Категория формируется двумя видами объектов : объектами категории и морфизмами , которые связывают два объекта , называемые источником и целью морфизма. Часто говорят, что морфизм — это стрелка , которая отображает источник в цель. Морфизмы могут быть составлены , если цель первого морфизма равна источнику второго, а композиция морфизмов имеет те же свойства, что и композиция функций ( ассоциативность и существование тождественных морфизмов ). Морфизмы часто представляют собой какую-то функцию , но это не всегда так. Например, моноид можно рассматривать как категорию с одним объектом, морфизмы которого являются элементами моноида.
Второе фундаментальное понятие теории категорий — это понятие функтора , который играет роль морфизма между двумя категориями и отображает объекты в объекты и морфизмы в морфизмы таким образом, что источники отображаются в источники, и цели сопоставляются с целями (или, в случае контравариантного функтора , источники сопоставляются с целями и наоборот ). Третья фундаментальная концепция — это естественное преобразование , которое можно рассматривать как морфизм функторов.
Категории, объекты и морфизмы
Категории
Категория C состоит из следующих трех математических объектов:
Класс ob( C ), элементы которого называются объектами ;
Класс hom( C ), элементы которого называются морфизмами , картами или стрелками . Каждый морфизм f имеет исходный объект a и целевой объект b . Выражение f : a → b можно было бы выразить устно как « f — это морфизм от a до b ». Выражение hom( a , b ) – альтернативно выраженное как hom C ( a , b ) , mor( a , b ) или C ( a , b ) – обозначает hom-класс всех морфизмов от a до b .
Бинарная операция ∘, называемая композицией морфизмов , такая, что для любых трех объектов a , b и c мы имеем
∘ : hom( б , c ) × hom( а , б ) → hom( а , c ) .
Композиция f : a → b и g : b → c записывается как g ∘ f или gf , [a] и подчиняется двум аксиомам:
1. Ассоциативность : если f : a → b , g : b → c и h : c → d, то
час ∘ ( г ∘ ж ) знак равно ( час ∘ г ) ∘ ж
2. Идентичность : для каждого объекта x существует морфизм 1 x : x → x (также обозначаемый как id x ), называемый тождественным морфизмом для x , такой, что
для каждого морфизма f : a → b имеем
1 б ∘ ж знак равно ж = ж ∘ 1 а
Из аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один тождественный морфизм .
Морфизмы
Отношения между морфизмами (например, fg = h ) часто изображаются с помощью коммутативных диаграмм , где «точки» (углы) представляют объекты, а «стрелки» представляют морфизмы.
Морфизмы могут обладать любым из следующих свойств. Морфизм f : a → b — это a:
мономорфизм (или моник ), если f ∘ g 1 = f ∘ g 2, влечет g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1 , g 2 : x → a .
эпиморфизм (или эпический ), если g 1 ∘ f = g 2 ∘ f, влечет g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1 , g 2 : b → x .
биморфизм, если f одновременно эпический и монический.
изоморфизм, если существует морфизм g : b → a такой, что f ∘ g = 1 b и g ∘ f = 1 a . [б]
эндоморфизм , если a = b . end( a ) обозначает класс эндоморфизмов a .
автоморфизм, если f является одновременно эндоморфизмом и изоморфизмом. aut( a ) обозначает класс автоморфизмов a .
ретракция , если существует правая инверсия f , т.е. если существует морфизм g : b → a с f ∘ g = 1 b .
раздел , если существует левый обратный элемент f , т. е. если существует морфизм g : b → a с g ∘ f = 1 a .
Всякая ретракция является эпиморфизмом, а каждое сечение — мономорфизмом. Кроме того, следующие три утверждения эквивалентны:
f — мономорфизм и ретракция;
f — эпиморфизм и сечение;
f — изоморфизм.
Функторы
Функторы — это сохраняющие структуру отображения между категориями. Их можно рассматривать как морфизмы в категории всех (малых) категорий.
( ковариантный ) функтор F из категории C в категорию D , записываемый F : C → D , состоит из:
для каждого объекта x в C — объект F ( x ) в D ; и
для каждого морфизма f : x → y в C , морфизма F ( f ) : F ( x ) → F ( y ) в D ,
такие, что выполняются следующие два свойства:
Для каждого объекта x в C F ( 1 x ) = 1 F ( x ) ;
Для всех морфизмов f : x → y и g : y → z , F ( g ∘ f ) знак равно F ( g ) ∘ F ( f ) .
Контравариантный функтор F : C → D подобен ковариантному функтору, за исключением того, что он «переворачивает морфизмы» («переворачивает все стрелки») . Более конкретно, каждый морфизм f : x → y в C должен быть сопоставлен морфизму F ( f ) : F ( y ) → F ( x ) в D . Другими словами, контравариантный функтор действует как ковариантный функтор из категории C op , противоположной категории D .
Естественные преобразования
Естественное преобразование — это отношение между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», а естественные преобразования затем описывают «естественные гомоморфизмы» между двумя такими конструкциями. Иногда две совершенно разные конструкции дают «один и тот же» результат; это выражается естественным изоморфизмом между двумя функторами.
Если F и G являются (ковариантными) функторами между категориями C и D , то естественное преобразование η из F в G сопоставляет каждому объекту X в C морфизм η X : F ( X ) → G ( X ) в D такой, что для каждого морфизма f : X → Y в C имеем η Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η X ; это означает, что следующая диаграмма коммутативна :
Два функтора F и G называются естественно изоморфными, если существует естественное преобразование F в G такое, что η X является изоморфизмом для каждого объекта X в C .
