Список математических функций

В математике некоторые функции или группы функций достаточно важны, чтобы заслужить собственные имена. Это список статей, которые более подробно объясняют некоторые из этих функций. Существует большая теория специальных функций , которая развилась из статистики и математической физики . Современная абстрактная точка зрения противопоставляет большие функциональные пространства , которые являются бесконечномерными и внутри которых большинство функций являются «анонимными», специальным функциям, выбранным по таким свойствам, как симметрия или связь с гармоническим анализом и групповыми представлениями .

См. также Список типов функций.

Элементарные функции

Элементарные функции — это функции, построенные на основе базовых операций (например, сложения, возведения в степень, логарифмирования...).

Алгебраические функции

Алгебраические функции — это функции, которые можно выразить как решение полиномиального уравнения с целыми коэффициентами.

Многочлены : могут быть получены исключительно путем сложения, умножения и возведения в степень положительного целого числа.
- Постоянная функция : многочлен нулевой степени, график — горизонтальная прямая линия
- Линейная функция : многочлен первой степени, график — прямая линия.
- Квадратичная функция : многочлен второй степени, график — парабола .
- Кубическая функция : многочлен третьей степени.
- Функция четвертой степени : полином четвертой степени.
- Функция пятой степени : многочлен пятой степени.
Рациональные функции : отношение двух многочленов.
n- й корень
- Квадратный корень : возвращает число, квадрат которого равен заданному числу.
- Кубический корень : возвращает число, куб которого равен заданному.

Элементарные трансцендентные функции

Трансцендентные функции — это функции, которые не являются алгебраическими.

Показательная функция : возводит фиксированное число в переменную степень.
Гиперболические функции : формально подобны тригонометрическим функциям .
- Обратные гиперболические функции : функции, обратные гиперболическим , аналогичные обратным круговым функциям .

Логарифмы : обратные экспоненциальные функции; полезны для решения уравнений, содержащих экспоненты.
Степенные функции : возводят переменное число в фиксированную степень; также известны как аллометрические функции ; примечание: если степень является рациональным числом, то она не является строго трансцендентной функцией.
Периодические функции
- Тригонометрические функции : синус , косинус , тангенс , котангенс , секанс , косеканс , экссеканс , экскосеканс , версинус , коверсинус , веркосинус , коверсинус , гаверсинус, гаверкосинус , гаверкосинус , гаверкосинус , гаверкосинус , гаверкосинус , обратные тригонометрические функции и т. д.; используются в геометрии и для описания периодических явлений. См. также функцию Гудермана .

Специальные функции

Кусочно-специальные функции

Индикаторная функция : отображает x либо в 1, либо в 0 в зависимости от того, принадлежит ли x некоторому подмножеству.
Ступенчатая функция : конечная линейная комбинация индикаторных функций полуоткрытых интервалов .
- Ступенчатая функция Хевисайда : 0 для отрицательных аргументов и 1 для положительных аргументов. Интеграл дельта-функции Дирака .
Пилообразная волна
Прямоугольная волна
Треугольная волна
Прямоугольная функция
Функция вычисления пола : наибольшее целое число, меньшее или равное заданному числу.
Функция потолка : наименьшее целое число, большее или равное заданному числу.
Функция знака : возвращает только знак числа, например +1, −1 или 0.
Абсолютное значение : расстояние до начала координат (нулевой точки)

Арифметические функции

Сигма - функция : сумма степеней делителей данного натурального числа .
Функция Эйлера : количество чисел, взаимно простых с данным числом (и не больших его).
Функция подсчета простых чисел : количество простых чисел, меньших или равных заданному числу.
Функция разбиения : независимое от порядка число способов записать заданное положительное целое число в виде суммы положительных целых чисел.
Функция μ Мёбиуса : сумма n-х первообразных корней из единицы, зависит от разложения n на простые множители.
Основные омега-функции
Функции Чебышева
Функция Лиувилля , λ( n ) = (–1) ^{Ω( n )}
Функция Мангольдта , Λ( n ) = log p, если n — положительная степень простого числа p
Функция Кармайкла

Бессель и родственные функции

Дзета Римана и связанные с ним функции

Дзета-функция Римана : частный случай ряда Дирихле .
Функция Римана Xi
Функция Дирихле эта : родственная функция.
Бета-функция Дирихле
L-функция Дирихле
Дзета-функция Гурвица
Функция хи Лежандра
Лерх трансцендентный
Полилогарифм и связанные с ним функции:
- Неполный полилогарифм
- Функция Клаузена
- Полный интеграл Ферми–Дирака , альтернативная форма полилогарифма.
- Дилогарифм
- Неполный интеграл Ферми–Дирака
- Функция Куммера
Функция Рисса

Гипергеометрические и родственные функции

Гипергеометрические функции : Универсальное семейство степенных рядов .
Вырожденная гипергеометрическая функция
Связанные функции Лежандра
G-функция Мейера
Фокс H-функция

Повторяющиеся экспоненциальные и родственные функции

Другие стандартные специальные функции

Функция Ламберта W : обратная функция f ( w ) = w exp( w ).
Функция Ламе
Функция Матье
Функция Миттаг-Леффлера
Трансценденты Пенлеве
Функция параболического цилиндра
Среднее арифметическое–геометрическое

Разные функции

Функция Аккермана : в теории вычислений вычислимая функция , не являющаяся примитивно рекурсивной .
Дельта-функция Дирака : везде ноль, за исключением x = 0; полный интеграл равен 1. Не функция, а распределение , но иногда неформально называется функцией, особенно физиками и инженерами.
Функция Дирихле : индикаторная функция , которая сопоставляет 1 рациональным числам и 0 иррациональным . Она нигде не непрерывна .
Функция Тома : это функция, которая непрерывна при всех иррациональных числах и разрывна при всех рациональных числах. Она также является модификацией функции Дирихле и иногда называется функцией Римана.
Функция Кронекера — это функция двух переменных, обычно целых чисел, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае.
Функция вопросительного знака Минковского : производные исчезают на рациональных числах.
Функция Вейерштрасса : пример непрерывной функции , которая нигде не дифференцируема.

Смотрите также

Внешние ссылки

Специальные функции: программируемый калькулятор специальных функций.
Специальные функции в EqWorld: Мир математических уравнений.