.png/1280px-OAS_valuation_tree_(es).png)
В финансах решетчатая модель [ 1] — это метод, применяемый к оценке деривативов , где требуется дискретная временная модель. Для опционов на акции типичным примером будет ценообразование американского опциона , где решение об исполнении опциона требуется во «все» моменты времени (в любое время) до и включая срок погашения. С другой стороны, непрерывная модель, такая как модель Блэка–Шоулза , позволит оценивать только европейские опционы , где исполнение происходит в дату погашения опциона . Для процентных деривативов решетки дополнительно полезны тем, что они решают многие проблемы, возникающие при использовании непрерывных моделей, такие как приведение к номиналу . [2] Этот метод также используется для оценки некоторых экзотических опционов , где из-за зависимости от траектории в выплате методы Монте-Карло для ценообразования опционов не учитывают оптимальные решения о прекращении дериватива путем раннего исполнения, [3] хотя в настоящее время существуют методы для решения этой проблемы .
В общем случае подход заключается в разделении времени между настоящим моментом и истечением срока опциона на N дискретных периодов. В определенный момент времени n модель имеет конечное число результатов в момент времени n + 1, так что каждое возможное изменение состояния мира между n и n + 1 фиксируется в ветви. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет отображен каждый возможный путь между n = 0 и n = N. Затем вероятности оцениваются для каждого пути от n до n + 1. Результаты и вероятности текут обратно по дереву, пока не будет рассчитана справедливая стоимость опциона на сегодняшний день.
Для акций и товаров применение выглядит следующим образом. Первый шаг — отследить эволюцию ключевой базовой переменной(ых) опциона, начиная с сегодняшней спотовой цены , так чтобы этот процесс соответствовал его волатильности; обычно предполагается логарифмически нормальное броуновское движение с постоянной волатильностью. [4] Следующий шаг — рекурсивная оценка опциона: шаг назад от последнего временного шага, где у нас есть стоимость исполнения в каждом узле; и применение нейтральной по риску оценки в каждом более раннем узле, где стоимость опциона — это взвешенная по вероятности текущая стоимость восходящих и нисходящих узлов в более позднем временном шаге. См. Биномиальная модель ценообразования опционов § Метод для более подробной информации, а также Рациональное ценообразование § Нейтральная по риску оценка для логики и вывода формул.
Как указано выше, решетчатый подход особенно полезен при оценке американских опционов , где выбор между ранним исполнением опциона или удержанием опциона может быть смоделирован для каждой дискретной комбинации времени/цены; это также верно для бермудских опционов . По аналогичным причинам реальные опционы и опционы на акции сотрудников часто моделируются с использованием решетчатой структуры, хотя и с измененными предположениями. В каждом из этих случаев третьим шагом является определение того, следует ли исполнять или удерживать опцион, а затем применение этого значения к рассматриваемому узлу. Некоторые экзотические опционы , такие как барьерные опционы , также легко моделируются здесь; для других опционов, зависящих от пути , моделирование было бы предпочтительнее. (Хотя были разработаны методы на основе дерева. [5] [6] )
Простейшая решетчатая модель — это биномиальная модель ценообразования опционов ; [7] стандартный («канонический» [8] ) метод — это метод, предложенный Коксом , Россом и Рубинштейном (CRR) в 1979 году; см. диаграмму для формул. Было разработано более 20 других методов, [9] каждый из которых «выведен при различных предположениях» относительно развития цены базового актива. [4] В пределе , по мере увеличения числа временных шагов, они сходятся к логарифмически нормальному распределению и, следовательно, производят «ту же» цену опциона, что и Блэк-Шоулз: для достижения этого они будут по-разному стремиться к согласованию с центральными моментами базового актива , сырыми моментами и/или логарифмическими моментами на каждом временном шаге, измеряемыми дискретно . Дальнейшие усовершенствования предназначены для достижения стабильности относительно Блэка-Шоулза по мере изменения числа временных шагов. Более поздние модели, по сути, разработаны вокруг прямой сходимости к Блэку-Шоулзу. [9]
Вариантом биномиального дерева является триномиальное дерево [10] [ 11], разработанное Фелимом Бойлом в 1986 году. Здесь цена акций может оставаться неизменной в течение временного шага, а оценка опциона затем основывается на стоимости акции в верхних, нижних и средних узлах на более позднем временном шаге. Что касается биномиального, то существует аналогичный (хотя и меньший) диапазон методов. Считается, что триномиальная модель [12] дает более точные результаты, чем биномиальная модель, когда моделируется меньше временных шагов, и поэтому используется, когда скорость вычислений или ресурсы могут быть проблемой. Для ванильных опционов по мере увеличения числа шагов результаты быстро сходятся, и биномиальная модель затем становится предпочтительной из-за ее более простой реализации. Для экзотических опционов триномиальная модель (или адаптации) иногда более стабильна и точна, независимо от размера шага.
