 имеет уникальную гладкую структуру. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle c_{2}(P)=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{2}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

Подобные методы использовались Клиффордом Таубсом и Дональдсоном, чтобы показать, что евклидово пространство допускает несчетное количество различных гладких структур. Это резко контрастирует с любым другим измерением, кроме четырех, где евклидово пространство имеет уникальную гладкую структуру. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Расширение этих идей приводит к теории Дональдсона , которая строит дальнейшие инварианты гладких четырехмерных многообразий из пространств модулей связностей над ними. Эти инварианты получены путем оценки классов когомологий в пространстве модулей по сравнению с фундаментальным классом , который существует благодаря аналитической работе Карен Уленбек , Таубса и Дональдсона , показывающей ориентируемость и компактность пространства модулей .

Когда четырехмногообразие является кэлеровым многообразием или алгебраической поверхностью , а главное расслоение имеет исчезающий первый класс Черна, уравнения антисамодуальности эквивалентны эрмитовым уравнениям Янга – Миллса на комплексном многообразии . Соответствие Кобаяши -Хитчина, доказанное для алгебраических поверхностей Дональдсоном и в целом Уленбеком и Яу, утверждает, что решения уравнений HYM соответствуют стабильным голоморфным векторным расслоениям . Эта работа дала альтернативное алгебраическое описание пространства модулей и его компактификации, поскольку пространство модулей полустабильных голоморфных векторных расслоений над комплексным многообразием является проективным многообразием и, следовательно, компактным. Это указывает на то, что одним из способов компактификации пространства модулей связностей является добавление связностей, соответствующих полустабильным векторным расслоениям, так называемых почти эрмитовых связей Янга–Миллса . ${\displaystyle X}$

Уравнения Зайберга – Виттена

Во время исследования суперсимметрии в четырех измерениях Эдвард Виттен и Натан Зайберг обнаружили систему уравнений, которая теперь называется уравнениями Зайберга-Виттена, для связи и спинорного поля . ^[11] В этом случае четырехмерное многообразие должно допускать структуру Spin C , которая определяет главное расслоение Spin ^C с детерминантным линейным расслоением и связанное с ним спинорное расслоение . Связь имеется , и спинорное поле . Уравнения Зайберга – Виттена имеют вид ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \psi \in \Gamma (S^{+})}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{+}=\psi \otimes \psi ^{*}-{\frac {1}{2}}|\psi |^{2}\\d_{A}\psi =0.\end{cases}}}$

Решения уравнений Зайберга–Виттена называются монополями. Пространство модулей решений уравнений Зайберга–Виттена, где обозначает выбор спиновой структуры, используется для вывода инвариантов Зайберга–Виттена. Уравнения Зайберга – Виттена имеют преимущество перед уравнениями антисамодуальности в том, что сами уравнения можно слегка исказить, чтобы придать пространству модулей решений лучшие свойства. Для этого к первому уравнению добавляется произвольная самодвойственная двуформа. Для общего выбора метрики на базовом четырехмногообразии и выбора возмущающей двухформы пространство модулей решений представляет собой компактное гладкое многообразие. В хороших обстоятельствах (когда многообразие имеет простой тип ) это пространство модулей нульмерно: конечный набор точек. Инвариант Зайберга–Виттена в этом случае — это просто количество точек в пространстве модулей. Инварианты Зайберга – Виттена можно использовать для доказательства многих из тех же результатов, что и инварианты Дональдсона, но часто с более простыми доказательствами, которые применимы в большей общности. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$

Калибровочная теория в высших измерениях

Эрмитовые уравнения Янга – Миллса

Особый класс связностей Янга–Миллса можно изучать над кэлеровыми многообразиями или эрмитовыми многообразиями . Эрмитовы уравнения Янга–Миллса обобщают уравнения антиавтодуальности, встречающиеся в четырехмерной теории Янга–Миллса, на голоморфные векторные расслоения над эрмитовыми комплексными многообразиями в любом измерении. If — голоморфное векторное расслоение над компактным кэлеровым многообразием и является эрмитовой связностью на относительно некоторой эрмитовой метрики . Эрмитовые уравнения Янга – Миллса имеют вид ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{0,2}=0\\\Lambda _{\omega }F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E},\end{cases}}}$

