В математике категория колец , обозначаемая как Ring , — это категория , объектами которой являются кольца (с тождеством), а морфизмами — гомоморфизмы колец (сохраняющие тождество). Как и многие категории в математике, категория колец является большой , что означает, что класс всех колец является собственным .
Категория Ring — это конкретная категория, означающая, что объекты — это множества с дополнительной структурой (сложение и умножение), а морфизмы — это функции , которые сохраняют эту структуру. Существует естественный забывающий функтор
для категории колец в категорию множеств , которая отправляет каждое кольцо в его базовое множество (таким образом "забывая" операции сложения и умножения). Этот функтор имеет левый сопряженный
который назначает каждому множеству X свободное кольцо , порожденное X.
Категорию колец можно также рассматривать как конкретную категорию над Ab ( категорией абелевых групп ) или над Mon ( категорией моноидов ). В частности, существуют забывающие функторы
которые "забывают" умножение и сложение соответственно. Оба этих функтора имеют левые сопряженные элементы. Левый сопряженный элемент A — это функтор, который сопоставляет каждой абелевой группе X (рассматриваемой как Z - модуль ) тензорное кольцо T ( X ). Левый сопряженный элемент M — это функтор, который сопоставляет каждому моноиду X целочисленное моноидное кольцо Z [ X ].
Категория Ring является как полной, так и кополной , что означает, что все малые пределы и копределы существуют в Ring . Как и многие другие алгебраические категории, забывающий функтор U : Ring → Set создает (и сохраняет) пределы и отфильтрованные копределы , но не сохраняет ни копроизведения , ни коуравнители . Забывающие функторы для Ab и Mon также создают и сохраняют пределы.
Примеры пределов и копределов в Ring включают в себя:
В отличие от многих категорий, изучаемых в математике, не всегда существуют морфизмы между парами объектов в Ring . Это следствие того факта, что гомоморфизмы колец должны сохранять тождественность. Например, не существует морфизмов из нулевого кольца 0 в любое ненулевое кольцо. Необходимым условием для существования морфизмов из R в S является то, что характеристика S делит характеристику R .
Обратите внимание, что даже если некоторые из hom-sets пусты, категория Ring по-прежнему связана , поскольку имеет начальный объект.
Некоторые специальные классы морфизмов в Ring включают:
Категория колец имеет ряд важных подкатегорий . Они включают в себя полные подкатегории коммутативных колец , областей целостности , областей главных идеалов и полей .
Категория коммутативных колец , обозначаемая CRing , является полной подкатегорией Ring , все объекты которой — коммутативные кольца . Эта категория является одним из центральных объектов изучения в предмете коммутативной алгебры .
Любое кольцо можно сделать коммутативным, взяв фактор по идеалу , порожденному всеми элементами вида ( xy − yx ). Это определяет функтор Ring → CRing , который является левым сопряженным к функтору включения, так что CRing является рефлективной подкатегорией Ring . Свободное коммутативное кольцо на множестве образующих E является кольцом многочленов Z [ E ], переменные которого берутся из E . Это дает левый сопряженный функтор к забывающему функтору из CRing в Set .
CRing является предельно замкнутым в Ring , что означает, что пределы в CRing такие же, как и в Ring . Однако копределы, как правило, различны. Их можно образовать, взяв коммутативное отношение копределов в Ring . Копроизведение двух коммутативных колец задается тензорным произведением колец . Опять же, копроизведение двух ненулевых коммутативных колец может быть равно нулю.
Противоположная категория CRing эквивалентна категории аффинных схем . Эквивалентность задается контравариантным функтором Spec , который отправляет коммутативное кольцо в свой спектр , аффинную схему .
Категория полей , обозначаемая Field , является полной подкатегорией CRing , объектами которой являются поля . Категория полей не так хорошо себя ведет, как другие алгебраические категории. В частности, свободных полей не существует (т.е. не существует левого сопряженного к забывающему функтору Field → Set ). Из этого следует, что Field не является рефлексивной подкатегорией CRing .
Категория полей не является ни конечно полной , ни конечно кополной. В частности, Field не имеет ни произведений, ни копроизведений.
Другим любопытным аспектом категории полей является то, что каждый морфизм является мономорфизмом . Это следует из того факта, что единственными идеалами в поле F являются нулевой идеал и само F. Тогда можно рассматривать морфизмы в Field как расширения полей .
Категория полей не связна . Между полями различной характеристики нет морфизмов . Связные компоненты поля являются полными подкатегориями характеристики p , где p = 0 или является простым числом . Каждая такая подкатегория имеет начальный объект : простое поле характеристики p (которое является Q , если p = 0, в противном случае конечное поле F p ).
Существует естественный функтор из Ring в категорию групп , Grp , который переводит каждое кольцо R в его группу единиц U ( R ), а каждый гомоморфизм колец — в ограничение на U ( R ). Этот функтор имеет левый сопряженный , который переводит каждую группу G в целочисленное групповое кольцо Z [ G ].
Другой функтор между этими категориями переводит каждое кольцо R в группу единиц матричного кольца M 2 ( R ), которое действует на проективной прямой над кольцом P( R ).
Для коммутативного кольца R можно определить категорию R -Alg , объектами которой являются все R -алгебры , а морфизмами - гомоморфизмы R -алгебр .
Категорию колец можно считать частным случаем. Каждое кольцо можно считать Z -алгеброй единственным образом. Гомоморфизмы колец — это в точности гомоморфизмы Z -алгебр. Таким образом, категория колец изоморфна категории Z-Alg . [1] Многие утверждения о категории колец можно обобщить до утверждений о категории R -алгебр.
Для каждого коммутативного кольца R существует функтор R -Alg → Ring , который забывает структуру R -модуля. Этот функтор имеет левый сопряженный, который переводит каждое кольцо A в тензорное произведение R ⊗ Z A , рассматриваемое как R -алгебра, устанавливая r ·( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .
Многие авторы не требуют, чтобы кольца имели мультипликативный элемент тождества и, соответственно, не требуют, чтобы гомоморфизм колец сохранял тождество (если он существует). Это приводит к довольно иной категории. Для различения мы называем такие алгебраические структуры rngs , а их морфизмы — rng гомоморфизмами . Категория всех rngs будет обозначаться как Rng .
Категория колец Ring является неполной подкатегорией Rng . Она неполной, поскольку существуют гомоморфизмы rng между кольцами, которые не сохраняют тождество и, следовательно, не являются морфизмами в Ring . Функтор включения Ring → Rng имеет левый сопряженный , который формально присоединяет тождество к любому rng . Функтор включения Ring → Rng соблюдает пределы, но не копределы.
Нулевое кольцо служит как начальным, так и конечным объектом в Rng (то есть, это нулевой объект ). Из этого следует, что Rng , как и Grp, но в отличие от Ring , имеет нулевые морфизмы . Это просто гомоморфизмы rng, которые отображают все в 0. Несмотря на существование нулевых морфизмов, Rng все еще не является предаддитивной категорией . Поточечная сумма двух гомоморфизмов rng, как правило, не является гомоморфизмом rng.
Существует вполне точный функтор из категории абелевых групп в Rng, переводящий абелеву группу в ассоциированное с ним rng квадрата нуля .
Свободные конструкции менее естественны в Rng , чем в Ring . Например, свободный rng, порожденный множеством { x }, является кольцом всех целочисленных многочленов над x без свободного члена, тогда как свободное кольцо, порожденное { x }, является просто кольцом многочленов Z [ x ].