Различные греки могут быть оценены непосредственно на решетке, где чувствительности вычисляются с использованием конечных разностей . [13] Дельта и гамма , будучи чувствительностью стоимости опциона по отношению к цене, аппроксимируются с учетом разницы между ценами опционов - с их связанным спотом - на одном и том же временном шаге. Тета , чувствительность ко времени, также оценивается с учетом цены опциона в первом узле дерева и цены опциона для того же спота на более позднем временном шаге. (Второй временной шаг для триномиального, третий для биномиального. В зависимости от метода, если «фактор снижения» не является обратным «фактору повышения», этот метод не будет точным.) Для rho , чувствительности к процентным ставкам, и vega , чувствительности к волатильности входных данных, измерение является косвенным, поскольку значение должно быть рассчитано во второй раз на новой решетке, построенной с этими слегка измененными входными данными - и чувствительность здесь также возвращается через конечную разность. См. также Fugit , предполагаемое время исполнения, которое обычно рассчитывается с использованием решетки.
Когда важно включить улыбку волатильности , или поверхность , можно построить подразумеваемые деревья . Здесь дерево решается таким образом, что оно успешно воспроизводит выбранные (все) рыночные цены, по различным страйкам и срокам истечения. Таким образом, эти деревья «гарантируют, что все европейские стандартные опционы (со страйками и сроками погашения, совпадающими с узлами дерева) будут иметь теоретические значения, которые соответствуют их рыночным ценам». [14] Используя калиброванную решетку, можно затем оценить опционы с комбинациями страйк/срок погашения, не котируемыми на рынке, так что эти цены соответствуют наблюдаемым моделям волатильности. Существуют как подразумеваемые биномиальные деревья , часто Рубинштейн IBT (R-IBT), [15], так и подразумеваемые триномиальные деревья , часто Дерман -Кани- Крисс [14] (DKC; заменяющий DK-IBT [16] ). Первое проще построить, но оно согласуется только с одним сроком погашения; последний будет соответствовать известным (или интерполированным ) ценам на всех временных шагах и узлах, но в то же время требует их. (DKC фактически является дискретизированной моделью локальной волатильности .)
Что касается построения, для R-IBT первым шагом является восстановление «подразумеваемых конечных нейтральных к риску вероятностей» спотовых цен. Затем, исходя из предположения, что все пути, ведущие к одному и тому же конечному узлу, имеют одинаковую нейтральную к риску вероятность, «вероятность пути» прикрепляется к каждому конечному узлу. После этого «это так же просто, как один-два-три», и трехшаговая обратная рекурсия позволяет восстановить вероятности узлов для каждого временного шага. Затем оценка опционов выполняется стандартно, с заменой их на p . Для DKC первым шагом является восстановление цен состояния, соответствующих каждому узлу в дереве, таким образом, чтобы они соответствовали наблюдаемым ценам опционов (т. е. с поверхностью волатильности). После этого для каждого узла находятся вероятности вверх, вниз и в середине, такие, что: их сумма равна 1; спотовые цены, соседние по временному шагу, развиваются нейтрально к риску, включая доходность дивидендов ; Государственные цены аналогичным образом «растут» по безрисковой ставке. [17] (Решение здесь итеративное на каждом шаге времени, а не одновременное.) Что касается R-IBT, то оценка опционов осуществляется посредством стандартной обратной рекурсии.
В качестве альтернативы биномиальные деревья Эджворта [18] допускают указанный аналитиком перекос и эксцесс в доходности спотовых цен; см. ряд Эджворта . Этот подход полезен, когда поведение базового актива (заметно) отклоняется от нормальности. Связанное использование — калибровка дерева к улыбке волатильности (или поверхности) путем «разумного выбора» [19] значений параметров — оцененные здесь опционы с разными страйками вернут разные подразумеваемые волатильности. Для ценообразования американских опционов конечное распределение, сгенерированное Эджвортом, может быть объединено с R-IBT. Этот подход ограничен набором пар перекоса и эксцесса, для которых доступны допустимые распределения. Более поздние биномиальные деревья Джонсона [20] используют «семейство» распределений Джонсона , поскольку оно способно вместить все возможные пары.
Для нескольких базовых слоев можно построить многочленные решетки [21] , хотя количество узлов экспоненциально увеличивается с количеством базовых слоев. В качестве альтернативы, опционы Basket , например, могут быть оценены с использованием «приблизительного распределения» [22] через дерево Эджворта (или Джонсона).
