Алгебра пространства-времени

Установка релятивистской физики в геометрической алгебре

В математической физике алгебра пространства-времени ( STA ) является приложением алгебры Клиффорда Cl _1,3 ( R ), или, что эквивалентно, геометрической алгебры G( M 4 ) к физике. Алгебра пространства-времени обеспечивает «единую, свободную от координат формулировку для всей релятивистской физики , включая уравнение Дирака , уравнение Максвелла и общую теорию относительности » и «уменьшает математический разрыв между классической , квантовой и релятивистской физикой ». ^{[1] : ix}

Пространственно-временная алгебра — это векторное пространство , которое позволяет объединять не только векторы , но и бивекторы (направленные величины, описывающие вращения, связанные с вращениями или конкретными плоскостями, такими как площади или вращения) или лезвия (величины, связанные с конкретными гиперобъемами), а также вращать , отражать или усиливать Лоренцом . ^{[2] : 40, 43, 97, 113} Это также естественная родительская алгебра спиноров в специальной теории относительности. ^{[2] : 333} Эти свойства позволяют выражать многие из наиболее важных уравнений в физике в особенно простых формах и могут быть очень полезны для более геометрического понимания их значений. ^{[1] : v}

По сравнению с родственными методами, STA и алгебра Дирака являются алгебрами Клиффорда Cl _1,3 , но STA использует действительные числовые скаляры, а алгебра Дирака использует комплексные числовые скаляры. Разделение пространства-времени STA похоже на подход алгебры физического пространства (APS, алгебра Паули) . APS представляет пространство-время как паравектор , объединенное 3-мерное векторное пространство и 1-мерный скаляр. ^{[3] : 225–266}

Структура

Для любой пары векторов STA, , ​​существует векторное (геометрическое) произведение , внутреннее (точечное) произведение и внешнее (внешнее, клиновидное) произведение . Векторным произведением является сумма внутреннего и внешнего произведения: ^{[1] : 6} ${\textstyle a,b}$ ${\textstyle ab}$ ${\textstyle a\cdot b}$ ${\textstyle a\wedge b}$

${\displaystyle a\cdot b={\frac {ab+ba}{2}}=b\cdot a,\quad a\wedge b={\frac {ab-ba}{2}}=-b\wedge a,\quad ab=a\cdot b+a\wedge b}$

Внутренний продукт порождает действительное число (скаляр), а внешний продукт порождает бивектор. Векторы и ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю; векторы и параллельны, если их внешний продукт равен нулю. ^{[2] : 22–23} ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

Ортонормированные базисные векторы — это времениподобный вектор и 3 пространственноподобных вектора . Ненулевые члены метрического тензора Минковского — это диагональные члены, . Для : ${\textstyle \gamma _{0}}$ ${\textstyle \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$ ${\textstyle (\eta _{00},\eta _{11},\eta _{22},\eta _{33})=(1,-1,-1,-1)}$ ${\textstyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma _{\nu }={\frac {\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}{2}}=\eta _{\mu \nu },\quad \gamma _{0}\cdot \gamma _{0}=1,\ \gamma _{1}\cdot \gamma _{1}=\gamma _{2}\cdot \gamma _{2}=\gamma _{3}\cdot \gamma _{3}=-1,\quad {\text{ otherwise }}\ \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}$

Матрицы Дирака обладают этими свойствами, и STA эквивалентна алгебре, генерируемой матрицами Дирака над полем действительных чисел; ^{[1] :} явное матричное представление x не является необходимым для STA.

Произведения базисных векторов порождают тензорный базис , содержащий один скаляр , четыре вектора , шесть бивекторов , четыре псевдовектора ( тривектора ) и один псевдоскаляр с . ^{[1] : 11} Псевдоскаляр коммутирует со всеми элементами STA четной степени , но антикоммутирует со всеми элементами STA нечетной степени . ^{[4] : 6} ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0}\gamma _{1},\,\gamma _{0}\gamma _{2},\,\gamma _{0}\gamma _{3},\,\gamma _{1}\gamma _{2},\,\gamma _{2}\gamma _{3},\,\gamma _{3}\gamma _{1}\}}$ ${\displaystyle \{I\gamma _{0},I\gamma _{1},I\gamma _{2},I\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{I\}}$ ${\textstyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$

Подалгебра

Это иллюстрация спиноров алгебры пространства-времени в Cl ⁺ (1,3) под октонионным произведением в виде плоскости Фано.

Соответствующие таблицы умножения октонионов в форме e _n и STA.

