Симметричная группа

Тип группы в абстрактной алгебре

Граф Кэли симметрической группы S4, использующий генераторы (красный) — правый круговой сдвиг всех четырех элементов множества и (синий) — левый круговой сдвиг первых трех элементов множества.

Таблица Кэли , с опущенным заголовком , симметрической группы S ₃ . Элементы представлены в виде матриц . Слева от матриц находится их двухстрочная форма . Черные стрелки указывают на непересекающиеся циклы и соответствуют записи цикла . Зеленый круг — нечетная перестановка, белый — четная перестановка, а черный — тождество.

Это позиции шести матриц

Некоторые матрицы расположены несимметрично относительно главной диагонали – поэтому симметрическая группа не является абелевой.

В абстрактной алгебре симметрическая группа, определенная над любым множеством , — это группа , элементами которой являются все биекции из множества в себя, а групповая операция — композиция функций . В частности, конечная симметрическая группа, определенная над конечным множеством символов , состоит из перестановок , которые могут быть выполнены над символами. ^[1] Поскольку существуют ( факториальные ) такие операции перестановки, порядок (число элементов) симметрической группы равен . ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle n!}$

Хотя симметрические группы могут быть определены на бесконечных множествах , эта статья фокусируется на конечных симметрических группах: их приложениях, их элементах, их классах сопряженности , конечном представлении , их подгруппах , их группах автоморфизмов и их теории представлений . В оставшейся части этой статьи «симметричная группа» будет означать симметрическую группу на конечном множестве.

Симметрическая группа важна для различных областей математики, таких как теория Галуа , теория инвариантов , теория представлений групп Ли и комбинаторика . Теорема Кэли утверждает , что каждая группа изоморфна подгруппе симметрической группы на ( базовом множестве ) . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Определение и первые свойства

Симметрическая группа на конечном множестве — это группа, все элементы которой являются биективными функциями из в и групповая операция которой является операцией композиции функций . ^[1] Для конечных множеств «перестановки» и «биективные функции» относятся к одной и той же операции, а именно перестановке. Симметрическая группа степени — это симметричная группа на множестве . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$

Симметрическая группа на множестве обозначается различными способами, включая , , , , и . ^[1] Если — множество , то имя может быть сокращено до , , , или . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$ ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ ${\displaystyle X!}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$

Симметричные группы на бесконечных множествах ведут себя совершенно иначе, чем симметричные группы на конечных множествах, и обсуждаются в (Скотт 1987, гл. 11), (Диксон и Мортимер 1996, гл. 8) и (Кэмерон 1999).

Симметрическая группа на множестве элементов имеет порядок ( факториал ) . ^[2] Она абелева тогда и только тогда, когда меньше или равна 2. ^[3] Для и ( пустого множества и одноэлементного множества ) симметрические группы тривиальны ( они имеют порядок ). Группа S _n разрешима тогда и только тогда, когда . Это существенная часть доказательства теоремы Абеля–Руффини , которая показывает , что для каждого существуют многочлены степени , которые не разрешимы в радикалах, то есть решения не могут быть выражены путем выполнения конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня над коэффициентами многочлена. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle 0!=1!=1}$ ${\displaystyle n\leq 4}$ ${\displaystyle n>4}$ ${\displaystyle n}$

Приложения

Симметрическая группа на множестве размера n является группой Галуа общего многочлена степени n и играет важную роль в теории Галуа . В теории инвариантов симметрическая группа действует на переменные многомерной функции, а функции, оставшиеся инвариантными, являются так называемыми симметрическими функциями . В теории представлений групп Ли теория представлений симметрической группы играет фундаментальную роль благодаря идеям функторов Шура .

В теории групп Коксетера симметрическая группа — это группа Коксетера типа A _n и встречается как группа Вейля общей линейной группы . В комбинаторике симметрические группы, их элементы ( перестановки ) и их представления являются богатым источником проблем, связанных с таблицами Юнга , пластическими моноидами и порядком Брюа . Подгруппы симметрических групп называются группами перестановок и широко изучаются из-за их важности для понимания действий групп , однородных пространств и групп автоморфизмов графов , таких как группа Хигмана–Симса и граф Хигмана–Симса .

Групповые свойства и специальные элементы

Элементами симметрической группы на множестве X являются перестановки X.