Решетки обычно используются при оценке опционов на облигации , свопционов и других производных процентных ставок [23] [24] В этих случаях оценка в основном такая же, как и выше, но требует дополнительного, нулевого, шага построения дерева процентных ставок, на котором затем основывается цена базового актива. Следующий шаг также отличается: здесь базовая цена строится посредством «обратной индукции», т. е. течет назад от срока погашения, накапливая текущую стоимость запланированных денежных потоков в каждом узле, в отличие от потока вперед от даты оценки, как указано выше. Последний шаг, оценка опциона, затем выполняется как стандарт. Смотрите вверху график и в стороне описание.
Начальная решетка строится путем дискретизации либо модели с краткосрочной ставкой , такой как Hull–White или Black Derman Toy , либо модели с форвардной ставкой , такой как рыночная модель LIBOR или HJM . Что касается капитала, для этих моделей также могут использоваться триномиальные деревья; [25] это обычно касается деревьев Hull–White.
В HJM [26] условие отсутствия арбитража подразумевает, что существует мартингальная вероятностная мера , а также соответствующее ограничение на «коэффициенты дрейфа» форвардных ставок. Они, в свою очередь, являются функциями волатильности(ей) форвардных ставок. [27] «Простое» дискретизированное выражение [28] для дрейфа затем позволяет выразить форвардные ставки в биномиальной решетке. Для этих моделей, основанных на форвардных ставках, зависящих от предположений о волатильности, решетка может не рекомбинироваться. [29] [26] (Это означает, что «движение вверх», за которым следует «движение вниз», не даст того же результата, что и «движение вниз», за которым следует «движение вверх».) В этом случае решетку иногда называют «кустом», и количество узлов растет экспоненциально как функция количества временных шагов. Методология рекомбинирующего биномиального дерева также доступна для модели рынка Libor. [30]
Что касается краткосрочных моделей, то они, в свою очередь, далее классифицируются: они будут либо основанными на равновесии ( Васичек и CIR ), либо безарбитражными ( Хо–Ли и последующие ). Это различие: для равновесных моделей кривая доходности является выходом модели, в то время как для безарбитражных моделей кривая доходности является входом в модель. [31] В первом случае подход заключается в «калибровке» параметров модели таким образом, чтобы цены облигаций, полученные с помощью модели, в ее непрерывной форме наилучшим образом соответствовали наблюдаемым рыночным ценам. [32] Затем дерево строится как функция этих параметров. Во втором случае калибровка выполняется непосредственно на решетке: подгонка выполняется как для текущей временной структуры процентных ставок (т. е. кривой доходности ), так и для соответствующей структуры волатильности . Здесь калибровка означает, что дерево процентных ставок воспроизводит цены облигаций с нулевым купоном — и любых других ценных бумаг, чувствительных к процентной ставке, — используемых при построении кривой доходности ; обратите внимание на параллель с подразумеваемыми деревьями для капитала выше и сравните Bootstrapping (финансы) . Для моделей, предполагающих нормальное распределение (например, Ho-Lee), калибровка может быть выполнена аналитически, в то время как для логнормальных моделей калибровка осуществляется с помощью алгоритма поиска корня ; см., например, описание в рамке под моделью Black–Derman–Toy .
Структура волатильности — т. е. вертикальное расстояние между узлами — здесь отражает волатильность ставок в течение квартала или другого периода, соответствующего временному шагу решетки. (Некоторые аналитики используют « реализованную волатильность », т. е. ставок, применимых исторически для временного шага; чтобы быть последовательными на рынке, аналитики обычно предпочитают использовать текущие цены предела процентной ставки и подразумеваемую волатильность для цен Black-76 каждого компонента caplet ; см. Предел процентной ставки § Подразумеваемая волатильность .) Учитывая эту функциональную связь с волатильностью, теперь обратите внимание на результирующее различие в конструкции относительно подразумеваемых деревьев капитала: для процентных ставок волатильность известна для каждого временного шага, а значения узлов (т. е. процентные ставки) должны быть решены для указанных вероятностей, нейтральных к риску; С другой стороны, для капитала нельзя указать одну волатильность на каждый временной шаг, т.е. у нас есть «улыбка», и дерево строится путем решения вероятностей, соответствующих указанным значениям базового актива в каждом узле.