Четно-градуированные элементы STA (скаляры, бивекторы, псевдоскаляры) образуют четную подалгебру Клиффорда Cl _3,0 ( R ), эквивалентную алгебре APS или Паули. ^{[1] : 12} Бивекторы STA эквивалентны векторам и псевдовекторам APS. Подалгебра STA становится более явной, если переименовать бивекторы STA в , а бивекторы STA в . ^{[1] : 22  [2] : 37} Матрицы Паули, , являются матричными представлениями для . ^{[2] : 37} Для любой пары ненулевые внутренние произведения равны , а ненулевые внешние произведения равны: ^{[2] : 37  [1] : 16} ${\textstyle (\gamma _{1}\gamma _{0},\gamma _{2}\gamma _{0},\gamma _{3}\gamma _{0})}$ ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ${\textstyle (\gamma _{3}\gamma _{2},\gamma _{1}\gamma _{3},\gamma _{2}\gamma _{1})}$ ${\textstyle (I\sigma _{1},I\sigma _{2},I\sigma _{3})}$ ${\textstyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},{\hat {\sigma }}_{3}}$ ${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ${\textstyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{1}=\sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{3}\cdot \sigma _{3}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}\wedge \sigma _{2}&=I\sigma _{3}\\\sigma _{2}\wedge \sigma _{3}&=I\sigma _{1}\\\sigma _{3}\wedge \sigma _{1}&=I\sigma _{2}\\\end{aligned}}}$

Последовательность алгебры к четной подалгебре продолжается как алгебра физического пространства, кватернионная алгебра, комплексные числа и действительные числа. Четная STA подалгебра Cl ⁺ (1,3) действительных пространственно-временных спиноров в Cl(1,3) изоморфна геометрической алгебре Клиффорда Cl(3,0) евклидова пространства R ³ с базисными элементами. См. иллюстрацию спиноров пространственно-временной алгебры в Cl ⁺ (1,3) под октонионным произведением как плоскость Фано. ^[5]

Разделение

Ненулевой вектор является нулевым вектором ( нильпотент степени 2 ), если . ^{[6] : 2} Примером является . Нулевые векторы касаются светового конуса (нулевого конуса). ^{[6] : 4} Элемент является идемпотентом , если . ^{[7] : 103} Два идемпотента и являются ортогональными идемпотентами, если . ^{[7] : 103} Примером ортогональной идемпотентной пары является и с . Собственные делители нуля — это ненулевые элементы, произведение которых равно нулю, такие как нулевые векторы или ортогональные идемпотенты. ^{[8] : 191} Алгебра с делением — это алгебра, которая содержит мультипликативные обратные (обратные) элементы для каждого элемента, но это происходит, если нет собственных делителей нуля и если единственный идемпотент — 1. ^{[7] : 103  [9] : 211  [a]} Единственными ассоциативными алгебрами с делением являются действительные числа, комплексные числа и кватернионы. ^{[10] : 366} Поскольку STA не является алгеброй с делением, некоторые элементы STA могут не иметь обратного элемента; однако деление на ненулевой вектор может быть возможным путем умножения на его обратный элемент, определяемый как . ^{[11] : 14} ${\textstyle a}$ ${\textstyle a^{2}=0}$ ${\textstyle a=\gamma ^{0}+\gamma ^{1}}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle b^{2}=b}$ ${\textstyle b_{1}}$ ${\textstyle b_{2}}$ ${\textstyle b_{1}b_{2}=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0}\gamma _{k})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0}\gamma _{k})}$ ${\textstyle k=1,2,3}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle c^{-1}=(c\cdot c)^{-1}c}$

Обратная рамка

С ортогональным базисом связан обратный базисный набор, удовлетворяющий следующим уравнениям: ^{[1] : 63} ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3}$

Эти обратные векторы системы отсчета отличаются только знаком, при этом , но . ${\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{1}=-\gamma _{1},\ \ \gamma ^{2}=-\gamma _{2},\ \ \gamma ^{3}=-\gamma _{3}}$

Вектор может быть представлен с использованием либо базисных векторов, либо обратных базисных векторов с суммированием по , согласно обозначениям Эйнштейна . Внутреннее произведение вектора и базисных векторов или обратных базисных векторов генерирует компоненты вектора. ${\textstyle a}$ ${\displaystyle a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\\a\cdot \gamma _{\nu }&=a_{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

Метрическая и индексная гимнастика повышают или понижают индексы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mu }&=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\\\gamma ^{\mu }&=\eta ^{\mu \nu }\gamma _{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

Пространственно-временной градиент

Градиент пространства-времени, как и градиент в евклидовом пространстве, определяется таким образом, что выполняется соотношение производной по направлению : ^{[12] : 45}

${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.}$

Это требует определения градиента

${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$

Записанные явно с помощью , эти частичные являются ${\displaystyle x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}}$

${\displaystyle \partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial {x^{k}}}}}$

Расщепление пространства-времени

В STA расщепление пространства-времени представляет собой проекцию из четырехмерного пространства в (3+1)-мерное пространство в выбранной системе отсчета посредством следующих двух операций:

• коллапс выбранной оси времени, дающий трехмерное пространство, охватываемое бивекторами, эквивалентными стандартным трехмерным базисным векторам в алгебре физического пространства и
• проекция 4D-пространства на выбранную ось времени, дающая 1-мерное пространство скаляров, представляющее скалярное время. ^{[14] : 180}

Это достигается путем предварительного или последующего умножения на базисный вектор времениподобный , который служит для разделения четырехвектора на скалярный времениподобный и бивекторный пространственноподобный компоненты в системе отсчета, движущейся вместе с . При этом мы имеем ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle x=x^{\mu }\gamma _{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\end{aligned}}}$

Пространственно-временное разделение — это метод представления четно-градуированного вектора пространства-времени как вектора в алгебре Паули, алгебре, где время — это скаляр, отделенный от векторов, которые встречаются в трехмерном пространстве. Метод заменяет эти векторы пространства-времени ^{[1] : 22–24} ${\textstyle (\gamma )}$

Поскольку эти бивекторы квадратичны к единице, они служат пространственным базисом. Используя обозначение матрицы Паули , они записываются . Пространственные векторы в STA обозначены жирным шрифтом; затем с и , расщепление -пространства-времени и его обратный вид : ${\displaystyle \gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}}$ ${\displaystyle x^{0}=ct}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle x\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=ct+\mathbf {x} \\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=ct-\mathbf {x} \end{aligned}}}$

Однако приведенные выше формулы работают только в метрике Минковского с сигнатурой (+ - - -). Для форм разделения пространства-времени, которые работают в любой сигнатуре, необходимо использовать альтернативные определения, в которых и . ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \sigma ^{k}=\gamma _{0}\gamma ^{k}}$

Трансформации

Для поворота вектора в геометрической алгебре используется следующая формула: ^{[15] : 50–51} ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}}$,

где — угол поворота, а — нормализованный бивектор, представляющий плоскость вращения, так что . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta {\tilde {\beta }}=1}$

Для данного пространственноподобного бивектора, , поэтому применима формула Эйлера ^{[2] : 401,} дающая вращение ${\displaystyle \beta ^{2}=-1}$

${\displaystyle v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$.

Для заданного времениподобного бивектора, , поэтому «вращение во времени» использует аналогичное уравнение для расщепленно-комплексных чисел : ${\displaystyle \beta ^{2}=1}$

${\displaystyle v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$.

Интерпретируя это уравнение, эти вращения вдоль направления времени являются просто гиперболическими вращениями . Они эквивалентны лоренцевским усилениям в специальной теории относительности.

Оба эти преобразования известны как преобразования Лоренца , а объединенный набор всех из них является группой Лоренца . Чтобы преобразовать объект в STA из любого базиса (соответствующего системе отсчета) в другой, необходимо использовать одно или несколько из этих преобразований. ^{[1] : 47–62}

Любой элемент пространства-времени преобразуется путем умножения на псевдоскаляр, образуя его дуальный элемент . ^{[12] : 114} Дуальное вращение преобразует элемент пространства-времени в элемент через угол с псевдоскаляром : ^{[1] : 13} ${\textstyle A}$ ${\textstyle AI}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle A^{\prime }}$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle I}$

${\displaystyle A^{\prime }=e^{I\phi }A}$

Вращение дуальности происходит только для невырожденной алгебры Клиффорда, невырожденная означает алгебру Клиффорда, содержащую псевдоскаляры с ненулевым квадратом. ^{[1] : 13}

Инволюция степени (главная инволюция, инверсия) преобразует каждый r-вектор в : ^{[1] : 13  [16]} ${\textstyle A_{r}}$ ${\textstyle A_{r}^{\ast }}$

${\displaystyle A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\ A_{r}}$

Преобразование реверсии происходит путем разложения любого элемента пространства-времени в виде суммы произведений векторов и последующего изменения порядка каждого произведения на обратный. ^{[1] : 13  [17]} Для многовектора, возникающего из произведения векторов, реверсия выглядит так : ${\textstyle A}$ ${\textstyle a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$ ${\textstyle A^{\dagger }}$

${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r},\quad A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2}a_{1}}$

Сопряжение Клиффорда элемента пространства-времени объединяет преобразования реверсии и инволюции градации, обозначенные как : ^[18] ${\textstyle A}$ ${\textstyle {\tilde {A}}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }}$

Инволюция градации, реверсия и преобразования сопряжения Клиффорда являются инволюциями . ^[19]

