Полиномы Лежандра

Система полных и ортогональных многочленов

Первые шесть полиномов Лежандра

В математике полиномы Лежандра , названные в честь Адриана-Мари Лежандра (1782), представляют собой систему полных и ортогональных многочленов с огромным количеством математических свойств и многочисленными приложениями . Их можно определить по-разному, и различные определения подчеркивают разные аспекты, а также предлагают обобщения и связи с различными математическими структурами, физическими и численными приложениями.

С полиномами Лежандра тесно связаны связанные полиномы Лежандра , функции Лежандра , функции Лежандра второго рода, большие q-полиномы Лежандра и ассоциированные функции Лежандра .

Определение по построению как ортогональная система

В этом подходе полиномы определяются как ортогональная система относительно весовой функции на интервале . То есть, является многочленом степени , таким, что ${\displaystyle w(x)=1}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.}$$

При наличии дополнительного условия стандартизации все полиномы могут быть определены однозначно. Затем мы начинаем процесс построения: - единственный правильно стандартизованный полином степени 0. должен быть ортогональным , что приводит к , и определяется требованием ортогональности к и и т. д. фиксируется требованием ортогональности ко всем с . Это дает условия, которые наряду со стандартизацией фиксируют все коэффициенты в . При работе все коэффициенты каждого многочлена могут быть систематически определены, что приводит к явному представлению в степенях, приведенных ниже. ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle P_{1}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}(x)=x}$ ${\displaystyle P_{2}(x)}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle P_{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Это определение 's является самым простым. Оно не апеллирует к теории дифференциальных уравнений. Во-вторых, полнота полиномов непосредственно следует из полноты степеней 1, . Наконец, определяя их через ортогональность по отношению к наиболее очевидной весовой функции на конечном интервале, он устанавливает полиномы Лежандра как одну из трех классических ортогональных полиномиальных систем . Два других — это полиномы Лагерра , ортогональные по полупрямой , и полиномы Эрмита , ортогональные по полной линии , с весовыми функциями, которые являются наиболее естественными аналитическими функциями, обеспечивающими сходимость всех интегралов. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle x,x^{2},x^{3},\ldots }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Определение через производящую функцию

Полиномы Лежандра также можно определить как коэффициенты формального разложения по степеням производящей функции ^[1] ${\displaystyle t}$

Коэффициент является полиномом степени с . Расширение до дает ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |x|\leq 1}$ ${\displaystyle t^{1}}$

$${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.}$$

Однако можно получить высшие значения, не прибегая к прямому разложению ряда Тейлора . Уравнение  2 дифференцируется по t с обеих сторон и переставляется так, чтобы получить ${\displaystyle P_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.}$$

2приравнивание коэффициентовtрекуррентную формулу Бонне

$${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.}$$

P ₀P ₁

Подход производящей функции напрямую связан с мультипольным разложением в электростатике, как объясняется ниже, и именно так полиномы были впервые определены Лежандром в 1782 году.

Определение через дифференциальное уравнение

Третье определение основано на решениях дифференциального уравнения Лежандра :

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки при x = ±1 , поэтому, если решение ищется с использованием стандартного метода Фробениуса или метода степенных рядов , ряд относительно начала координат будет сходиться только при | х | <1 вообще. Когда n является целым числом, решение P _n ( x ) , регулярное в точке x = 1 , также является регулярным в точке x = −1 , и ряд для этого решения заканчивается (т. е. это полином). Ортогональность и полнота этих решений лучше всего видна с точки зрения теории Штурма–Лиувилля . Перепишем дифференциальное уравнение как задачу собственных значений:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,}$$

дифференциальный операторэрмитовымn ( n + 1) ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n(n+1)}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$

Дифференциальное уравнение допускает другое, неполиномиальное решение — функции Лежандра второго рода . Двухпараметрическое обобщение (уравнения  1 ) называется общим дифференциальным уравнением Лежандра и решается с помощью связанных полиномов Лежандра . Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения Лежандра (обобщенного или нет) с нецелыми параметрами. ${\displaystyle Q_{n}}$