где – топологическая константа, зависящая от . Их можно рассматривать либо как уравнение для эрмитовой связности , либо для соответствующей эрмитовой метрики с соответствующей связностью Черна . В четырех измерениях уравнения HYM эквивалентны уравнениям ASD. В двух измерениях уравнения HYM соответствуют уравнениям Янга – Миллса, рассмотренным Атьей и Боттом. Соответствие Кобаяши – Хитчина утверждает, что решения уравнений HYM соответствуют полистабильным голоморфным векторным расслоениям. В случае компактных римановых поверхностей это теорема Нарасимхана и Сешадри, доказанная Дональдсоном. Для алгебраических поверхностей это было доказано Дональдсоном, а в целом — Карен Уленбек и Шинг-Тунг Яу . ^{[13] [14]} Эта теорема обобщена Симпсоном в неабелевой теореме Ходжа и фактически является ее частным случаем, когда поле Хиггса расслоения Хиггса равно нулю. ^[26] ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E,\Phi )}$

Исключительные инстантоны голономии

Эффективность решений уравнений Янга–Миллса при определении инвариантов четырехмногообразий вызвала интерес к тому, что они могут помочь различать исключительные многообразия голономии , такие как многообразия G2 в размерности 7 и многообразия Spin(7) в размерности 8, а также родственные структуры, такие как 6-многообразия Калаби – Яу и почти кэлеровы многообразия . ^{[36] [37]}

Струнная теория

Новые калибровочные проблемы возникают из моделей теории суперструн . В таких моделях Вселенная является 10-мерной, состоящей из четырех измерений регулярного пространства-времени и 6-мерного многообразия Калаби – Яу. В таких теориях поля, действующие на струны, живут на расслоениях над этими пространствами более высоких размерностей, и нас интересуют связанные с ними теоретико-калибровочные проблемы. Например, предел естественных теорий поля в теории суперструн, когда радиус струны приближается к нулю (так называемый предел большого объема ) в 6-мерном многообразии Калаби – Яу, задается эрмитовыми уравнениями Янга – Миллса на этом многообразии. Отойдя от предела большого объема, получаем деформированное эрмитово уравнение Янга–Миллса , которое описывает уравнения движения D-браны в B-модели теории суперструн. Зеркальная симметрия предсказывает, что решения этих уравнений должны соответствовать специальным лагранжевым подмногообразиям зеркально-двойственного Калаби – Яу. ^[38]

Смотрите также

• Калибровочная теория
• Введение в калибровочную теорию
• Группа датчиков (математика)
• Калибровочная симметрия (математика)
• Теория Янга – Миллса
• Уравнения Янга – Миллса

