пространство ЛП

Функциональные пространства, обобщающие конечномерные p-нормированные пространства

В математике пространства L ^p являются функциональными пространствами, определяемыми с помощью естественного обобщения p -нормы для конечномерных векторных пространств . Иногда их называют пространствами Лебега , по имени Анри Лебега (Dunford & Schwartz 1958, III.3), хотя, согласно группе Бурбаки (Bourbaki 1987) , они были впервые введены Фридьешем Риссом (Riesz 1910).

Пространства L ^p образуют важный класс банаховых пространств в функциональном анализе и топологических векторных пространств . Ввиду своей ключевой роли в математическом анализе пространств меры и вероятности, пространства Лебега используются также в теоретическом обсуждении проблем в физике, статистике, экономике, финансах, инженерии и других дисциплинах.

Приложения

Статистика

В статистике меры центральной тенденции и статистической дисперсии , такие как среднее значение , медиана и стандартное отклонение , можно определить в терминах метрик, а меры центральной тенденции можно охарактеризовать как решения вариационных задач . ${\displaystyle L^{p}}$

В регрессии со штрафом «штраф L1» и «штраф L2» относятся к штрафованию либо нормы вектора значений параметров решения (т. е. суммы его абсолютных значений), либо его квадратной нормы (его евклидовой длины ). Методы, использующие штраф L1, такие как LASSO , поощряют разреженные решения (где многие параметры равны нулю). ^[1] Эластичная сетевая регуляризация использует штрафной член, который является комбинацией нормы и квадратной нормы вектора параметров. ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Неравенство Хаусдорфа-Юнга

Преобразование Фурье для действительной прямой (или, для периодических функций , см. ряды Фурье ) отображается в (или в ) соответственно, где и Это является следствием интерполяционной теоремы Рисса–Торина и уточняется неравенством Хаусдорфа–Юнга . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

Напротив, если преобразование Фурье не отображается в ${\displaystyle p>2,}$ ${\displaystyle L^{q}.}$

Гильбертовы пространства

Гильбертовы пространства играют центральную роль во многих приложениях, от квантовой механики до стохастического исчисления . Пространства и являются гильбертовыми пространствами. Фактически, выбрав базис Гильберта , т. е. максимальное ортонормированное подмножество или любого гильбертова пространства, можно увидеть, что каждое гильбертово пространство изометрически изоморфно (тому же, что и выше), т. е. гильбертову пространству типа ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

Theп-норма в конечных измерениях

Иллюстрации единичных окружностей (см. также суперэллипс ) на основе различных -норм (каждый вектор от начала координат до единичной окружности имеет длину, равную единице, причем длина вычисляется по формуле длины соответствующего ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Евклидова длина вектора в -мерном действительном векторном пространстве задается евклидовой нормой : ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}$$

Евклидово расстояние между двумя точками и является длиной прямой линии между двумя точками. Во многих ситуациях евклидово расстояние подходит для определения фактических расстояний в заданном пространстве. Напротив, рассмотрим водителей такси в сетке уличного плана, которые должны измерять расстояние не в терминах длины прямой линии до места назначения, а в терминах прямолинейного расстояния , которое учитывает, что улицы либо ортогональны, либо параллельны друг другу. Класс -норм обобщает эти два примера и имеет множество приложений во многих разделах математики , физики и компьютерных наук . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \|x-y\|_{2}}$ ${\displaystyle p}$

Определение

Для действительного числа -норма или -норма определяется как Черты абсолютного значения можно опустить, если — рациональное число с четным числителем в его сокращенной форме и взято из множества действительных чисел или одного из его подмножеств. ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

Евклидова норма сверху попадает в этот класс и является -нормой , а -норма является нормой, которая соответствует прямолинейному расстоянию . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$

-норма или максимальная норма (или равномерная норма) является пределом -норм для Оказывается, этот предел эквивалентен следующему определению : ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\to \infty .}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}$$

См. L -бесконечность .

Для всех -норм и максимальной нормы, как определено выше, действительно удовлетворяют свойствам «функции длины» (или нормы ), которые заключаются в следующем: ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$

• только нулевой вектор имеет нулевую длину,
• длина вектора положительно однородна относительно умножения на скаляр ( положительная однородность ), и
• длина суммы двух векторов не больше суммы длин векторов ( неравенство треугольника ).

Абстрактно говоря, это означает, что вместе с -нормой есть нормированное векторное пространство . Более того, оказывается, что это пространство является полным, что делает его банаховым пространством . Это банахово пространство является -пространством над ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

Отношения междуп-нормы

Расстояние сетки или прямолинейное расстояние (иногда называемое « манхэттенским расстоянием ») между двумя точками никогда не бывает короче длины отрезка прямой между ними (евклидово или «прямое» расстояние). Формально это означает, что евклидова норма любого вектора ограничена его 1-нормой: $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}$$

Этот факт обобщается на -нормы в том смысле, что -норма любого заданного вектора не растет с ростом : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}$для любого вектора и действительных чисел и (на самом деле это остается верным для и .) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle a\geq 0.}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

Для противоположного направления известно следующее соотношение между -нормой и -нормой: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ $${\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}$$

Это неравенство зависит от размерности базового векторного пространства и напрямую следует из неравенства Коши–Шварца . ${\displaystyle n}$

В общем случае для векторов в , где ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle 0<r<p:}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}$$

Это следствие неравенства Гёльдера .