В физических условиях дифференциальное уравнение Лежандра возникает естественным образом всякий раз, когда кто-то решает уравнение Лапласа (и связанные с ним уравнения в частных производных ) путем разделения переменных в сферических координатах . С этой точки зрения собственными функциями угловой части оператора Лапласа являются сферические гармоники , из которых полиномы Лежандра являются (с точностью до мультипликативной константы) подмножеством, которое остается инвариантным при поворотах вокруг полярной оси. Полиномы появляются как где - полярный угол. Такой подход к полиномам Лежандра обеспечивает глубокую связь с вращательной симметрией. Многие их свойства, кропотливо обнаруживаемые методами анализа, — например теорема сложения — легче обнаруживаются методами симметрии и теории групп и приобретают глубокий физический и геометрический смысл. ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \theta }$

Ортогональность и полнота

Стандартизация фиксирует нормировку полиномов Лежандра (по норме L 2 на интервале −1 ≤ x ≤ 1 ). Поскольку они также ортогональны относительно одной и той же нормы, два утверждения ^{[ необходимы пояснения ]} можно объединить в одно уравнение: ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},}$$

δ _mnдельту Кронекераm = nформулу Родригеса

Полнота полиномов означает следующее. Для любой кусочно-непрерывной функции с конечным числом разрывов на интервале [−1, 1] последовательность сумм ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)}$$

${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

$${\displaystyle a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.}$$

Это свойство полноты лежит в основе всех разложений, обсуждаемых в этой статье, и часто выражается в форме

$${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),}$$

−1 ≤ x ≤ 1−1 ≤ y ≤ 1

Формула Родригеса и другие явные формулы

Особенно компактное выражение для полиномов Лежандра даёт формула Родригеса :

$${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.}$$

Эта формула позволяет получить большое количество свойств чисел 's. Среди них есть явные представления, такие как ${\displaystyle P_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&=[t^{n}]{\frac {((t+x)^{2}-1)^{n}}{2^{n}}}=[t^{n}]{\frac {(t+x+1)^{n}(t+x-1)^{n}}{2^{n}}},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}}.\end{aligned}}}$$

${\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{k}x^{k}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle a_{k+2}=-{\frac {(l-k)(l+k+1)}{(k+2)(k+1)}}a_{k}.}$$

^[2] ${\textstyle a_{0}}$ ${\textstyle a_{1}}$ ${\textstyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle a_{1}=0}$ ${\displaystyle n}$

В четвертом представлении обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное . Последнее представление, также непосредственно вытекающее из формулы рекурсии, выражает полиномы Лежандра простыми мономами и включает обобщенную форму биномиального коэффициента . ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n/2}$

Первые несколько полиномов Лежандра:

Графики этих полиномов (до n = 5 ) показаны ниже:

График шести первых полиномов Лежандра.

Применение полиномов Лежандра

Расширение потенциала 1/ r

Полиномы Лежандра были впервые введены в 1782 году Адриеном-Мари Лежандром ^[3] в качестве коэффициентов разложения ньютоновского потенциала.

$${\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),}$$

rr ′xx ′γr > r ′гравитационный потенциалточечной массой,кулоновский потенциалточечным зарядом

Полиномы Лежандра встречаются при решении уравнения статического потенциала Лапласа , ∇ ² Φ( x ) = 0 , в свободной от заряда области пространства методом разделения переменных , где граничные условия имеют осевую симметрию (нет зависимости по азимутальному углу ). Где ẑ — ось симметрии, а θ — угол между положением наблюдателя и осью ẑ (зенитный угол), решение для потенциала будет иметь вид

$${\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.}$$

A _l и B _l определяются согласно граничному условию каждой задачи. ^[4]

Они также появляются при решении уравнения Шредингера в трех измерениях для центральной силы.

Полиномы Лежандра в мультипольных разложениях

Схема мультипольного разложения электрического потенциала.