После калибровки решетка процентных ставок затем используется для оценки различных инструментов с фиксированным доходом и производных инструментов. [26] Подход для опционов на облигации описан отдельно — обратите внимание, что этот подход решает проблему приведения к номиналу, испытываемую в закрытых формах подходов; см. модель Блэка–Шоулза § Оценка опционов на облигации . Для свопционов логика почти идентична, заменяя свопы на облигации на шаге 1 и свопционы на опционы на облигации на шаге 2. Для кэпов (и полов) шаги 1 и 2 объединяются: в каждом узле стоимость основана на соответствующих узлах на более позднем шаге, плюс, для любого кэплета ( поллета ), погашаемого на временном шаге, разница между его референтной ставкой и краткосрочной ставкой в узле (и отражающая соответствующую долю количества дней и условную стоимость обмена). Для отзывных и путируемых облигаций потребуется третий шаг: в каждом узле временного шага включить влияние встроенного опциона на цену облигации и/или цену опциона там, прежде чем сделать шаг назад на один временной шаг. (И отметим, что эти опционы не являются взаимоисключающими, и поэтому облигация может иметь несколько встроенных опционов; [33] гибридные ценные бумаги рассматриваются ниже.) Для других, более экзотических процентных деривативов аналогичные корректировки вносятся в шаги 1 и далее. Для «греков», в основном как для акционерного капитала, см. в следующем разделе.
Альтернативный подход к моделированию (американских) опционов на облигации, особенно тех, которые реализуются на основе доходности к погашению (YTM), использует модифицированные методы решетки акционерного капитала. [34] Здесь аналитик строит дерево CRR для YTM, применяя предположение о постоянной волатильности, а затем вычисляет цену облигации как функцию этой доходности в каждом узле; цены здесь, таким образом, подтягиваются к номиналу. Вторым шагом является включение любой временной структуры волатильности путем построения соответствующего дерева DKC (на основе каждого второго временного шага в дереве CRR: поскольку DKC является трехчленным, а CRR является биномиальным), а затем использование этого для оценки опциона.
Начиная с финансового кризиса 2007–2008 годов , ценообразование свопов (как правило) осуществляется в рамках « многокривой структуры », тогда как ранее оно осуществлялось на основе единой, «самодисконтирующей», кривой; см. Процентный своп § Оценка и ценообразование . Здесь выплаты устанавливаются как функция LIBOR, специфичная для рассматриваемого срока , в то время как дисконтирование осуществляется по ставке OIS . Чтобы учесть это в решетчатой структуре, ставка OIS и соответствующая ставка LIBOR совместно моделируются в трехмерном дереве, построенном таким образом, чтобы ставки свопа LIBOR совпадали. [35] После завершения нулевого шага оценка будет продолжаться в основном так же, как и ранее, с использованием шагов 1 и далее, но здесь с денежными потоками, основанными на «измерении» LIBOR, и дисконтированием с использованием соответствующих узлов из «измерения» OIS.
Гибридные ценные бумаги , включающие как акционерные, так и облигационные характеристики, также оцениваются с использованием деревьев. [36] Для конвертируемых облигаций (CB) подход Цивериотиса и Фернандеса (1998) [37] заключается в разделении стоимости облигации в каждом узле на компонент «акционерного капитала», возникающий в ситуациях, когда CB будет конвертирован, и компонент «долга», возникающий в ситуациях, когда CB погашается. Соответственно, строятся близнецовые деревья, где дисконтирование осуществляется по безрисковой и скорректированной на кредитный риск ставке соответственно, а сумма является стоимостью CB. [38] Существуют и другие методы, которые аналогичным образом объединяют дерево акционерного типа с деревом краткосрочных ставок. [39] Альтернативный подход, первоначально опубликованный Goldman Sachs (1994), [40] не разделяет компоненты, а дисконтирование осуществляется по безрисковой и рискованной процентной ставке, взвешенной по вероятности конвертации, в пределах одного дерева. См. Конвертируемая облигация § Оценка , Условная конвертируемая облигация .
В более общем смысле, акционерный капитал можно рассматривать как опцион колл на фирму: [41] когда стоимость фирмы меньше стоимости непогашенного долга, акционеры предпочтут не выплачивать долг фирмы; в противном случае они предпочтут выплатить — и не ликвидировать (т. е. реализовать свой опцион ). Решетчатые модели были разработаны для анализа акционерного капитала здесь, [42] [43] особенно в отношении проблемных фирм . [44] Соответственно, что касается ценообразования корпоративного долга, связь между ограниченной ответственностью акционеров и потенциальными разбирательствами по главе 11 также была смоделирована с помощью решетки. [45]
Расчет «греков» для процентных деривативов осуществляется так же, как и для акционерного капитала. Однако существует дополнительное требование, особенно для гибридных ценных бумаг: а именно, оценка чувствительности, связанной с общими изменениями процентных ставок. Для облигации со встроенным опционом стандартные расчеты доходности к погашению на основе дюрации и выпуклости не учитывают, как изменения процентных ставок изменят денежные потоки из-за исполнения опциона. Для решения этой проблемы вводятся эффективная дюрация и -выпуклость . Здесь, подобно ро и веге выше, дерево процентной ставки перестраивается для восходящего, а затем нисходящего параллельного сдвига кривой доходности , и эти меры рассчитываются численно с учетом соответствующих изменений в стоимости облигации. [46]
{{cite web}}: CS1 maint: бот: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )