Нелинейная система

Система, в которой изменения на выходе не пропорциональны изменениям на входе

В математике и науке нелинейная система ( или нелинейная система ) — это система , в которой изменение выходных данных не пропорционально изменению входных данных. ^{[1] [2]} Нелинейные задачи интересны инженерам , биологам , ^{[3] [4] [5]} физикам , ^{[6] [7]} математикам и многим другим ученым , поскольку большинство систем по своей природе нелинейны. ^[8] Нелинейные динамические системы , описывающие изменения переменных с течением времени, могут казаться хаотичными, непредсказуемыми или противоречащими здравому смыслу, в отличие от гораздо более простых линейных систем .

Обычно поведение нелинейной системы описывается в математике нелинейной системой уравнений , которая представляет собой набор одновременных уравнений , в которых неизвестные (или неизвестные функции в случае дифференциальных уравнений ) появляются как переменные полинома степени выше единицы или в аргументе функции , которая не является полиномом степени единицы. Другими словами, в нелинейной системе уравнений решаемое уравнение (уравнения) не может быть записано как линейная комбинация неизвестных переменных или функций , которые в них появляются. Системы могут быть определены как нелинейные, независимо от того, появляются ли в уравнениях известные линейные функции. В частности, дифференциальное уравнение является линейным , если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных, даже если оно нелинейно относительно других переменных, входящих в него.

Поскольку нелинейные динамические уравнения трудно решить, нелинейные системы обычно аппроксимируются линейными уравнениями ( линеаризация ). Это хорошо работает до некоторой точности и некоторого диапазона для входных значений, но некоторые интересные явления, такие как солитоны , хаос ^[9] и сингулярности , скрываются линеаризацией. Из этого следует, что некоторые аспекты динамического поведения нелинейной системы могут показаться противоречащими здравому смыслу, непредсказуемыми или даже хаотическими. Хотя такое хаотическое поведение может напоминать случайное поведение, на самом деле оно не случайно. Например, некоторые аспекты погоды рассматриваются как хаотичные, где простые изменения в одной части системы производят сложные эффекты во всей системе. Эта нелинейность является одной из причин, по которой точные долгосрочные прогнозы невозможны при современных технологиях.

Некоторые авторы используют термин нелинейная наука для изучения нелинейных систем. Этот термин оспаривается другими:

Использовать такой термин, как «нелинейная наука», — это то же самое, что называть большую часть зоологии наукой о животных, не относящихся к слонам.

—  Станислав Улам ^[10]

Определение

В математике линейным отображением ( или линейной функцией ) называется отображение, которое удовлетворяет обоим следующим свойствам: ${\displaystyle f(x)}$

• Принцип аддитивности или суперпозиции : ${\displaystyle \textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}$
• Однородность: ${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).}$

Аддитивность подразумевает однородность для любого рационального α , а для непрерывных функций — для любого действительного α . Для комплексного α однородность не следует из аддитивности. Например, антилинейное отображение аддитивно, но не однородно. Условия аддитивности и однородности часто объединяют в принципе суперпозиции

${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$

Уравнение, записанное как

${\displaystyle f(x)=C}$

называется линейным, если — линейное отображение (как определено выше), и нелинейным в противном случае. Уравнение называется однородным, если и — однородная функция . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle f(x)}$

Определение очень общее, так как может быть любым разумным математическим объектом (числом, вектором, функцией и т. д.), а функция может быть буквально любым отображением , включая интеграцию или дифференциацию с соответствующими ограничениями (такими как граничные значения ). Если содержит дифференциацию по , результатом будет дифференциальное уравнение . ${\displaystyle f(x)=C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Нелинейные системы уравнений

Нелинейная система уравнений состоит из набора уравнений с несколькими переменными, таких, что по крайней мере одно из них не является линейным уравнением .

Для одного уравнения вида было разработано много методов; см. Алгоритм поиска корня . В случае, когда f является многочленом , мы имеем полиномиальное уравнение, такое как Общие алгоритмы поиска корня применяются к корням многочлена, но, как правило, они не находят все корни, и когда им не удается найти корень, это не означает, что корней нет. Конкретные методы для многочленов позволяют находить все корни или действительные корни; см. Изоляция действительных корней . ${\displaystyle f(x)=0,}$ ${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$

Решение систем полиномиальных уравнений , то есть нахождение общих нулей набора из нескольких полиномов с несколькими переменными, является сложной задачей, для которой были разработаны сложные алгоритмы, такие как базовые алгоритмы Грёбнера . ^[11]

Для общего случая системы уравнений, образованной путем приравнивания к нулю нескольких дифференцируемых функций , основным методом является метод Ньютона и его варианты. Обычно они могут дать решение, но не дают никакой информации о числе решений.

Нелинейные рекуррентные соотношения

Нелинейное рекуррентное соотношение определяет последовательные члены последовательности как нелинейную функцию предыдущих членов. Примерами нелинейных рекуррентных соотношений являются логистическая карта и соотношения, которые определяют различные последовательности Хофштадтера . Нелинейные дискретные модели, которые представляют широкий класс нелинейных рекуррентных соотношений, включают модель NARMAX (нелинейное авторегрессионное скользящее среднее с экзогенными входами) и связанные с ней процедуры идентификации и анализа нелинейной системы . ^[12] Эти подходы могут использоваться для изучения широкого класса сложных нелинейных поведений во временной, частотной и пространственно-временной областях.

Нелинейные дифференциальные уравнения

Система дифференциальных уравнений называется нелинейной, если она не является системой линейных уравнений . Задачи, включающие нелинейные дифференциальные уравнения, чрезвычайно разнообразны, а методы решения или анализа зависят от задачи. Примерами нелинейных дифференциальных уравнений являются уравнения Навье–Стокса в гидродинамике и уравнения Лотки–Вольтерры в биологии.

Одной из самых больших трудностей нелинейных задач является то, что, как правило, невозможно объединить известные решения в новые решения. Например, в линейных задачах семейство линейно независимых решений может быть использовано для построения общих решений с помощью принципа суперпозиции . Хорошим примером этого является одномерный перенос тепла с граничными условиями Дирихле , решение которого можно записать как зависящую от времени линейную комбинацию синусоид различных частот; это делает решения очень гибкими. Часто можно найти несколько очень конкретных решений нелинейных уравнений, однако отсутствие принципа суперпозиции препятствует построению новых решений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка часто точно решаются путем разделения переменных , особенно для автономных уравнений. Например, нелинейное уравнение

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}}$

имеет общее решение (а также частное решение, соответствующее пределу общего решения, когда C стремится к бесконечности). Уравнение является нелинейным, поскольку его можно записать как ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$ ${\displaystyle u=0,}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0}$

и левая часть уравнения не является линейной функцией и ее производных. Обратите внимание, что если бы член был заменен на , проблема была бы линейной ( проблема экспоненциального распада ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u^{2}}$ ${\displaystyle u}$

Обыкновенные дифференциальные уравнения второго и более высокого порядка (в более общем смысле, системы нелинейных уравнений) редко дают решения в замкнутом виде , хотя встречаются неявные решения и решения, включающие неэлементарные интегралы .

К распространенным методам качественного анализа нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относятся:

• Исследование любых сохраняющихся величин , особенно в гамильтоновых системах
• Исследование диссипативных величин (см. функцию Ляпунова ) по аналогии с сохраняющимися величинами
• Линеаризация через разложение Тейлора
• Изменение переменных на что-то более простое для изучения
• Теория бифуркации
• Методы возмущений (могут применяться и к алгебраическим уравнениям)
• Существование решений конечной длительности ^[13], которое может иметь место при определенных условиях для некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнения с частными производными

Наиболее распространенный базовый подход к изучению нелинейных уравнений в частных производных заключается в замене переменных (или ином преобразовании задачи) так, чтобы результирующая задача была проще (возможно, линейной). Иногда уравнение может быть преобразовано в одно или несколько обыкновенных дифференциальных уравнений , как показано в разделении переменных , что всегда полезно, независимо от того, разрешимо ли результирующее обыкновенное дифференциальное уравнение (уравнения).

Другая распространенная (хотя и менее математическая) тактика, часто применяемая в механике жидкости и тепла, заключается в использовании масштабного анализа для упрощения общего, естественного уравнения в определенной конкретной краевой задаче . Например, (очень) нелинейные уравнения Навье-Стокса можно упростить до одного линейного уравнения в частных производных в случае переходного, ламинарного, одномерного течения в круглой трубе; масштабный анализ обеспечивает условия, при которых течение является ламинарным и одномерным, а также приводит к упрощенному уравнению.

Другие методы включают изучение характеристик и использование методов, описанных выше для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пендула

Иллюстрация маятника

Линеаризации маятника

Классической, широко изученной нелинейной задачей является динамика маятника без трения под действием силы тяжести . Используя механику Лагранжа , можно показать ^[14] , что движение маятника можно описать безразмерным нелинейным уравнением

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$

где гравитация направлена ​​"вниз" и является углом, который маятник образует с положением покоя, как показано на рисунке справа. Один из подходов к "решению" этого уравнения заключается в использовании в качестве интегрирующего фактора , что в конечном итоге даст ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta /dt}$

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$

что является неявным решением, включающим эллиптический интеграл . Это «решение» обычно не имеет большого применения, поскольку большая часть природы решения скрыта в неэлементарном интеграле (неэлементарном, если только ). ${\displaystyle C_{0}=2}$

Другой способ решения проблемы — линеаризация любой нелинейности (в данном случае члена синусоидальной функции) в различных точках интереса с помощью разложений Тейлора . Например, линеаризация в , называемая приближением малого угла, равна ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$

так как для . Это простой гармонический осциллятор, соответствующий колебаниям маятника вблизи нижней точки его пути. Другая линеаризация будет при , соответствующая маятнику, направленному прямо вверх: ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ ${\displaystyle \theta \approx 0}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$

поскольку для . Решение этой задачи включает гиперболические синусоиды , и обратите внимание, что в отличие от приближения малых углов, это приближение неустойчиво, то есть, как правило, будет расти без ограничений, хотя возможны ограниченные решения. Это соответствует трудности балансировки маятника в вертикальном положении, это буквально неустойчивое состояние. ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$ ${\displaystyle \theta \approx \pi }$ ${\displaystyle |\theta |}$

Еще одна интересная линеаризация возможна вокруг , вокруг которой : ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$

Это соответствует задаче свободного падения. Очень полезную качественную картину динамики маятника можно получить, соединив такие линеаризации, как показано на рисунке справа. Для нахождения (точных) фазовых портретов и приблизительных периодов можно использовать и другие методы.

Типы нелинейного динамического поведения

• Смерть амплитуды – любые колебания, присутствующие в системе, прекращаются из-за какого-либо взаимодействия с другой системой или обратной связи со стороны той же системы.
• Хаос – значения системы невозможно предсказать на неопределенно долгий срок, а колебания апериодичны.
• Мультистабильность – наличие двух и более устойчивых состояний
• Солитоны – самоусиливающиеся уединенные волны
• Предельные циклы – асимптотические периодические орбиты, к которым притягиваются дестабилизированные неподвижные точки.
• Автоколебания – колебания обратной связи, происходящие в открытых диссипативных физических системах.

Примеры нелинейных уравнений

• Алгебраическое уравнение Риккати
• Шарнирно-балочная система
• Уравнение Беллмана для оптимальной политики
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Коулбрука
• Общая теория относительности
• Теория Гинзбурга–Ландау
• Уравнение Ишимори
• Уравнение Кадомцева–Петвиашвили
• Уравнение Кортевега–де Фриза
• Уравнение Ландау–Лифшица–Гильберта
• Уравнение Льенара
• Уравнения Навье-Стокса динамики жидкости
• Нелинейная оптика
• Нелинейное уравнение Шредингера
• Исследование потока мощности
• Уравнение Ричардса для ненасыщенного потока воды
• Самобалансирующийся моноцикл
• Уравнение синус-Гордона
• Генератор Ван дер Поля
• Уравнение Власова

Смотрите также

• Александр Михайлович Ляпунов
• Динамическая система
• Обратная связь
• Начальное состояние
• Линейная система
• Модовая связь
• Векторный солитон
• серия Вольтерра

Ссылки

1. "Объяснение: Линейные и нелинейные системы". MIT News . Получено 2018-06-30 .
2. "Нелинейные системы, прикладная математика - Университет Бирмингема". www.birmingham.ac.uk . Получено 2018-06-30 .
3. «Нелинейная биология», Нелинейная Вселенная , The Frontiers Collection, Springer Berlin Heidelberg, 2007, стр. 181–276, doi :10.1007/978-3-540-34153-6_7, ISBN 9783540341529
4. Коренберг, Майкл Дж.; Хантер, Ян В. (март 1996 г.). «Идентификация нелинейных биологических систем: подходы ядра Вольтерра». Annals of Biomedical Engineering . 24 (2): 250–268. doi :10.1007/bf02667354. ISSN  0090-6964. PMID  8678357. S2CID  20643206.
5. Москони, Франческо; Жюлу, Томас; Депра, Николя; Синха, Дипак Кумар; Аллеманд, Жан-Франсуа; Винсент Крокетт; Бенсимон, Дэвид (2008). «Некоторые нелинейные задачи биологии». Нелинейность . 21 (8): Т131. Бибкод : 2008Nonli..21..131M. дои : 10.1088/0951-7715/21/8/T03. ISSN  0951-7715. S2CID  119808230.
6. Гинтаутас, В. (2008). "Резонансное воздействие на нелинейные системы дифференциальных уравнений". Хаос . 18 (3): 033118. arXiv : 0803.2252 . Bibcode : 2008Chaos..18c3118G. doi : 10.1063/1.2964200. PMID  19045456. S2CID  18345817.
7. Стивенсон, К. и др. (2017). «Топологические свойства самоорганизующейся электрической сети с помощью расчета ab initio». Sci. Rep . 7 : 41621. Bibcode :2017NatSR...741621S. doi :10.1038/srep41621. PMC 5290745 . PMID  28155863. 
8. де Канете, Хавьер, Сиприано Галиндо и Инмакулада Гарсия-Мораль (2011). Системная инженерия и автоматизация: интерактивный образовательный подход. Берлин: Springer. стр. 46. ISBN 978-3642202292. Получено 20 января 2018 г.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Нелинейная динамика I: Хаос Архивировано 2008-02-12 в Wayback Machine в MIT's OpenCourseWare
10. Кэмпбелл, Дэвид К. (25 ноября 2004 г.). «Нелинейная физика: свежий вдох». Nature . 432 (7016): 455–456. Bibcode :2004Natur.432..455C. doi :10.1038/432455a. ISSN  0028-0836. PMID  15565139. S2CID  4403332.
11. Лазар, Д. (2009). «Тридцать лет решения полиномиальных систем, и сейчас?». Журнал символических вычислений . 44 (3): 222–231. doi : 10.1016/j.jsc.2008.03.004 .
12. Биллингс С.А. «Нелинейная идентификация систем: методы NARMAX во временной, частотной и пространственно-временной областях». Wiley, 2013
13. Вардиа Т. Хаймо (1985). «Конечные дифференциальные уравнения во времени». 1985 24-я конференция IEEE по принятию решений и управлению . С. 1729–1733. doi :10.1109/CDC.1985.268832. S2CID  45426376.
14. Дэвид Тонг: Лекции по классической динамике

Дальнейшее чтение

• Дидерих Хинрихсен и Энтони Дж. Притчард (2005). Математическая теория систем I - Моделирование, Анализ пространства состояний, Устойчивость и надежность . Springer Verlag. ISBN 9783540441250.
• Jordan, DW; Smith, P. (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения (четвертое издание). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1.
• Халил, Хассан К. (2001). Нелинейные системы . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-067389-3.
• Крейсциг, Эрвин (1998). Высшая инженерная математика . Wiley. ISBN 978-0-471-15496-9.
• Зонтаг, Эдуардо (1998). Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы. Второе издание . Springer. ISBN 978-0-387-98489-6.

Внешние ссылки

• Программа исследований командования и управления (CCRP)
• Институт сложных систем Новой Англии: Концепции сложных систем
• Нелинейная динамика I: Хаос на OpenCourseWare Массачусетского технологического института
• Библиотека нелинейных моделей – (в MATLAB ) база данных физических систем
• Центр нелинейных исследований в Лос-Аламосской национальной лаборатории