Когда0 < р < 1

Астроида , единичная окружность в метрике ${\displaystyle p={\tfrac {2}{3}}}$

В для формула определяет абсолютно однородную функцию для однако, полученная функция не определяет норму, поскольку она не является субаддитивной . С другой стороны, формула определяет субаддитивную функцию ценой потери абсолютной однородности. Она определяет F-норму , хотя и однородную степени ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>1,}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle 0<p<1;}$ $${\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}$$ ${\displaystyle p.}$

Следовательно, функция определяет метрику . Метрическое пространство обозначается как $${\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}.}$

Хотя -единичный шар вокруг начала координат в этой метрике является "вогнутым", топология, определяемая метрикой, является обычной топологией векторного пространства, следовательно, является локально выпуклым топологическим векторным пространством. Помимо этого качественного утверждения, количественный способ измерить отсутствие выпуклости состоит в обозначении через наименьшую константу, такую, что скалярное кратное -единичного шара содержит выпуклую оболочку, которая равна Тот факт, что для фиксированного мы имеем, показывает, что бесконечномерное пространство последовательностей, определенное ниже, больше не является локально выпуклым. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ ${\displaystyle C_{p}(n)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\,B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p},}$ ${\displaystyle B_{n}^{1}.}$ ${\displaystyle p<1}$ $${\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty }$$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Когдар = 0

Существует одна норма и другая функция, называемая «нормой» (в кавычках). ${\displaystyle \ell _{0}}$ ${\displaystyle \ell _{0}}$

Математическое определение нормы было установлено в теории линейных операций Банаха . Пространство последовательностей имеет полную метрическую топологию, обеспечиваемую F-нормой , которая обсуждается Стефаном Ролевичем в работе «Метрические линейные пространства» . ^[2] -нормированное пространство изучается в функциональном анализе, теории вероятностей и гармоническом анализе. ${\displaystyle \ell _{0}}$ $${\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},}$$ ${\displaystyle \ell _{0}}$

Другая функция была названа «нормой» Дэвидом Донохо — чьи кавычки предупреждают, что эта функция не является правильной нормой — это количество ненулевых элементов вектора ^{[ необходима цитата ]} Многие авторы злоупотребляют терминологией , опуская кавычки. Определение нулевой «нормы» равно ${\displaystyle \ell _{0}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle 0^{0}=0,}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}$$

Анимированный gif-файл p-норм от 0,1 до 2 с шагом 0,05.

Это не норма , потому что она не однородна . Например, масштабирование вектора на положительную константу не изменяет «норму». Несмотря на эти дефекты как математической нормы, ненулевая подсчитывающая «норма» имеет применение в научных вычислениях , теории информации и статистике – в частности, в сжатом считывании при обработке сигналов и вычислительном гармоническом анализе . Несмотря на то, что она не является нормой, связанная с ней метрика, известная как расстояние Хэмминга , является допустимым расстоянием, поскольку однородность не требуется для расстояний. ${\displaystyle x}$

Theп-норма в бесконечных измерениях иℓ ппространства

Пространство последовательностиℓ п

Норму можно распространить на векторы, имеющие бесконечное число компонентов ( последовательностей ), что дает пространство Это содержит в качестве частных случаев: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$

• ${\displaystyle \ell ^{1},}$пространство последовательностей, ряды которых абсолютно сходятся ,
• ${\displaystyle \ell ^{2},}$пространство квадратично-суммируемых последовательностей, которое является гильбертовым пространством , и
• ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$пространство ограниченных последовательностей .

Пространство последовательностей имеет естественную структуру векторного пространства, применяя сложение и скалярное умножение координаты на координату. Явно, векторная сумма и скалярное действие для бесконечных последовательностей действительных (или комплексных ) чисел задаются как: $${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$$

Определим -норму: ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$$

Здесь возникает осложнение, а именно, что ряд справа не всегда сходится, так что, например, последовательность, состоящая только из единиц, будет иметь бесконечную -норму для Пространство тогда определяется как множество всех бесконечных последовательностей действительных (или комплексных) чисел, таких, что -норма конечна. ${\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Можно проверить, что по мере увеличения набор становится больше. Например, последовательность не входит в , но входит в , поскольку ряд расходится для ( гармонический ряд ), но сходится для ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ $${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}$$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p>1,}$ $${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle p>1.}$

Также определяется -норма с помощью супремума : и соответствующее пространство всех ограниченных последовательностей. Оказывается, что ^[3] если правая часть конечна, или левая часть бесконечна. Таким образом, мы будем рассматривать пространства для ${\displaystyle \infty }$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}$$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}$$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

Норма , определенная таким образом на , действительно является нормой, и вместе с этой нормой является банаховым пространством . Полностью общее пространство получается — как показано ниже — путем рассмотрения векторов не только с конечным или счетно-бесконечным числом компонент, но и с « произвольным числом компонент »; другими словами, функций . Для определения нормы используется интеграл вместо суммы . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Общие ℓп-космос

В полной аналогии с предыдущим определением можно определить пространство над общим индексным множеством (и ) как , где сходимость справа означает, что только счетное число слагаемых не равны нулю (см. также Безусловная сходимость ). С нормой пространство становится банаховым пространством. В случае, когда является конечным с элементами, эта конструкция дает с -нормой, определенной выше. Если является счетно бесконечным, это в точности пространство последовательностей, определенное выше. Для несчетных множеств это несепарабельное банахово пространство, которое можно рассматривать как локально выпуклый прямой предел -пространств последовательностей. ^[4] ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ $${\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},}$$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Для -нормы даже индуцируется каноническим внутренним произведением , называемым ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$Евклидово внутреннее произведение , что означает, чтосправедливо для всех векторовЭто внутреннее произведение может быть выражено в терминах нормы с использованиемтождества поляризации. Нанем можно определить как в то время как для пространства,связанного смерой пространства, которое состоит из всехквадратично интегрируемых функций, оно равно ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$ $${\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}$$ ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}$$

Теперь рассмотрим случай Определим ^{[примечание 1],} где для всех ^{[5] [примечание 2]} ${\displaystyle p=\infty .}$ $${\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}$$

Множество индексов можно превратить в пространство меры , придав ему дискретную σ-алгебру и счетную меру . Тогда пространство будет всего лишь частным случаем более общего -пространства (определенного ниже). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Л ппространства и интегралы Лебега

Пространство может быть определено как пространство измеримых функций, для которых -я степень абсолютного значения интегрируема по Лебегу , где функции, которые совпадают почти всюду, идентифицируются. В более общем смысле, пусть будет пространством меры и ^{[примечание 3]} Когда , рассмотрим множество всех измеримых функций от до или абсолютное значение которых, возведенное в -ю степень, имеет конечный интеграл, или в символах: ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$ ${\displaystyle p\neq \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}$$

Чтобы определить множество для напоминания, что две функции и определенные на называются равными почти всюду , записанными как ae , если множество измеримо и имеет меру ноль. Аналогично, измеримая функция (и ее абсолютное значение ) ограничены (или доминируются ) почти всюду действительным числом, записанным как ae , если (обязательно) измеримое множество имеет меру ноль. Пространство — это множество всех измеримых функций, которые ограничены почти всюду (некоторым действительным числом ), и определяется как инфимум этих границ: Когда тогда это то же самое, что и существенный супремум абсолютного значения : ^{[примечание 4]} ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle |f|\leq C}$ ${\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}$$ ${\displaystyle \mu (S)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}$$

Например, если — измеримая функция, которая равна почти всюду ^{[примечание 5],} то для каждого и, таким образом, для всех ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p.}$

Для каждого положительного значения измеримой функции и ее абсолютное значение всегда одинаковы (то есть для всех ), и поэтому измеримая функция принадлежит тогда и только тогда, когда ее абсолютное значение принадлежит. Из-за этого многие формулы, включающие -нормы, сформулированы только для неотрицательных действительных функций. Рассмотрим, например, тождество , которое выполняется, когда измеримо, является действительным и (здесь , когда ). Требование неотрицательности можно устранить, подставив в , что дает Обратите внимание, в частности, что когда является конечным, то формула связывает -норму с -нормой. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:S\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$

Полунормированное пространство функций, интегрируемых в -й степени ${\displaystyle p}$

Каждый набор функций образует векторное пространство , когда сложение и скалярное умножение определены поточечно. ^{[примечание 6]} То, что сумма двух функций, интегрируемых в -й степени , и снова является интегрируемой в -й степени, следует из ^{[доказательства 1],} хотя это также является следствием неравенства Минковского , которое устанавливает, что удовлетворяет неравенству треугольника для (неравенство треугольника не выполняется для ). То, что замкнуто относительно скалярного умножения, обусловлено тем, что является абсолютно однородным , что означает, что для любого скаляра и любой функции ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f.}$

Абсолютная однородность , неравенство треугольника и неотрицательность являются определяющими свойствами полунормы . Таким образом, является полунормой, а множество функций , интегрируемых в -й степени, вместе с функцией определяет полунормированное векторное пространство . В общем случае полунорма не является нормой , поскольку могут существовать измеримые функции , которые удовлетворяют , но не равны тождественно ^{[примечание 5]} ( является нормой тогда и только тогда, когда таковой не существует). ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$

Нулевые наборы -полунорм ${\displaystyle p}$

Если измерима и равна а.е., то для всех положительных С другой стороны, если — измеримая функция, для которой существует некоторая такая, что тогда почти всюду. Когда конечна, то это следует из случая и формулы, упомянутой выше. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$

Таким образом, если положительно и является любой измеримой функцией, то тогда и только тогда, когда почти всюду . Поскольку правая часть ( ae) не упоминает , следует, что все имеют одно и то же нулевое множество (оно не зависит от ). Так что обозначим это общее множество как Это множество является векторным подпространством для каждого положительного ${\displaystyle p\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$

Факторное векторное пространство

Как и каждая полунорма , полунорма индуцирует норму (определенную ниже) на каноническом фактор-векторном пространстве по его векторному подпространству Это нормированное фактор-пространство называется пространством Лебега и является предметом этой статьи. Начнем с определения фактор-векторного пространства. ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}$

При любом условии смежный класс состоит из всех измеримых функций , которые равны почти всюду . Множество всех смежных классов, обычно обозначаемое как , образует векторное пространство с началом , когда сложение векторов и скалярное умножение определяются как и Это конкретное факторное векторное пространство будет обозначаться как ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},}$$ ${\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}$

Два смежных класса равны тогда и только тогда, когда (или, что эквивалентно, ), что происходит тогда и только тогда, когда почти всюду; если это так, то и идентифицируются в факторпространстве. ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

-норма на фактор-векторном пространстве ${\displaystyle p}$

При любом значении полунормы на смежном классе , постоянном и равном, обозначим это уникальное значение через , так что: Это присваивание определяет отображение, которое также будет обозначаться через на фактор-векторном пространстве. Это отображение является нормой на называемом ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle \|f\|_{p};}$ ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}$ $${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}$$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ $${\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.}$$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$-norm . Значениесмежного классане зависит от конкретной функции, выбранной для представления смежного класса, что означает, что еслиэто любой смежный класс, тодля каждого(так какдля каждого). ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$

Пространство Лебега ${\displaystyle L^{p}}$

Нормированное векторное пространство называется пространством или пространством Лебега интегрируемых функций степени - и это банахово пространство для каждого (что означает, что это полное метрическое пространство , результат, который иногда называют теоремой Рисса–Фишера ). Когда понимается лежащее в основе мерное пространство, то часто сокращается или даже просто В зависимости от автора, подстрочное обозначение может обозначать либо либо ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}$

Если полунорма на является нормой (что происходит тогда и только тогда, когда ), то нормированное пространство будет линейно изометрически изоморфно нормированному факторпространству посредством канонического отображения (так как ); другими словами, они будут, с точностью до линейной изометрии , одним и тем же нормированным пространством, и поэтому их оба можно назвать « пространством». ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}$ ${\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Приведенные выше определения обобщаются на пространства Бохнера .

В общем случае этот процесс необратим: не существует последовательного способа определения «канонического» представителя каждого смежного класса в For , однако существует теория лифтов, позволяющая осуществить такое восстановление. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L^{\infty },}$

Особые случаи

Подобно пространствам, является единственным гильбертовым пространством среди пространств. В комплексном случае скалярное произведение на определяется как ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$

Дополнительная структура внутреннего произведения допускает более богатую теорию, с приложениями, например, к рядам Фурье и квантовой механике . Функции в иногда называют квадратично-интегрируемыми функциями , квадратично-интегрируемыми функциями или квадратично-суммируемыми функциями , но иногда эти термины зарезервированы для функций, которые квадратично-интегрируемы в каком-то другом смысле, например, в смысле интеграла Римана (Titchmarsh 1976). ${\displaystyle L^{2}}$

Если мы используем комплекснозначные функции, пространство является коммутативной C*-алгеброй с поточечным умножением и сопряжением. Для многих пространств с мерой, включая все сигма-конечные, это фактически коммутативная алгебра фон Неймана . Элемент определяет ограниченный оператор на любом пространстве посредством умножения . ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Для пространств есть частный случай пространств, когда состоит из натуральных чисел и является мерой подсчета на Более общем смысле, если рассматривать любое множество с мерой подсчета, то результирующее пространство обозначается Например, пространство является пространством всех последовательностей, индексированных целыми числами, и при определении -нормы на таком пространстве суммируется по всем целым числам. Пространство , где является множеством с элементами, является с его -нормой, как определено выше. Как и любое гильбертово пространство, каждое пространство линейно изометрично подходящему , где мощность множества является мощностью произвольного гильбертова базиса для этого конкретного ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(S).}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(n),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(I),}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L^{2}.}$

СвойстваЛппространства

Как и в дискретном случае, если существует такое, что тогда ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle q<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{\infty }(S,\mu )\cap L^{q}(S,\mu ),}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.}$$

Неравенство Гельдера

Предположим, что удовлетворяет (где ). Если и тогда и ^[6] ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~0}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle fg\in L^{r}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.}$$

Это неравенство, называемое неравенством Гёльдера , в некотором смысле оптимально ^[6] , поскольку если (так что ) и является измеримой функцией, такой что где супремум берется по замкнутому единичному шару, то и ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty }$$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .}$$

неравенство Минковского

Неравенство Минковского , утверждающее, что удовлетворяет неравенству треугольника , можно обобщить: если измеримая функция неотрицательна (где и — пространства мер), то для всех ^[7] ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle F:M\times N\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (M,\mu )}$ ${\displaystyle (N,\nu )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$ $${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,n)\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\right\|_{L^{q}(N,\nu )}~\leq ~\left\|\left\|F(m,\cdot )\right\|_{L^{q}(N,\nu )}\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\ .}$$

Атомное разложение

Если тогда каждое неотрицательное число имеет атомарное разложение , ^[8] что означает, что существует последовательность неотрицательных действительных чисел и последовательность неотрицательных функций, называемых атомами , чьи носители являются попарно непересекающимися множествами меры такими, что и для каждого целого числа и и где, кроме того, последовательность функций зависит только от (она независима от ). ^[8] Эти неравенства гарантируют, что для всех целых чисел , в то время как носители попарно непересекающиеся подразумевают ^[8] ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},}$ $${\displaystyle f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,}$$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,}$$ ${\displaystyle (r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.}$$

Атомное разложение можно явно задать, сначала определив для каждого целого числа ^[8] (эта нижняя грань достигается при то есть выполняется ), а затем положив , где обозначает меру множества , а обозначает индикаторную функцию множества Последовательность убывает и сходится к как ^[8] Следовательно, если , то и поэтому , то тождественно равно (в частности, деление на не вызывает проблем). ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}}$$ ${\displaystyle t_{n};}$ ${\displaystyle \mu (f>t_{n})<2^{n}}$ $${\displaystyle r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$$ ${\displaystyle \mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})}$ ${\displaystyle (f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle t_{n}=0}$ ${\displaystyle t_{n+1}=0}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n})=\varnothing }$ ${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{n}}}}$ ${\displaystyle r_{n}=0}$

Дополнительная кумулятивная функция распределения , которая использовалась для определения , также появляется в определении слабой -нормы (приведенном ниже) и может быть использована для выражения -нормы (для ) в виде интеграла ^[8] , где интегрирование выполняется относительно обычной меры Лебега на ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto \mu (|f|>t)}$ ${\displaystyle |f|=f}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~p\,\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\mu (|f|>t)\,\mathrm {d} t\,,}$$ ${\displaystyle (0,\infty ).}$