Классический электромагнетизм

Бивектор Фарадея

В STA электрическое поле и магнитное поле могут быть объединены в единое бивекторное поле, известное как бивектор Фарадея, эквивалентное тензору Фарадея . ^{[2] : 230} Он определяется как:

${\displaystyle F={\vec {E}}+Ic{\vec {B}},}$

где и — обычные электрические и магнитные поля, а — псевдоскаляр СТА. ^{[2] : 230} Альтернативно, разлагаясь по компонентам, определяется, что ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=E^{i}\sigma _{i}+IcB^{i}\sigma _{i}=E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-cB^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}-cB^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}-cB^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}.}$

Отдельные и поля восстанавливаются с помощью ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E={\frac {1}{2}}\left(F-\gamma _{0}F\gamma _{0}\right),\\IcB={\frac {1}{2}}\left(F+\gamma _{0}F\gamma _{0}\right).\end{aligned}}}$

Этот термин представляет заданную систему отсчета, и, как таковой, использование различных систем отсчета приведет к явно различным относительным полям, точно так же, как в стандартной специальной теории относительности. ^{[2] : 233} ${\displaystyle \gamma _{0}}$

Поскольку бивектор Фарадея является релятивистским инвариантом, дополнительную информацию можно найти в его квадрате, что дает две новые Лоренц-инвариантные величины, одну скалярную и одну псевдоскалярную:

${\displaystyle F^{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}+2Ic{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}.}$

Скалярная часть соответствует плотности Лагранжа для электромагнитного поля, а псевдоскалярная часть является реже встречающимся инвариантом Лоренца. ^{[2] : 234}

Уравнение Максвелла

STA формулирует уравнения Максвелла в более простой форме как одно уравнение, ^{[20] : 230} вместо 4 уравнений векторного исчисления . ^{[21] : 2–3} Аналогично приведенному выше бивектору поля, плотность электрического заряда и плотность тока могут быть объединены в один вектор пространства-времени, эквивалентный четырехвектору . Таким образом, ток пространства-времени определяется как ^{[22] : 26} ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J=c\rho \gamma _{0}+J^{i}\gamma _{i},}$

где компоненты являются компонентами классической 3-мерной плотности тока. При таком объединении этих величин становится особенно ясно, что классическая плотность заряда — это не что иное, как ток, движущийся во времениподобном направлении, заданном . ${\displaystyle J^{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$

Объединив электромагнитное поле и плотность тока вместе с градиентом пространства-времени, как определено ранее, мы можем объединить все четыре уравнения Максвелла в одно уравнение в STA. ^{[20] : 230}

Уравнение Максвелла:

${\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ}$

Тот факт, что все эти величины являются ковариантными объектами в STA, автоматически гарантирует лоренц-ковариантность уравнения, которую гораздо легче показать, чем при разделении на четыре отдельных уравнения.

В этой форме также гораздо проще доказать некоторые свойства уравнений Максвелла, такие как сохранение заряда . Используя тот факт, что для любого бивекторного поля дивергенция его пространственно-временного градиента равна , можно выполнить следующую манипуляцию: ^{[23] : 231} ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left[\nabla F\right]&=\nabla \cdot \left[\mu _{0}cJ\right]\\0&=\nabla \cdot J.\end{aligned}}}$

Это уравнение имеет ясный смысл: дивергенция плотности тока равна нулю, т.е. полный заряд и плотность тока с течением времени сохраняются.

Используя электромагнитное поле, форму силы Лоренца, действующей на заряженную частицу, можно также значительно упростить с помощью СТА. ^{[24] : 156}

Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=qF\cdot v}$

Потенциальная формулировка

В стандартной формулировке векторного исчисления используются две потенциальные функции: электрический скалярный потенциал и магнитный векторный потенциал . Используя инструменты STA, эти два объекта объединяются в единое векторное поле , аналогичное электромагнитному четырехпотенциалу в тензорном исчислении. В STA он определяется как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\frac {\phi }{c}}\gamma _{0}+A^{k}\gamma _{k}}$

где — скалярный потенциал, а — компоненты магнитного потенциала. Согласно определению, это поле имеет единицы СИ веберы на метр (В⋅с⋅м ⁻¹ ). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A^{k}}$

Электромагнитное поле также можно выразить через это потенциальное поле, используя

${\displaystyle {\frac {1}{c}}F=\nabla \wedge A.}$

Однако это определение не является единственным. Для любой дважды дифференцируемой скалярной функции потенциал, заданный формулой ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}})}$

${\displaystyle A'=A+\nabla \Lambda }$

также даст то же самое , что и оригинал, из-за того, что ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \nabla \wedge \left(A+\nabla \Lambda \right)=\nabla \wedge A+\nabla \wedge \nabla \Lambda =\nabla \wedge A.}$