Умножение

Групповая операция в симметричной группе — это композиция функций, обозначаемая символом ∘ или просто композицией перестановок. Композиция f ∘ g перестановок f и g , произносимая как " f of g ", отображает любой элемент x из X в f ( g ( x )). Конкретно, пусть (см. permutation для объяснения обозначений):

${\displaystyle f=(1\ 3)(2)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.}$

Применение f после g сначала отображает 1 в 2, а затем 2 в себя; 2 в 5, а затем в 4; 3 в 4, а затем в 5 и т. д. Таким образом, композиция f и g дает

${\displaystyle fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.}$

Цикл длины L = k · m , взятый в k -й степени, разложится на k циклов длины m : Например, ( k = 2 , m = 3 ),

${\displaystyle (1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).}$

Проверка групповых аксиом

Чтобы проверить, что симметрическая группа на множестве X действительно является группой , необходимо проверить аксиомы группы: замкнутость, ассоциативность, тождественность и обратные. ^[4]

1. Операция композиции функций замкнута на множестве перестановок заданного множества X.
2. Композиция функций всегда ассоциативна.
3. Тривиальная биекция, которая сопоставляет каждому элементу X самого себя, служит идентификатором группы.
4. У каждой биекции есть обратная функция , которая отменяет ее действие, и, таким образом, у каждого элемента симметрической группы есть обратная функция, которая также является перестановкой.

Транспозиции, знак и знакопеременная группа

Транспозиция — это перестановка , которая меняет местами два элемента и сохраняет все остальные; например, (1 3) — это транспозиция. Каждая перестановка может быть записана как произведение транспозиций; например, перестановка g из предыдущей может быть записана как g = (1 2)(2 5)(3 4). Поскольку g может быть записана как произведение нечетного числа транспозиций, она называется нечетной перестановкой , тогда как f — четной перестановкой.

Представление перестановки как произведения транспозиций не является единственным; однако число транспозиций, необходимых для представления данной перестановки, либо всегда четно, либо всегда нечетно. Существует несколько коротких доказательств инвариантности этой четности перестановки.

Произведение двух четных перестановок четно, произведение двух нечетных перестановок четно, а все остальные произведения нечетны. Таким образом, мы можем определить знак перестановки :

${\displaystyle \operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\text{if }}f{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

С этим определением,

${\displaystyle \operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\ }$

является гомоморфизмом групп ({+1, −1} является группой относительно умножения, где +1 является e, нейтральным элементом ). Ядро этого гомоморфизма, то есть множество всех четных перестановок, называется знакопеременной группой A _n . Это нормальная подгруппа S _n , и для n ≥ 2 она имеет n !/2 элементов. Группа S _n является полупрямым произведением A _n и любой подгруппы, порожденной одной транспозицией.

Более того, каждая перестановка может быть записана как произведение смежных транспозиций , то есть транспозиций вида ( a a +1) . Например, перестановка g сверху может быть записана как g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5) . Алгоритм сортировки пузырьковая сортировка является применением этого факта. Представление перестановки как произведения смежных транспозиций также не является единственным.

Циклы

Цикл длины k — это перестановка f, для которой существует элемент x в {1, ..., n } такой, что x , f ( x ) , f 2 ⁽ x ) , ..., f ^k ( x ) = x — единственные элементы, перемещаемые f ; обычно требуется, чтобы k ≥ 2 , поскольку при k = 1 сам элемент x также не будет перемещен. Перестановка h , определяемая формулой

${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}}$

является циклом длины три, так как h (1) = 4 , h (4) = 3 и h (3) = 1 , оставляя 2 и 5 нетронутыми. Мы обозначаем такой цикл как (1 4 3) , но его можно было бы с тем же успехом записать как (4 3 1) или (3 1 4), начав с другой точки. Порядок цикла равен его длине. Циклы длины два являются транспозициями. Два цикла являются непересекающимися, если они имеют непересекающиеся подмножества элементов. Непересекающиеся циклы коммутируют : например, в S ₆ имеет место равенство (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3) . Каждый элемент S _n можно записать как произведение непересекающихся циклов; это представление уникально с точностью до порядка множителей и свободы, присутствующей в представлении каждого отдельного цикла путем выбора его начальной точки.

Циклы допускают следующее свойство сопряжения с любой перестановкой , это свойство часто используется для получения их образующих и соотношений. ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ldots \end{pmatrix}}}$

Специальные элементы

Некоторые элементы симметрической группы {1, 2, ..., n } представляют особый интерес (их можно обобщить до симметрической группы любого конечного полностью упорядоченного множества, но не до симметрической группы неупорядоченного множества).