Двойные пространства

Двойственное пространство (банахово пространство всех непрерывных линейных функционалов) для имеет естественный изоморфизм с , где такое, что (т.е. ). Этот изоморфизм ассоциируется с функционалом, определенным для каждого ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle L^{q}(\mu ),}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}(g)\in L^{p}(\mu )^{*}}$ $${\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu }$$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$

Тот факт, что является корректно определенным и непрерывным, следует из неравенства Гельдера . является линейным отображением, которое является изометрией по экстремальному случаю неравенства Гельдера. Также можно показать (например, с помощью теоремы Радона–Никодима , см. ^[9] ), что любое может быть выражено следующим образом: т. е. то есть является на . Поскольку является на и изометрично, то это изоморфизм банаховых пространств . Имея в виду этот (изометрический) изоморфизм, обычно просто говорят, что является непрерывным сопряженным пространством к ${\displaystyle \kappa _{p}(g)}$ ${\displaystyle \kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle G\in L^{p}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$

Для пространства рефлексивно . Пусть будет как выше и пусть будет соответствующая линейная изометрия. Рассмотрим отображение из в полученное путем композиции с транспонированием ( или сопряжением) обратного к ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \kappa _{q}:L^{p}(\mu )\to L^{q}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )^{**},}$ ${\displaystyle \kappa _{q}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}:}$

$${\displaystyle j_{p}:L^{p}(\mu )\mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}}$$

Это отображение совпадает с каноническим вложением в его бидуальное. Более того, отображение является на, как композиция двух на изометрий, и это доказывает рефлексивность. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle j_{p}}$

Если мера на сигма -конечна , то двойственное к изометрически изоморфно (точнее, отображение, соответствующее , является изометрией из на ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )^{*}.}$

Двойственное к более тонкое. Элементы из можно отождествить с ограниченными конечно- аддитивными мерами со знаком на , которые абсолютно непрерывны относительно пространства See ba для получения более подробной информации. Если мы предположим аксиому выбора, это пространство намного больше, чем за исключением некоторых тривиальных случаев. Однако Сахарон Шелах доказал, что существуют относительно последовательные расширения теории множеств Цермело–Френкеля (ZF + DC + «Каждое подмножество действительных чисел имеет свойство Бэра »), в которых двойственное к есть ^[10] ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Вложения

Говоря простым языком, если то содержит функции, которые более локально сингулярны, в то время как элементы из могут быть более разбросаны. Рассмотрим меру Лебега на полупрямой Непрерывная функция в может взорваться вблизи, но должна достаточно быстро затухать к бесконечности. С другой стороны, непрерывные функции в не должны затухать вообще, но взрыв не допускается. Точный технический результат следующий. ^[11] Предположим, что Тогда: ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle (0,\infty ).}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle 0<p<q\leq \infty .}$

1. ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )}$тогда и только тогда, когда не содержит множеств конечной, но произвольно большой меры ( например, любой конечной меры ). ${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )}$тогда и только тогда, когда не содержит множеств ненулевой, но произвольно малой меры ( например, меры подсчета ). ${\displaystyle S}$

Ни одно из условий не выполняется для вещественной прямой с мерой Лебега, в то время как оба условия выполняются для меры подсчета на любом конечном множестве. В обоих случаях вложение непрерывно, в том смысле, что оператор тождества является ограниченным линейным отображением из в в первом случае и в во втором. (Это следствие теоремы о замкнутом графике и свойств пространств.) Действительно, если область имеет конечную меру, можно сделать следующее явное вычисление, используя неравенство Гельдера, приводящее к ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}}$$ $${\displaystyle \ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.}$$

Константа, фигурирующая в приведенном выше неравенстве, является оптимальной в том смысле, что операторная норма тождества — это как раз тот случай, когда равенство достигается именно тогда, когда -почти-всюду. ${\displaystyle I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}}$$ ${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle \mu }$

Плотные подпространства

В этом разделе мы предполагаем, что ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$

Пусть будет мерным пространством. Интегрируемая простая функция на имеет вид где - скаляры, имеет конечную меру и является индикаторной функцией множества для По построению интеграла векторное пространство интегрируемых простых функций плотно в ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}$$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle A_{j}\in \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}$ ${\displaystyle A_{j},}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$

Больше можно сказать, когда является нормальным топологическим пространством и его борелевской 𝜎–алгеброй , т.е. наименьшей 𝜎–алгеброй подмножеств, содержащей открытые множества . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$

Предположим, что есть открытое множество с Можно доказать, что для каждого борелевского множества, содержащегося в и для каждого существуют замкнутое множество и открытое множество такие, что ${\displaystyle V\subseteq S}$ ${\displaystyle \mu (V)<\infty .}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon }$$

Отсюда следует, что существует непрерывная функция Урысона на , которая продолжается и продолжается с ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S\setminus U,}$ $${\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.}$$

Если можно покрыть возрастающей последовательностью открытых множеств, имеющих конечную меру, то пространство –интегрируемых непрерывных функций плотно в Точнее, можно использовать ограниченные непрерывные функции, которые исчезают вне одного из открытых множеств ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (V_{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle V_{n}.}$

Это применимо, в частности, когда и когда — мера Лебега. Пространство непрерывных и компактных функций плотно в Аналогично, пространство интегрируемых ступенчатых функций плотно в это пространство — линейная оболочка индикаторных функций ограниченных интервалов, когда ограниченных прямоугольников, когда и, в более общем смысле, произведений ограниченных интервалов. ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}).}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d});}$ ${\displaystyle d=1,}$ ${\displaystyle d=2}$