Это явление называется свободой калибровки . Процесс выбора подходящей функции для упрощения данной проблемы известен как фиксация калибровки . Однако в релятивистской электродинамике часто накладывается условие Лоренца , где . ^{[2] : 231} ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}=0}$

Чтобы переформулировать уравнение Максвелла СТА в терминах потенциала , сначала заменяем его приведенным выше определением. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\nabla F&=\nabla \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla \cdot \left(\nabla \wedge A\right)+\nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla ^{2}A+\left(\nabla \wedge \nabla \right)A=\nabla ^{2}A+0\\&=\nabla ^{2}A\end{aligned}}}$

Подставляя этот результат, приходим к потенциальной формулировке электромагнетизма в STA: ^{[2] : 232}

Потенциальное уравнение:

${\displaystyle \nabla ^{2}A=\mu _{0}J}$

Формулировка Лагранжа

Аналогично формализму тензорного исчисления, потенциальная формулировка в STA естественным образом приводит к соответствующей плотности Лагранжа . ^{[2] : 453}

Электромагнитная плотность Лагранжа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}F^{2}-J\cdot A}$

Можно вывести многовекторные уравнения Эйлера-Лагранжа для поля, и, если отбросить математическую строгость взятия частной производной по чему-то, что не является скаляром, соответствующие уравнения становятся: ^{[25] : 440}

${\displaystyle \nabla {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\nabla A\right)}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A}}=0.}$

Чтобы начать заново выводить уравнение потенциала из этой формы, проще всего работать в калибровке Лоренца, положив ^{[2] : 232}

${\displaystyle \nabla \cdot A=0.}$

Этот процесс можно осуществить независимо от выбранного калибра, но это делает результирующий процесс значительно более понятным. Ввиду структуры геометрического продукта использование этого условия приводит к . ${\displaystyle \nabla \wedge A=\nabla A}$

После подстановки легко получается то же самое уравнение движения, что и выше для потенциального поля . ${\displaystyle F=c\nabla A}$ ${\displaystyle A}$

Уравнение Паули

STA позволяет описывать частицу Паули в терминах реальной теории вместо матричной теории. Описание матричной теории частицы Паули следующее: ^[26]

${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,}$

где — спинор , — мнимая единица без геометрической интерпретации, — матрицы Паули (с обозначением «шляпка», указывающим, что — матричный оператор, а не элемент геометрической алгебры), а — гамильтониан Шредингера. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle H_{S}}$

Подход STA преобразует матричное спинорное представление в представление STA , используя элементы, , четно-градуированной подалгебры пространства-времени и псевдоскаляр : ^{[2] : 37  [27] : 270, 271} ${\textstyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \mathbf {\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} }$ ${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}\operatorname {cos(\theta /2)\ e^{-i\phi /2}} \\\operatorname {sin(\theta /2)\ e^{+i\phi /2}} \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{vmatrix}}\mapsto \psi =a^{0}+a^{1}\mathbf {I\sigma _{1}} +a^{2}\mathbf {I\sigma _{2}} +a^{3}\mathbf {I\sigma _{3}} }$

Частица Паули описывается действительным уравнением Паули–Шредингера: ^[26]

${\displaystyle \partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3},}$

где теперь — четный мультивектор геометрической алгебры, а гамильтониан Шредингера — . Хестенс называет это реальной теорией Паули–Шредингера, чтобы подчеркнуть, что эта теория сводится к теории Шредингера, если член, включающий магнитное поле, отбрасывается. ^{[26] : 30} Вектор — это произвольно выбранный фиксированный вектор; фиксированное вращение может генерировать любой альтернативный выбранный фиксированный вектор . ^{[28] : 30} ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H_{S}}$ ${\textstyle \sigma _{3}}$ ${\textstyle \sigma _{3}^{\prime }}$

Уравнение Дирака

STA позволяет описать частицу Дирака в терминах реальной теории вместо матричной теории. Описание матричной теории частицы Дирака следующее: ^[29]

${\displaystyle {\hat {\gamma }}^{\mu }(i\partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ,}$

где — матрицы Дирака, а — мнимая единица, не имеющая геометрической интерпретации. ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$ ${\textstyle i}$

Используя тот же подход, что и для уравнения Паули, подход STA преобразует верхний спинор матрицы и нижний спинор матрицы биспинора Дирака в соответствующие представления спинора геометрической алгебры и . Затем они объединяются для представления полной геометрической алгебры биспинора Дирака . ^{[30] : 279} ${\textstyle |\psi _{U}\rangle }$ ${\textstyle |\psi _{L}\rangle }$ ${\textstyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi _{U}}$ ${\textstyle \psi _{L}}$ ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}|\psi _{U}\rangle \\|\psi _{L}\rangle \end{vmatrix}}\mapsto \psi =\psi _{U}+\psi _{L}\mathbf {\sigma _{3}} }$