TheПерестановка, меняющая порядок, задается формулой:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.}$

Это единственный максимальный элемент относительно порядка Брюа и самый длинный элемент в симметрической группе относительно порождающего множества, состоящего из соседних транспозиций ( i i +1) , 1 ≤ i ≤ n − 1 .

Это инволюция, состоящая из (несмежных) транспозиций. ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle (1\,n)(2\,n-1)\cdots ,{\text{ or }}\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}{\text{ adjacent transpositions: }}}$

${\displaystyle (n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots ,}$

поэтому он имеет знак:

${\displaystyle \mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

которая является 4-периодической по n .

В S _{2 n} идеальная перетасовка — это перестановка, которая разделяет набор на 2 стопки и чередует их. Ее знак также ${\displaystyle (-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.}$

Обратите внимание, что перестановка на n элементах и ​​идеальная перетасовка на 2 n элементах имеют одинаковый знак; это важно для классификации алгебр Клиффорда , которые являются 8-периодическими.

Классы сопряженности

Классы сопряженности S _n соответствуют типам циклов перестановок; то есть два элемента S _n сопряжены в S _n тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа непересекающихся циклов одинаковой длины. Например, в S ₅ , (1 2 3)(4 5) и (1 4 3)(2 5) сопряжены; (1 2 3)(4 5) и (1 2)(4 5) не являются. Сопрягающий элемент S n _можно построить в «двухстрочной нотации», поместив «цикловые нотации» двух сопряженных перестановок друг над другом. Продолжая предыдущий пример, который можно записать как произведение циклов как (2 4). Затем эта перестановка связывает (1 2 3)(4 5) и (1 4 3)(2 5) посредством сопряжения, то есть, Очевидно, что такая перестановка не является единственной. $${\displaystyle k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle (2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).}$$

Классы сопряженности S _n соответствуют целочисленным разбиениям n : разбиению μ = ( μ ₁ , μ ₂ , ..., μ _k ) с и μ ₁ ≥ μ ₂ ≥ ... ≥ μ _k , сопоставлено множество C _μ перестановок с циклами длин μ ₁ , μ ₂ , ..., μ _k . Тогда C _μ является классом сопряженности S _{n , элементы} которого называются циклическими . ${\textstyle n=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

Группы с низкой степенью

Симметричные группы низкой степени имеют более простую и исключительную структуру, и часто их необходимо рассматривать отдельно.

С ₀ и С ₁

Симметрические группы на пустом множестве и синглетонном множестве тривиальны, что соответствует 0! = 1! = 1 . В этом случае знакопеременная группа согласуется с симметрической группой, а не является подгруппой индекса 2, и знаковое отображение тривиально. В случае S ₀ его единственным членом является пустая функция .

С ₂

Эта группа состоит ровно из двух элементов: тождества и перестановки, меняющей местами две точки. Это циклическая группа и, таким образом, абелева . В теории Галуа это соответствует тому факту, что квадратичная формула дает прямое решение общего квадратичного многочлена после извлечения только одного корня. В теории инвариантов теория представления симметрической группы по двум точкам довольно проста и рассматривается как запись функции двух переменных в виде суммы ее симметричной и антисимметричной частей: Полагая f _s ( x , y ) = f ( x , y ) + f ( y , x ) и f _a ( x , y ) = f ( x , y ) − f ( y , x ) , получаем, что 2⋅ f = f _s + f _a . Этот процесс известен как симметризация .

С ₃

S ₃ — первая неабелева симметрическая группа. Эта группа изоморфна диэдральной группе порядка 6 , группе симметрий отражения и вращения равностороннего треугольника , поскольку эти симметрии переставляют три вершины треугольника. Циклы длины два соответствуют отражениям, а циклы длины три — вращениям. В теории Галуа знаковое отображение из S ₃ в S ₂ соответствует разрешающей квадратичной функции для кубического полинома , как открыл Джероламо Кардано , в то время как ядро ​​A ₃ соответствует использованию дискретного преобразования Фурье порядка 3 в решении в форме резольвент Лагранжа . ^{[ требуется ссылка ]}

С ₄

Группа S4 изоморфна группе собственных вращений вокруг противоположных граней, противоположных диагоналей и противоположных ребер, 9 , 8 и 6 перестановок куба . [ ^5] Помимо группы A4 , S4 _имеет четверную группу Клейна V в качестве собственной нормальной подгруппы , а именно четные транспозиции {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, с фактором S3 _. В теории Галуа это отображение соответствует разрешающей кубике в полином четвертой степени , что позволяет решать четвертую степень с помощью радикалов, как установил Лодовико Феррари . Группу Клейна можно понимать в терминах резольвент Лагранжа четвертой степени. Отображение из S ₄ в S ₃ также дает 2-мерное неприводимое представление, которое является неприводимым представлением симметрической группы степени n размерности ниже n − 1 , что имеет место только для n = 4 .