Некоторые свойства общих функций в сначала доказываются для непрерывных и компактных функций (иногда для ступенчатых функций), затем распространяются по плотности на все функции. Например, таким образом доказывается, что переносы непрерывны на в следующем смысле: где ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),}$ $${\displaystyle \forall f\in L^{p}\left(\mathbb {R} ^{d}\right):\quad \left\|\tau _{t}f-f\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{as }}\mathbb {R} ^{d}\ni t\to 0,}$$ $${\displaystyle (\tau _{t}f)(x)=f(x-t).}$$

Закрытые подпространства

Если — любое положительное действительное число, — вероятностная мера на измеримом пространстве (так что ), а — векторное подпространство, то — замкнутое подпространство в тогда и только тогда, когда — конечномерно ^[12] ( было выбрано независимым от ). В этой теореме, которая принадлежит Александру Гротендику [ ^12], принципиально важно, чтобы векторное пространство было подмножеством , поскольку можно построить бесконечномерное замкнутое векторное подпространство (которое даже является подмножеством ), где — мера Лебега на единичной окружности , а — вероятностная мера, которая получается в результате деления ее на ее массу ^[12] ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )\subseteq L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V\subseteq L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)}$ ${\displaystyle L^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}\lambda }$ ${\displaystyle \lambda (S^{1})=2\pi .}$

Л п (0 < п < 1)

Пусть будет мерным пространством. Если тогда можно определить как выше: это факторное векторное пространство тех измеримых функций, что ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .}$$

Как и прежде, мы можем ввести -норму , но в этом случае она не удовлетворяет неравенству треугольника и определяет только квазинорму . Неравенство, действительное для , подразумевает, что (Рудин 1991, §1.47) и, таким образом, функция является метрикой на Полученное метрическое пространство является полным ; ^[13] проверка аналогична знакомому случаю, когда Шары образуют локальную базу в начале координат для этой топологии, так как пробегает положительные действительные числа. ^[13] Эти шары удовлетворяют для всех действительных , что, в частности, показывает, что является ограниченной окрестностью начала координат; ^[13] другими словами, это пространство локально ограничено, как и любое нормированное пространство , несмотря на то, что не является нормой. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=N_{p}(f)^{1/p},}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle (a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},}$ ${\displaystyle a,b\geq 0,}$ $${\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}$$ $${\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}}$$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$ ${\displaystyle p\geq 1.}$ $${\displaystyle B_{r}=\{f\in L^{p}:N_{p}(f)<r\}}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}=r^{1/p}B_{1}}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

В этой ситуации выполняется обратное неравенство Минковского , то есть для ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle u,v\in L^{p}}$ $${\displaystyle {\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}$$

Этот результат может быть использован для доказательства неравенств Кларксона , которые, в свою очередь, используются для установления равномерной выпуклости пространств для (Адамс и Фурнье, 2003). ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

Пространство для является F-пространством : оно допускает полную инвариантную относительно трансляции метрику, относительно которой операции векторного пространства непрерывны. Это прототипический пример F-пространства , которое для большинства разумных пространств с мерой не является локально выпуклым : в или каждое открытое выпуклое множество, содержащее функцию, неограничено для -квазинормы; следовательно, вектор не обладает фундаментальной системой выпуклых окрестностей. В частности, это верно, если пространство с мерой содержит бесконечное семейство непересекающихся измеримых множеств конечной положительной меры. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]),}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$

Единственное непустое выпуклое открытое множество в — это все пространство (Рудин 1991, §1.47). Как частное следствие, нет ненулевых непрерывных линейных функционалов на непрерывном сопряженном пространстве — нулевом пространстве. В случае счетной меры на натуральных числах (производящей пространство последовательностей ), ограниченные линейные функционалы на — это в точности те, которые ограничены на , а именно те, которые заданы последовательностями в Хотя и содержит нетривиальные выпуклые открытые множества, их недостаточно, чтобы дать основу для топологии. ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]);}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )=\ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Ситуация отсутствия линейных функционалов крайне нежелательна для целей анализа. В случае меры Лебега на вместо работы с для обычно работают с пространством Харди H ^p , когда это возможно, поскольку оно имеет довольно много линейных функционалов: достаточно, чтобы отличать точки друг от друга. Однако теорема Хана–Банаха все еще неверна в H ^p для (Duren 1970, §7.5). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle p<1}$

Л 0, пространство измеримых функций

Вектор пространства (классов эквивалентности) измеримых функций на обозначается (Kalton, Peck & Roberts 1984). По определению, оно содержит все и снабжено топологией сходимости по мере . Когда является вероятностной мерой (т. е. ), этот режим сходимости называется сходимостью по вероятности . Пространство всегда является топологической абелевой группой , но является топологическим векторным пространством только в том случае, если Это происходит потому, что скалярное умножение непрерывно тогда и только тогда, когда Если является -конечным, то более слабая топология локальной сходимости по мере является F-пространством , т. е. полностью метризуемым топологическим векторным пространством . Более того, эта топология изометрична глобальной сходимости по мере для подходящего выбора вероятностной меры ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{0}(S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=1}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty .}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty .}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\nu )}$ ${\displaystyle \nu .}$

Описание проще, когда конечно. Если конечная мера на функции допускает для сходимости по мере следующую фундаментальную систему окрестностей ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ),}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.}$$