Полиномы Лежандра полезны и при расширении функций вида (это то же самое, что и раньше, записанное немного иначе):

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),}$$

мультипольных разложенияхпроизводящую функцию

Например, электрический потенциал Φ( r , θ ) (в сферических координатах ) из-за точечного заряда , расположенного на оси z в точке z = a (см. диаграмму справа), изменяется как

$${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$$

Если радиус r точки наблюдения P больше a , то потенциал можно разложить по полиномам Лежандра

$${\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),}$$

η =а/р< 1Икс знак равно потому что θмультипольного разложения

И наоборот, если радиус r точки наблюдения P меньше a , потенциал все равно можно разложить по полиномам Лежандра, как указано выше, но с поменянными местами a и r . Это расширение является основой расширения внутреннего мультиполя.

Полиномы Лежандра в тригонометрии

Тригонометрические функции cos nθ , также обозначаемые как полиномы Чебышева T _n (cos θ ) ≡ cos nθ , также могут быть мультипольно расширены полиномами Лежандра P _n (cos θ ) . Первые несколько заказов выглядят следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

Еще одним свойством является выражение для sin ( n + 1) θ , которое равно

$${\displaystyle {\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).}$$

Полиномы Лежандра в рекуррентных нейронных сетях

Рекуррентная нейронная сеть , содержащая d -мерный вектор памяти, может быть оптимизирована так, чтобы ее нейронные действия подчинялись линейной инвариантной во времени системе , заданной следующим представлением в пространстве состояний : ${\displaystyle \mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle \theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left[b\right]_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}}$$

В этом случае скользящее окно по прошлым единицам времени лучше всего аппроксимируется линейной комбинацией первых сдвинутых полиномов Лежандра, взвешенных вместе по элементам at time : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .}$$

В сочетании с методами глубокого обучения эти сети можно научить превосходить по производительности блоки долговременной памяти и соответствующие архитектуры, используя при этом меньше вычислительных ресурсов. ^[5]

Дополнительные свойства полиномов Лежандра

Полиномы Лежандра имеют определенную четность. То есть они четные или нечетные , ^[6] согласно

$${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)\,.}$$

Еще одним полезным свойством является

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{ for }}n\geq 1,}$$

среднее[−1, 1] ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$ ${\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}$ ${\displaystyle a_{0}}$

Поскольку дифференциальное уравнение и свойство ортогональности не зависят от масштабирования, определения полиномов Лежандра «стандартизируются» (иногда называемые «нормализацией», но фактическая норма не равна 1), поскольку они масштабируются так, что

$${\displaystyle P_{n}(1)=1\,.}$$

Производная в конечной точке определяется выражением

$${\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,.}$$

Неравенство Аски – Гаспера для полиномов Лежандра имеет вид

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\quad {\text{for }}\quad x\geq -1\,.}$$

Полиномы Лежандра скалярного произведения единичных векторов можно расширить с помощью сферических гармоник , используя

$${\displaystyle P_{\ell }\left(r\cdot r'\right)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,,}$$

rr ′сферические координаты ( θ , φ )( θ ′, φ ′)

Рекуррентные отношения

Как обсуждалось выше, полиномы Лежандра подчиняются трехчленному рекуррентному соотношению, известному как рекурсивная формула Бонне, определяемая формулой

$${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.}$$

Для интегрирования полиномов Лежандра полезно

$${\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.}$$

Из вышеизложенного также видно, что

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots }$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots }$$

‖ P _n ‖−1 ≤ x ≤ 1

$${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.}$$

Асимптотика

Асимптотически при полиномы Лежандра можно записать в виде ^[7] ${\displaystyle \ell \to \infty }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \theta }}}\,J_{0}((\ell +1/2)\theta )+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\\&={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left(\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}}$$

^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}}$$

J ₀I ₀функции Бесселя

Нули

Все нули действительны, отличны друг от друга и лежат в интервале . Более того, если рассматривать их как деление интервала на подинтервалы, то каждый подинтервал будет содержать ровно один нуль . Это известно как свойство переплетения. Из-за свойства четности очевидно, что если является нулем , то и . Эти нули играют важную роль в численном интегрировании, основанном на квадратуре Гаусса . Конкретная квадратура, основанная на буквах «s», известна как квадратура Гаусса-Лежандра. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle P_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle -x_{k}}$ ${\displaystyle P_{n}}$

Из этого свойства и того факта, что , следует, что имеет локальные минимумы и максимумы в . Эквивалентно, имеет нули в . ${\displaystyle P_{n}(\pm 1)\neq 0}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle dP_{n}(x)/dx}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