С ₅

S ₅ — первая неразрешимая симметрическая группа. Наряду со специальной линейной группой SL(2, 5) и икосаэдрической группой A ₅ × S ₂ , S ₅ — одна из трех неразрешимых групп порядка 120 с точностью до изоморфизма. S ₅ — группа Галуа общего уравнения квинтики , и тот факт, что S ₅ не является разрешимой группой, означает отсутствие общей формулы для решения многочленов квинтики с помощью радикалов. Существует экзотическое отображение включения S ₅ → S ₆ как транзитивная подгруппа; очевидное отображение включения S _n → S _{n +1} фиксирует точку и, таким образом, не является транзитивным. Это дает внешний автоморфизм S ₆ , обсуждаемый ниже, и соответствует резольвентной секстике квинтики.

С ₆

В отличие от всех других симметрических групп, S ₆ имеет внешний автоморфизм . Используя язык теории Галуа , это также можно понять в терминах резольвент Лагранжа . Резольвента квинтики имеет степень 6 — это соответствует экзотическому отображению включения S ₅ → S ₆ как транзитивной подгруппы (очевидное отображение включения S _n → S _{n +1} фиксирует точку и, таким образом, не является транзитивным) и, хотя это отображение не делает общую квинтику разрешимой, оно дает экзотический внешний автоморфизм S ₆ — см. Автоморфизмы симметрических и знакопеременных групп для получения подробной информации.

Обратите внимание, что хотя A ₆ и A ₇ имеют исключительный множитель Шура ( тройное покрытие ) и что они распространяются на тройные покрытия S ₆ и S ₇ , они не соответствуют исключительным множителям Шура симметрической группы.

Карты между симметричными группами

Помимо тривиального отображения S _n → C ₁ ≅ S ₀ ≅ S ₁ и знакового отображения S _n → S ₂ , наиболее примечательными гомоморфизмами между симметрическими группами, в порядке относительной размерности , являются:

• S ₄ → S _3, что соответствует исключительной нормальной подгруппе V < A ₄ < S ₄ ;
• S ₆ → S ₆ (или, скорее, класс таких отображений с точностью до внутреннего автоморфизма), соответствующих внешнему автоморфизму S ₆ .
• S ₅ → S ₆ как транзитивная подгруппа, что даёт внешний автоморфизм S ₆ , как обсуждалось выше.

Существует также множество других гомоморфизмов S _m → S _{n ,} где m < n .

Связь с чередующейся группой

Для n ≥ 5 знакопеременная группа A n _{является} простой , а индуцированное частное — это знаковое отображение: A _n → S _n → S ₂ , которое расщепляется путем транспонирования двух элементов. Таким образом, S _n является полупрямым произведением A _n ⋊ S ₂ и не имеет других собственных нормальных подгрупп, поскольку они пересекались бы с A _n либо по тождеству (и, таким образом, сами были бы тождеством или 2-элементной группой, что не является нормальным), либо по A _n (и, таким образом, сами были бы A _n или S _n ).

S _n действует на свою подгруппу A _n сопряжением, и для n ≠ 6 S _n является полной группой автоморфизмов A _n : Aut(A _n ) ≅ S _n . Сопряжение четными элементами является внутренним автоморфизмом A _n , тогда как внешний автоморфизм A _n порядка 2 соответствует сопряжению нечетным элементом. Для n = 6 существует исключительный внешний автоморфизм A _{n ,} поэтому S _n не является полной группой автоморфизмов A _n .

Наоборот, при n ≠ 6 группа S _n не имеет внешних автоморфизмов, а при n ≠ 2 у нее нет центра, поэтому при n ≠ 2, 6 она является полной группой , как обсуждается ниже в разделе «Группа автоморфизмов».

При n ≥ 5 группа S _n является почти простой , поскольку она лежит между простой группой An _и ее группой автоморфизмов.