Рекомендации

1. Ян, К.Н. и Миллс, Р.Л., 1954. Сохранение изотопического спина и изотопической калибровочной инвариантности. Физическое обозрение, 96(1), с. 191.
2. Атья, М.Ф., Хитчин, Нью-Джерси и Сингер, И.М., 1977. Деформации инстантонов. Труды Национальной академии наук, 74 (7), стр. 2662–2663.
3. Атья, М.Ф., Хитчин, Н.Дж. и Сингер, И.М., 1978. Самодуальность в четырехмерной римановой геометрии. Труды Лондонского королевского общества. А. Математические и физические науки, 362 (1711), стр. 425–461.
4. Атья, М.Ф. и Уорд, Р.С., 1977. Инстантоны и алгебраическая геометрия. Коммуникации в математической физике, 55 (2), стр. 117–124.
5. Атья, М.Ф., Хитчин, Нью-Джерси, Дринфельд, В.Г. и Манин, Ю.И., 1978. Построение инстантонов. Письма по физике А, 65 (3), стр. 185–187.
6. Атья, М.Ф. и Ботт, Р., 1983. Уравнения Янга-Миллса над римановыми поверхностями. Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 308 (1505), стр. 523–615.
7. Уленбек, К.К., 1982. Соединения с границами кривизны L ^{p .} Коммуникации в математической физике, 83 (1), стр. 31–42.
8. Дональдсон, СК, 1983. Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), стр. 279–315.
9. Дональдсон, СК, 1990. Полиномиальные инварианты для гладких четырехмногообразий. Топология, 29 (3), стр. 257–315.
10. Виттен, Э., 1989. Квантовая теория поля и полином Джонса. Коммуникации в математической физике, 121 (3), стр. 351–399.
11. Виттен, Эдвард (1994), «Монополи и четырехмногообразия», Mathematical Research Letters, 1 (6): 769–796, arXiv: hep-th/9411102, Bibcode: 1994MRLet...1..769W, doi:10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13, MR 1306021, заархивировано из оригинала 29 июня 2013 г.
12. Вафа, К. и Виттен, Э., 1994. Тест сильной связи S-дуальности. Препринт arXiv hep-th/9408074.
13. Саймон К. Дональдсон, Антисамодуальные связи Янга-Миллса над комплексными алгебраическими поверхностями и стабильными векторными расслоениями, Труды Лондонского математического общества (3) 50 (1985), 1-26.
14. Карен Уленбек и Шинг-Тунг Яу, О существовании связей Эрмита-Янга-Миллса в стабильных векторных расслоениях. Границы математических наук: 1985 (Нью-Йорк, 1985). Коммуникации в чистом и прикладном плане
15. Хитчин, Нью-Джерси, 1987. Уравнения самодуальности на римановой поверхности. Труды Лондонского математического общества, 3 (1), стр. 59–126.
16. Симпсон, расслоения Карлоса Т. Хиггса и локальные системы. Публикации Mathématiques de l'IHÉS, том 75 (1992), стр. 5–95. http://www.numdam.org/item/PMIHES_1992__75__5_0/
17. Дональдсон, С.К., Дональдсон, С.К. и Кронхаймер, П.Б., 1990. Геометрия четырехмногообразий. Издательство Оксфордского университета.
18. Бликер, Д., 2005. Калибровочная теория и вариационные принципы . Курьерская корпорация.
19. Пескин, Майкл; Шредер, Дэниел (1995). Введение в квантовую теорию поля (переиздание). Вествью Пресс. ISBN  978-0201503975 .
20. Нарасимхан, М.С. и Сешадри, К.С., 1965. Стабильные и унитарные векторные расслоения на компактной римановой поверхности. Анналы математики, стр. 540–567.
21. Дональдсон, СК, 1983. Новое доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), стр. 269–277.
22. Нам, В., 1983. Все самодвойственные мультимонополи для произвольных калибровочных групп. В « Структурных элементах физики элементарных частиц и статистической механики» (стр. 301–310). Спрингер, Бостон, Массачусетс.
23. Хитчин, Нью-Джерси, 1983. О конструкции монополей. Коммуникации в математической физике, 89 (2), стр. 145–190.
24. Дональдсон, СК, 1984. Уравнения Нама и классификация монополей. Коммуникации в математической физике, 96 (3), стр. 387–408.
25. Хитчин, Нью-Джерси, 1987. Уравнения самодуальности на римановой поверхности. Труды Лондонского математического общества, 3 (1), стр. 59–126.
26. Simpson, CT, 1988. Построение вариаций структуры Ходжа с использованием теории Янга-Миллса и приложений к униформизации. Журнал Американского математического общества, 1 (4), стр. 867–918.
27. Симпсон, Коннектикут, 1992. Расслоения Хиггса и локальные системы. Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 75, стр. 5–95.
28. Симпсон, Коннектикут, 1994. Модули представлений фундаментальной группы гладкого проективного многообразия I. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 79, стр. 47–129.
29. Симпсон, CT Модули представлений фундаментальной группы гладкого проективного многообразия. II. Публикации Mathématiques de L'Institut des Hautes Scientifiques 80, 5–79 (1994). https://doi.org/10.1007/BF02698895
30. Симпсон, К., 1996. Фильтрация Ходжа на неабелевых когомологиях. Препринт arXiv alg-geom/9604005.
31. Атья, Майкл; Хитчин, Найджел (1988), Геометрия и динамика магнитных монополей, Лекции М.Б. Портера, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08480-0 , MR 0934202 
32. Хитчин, Нью-Джерси, 1990. Плоские связи и геометрическое квантование. Коммуникации в математической физике, 131 (2), стр. 347–380.
33. Аксельрод, С., Делла Пьетра, С. и Виттен, Э., 1991. Геометрическое квантование калибровочной теории Черна – Саймонса. представления, 34, с. 39.
34. Виттен, Э., 1991. Квантование калибровочной теории Черна-Саймонса с комплексной калибровочной группой. Коммуникации в математической физике, 137 (1), стр. 29–66.
35. Флоер, А., 1988. Инстантон-инвариант для 3-многообразий. Коммуникации в математической физике, 118 (2), стр. 215–240.
36. С. К. Дональдсон и Р. П. Томас. Калибровочная теория в высших измерениях. В «Геометрической Вселенной» (Оксфорд, 1996), страницы 31–47. Оксфордский университет. Пресс, Оксфорд, 1998.
37. Саймон Дональдсон и Эд Сигал. Калибровочная теория в высших измерениях, II. InSurveys по дифференциальной геометрии. Том XVI. Геометрия специальной голономии и смежные темы, том 16 Surv. Отличие. Геом., страницы 1–41. Межд. Пресс, Сомервилл, Массачусетс, 2011 г.
38. Люнг, Северная Каролина, Яу, С.Т. и Заслоу, Э., 2000. От специального лагранжиана к эрмитову-Янг-Миллсу посредством преобразования Фурье-Мукаи. Препринт arXiv math/0005118.