Согласно выводу Хестенеса, частица Дирака описывается уравнением: ^{[29] [31] : 283}

Уравнение Дирака в СТА:

${\displaystyle \nabla \psi \,I\sigma _{3}-e\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}}$

Здесь — спинорное поле, — элементы геометрической алгебры, — электромагнитный 4-потенциал , — производная вектора пространства-времени. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle I\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

Дираковские спиноры

Релятивистский спинор Дирака можно выразить как: ^{[32] [33] [34] : 280} ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle \psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}}}$

где, согласно выводу Дэвида Хестенеса , — четная многовекторная функция в пространстве-времени, — унимодулярный спинор или «ротор», ^[35] а и — скалярные функции. ^[32] В этой конструкции компоненты напрямую соответствуют компонентам спинора Дирака , оба имеют по 8 скалярных степеней свободы. ${\displaystyle \psi =\psi (x)}$ ${\displaystyle R=R(x)}$ ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$ ${\displaystyle \beta =\beta (x)}$ ${\displaystyle \psi }$

Это уравнение интерпретируется как связывающее спин с мнимым псевдоскаляром. ^{[36] : 104–121}

Ротор , Лоренц преобразует систему векторов в другую систему векторов с помощью операции ; ^{[37] : 15} обратите внимание, что указывает на обратное преобразование . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }=R\gamma _{\mu }R^{\dagger }}$ ${\textstyle R^{\dagger }}$

Это было расширено, чтобы обеспечить основу для локально изменяющихся векторных и скалярных наблюдаемых величин и поддержку интерпретации квантовой механики Zitterbewegung , первоначально предложенной Шредингером . ^{[38] [1] : vi}

Хестенес сравнил свое выражение для с выражением Фейнмана для него в формулировке интеграла по траекториям: ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar },}$

где - классическое действие вдоль -пути. ^[32] ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Используя спиноры, плотность тока от поля можно выразить как ^{[39] : 8}

${\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

Симметрии

Глобальная фазовая симметрия — это постоянный глобальный фазовый сдвиг волновой функции, который оставляет уравнение Дирака неизменным. ^{[40] : 41–48} Локальная фазовая симметрия — это пространственно изменяющийся фазовый сдвиг, который оставляет уравнение Дирака неизменным, если сопровождается калибровочным преобразованием электромагнитного четырехпотенциала , выраженным этими комбинированными заменами. ^{[41] : 269, 283}

${\displaystyle \psi \mapsto \psi e^{\alpha (x)I\sigma _{3}},\quad eA\mapsto eA-\nabla \alpha (x)}$

В этих уравнениях локальное фазовое преобразование представляет собой сдвиг фазы в пространственно-временном положении с псевдовектором и четно-градуированной подалгеброй пространства-времени, примененной к волновой функции ; калибровочное преобразование представляет собой вычитание градиента сдвига фазы из электромагнитного четырехпотенциала с электрическим зарядом частицы . ^{[41] : 269, 283} ${\displaystyle \alpha (x)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle \sigma _{3}}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \nabla \alpha (x)}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle e}$

Исследователи применили подходы STA и связанные с ними подходы алгебры Клиффорда к калибровочным теориям, электрослабому взаимодействию, теории Янга-Миллса и стандартной модели . ^{[42] : 1345–1347}

Дискретные симметрии - это четность , зарядовое сопряжение и обращение времени, примененные к волновой функции . Эти эффекты: ^{[43] : 283} ${\textstyle ({\hat {P}})}$ ${\textstyle ({\hat {C}})}$ ${\textstyle ({\hat {T}})}$ ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {P}}|\psi \rangle &\mapsto \gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{0}\\{\hat {C}}|\psi \rangle &\mapsto \psi \sigma _{1}\\{\hat {T}}|\psi \rangle &\mapsto I\gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{1}\end{aligned}}}$

Общая теория относительности

Общая теория относительности

Исследователи применили STA и связанные с ним подходы алгебры Клиффорда к теории относительности, гравитации и космологии. ^{[42] : 1343} Калибровочная теория гравитации (GTG) использует STA для описания индуцированной кривизны в пространстве Минковского , допуская при этом калибровочную симметрию при «произвольном плавном переотображении событий в пространстве-времени», что приводит к этому геодезическому уравнению. ^{[44] [45] [4] [13]}

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R}$

и ковариантная производная

${\displaystyle D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,}$

где — связь, связанная с гравитационным потенциалом, а — внешнее взаимодействие, такое как электромагнитное поле. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Теория показывает некоторые перспективы для изучения черных дыр, поскольку ее форма решения Шварцшильда не нарушается в сингулярностях; большинство результатов общей теории относительности были воспроизведены математически, а релятивистская формулировка классической электродинамики была распространена на квантовую механику и уравнение Дирака .