S _n можно вложить в A _{n +2,} добавив транспозицию ( n + 1, n + 2) ко всем нечетным перестановкам, тогда как вложение в A _{n +1} невозможно для n > 1 .

Генераторы и отношения

Симметрическая группа из n букв генерируется смежными транспозициями , которые меняют местами i и i + 1. [ ^6] Коллекция генерирует S _n при соблюдении следующих соотношений: ^[7] ${\displaystyle \sigma _{i}=(i,i+1)}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$

• ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1,}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$для , и ${\displaystyle |i-j|>1}$
• ${\displaystyle (\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1,}$

где 1 представляет собой тождественную перестановку. Это представление наделяет симметричную группу структурой группы Коксетера (и, следовательно, также группы отражений ).

Другие возможные наборы генераторов включают набор транспозиций, которые меняют местами 1 и i для 2 ≤ i ≤ n , ^[8] или, в более общем смысле, любой набор транспозиций, который образует связный граф, ^[9] и набор, содержащий любой n -цикл и 2 -цикл смежных элементов в n -цикле. ^{[10] [11]}

Структура подгруппы

Подгруппа симметрической группы называется группой перестановок .

Нормальные подгруппы

Нормальные подгруппы конечных симметрических групп хорошо изучены. Если n ≤ 2 , S _n имеет не более 2 элементов и, таким образом, не имеет нетривиальных собственных подгрупп. Знакопеременная группа степени n всегда является нормальной подгруппой, собственной для n ≥ 2 и нетривиальной для n ≥ 3 ; для n ≥ 3 это фактически единственная нетривиальная собственная нормальная подгруппа S _n , за исключением случая n = 4 , когда имеется одна дополнительная такая нормальная подгруппа, которая изоморфна четверной группе Клейна .

Симметрическая группа на бесконечном множестве не имеет подгруппы индекса 2, поскольку Витали (1915 ^[12] ) доказал, что каждая перестановка может быть записана как произведение трех квадратов. (Любой квадратный элемент должен принадлежать предполагаемой подгруппе индекса 2, следовательно, то же самое должно быть и произведение любого числа квадратов.) Однако она содержит нормальную подгруппу S перестановок, которые фиксируют все, кроме конечного числа элементов, которая порождается транспозициями. Те элементы S , которые являются произведениями четного числа транспозиций, образуют подгруппу индекса 2 в S , называемую знакопеременной подгруппой A. Поскольку A является четной характеристической подгруппой S , она также является нормальной подгруппой полной симметрической группы бесконечного множества. Группы A и S являются единственными нетривиальными собственными нормальными подгруппами симметрической группы на счетно бесконечном множестве. Это было впервые доказано Онофри (1929 ^[13] ) и независимо Шрайером – Уламом (1934 ^[14] ). Более подробную информацию см. в (Скотт 1987, гл. 11.3) или (Диксон и Мортимер 1996, гл. 8.1).

Максимальные подгруппы

Максимальные подгруппы S n делятся на три _класса : интранзитивные, импримитивные и примитивные. Интранзитивные максимальные подгруппы — это в точности те, которые имеют вид S _k × S _{n – k} для 1 ≤ k < n /2 . Импримитивные максимальные подгруппы — это в точности те, которые имеют вид S _k wr S _{n / k} , где 2 ≤ k ≤ n /2 — собственный делитель n , а «wr» обозначает сплетение . Примитивные максимальные подгруппы сложнее идентифицировать, но с помощью теоремы О'Нана–Скотта и классификации конечных простых групп (Liebeck, Praeger & Saxl 1988) дал довольно удовлетворительное описание максимальных подгрупп этого типа, согласно (Dixon & Mortimer 1996, p. 268).

Силовские подгруппы

Силовские подгруппы симметрических групп являются важными примерами p -групп . Их легче описать сначала в частных случаях:

Силовские p -подгруппы симметрической группы степени p являются просто циклическими подгруппами, порожденными p -циклами. Существует ( p − 1)!/( p − 1) = ( p − 2)! таких подгрупп просто путем подсчета образующих . Нормализатор, таким образом, имеет порядок p ⋅( p − 1) и известен как группа Фробениуса F _{p ( p −1)} (особенно для p = 5 ) и является аффинной общей линейной группой , AGL(1, p ) .

Силовские p -подгруппы симметрической группы степени p ² являются сплетением двух циклических групп порядка p . Например, когда p = 3 , силовская 3-подгруппа Sym(9) порождается a = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9) и элементами x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9) , и каждый элемент силовской 3-подгруппы имеет вид a ⁱ x ^j y ^k z ^l для ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0\leq i,j,k,l\leq 2}$ .