Топология может быть определена любой метрикой вида где ограничена, непрерывна, вогнута и не убывает на при и когда (например, Такая метрика называется метрикой Леви для При этой метрике пространство является полным. Однако, как упоминалось выше, скалярное умножение непрерывно относительно этой метрики только в том случае, если . Чтобы увидеть это, рассмотрим измеримую по Лебегу функцию, определяемую соотношением . Тогда ясно , что . Пространство в общем случае не является локально ограниченным и локально выпуклым. ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ ${\displaystyle \varphi (t)>0}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \varphi (t)=\min(t,1).}$ ${\displaystyle L^{0}.}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle \lim _{c\rightarrow 0}d(cf,0)=\infty }$ ${\displaystyle L^{0}}$

Для бесконечной меры Лебега определение фундаментальной системы окрестностей можно модифицировать следующим образом: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ and }}|x|<{\tfrac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}$$

Полученное пространство с топологией локальной сходимости по мере изоморфно пространству для любой положительной –интегрируемой плотности ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )}$ ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g\,\lambda ),}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g.}$

Обобщения и расширения

СлабыйЛ п

Пусть будет пространством меры и измеримой функцией с действительными или комплексными значениями на Функция распределения определяется для как ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.}$$

Если есть в для некоторых с тогда по неравенству Маркова , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}$$

Говорят, что функция находится в слабом пространстве , или если существует константа такая, что для всех ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p,w}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle t>0,}$ $${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$$

Наилучшей константой для этого неравенства является -норма и обозначается как ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}$$

Слабые пространства совпадают с пространствами Лоренца , поэтому для их обозначения также используется эта нотация. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p,\infty },}$

Норма не является истинной нормой, поскольку неравенство треугольника не выполняется. Тем не менее, для в и в частности ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu ),}$ $${\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}$$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).}$

На самом деле, у нас есть и возведение в степень и взятие супремума в одном есть $${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),}$$ ${\displaystyle 1/p}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.}$$

Согласно соглашению, что две функции равны, если они равны почти всюду, то пространства являются полными (Grafakos 2004). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p,w}}$

Для любого выражение сравнимо с -нормой. Далее в случае это выражение определяет норму, если Следовательно, для слабых пространств являются банаховы пространства (Grafakos 2004). ${\displaystyle 0<r<p}$ $${\displaystyle \||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}}$$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle p>1,}$ ${\displaystyle r=1.}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Основным результатом, использующим -пространства, является интерполяционная теорема Марцинкевича , которая имеет широкое применение в гармоническом анализе и изучении сингулярных интегралов . ${\displaystyle L^{p,w}}$

ВзвешенныйЛ ппространства

Как и прежде, рассмотрим мерное пространство Пусть будет измеримой функцией. - Взвешенное пространство определяется как где означает меру, определенную как ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle w:S\to [a,\infty ),a>0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),}$ ${\displaystyle w\,\mathrm {d} \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}$$

или, в терминах производной Радона–Никодима , норма для явно имеет вид ${\displaystyle w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}$$

Как -пространства, весовые пространства не имеют ничего особенного, так как равно Но они являются естественной основой для нескольких результатов в гармоническом анализе (Grafakos 2004); они появляются, например, в теореме Макенхаупта : для классического преобразования Гильберта определено на , где обозначает единичную окружность и меру Лебега; (нелинейный) максимальный оператор Харди–Литтлвуда ограничен на Теорема Макенхаупта описывает веса, такие что преобразование Гильберта остается ограниченным на , а максимальный оператор на ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).}$

Л ппространства на многообразиях

Используя плотности , можно также определить пространства на многообразии, называемые внутренними пространствами многообразия . ${\displaystyle L^{p}(M)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Векторно-значныйЛ ппространства

При наличии мерного пространства и локально выпуклого пространства (здесь предполагается, что оно полно ), можно определить пространства -интегрируемых -значных функций на несколькими способами. Один из способов — определить пространства интегрируемых по Бохнеру и интегрируемых по Петтису функций, а затем наделить их локально выпуклыми TVS-топологиями, которые (каждая по-своему) являются естественным обобщением обычной топологии. Другой способ включает топологические тензорные произведения с Элементом векторного пространства являются конечные суммы простых тензоров , где каждый простой тензор может быть отождествлен с функцией, которая посылает Это тензорное произведение затем наделяется локально выпуклой топологией, которая превращает его в топологическое тензорное произведение , наиболее распространенными из которых являются проективное тензорное произведение , обозначаемое и инъективное тензорное произведение , обозначаемое В общем случае ни одно из этих пространств не является полным, поэтому строятся их пополнения , которые соответственно обозначаются и (это аналогично тому, как пространство скалярнозначных простых функций на , когда полунормированное по любому не является полным, поэтому строится пополнение, которое после факторизации по изометрически изоморфно банахову пространству ). Александр Гротендик показал, что когда является ядерным пространством (введенное им понятие), то эти две конструкции соответственно канонически TVS-изоморфны пространствам интегральных функций Бохнера и Петтиса, упомянутым ранее; короче говоря, они неразличимы. ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},}$ ${\displaystyle f\times e}$ ${\displaystyle \Omega \to E}$ ${\displaystyle x\mapsto ef(x).}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\pi }E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle \ker \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$