Смотрите также

• Геометрическая алгебра
• алгебра Дирака
• Уравнения Максвелла
• Уравнение Дирака
• Общая теория относительности

Примечания

1. Пример: задан идемпотент , определим , затем , и . Найдите обратный , удовлетворяющий . Таким образом, . Однако удовлетворяющего , поэтому этот идемпотент не имеет обратного. ${\textstyle a={\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0})}$ ${\textstyle b=1-a={\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0})}$ ${\textstyle a^{2}=a}$ ${\textstyle b^{2}=b}$ ${\textstyle ab=0}$ ${\textstyle a^{-1}}$ ${\textstyle a^{-1}a=1}$ ${\textstyle b=1\cdot b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot 0\neq 0}$ ${\textstyle a^{-1}}$ ${\textstyle a^{-1}\cdot 0\neq 0}$

Цитаты

1. Hestenes 2015.
2. Доран и Ласенби 2003.
3. Бейлис 2012.
4. Lasenby, Doran & Gull 1995.
5. Ласенби 2022.
6. O'Donnell 2003.
7. Vaz & da Rocha 2016.
8. Уорнер 1990, Теоремы 21.2, 21.3.
9. Уорнер 1990.
10. Дворец 1968.
11. Хестенес и Собчик 1984.
12. Hestenes & Sobczyk 2012c.
13. Ласенби и Доран 2002.
14. Артур 2011.
15. Hestenes 2015, уравнения. (16.22),(16.23).
16. Флёрчингер 2021, уравнение (18).
17. Флёрчингер 2021, уравнение (25).
18. Флёрчингер 2021, уравнение (27).
19. Флёрчингер 2021.
20. Doran & Lasenby 2003, уравнение (7.14).
21. Джексон 1998.
22. Хестенес 2015, уравнение (8.4).
23. Доран и Ласенби 2003, уравнение (7.16).
24. Доран и Ласенби 2003, уравнение (5.170).
25. Доран и Ласенби 2003, уравнение (12.3).
26. Hestenes 2003a, уравнения (75), (81).
27. Доран и Ласенби 2003, Уравнения (8.16), (8.20), (8.23).
28. Hestenes 2003a, уравнения. (82), (83), (84).
29. Доран и др. 1996, уравнения (3.43), (3.44).
30. Доран и Ласенби 2003, уравнение (8.69).
31. Доран и Ласенби 2003, уравнение (8.89).
32. Hestenes 2012b, Уравнения (3.1), (4.1), стр. 169-182.
33. Гулл, Ласенби и Доран 1993, уравнение (5.13).
34. Доран и Ласенби 2003, уравнение (8.80).
35. Хестенес 2003b, уравнение (205).
36. Хестенес 2003a.
37. Хестенес 2003б, уравнение (79).
38. Хестенес 2010.
39. Хестенес 1967, уравнение (4.5).
40. Куигг 2021.
41. Doran & Lasenby 2003, уравнения (8.8), (8.9), (8.10), (8.92), (8.93).
42. Хитцер, Лавор и Хильденбранд, 2024.
43. Доран и Ласенби 2003, уравнение (8.90).
44. Доран, Ласенби и Гулл 1993.
45. Ласенби, Доран и Гулл 1998.