Силовские p -подгруппы симметрической группы степени p ⁿ иногда обозначаются как W _p ( n ), и используя это обозначение, можно получить, что W _p ( n + 1) является сплетением W _p ( n ) и W _p (1).

В общем случае силовские p -подгруппы симметрической группы степени n являются прямым произведением a _i копий W _p ( i ), где 0 ≤ a _i ≤ p − 1 и n = a ₀  +  p ⋅ a ₁  + ... +  p ^k ⋅ a _k ( разложение n по основанию p ).

Например, W ₂ (1) = C ₂ и W ₂ (2) = D ₈ , диэдральная группа порядка 8 , и поэтому силовская 2-подгруппа симметрической группы степени 7 порождается { (1,3)(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) } и изоморфна D ₈ × C ₂ .

Эти вычисления приписываются (Kaloujnine 1948) и более подробно описаны в (Rotman 1995, стр. 176). Обратите внимание, однако, что (Kerber 1971, стр. 26) приписывает результат работе Коши 1844 года и упоминает, что он даже описан в учебнике (Netto 1882, §39–40).

Транзитивные подгруппы

Транзитивная подгруппа S _n — это подгруппа, действие которой на {1, 2, ,...,  n } транзитивно . Например, группа Галуа ( конечного ) расширения Галуа является транзитивной подгруппой S _n для некоторого n .

Молодые подгруппы

Подгруппа S _n , которая генерируется транспозициями, называется подгруппой Юнга . Все они имеют вид , где — целочисленное разбиение n . Эти группы _также могут быть охарактеризованы как параболические подгруппы S n , когда она рассматривается как группа отражений . ${\displaystyle S_{a_{1}}\times \cdots \times S_{a_{\ell }}}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{\ell })}$

Теорема Кэли

Теорема Кэли утверждает, что каждая группа G изоморфна подгруппе некоторой симметрической группы. В частности, можно взять подгруппу симметрической группы на элементах G , поскольку каждая группа действует на себя точно (левым или правым) умножением.

Циклические подгруппы

Циклические группы — это группы, которые генерируются одной перестановкой. Когда перестановка представлена ​​в виде циклической нотации, порядок циклической подгруппы, которую она генерирует, является наименьшим общим кратным длин ее циклов. Например, в S ₅ одна циклическая подгруппа порядка 5 генерируется элементом (13254), тогда как наибольшие циклические подгруппы S ₅ генерируются элементами типа (123)(45), которые имеют один цикл длины 3 и другой цикл длины 2. Это исключает многие группы как возможные подгруппы симметрических групп заданного размера. ^{[ необходима цитата ]} Например, S ₅ не имеет подгруппы порядка 15 (делителя порядка S ₅ ), потому что единственная группа порядка 15 — это циклическая группа. Наибольший возможный порядок циклической подгруппы (эквивалентно, наибольший возможный порядок элемента в S _n ) задается функцией Ландау .

Группа автоморфизмов

При n ≠ 2, 6 группа S _n является полной : ее центр и внешняя группа автоморфизмов тривиальны.

При n = 2 группа автоморфизмов тривиальна, но S ₂ нетривиальна: она изоморфна C ₂ , которая абелева, и, следовательно, центром является вся группа.

При n = 6 он имеет внешний автоморфизм порядка 2: Out(S ₆ ) = C ₂ , а группа автоморфизмов является полупрямым произведением Aut(S ₆ ) = S ₆ ⋊ C ₂ .

Фактически, для любого множества X мощности, отличной от 6, каждый автоморфизм симметрической группы на X является внутренним, результат, впервые полученный (Schreier & Ulam 1936) согласно (Dixon & Mortimer 1996, p. 259).

Гомология

Групповая гомология S _n вполне регулярна и стабилизируется: первая гомология (конкретно, абелианизация ) имеет вид:

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\mathbf {Z} /2&n\geq 2.\end{cases}}}$

Первая группа гомологий — это абелианизация, и она соответствует отображению знака S _n → S ₂ , которое является абелианизацией для n ≥ 2; для n < 2 симметрическая группа тривиальна. Эта гомология легко вычисляется следующим образом: S _n порождается инволюциями (2-циклами, имеющими порядок 2), поэтому единственные нетривиальные отображения S _n → C _p — это отображения в S ₂ , и все инволюции сопряжены, следовательно, отображаются в один и тот же элемент в абелианизации (так как сопряжение тривиально в абелевых группах). Таким образом, единственные возможные отображения S _n → S ₂ ≅ {±1} отправляют инволюцию в 1 (тривиальное отображение) или в −1 (отображение знака). Также нужно показать, что отображение знака корректно определено, но, предполагая, что это дает первые гомологии S _n .