Смотрите также

• Абсолютно интегрируемая функция  – функция, абсолютное значение которой имеет конечный интеграл.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Пространство Бохнера  – Тип топологического пространства
• Пространство Орлича  – Тип функционального пространства
• Пространство Харди  – Концепция в комплексном анализе
• Теорема Рисса–Торина  – Теорема об интерполяции операторов
• Среднее Гёльдера  – корень n-й степени из среднего арифметического заданных чисел, возведенных в степень n.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Пространство Гельдера  – Тип непрерывности комплекснозначной функцииPages displaying short descriptions of redirect targets
• Среднеквадратичное значение  – квадратный корень из среднего квадрата
• Наименьшие абсолютные отклонения  – Статистический критерий оптимальности
• Локально интегрируемая функция  – функция, интегрируемая на своей области определения. ${\displaystyle \left(L_{\text{loc}}^{1}\right)}$
• ${\displaystyle L^{p}(G)}$пространства над локально компактной группой ${\displaystyle G}$  – Двойственность для локально компактных абелевых групп
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов  – Метод вычисления периодичности
• Список банаховых пространств
• Расстояние Минковского  – Математическая метрика в нормированном векторном пространстве
• L-infinity  – Пространство ограниченных последовательностей
• L ^p sum  – Мера в функциональном анализе

Примечания

1. Хасти, Т. Дж .; Тибширани, Р.; Уэйнрайт, М. Дж. (2015). Статистическое обучение с разреженностью: лассо и обобщения . CRC Press. ISBN 978-1-4987-1216-3.
2. Rolewicz, Stefan (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы , математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), т. 29 (перевод с польского под ред. Эвы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: D. Reidel Publishing Co.; PWN — Polish Scientific Publishers, стр. xvi+524, doi :10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR  0920371, OCLC  13064804^{[ нужна страница ]}
3. Мэддокс, И.Дж. (1988), Элементы функционального анализа (2-е изд.), Кембридж: CUP, страница 16
4. Рафаэль Дамен, Габор Лукач: Длинные копределы топологических групп I: Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. в: Топология и ее приложения № 270, 2020. Пример 2.14
5. Гарлинг, DJH (2007). Неравенства: Путешествие в линейный анализ . Cambridge University Press. стр. 54. ISBN 978-0-521-87624-7.
6. Бахури, Чемин и Данчин, 2011, стр. 1–4.
7. Бахури, Чемин и Данчин 2011, стр. 4.
8. Bahouri, Chemin & Danchin 2011, стр. 7–8.
9. Рудин, Уолтер (1980), Действительный и комплексный анализ (2-е изд.), Нью-Дели: Tata McGraw-Hill, ISBN 9780070542341, Теорема 6.16
10. Шехтер, Эрик (1997), Справочник по анализу и его основам , Лондон: Academic Press Inc.См. разделы 14.77 и 27.44–47.
11. Виллани, Альфонсо (1985), «Еще одно замечание о включении L ^p ( μ ) ⊂ L ^q ( μ ) », Amer. Math. Monthly , 92 (7): 485–487, doi :10.2307/2322503, JSTOR  2322503, MR  0801221
12. Рудин 1991, стр. 117–119.
13. Рудин 1991, стр. 37.

1. Условие не эквивалентно конечности, если только ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|<+\infty .}$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing .}$
2. Если тогда ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|=-\infty .}$
3. Определения и могут быть распространены на все (а не только ), но только тогда, когда это гарантированно является нормой (хотя является квазиполунормой для всех ). ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty ,}$
4. Если тогда ${\displaystyle \mu (S)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {esssup} |f|=-\infty .}$
5. Например, если существует непустое измеримое множество мер , то его индикаторная функция удовлетворяет , хотя ${\displaystyle N\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {1} _{N}\|_{p}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}\neq 0.}$
6. Явно операции векторного пространства определяются следующим образом: для всех и всех скаляров Эти операции превращаются в векторное пространство, поскольку если — любой скаляр, то и то , и то также принадлежат $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(sf)(x)&=sf(x)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle sf}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ).}$

1. Когда неравенство можно вывести из того факта, что функция, определяемая как , является выпуклой , что по определению означает, что для всех и всех в области Подставляя и вместо и , получаем, что доказывает, что Неравенство треугольника теперь подразумевает Требуемое неравенство следует из интегрирования обеих частей. ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)}$ ${\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(t)=t^{p}}$ ${\displaystyle F(tx+(1-t)y)\leq tF(x)+(1-t)F(y)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle |f|,|g|,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle x,y,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right)^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p},}$ ${\displaystyle (|f|+|g|)^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle |f+g|\leq |f|+|g|}$ ${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Ссылки

• Адамс, Роберт А.; Фурнье, Джон Ф. (2003), Пространства Соболева (второе издание), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3.
• Бахури, Хаджер ; Шемен, Жан-Ив ; Данчин, Рафаэль (2011). Анализ Фурье и нелинейные уравнения в частных производных. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 343. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC  704397128.
• Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Биркхойзер, ISBN 3-7643-4231-5.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том I , Wiley-Interscience.
• Дюрен, П. (1970), Теория H ^p -пространств , Нью-Йорк: Academic Press
• Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
• Хьюитт, Эдвин; Штромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag.
• Калтон, Найджел Дж .; Пек, Н. Тенни; Робертс, Джеймс У. (1984), Семплер F-пространства , Серия заметок лекций Лондонского математического общества, т. 89, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, doi : 10.1017/CBO9780511662447, ISBN 0-521-27585-7, МР  0808777
• Рисс, Фридьес (1910), «Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen», Mathematische Annalen , 69 (4): 449–497, doi : 10.1007/BF01457637, S2CID  120242933
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Рудин, Уолтер (1987), Действительный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, МР  0924157
• Титчмарш, EC (1976), Теория функций , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

Внешние ссылки

• «Пространство Лебега», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство полноты пространств Lp