Точечные оценки

Четность и нормализация подразумевают, что значения на границах должны быть ${\displaystyle x=\pm 1}$

$${\displaystyle P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}}$$

${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}}$$

$${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$$

Полиномы Лежандра с преобразованным аргументом

Сдвинутые полиномы Лежандра

Сдвинутые полиномы Лежандра определяются как

$${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.}$$

x ↦ 2 x − 1аффинное преобразованиебиективно отображает[0, 1][−1, 1]P̃ _n ( x )[0 , 1]

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.}$$

Явное выражение для сдвинутых полиномов Лежандра имеет вид

$${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.}$$

Аналогом формулы Родригеса для сдвинутых полиномов Лежандра является

$${\displaystyle {\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.}$$

Первые несколько сдвинутых полиномов Лежандра:

Рациональные функции Лежандра

Рациональные функции Лежандра представляют собой последовательность ортогональных функций на [0, ∞). Они получаются путем составления преобразования Кэли с полиномами Лежандра.

Рациональная функция Лежандра степени n определяется как:

$${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.}$$

Они являются собственными функциями сингулярной задачи Штурма – Лиувилля :

$${\displaystyle (x+1)\partial _{x}(x\partial _{x}((x+1)v(x)))+\lambda v(x)=0}$$

$${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,.}$$

Смотрите также

• Гауссова квадратура
• Полиномы Гегенбауэра
• Неравенства Турана
• Вейвлет Лежандра
• Функция Лежандра
• Полиномы Якоби
• Полиномы Романовского
• Расширение Лапласа (потенциал)

Примечания

1. Арфкен и Вебер 2005, стр.743.
2. Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-471-19826-0.
3. Лежандр, А.-М. (1785) [1782]. «Исследования по притяжению однородных сфероидов» (PDF) . Mémoires de Mathématiques et de Physique, представленные в Королевской академии наук, par divers savans, et lus dans ses Assemblées (на французском языке). Том. Х. Париж. стр. 411–435. Архивировано из оригинала (PDF) 20 сентября 2009 г.
4. Джексон, JD (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли и сыновья. п. 103. ИСБН 978-0-471-30932-1.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Фёлкер, Аарон Р.; Каич, Ивана; Элиасмит, Крис (2019). Единицы памяти Лежандра: представление в непрерывном времени в рекуррентных нейронных сетях (PDF) . Достижения в области нейронных систем обработки информации.
6. Арфкен и Вебер 2005, стр.753.
7. Сегё, Габор (1975). Ортогональные полиномы (4-е изд.). Провиденс: Американское математическое общество. с. 194 (теорема 8.21.2). ISBN 0821810235. ОСЛК  1683237.
8. «DLMF: 14.15 Равномерные асимптотические аппроксимации».

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 8». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. стр. 332, 773. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253. См. также главу 22.
• Арфкен, Джордж Б .; Вебер, Ханс Дж. (2005). Математические методы для физиков . Эльзевир Академик Пресс. ISBN 0-12-059876-0.
• Баин, СС (2006). Математические методы в науке и технике . Уайли. гл. 2. ISBN 978-0-470-04142-0.
• Белоусов, С. Л. (1962). Таблицы нормализованных связанных полиномов Лежандра . Математические таблицы. Том. 18. Пергамон Пресс. ISBN 978-0-08-009723-7.
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953). Методы математической физики . Том. 1. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Interscience. ISBN 978-0-471-50447-4.
• Данстер, Т.М. (2010), «Лежандр и родственные функции», Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• Эль Аттар, Рефаат (2009). Полиномы Лежандра и функции . CreateSpace. ISBN 978-1-4414-9012-4.
• Коорнвиндер, Том Х .; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.

Внешние ссылки

• Быстрый неформальный вывод полинома Лежандра в контексте квантовой механики водорода.
• «Полиномы Лежандра», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Запись Wolfram MathWorld о полиномах Лежандра
• Статья доктора Джеймса Б. Калверта о полиномах Лежандра из его личной коллекции математики.
• Полиномы Лежандра Карлайла Э. Мура
• Полиномы Лежандра из гиперфизики