Вторая гомология (конкретно, множитель Шура ) такова:

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}}$

Это было вычислено в (Schur 1911) и соответствует двойному покрытию симметрической группы 2 · S _n .

Обратите внимание, что исключительная низкоразмерная гомология знакопеременной группы ( соответствующая нетривиальной абелианизации и обусловленная исключительным 3-кратным покрытием) не изменяет гомологию симметрической группы; явления знакопеременной группы действительно приводят к явлениям симметрической группы — отображение продолжается до тройных покрытий A ₆ и A ₇ и тройные покрытия продолжаются до тройных покрытий S ₆ и S ₇ — но они не являются гомологичными — отображение не изменяет абелианизацию S ₄ , и тройные покрытия также не соответствуют гомологии. ${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{3})\cong H_{1}(\mathrm {A} _{4})\cong \mathrm {C} _{3},}$ ${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{2}(\mathrm {A} _{7})\cong \mathrm {C} _{6},}$ ${\displaystyle \mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3},}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}}$

Гомология «стабилизируется» в смысле стабильной гомотопической теории: существует отображение включения S _n → S _{n +1} , и для фиксированного k индуцированное отображение на гомологии H _k (S _n ) → H _k (S _{n +1} ) является изоморфизмом для достаточно больших n . Это аналогично стабилизации гомологии семейств групп Ли .

Гомологии бесконечной симметрической группы вычисляются в (Nakaoka 1961), причем алгебра когомологий образует алгебру Хопфа .

Теория представления

Теория представлений симметрической группы является частным случаем теории представлений конечных групп , для которой может быть получена конкретная и подробная теория. Это имеет большую область потенциальных приложений, от теории симметрических функций до задач квантовой механики для ряда одинаковых частиц .

Симметрическая группа S _n имеет порядок n !. Ее классы сопряженности помечены разбиениями n  . Следовательно, согласно теории представлений конечной группы, число неэквивалентных неприводимых представлений , над комплексными числами , равно числу разбиений  n . В отличие от общей ситуации для конечных групп, на самом деле существует естественный способ параметризации неприводимого представления тем же набором, который параметризует классы сопряженности, а именно разбиениями n или , что эквивалентно, диаграммами Юнга размера  n .

Каждое такое неприводимое представление может быть реализовано над целыми числами (каждая перестановка, действующая посредством матрицы с целыми коэффициентами); оно может быть явно построено путем вычисления симметризаторов Юнга, действующих на пространстве, порожденном таблицами Юнга , имеющими форму, заданную диаграммой Юнга.

Над другими полями ситуация может стать гораздо сложнее. Если поле K имеет характеристику , равную нулю или большую n , то по теореме Машке групповая алгебра K S _n является полупростой. В этих случаях неприводимые представления, определенные над целыми числами, дают полный набор неприводимых представлений (после редукции по модулю характеристики, если необходимо).

Однако неприводимые представления симметрической группы неизвестны в произвольной характеристике. В этом контексте более привычно использовать язык модулей , а не представлений. Представление, полученное из неприводимого представления, определенного над целыми числами путем приведения по модулю характеристики, в общем случае не будет неприводимым. Модули, построенные таким образом, называются модулями Шпехта , и каждое неприводимое действительно возникает внутри некоторого такого модуля. Сейчас неприводимых меньше, и хотя их можно классифицировать, они очень плохо изучены. Например, даже их размерности в общем случае неизвестны.

Определение неприводимых модулей симметрической группы над произвольным полем широко рассматривается как одна из важнейших открытых проблем в теории представлений.