Ссылки

• Артур, Джон В. (2011). Понимание геометрической алгебры для электромагнитной теории. Серия IEEE Press по теории электромагнитных волн. Wiley. стр. 180. ISBN 978-0-470-94163-8.
• Бейлис, Уильям Э. (2012). «Векторная алгебра физического пространства». Теоретические методы в физических науках: введение в решение задач с использованием Maple V. Биркхойзер. стр. 225-266. ISBN 978-1-4612-0275-2.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони; Гулл, Стивен (1993). «Гравитация как калибровочная теория в STA». В Brackx, F.; Delanghe, R.; Serras, H. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике . Фундаментальные теории физики. Том 55. Springer Netherlands. стр. 375–385. doi :10.1007/978-94-011-2006-7_42. ISBN 978-94-011-2006-7.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони; Гулл, Стивен; Сомару, Шьямал; Чаллинор, Энтони (1996). Хоукс, Питер В. (ред.). STA и электронная физика . Достижения в области визуализации и электронной физики. Т. 95. Academic Press. С. 272–386, 292. ISBN 0-12-014737-8.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2003). Геометрическая алгебра для физиков. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1.
• Флёрчингер, Стефан (2021). «Действительные алгебры Клиффорда и их спиноры для релятивистских фермионов». Вселенная . 7 (6): 168.
• Гулл, С.; Ласенби, А.; Доран, К. (1993). «Мнимые числа не являются действительными — геометрическая алгебра пространства-времени» (PDF) . Основы физики . 23 : 1175–1201.
• Хестенес, Дэвид (1967), «Действительные спинорные поля» (PDF) , Журнал математической физики , 8 (4): 798–808, Bibcode : 1967JMP.....8..798H, doi : 10.1063/1.1705279
• Хестенес, Дэвид; Собчик (1984), От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению , Springer Verlag, ISBN 978-90-277-1673-6
• Хестенес, Дэвид (2003a). «Лекция на вручении медали Эрстеда 2002: Реформирование математического языка физики». American Journal of Physics . 71 (2): 104–121. Bibcode :2003AmJPh..71..104H. CiteSeerX  10.1.1.649.7506 . doi :10.1119/1.1522700.
• Хестенес, Д. (2003б). "Физика пространства-времени с геометрической алгеброй" (PDF) . American Journal of Physics . 71 (6): 691–714. Bibcode :2003AmJPh..71..691H. doi :10.1119/1.1571836 . Получено 24.02.2012 .
• Хестенес, Дэвид (2010). «Zitterbewegung в квантовой механике» (PDF) . Основы физики . 40 .
• Хестенс, Д. (2012b) [1990]. «О разделении вероятности и кинематики в квантовой механике». В Фужере, П. Ф. (ред.). Максимальная энтропия и байесовские методы . Springer. стр. 161–183. ISBN 978-94-009-0683-9.PDF
• Хестенес, Д.; Собчик, Гаррет (2012c). От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению: унифицированный язык для математики и физики. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-009-6292-7.
• Хестенес, Дэвид (2015). Пространственно-временная алгебра. Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-319-18412-8.
• Хитцер, Экхард; Лавор, Карлайл; Хильденбранд, Дитмар (2024). «Текущий обзор приложений геометрической алгебры Клиффорда». Математические методы в прикладных науках . 47 (3): 1331–1361. doi :10.1002/mma.8316. ISSN  0170-4214.
• Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Ласенби, Энтони; Доран, Крис; Гулл, Стивен (1995). «Астрофизические и космологические следствия калибровочной теории гравитации». В Санчес, Норма ; Зикичи, Антонино (ред.). Достижения в астрофундаментальной физике: Международная школа астрофизики «Д. Шалонж». World Scientific. стр. 359–401. ISBN 978-981-4548-78-6.Перепечатка
• Ласенби, А.; Доран, К.; Гулл, С. (1998), «Гравитация, калибровочные теории и геометрическая алгебра», Phil. Trans. R. Soc. Lond. A , 356 (1737): 487–582, arXiv : gr-qc/0405033 , Bibcode :1998RSPTA.356..487L, doi :10.1098/rsta.1998.0178, S2CID  119389813
• Lasenby, AN; Doran, CJL (2002). "Геометрическая алгебра, волновые функции Дирака и черные дыры". В Bergmann, PG; De Sabbata, Venzo (ред.). Достижения во взаимодействии квантовой и гравитационной физики . Springer. стр. 256–283, см. стр. 257. ISBN 978-1-4020-0593-0.
• О'Доннелл, Питер Дж. (2003). Введение в 2-спиноры в общей теории относительности. World Scientific. ISBN 978-981-279-531-1.
• Palais, RS (1968). «Классификация действительных алгебр с делением». The American Mathematical Monthly . 75 (4): 366–368. doi :10.2307/2313414. ISSN  0002-9890. JSTOR  2313414.
• Куигг, Крис (29 ноября 2021 г.). Калибровочные теории сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий. CRC Press. ISBN 978-0-429-68902-4.
• Ваз, Джейме; да Роша, Ролдан (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-108578-9.
• Уорнер, Сет (1990). Современная алгебра. Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 191, 211. ISBN 978-0-486-66341-8.
• Ласенби, А. (2022), Некоторые недавние результаты для SU(3) и октонионов в рамках подхода геометрической алгебры к фундаментальным силам природы , doi :10.1002/mma.8934

Внешние ссылки

• Изучение физики с помощью геометрической алгебры, книга I
• Изучение физики с помощью геометрической алгебры, книга II
• Многовекторный лагранжиан для уравнения Максвелла
• Мнимые числа не являются действительными – геометрическая алгебра пространства-времени, учебное введение в идеи геометрической алгебры, С. Галл, А. Лазенби, К. Доран
• Конспект курса «Физические приложения геометрической алгебры», особенно см. часть 2.
• Группа геометрической алгебры Кембриджского университета
• Исследования и разработки в области геометрического исчисления