Смотрите также

• Группа кос
• История теории групп
• Знаковая симметрическая группа и Обобщенная симметрическая группа
• Симметрия в квантовой механике § Обменная симметрия
• Симметричная обратная полугруппа
• Симметричная сила

Примечания

1. Якобсон 2009, стр. 31
2. Якобсон 2009, стр. 32 Теорема 1.1
3. «Симметричная группа не является абелевой/Доказательство 1».
4. Васиштха, Арканзас; Васиштха, АК (2008). «2. Группы Определение группы S3». Современная алгебра . Кришна Пракашан Медиа. п. 49. ИСБН 9788182830561.
5. Нойбюзер, Дж. (1967). Die Untergruppenverbände der Gruppen der Ordnungen ̤100 mit Ausnahme der Ordnungen 64 и 96 (доктор философии). Университет Киля.
6. Саган, Брюс Э. (2001), Симметрическая группа (2-е изд.), Springer, стр. 4, ISBN 978-0-387-95067-9
7. Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера , Springer, стр. 4. Пример 1.2.3, ISBN 978-3-540-27596-1
8. Дж. Ирвинг; А. Раттан (2009), «Минимальные факторизации перестановок в звездные транспозиции», Дискретная математика , 309 : 1435–1442, doi : 10.1016/j.disc.2008.02.018, hdl : 1721.1/96203
9. Тео Дувропулос; Джоэл Брюстер Льюис; Алехандро Х. Моралес (2022), «Числа Гурвица для групп отражений I: Генерирующая функционалология», Перечислительная комбинаторика и приложения , 2 (3), Предложение 2.1, arXiv : 2112.03427 , doi : 10.54550/ECA2022V2S3R20
10. Артин, Майкл (1991), Алгебра , Пирсон, Упражнение 6.6.16, ISBN 978-0-13-004763-2
11. Брей, Дж. Н.; Кондер, М. Д. Э.; Лидхэм-Грин, К. Р.; О'Брайен, Е. А. (2007), Краткие презентации для знакопеременных и симметричных групп , Труды AMS
12. Виталий, Г. (1915). «Sostituzioni sopra una infinità numerabile di elements». Боллеттино Матезис . 7 : 29–31.
13. §141, стр.124 в Онофри, Л. (1929). «Теория соституционизма, которая оперирует бесконечными исчисляемыми элементами». Аннали ди Математика . 7 (1): 103–130. дои : 10.1007/BF02409971 . S2CID  186219904.
14. Шрайер, Дж.; Улам, С. (1933). «Über die Permutationsgruppe der Natürlichen Zahlenfolge» (PDF) . Студия Матем . 4 (1): 134–141. дои : 10.4064/см-4-1-134-141.

Ссылки

• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 45, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
• Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Graduate Texts in Mathematics, т. 163, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94599-6, МР  1409812
• Якобсон, Натан (2009), Основы алгебры , т. 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1.
• Калужнин, Лео (1948), «Силовская структура p-групп симметричных конечных групп», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 65 : 239–276, doi : 10.24033/asens.961 , ISSN  0012 -9593, МР  0028834
• Кербер, Адальберт (1971), Представления групп перестановок. I , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 240, т. 240, Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067943, ISBN 978-3-540-05693-5, МР  0325752
• Либек, М. В.; Прегер, К. Э .; Саксл, Дж. (1988), «О теореме О'Нана–Скотта для конечных примитивных групп подстановок», Журнал Австралийского математического общества , 44 (3): 389–396, doi : 10.1017/S144678870003216X
• Накаока, Минору (март 1961 г.), «Гомологии бесконечной симметрической группы», Annals of Mathematics , 2, 73 (2): 229–257, doi :10.2307/1970333, JSTOR  1970333
• Нетто, Ойген (1882), Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra (на немецком языке), Лейпциг. Тойбнер, JFM  14.0090.01
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), «Расширения и когомологии» (PDF) , Введение в теорию групп , Graduate Texts in Mathematics, т. 148, Springer, стр. 154–216, doi :10.1007/978-1-4612-4176-8_7, ISBN 978-1-4612-8686-8
• Скотт, У. Р. (1987), Теория групп , Dover Publications , стр. 45–46, ISBN 978-0-486-65377-8
• Шур, Иссаи (1911), «Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene Lineare Substitutionen», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1911 (139): 155–250, doi :10.1515/crll.1911.139.155, S2CID  122809608
• Шрайер, Юзеф ; Улам, Станислав (1936), «Über die Automorphismen der Permutationsgruppe der natürlichen Zahlenfolge» (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на немецком языке), 28 : 258–260, doi : 10.4064/fm-28-1-258-260, Zbl  0016.20301

Внешние ссылки

• «Симметрическая группа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Симметрическая группа". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Симметричный групповой граф". MathWorld .
• Маркус дю Сотой: Симметрия, загадка реальности (видеозапись выступления)
• Записи OEIS, касающиеся симметричной группы