Другие концепции
Универсальные конструкции, пределы и копределы
Используя язык теории категорий, можно классифицировать многие области математических исследований. Категории включают наборы, группы и топологии.
Каждая категория отличается свойствами, общими для всех ее объектов, такими как пустое множество или произведение двух топологий , однако в определении категории объекты считаются атомарными, т. е. мы не знаем , является ли объект А множество, топология или любое другое абстрактное понятие. Следовательно, задача состоит в том, чтобы определить специальные объекты, не обращаясь к внутренней структуре этих объектов. Чтобы определить пустое множество, не обращаясь к элементам, или топологию произведения, не обращаясь к открытым множествам, можно охарактеризовать эти объекты с точки зрения их отношений с другими объектами, заданными морфизмами соответствующих категорий. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти универсальные свойства , однозначно определяющие интересующие объекты.
Многочисленные важные конструкции могут быть описаны чисто категориальным способом, если предел категории можно развить и дуализировать, чтобы получить понятие копредела .
Эквивалентные категории
Естественный вопрос: при каких условиях две категории могут считаться по существу одинаковыми в том смысле, что теоремы об одной категории легко трансформируются в теоремы о другой категории? Основной инструмент, используемый для описания такой ситуации, называется эквивалентностью категорий , которая задается соответствующими функторами между двумя категориями. Категорическая эквивалентность нашла многочисленные применения в математике.
Дальнейшие концепции и результаты
Определения категорий и функторов дают лишь самые основы категориальной алгебры; дополнительные важные темы перечислены ниже. Хотя между всеми этими темами существует тесная взаимосвязь, данный порядок можно рассматривать как руководство для дальнейшего чтения.
Категория функторов D C имеет в качестве объектов функторы из C в D и в качестве морфизмов естественные преобразования таких функторов. Лемма Йонеды — один из самых известных основных результатов теории категорий; он описывает представимые функторы в категориях функторов.
Двойственность : каждое утверждение, теорема или определение в теории категорий имеет двойственное выражение , которое по сути получается путем «переворачивания всех стрелок». Если одно утверждение верно в категории C , то его двойственное утверждение истинно и в двойственной категории Cop . Эта двойственность, очевидная на уровне теории категорий, часто неясна в приложениях и может привести к удивительным взаимоотношениям.
Сопряженные функторы : Функтор может быть сопряжен слева (или справа) с другим функтором, который отображается в противоположном направлении. Такая пара сопряженных функторов обычно возникает в результате конструкции, определяемой универсальным свойством; это можно рассматривать как более абстрактный и мощный взгляд на универсальные свойства.
Категории более высокого измерения
Многие из вышеперечисленных концепций, особенно эквивалентность категорий, сопряженных пар функторов и категорий функторов, могут быть помещены в контекст категорий более высокой размерности . Короче говоря, если мы рассматриваем морфизм между двумя объектами как «процесс, ведущий нас от одного объекта к другому», то категории более высокой размерности позволяют нам выгодно обобщить это, рассматривая «процессы более высокой размерности».
Например, (строгая) 2-категория — это категория вместе с «морфизмами между морфизмами», т. е. процессами, позволяющими преобразовать один морфизм в другой. Затем мы можем «составить» эти «биморфизмы» как по горизонтали, так и по вертикали, и нам требуется, чтобы выполнялся двумерный «закон обмена», связывающий два закона композиции. В этом контексте стандартным примером является Cat , 2-категория всех (малых) категорий, и в этом примере биморфизмы морфизмов являются просто естественными преобразованиями морфизмов в обычном смысле. Другой базовый пример — рассмотреть 2-категорию с одним объектом; по сути, это моноидальные категории . Бикатегории — это более слабое понятие двумерных категорий, в которых композиция морфизмов не является строго ассоциативной, а только ассоциативной «с точностью до» изоморфизма.
Категории более высокой размерности являются частью более широкой математической области многомерной алгебры — концепции, введенной Рональдом Брауном . Подробное введение в эти идеи см. в John Baez, «A Tale of n-categories» (1996).
Исторические заметки
Прежде всего следует заметить, что все понятие категории по существу является вспомогательным; наши основные понятия — это, по существу, понятия функтора и естественного преобразования [...]
Хотя конкретные примеры функторов и естественных преобразований были даны Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в статье по теории групп 1942 года , [2] эти концепции были введены в более общем смысле вместе с дополнительным понятием категорий в книге 1945 года. статья тех же авторов [1] (в которых обсуждались приложения теории категорий к области алгебраической топологии ). [3] Их работа была важной частью перехода от интуитивной и геометрической гомологии к гомологической алгебре . Эйленберг и Мак Лейн позже написали, что их целью было понять естественные преобразования, которые сначала требовали определения функторов, а затем категорий.
Станислав Улам и некоторые, писавшие от его имени, утверждали, что подобные идеи были распространены в конце 1930-х годов в Польше. Эйленберг был поляком и изучал математику в Польше в 1930-х годах. Теория категорий также в некотором смысле является продолжением работы Эмми Нётер (одной из учительниц Маклейна) по формализации абстрактных процессов; [4] Нётер поняла, что понимание типа математической структуры требует понимания процессов, которые сохраняют эту структуру ( гомоморфизмы ). [ нужна цитата ] Эйленберг и Мак Лейн ввели категории для понимания и формализации процессов ( функторов ), которые связывают топологические структуры с алгебраическими структурами ( топологическими инвариантами ), которые их характеризуют.
Некоторые категории, называемые топосами (единственные топосы ), могут даже служить альтернативой аксиоматической теории множеств как основе математики. Топос также можно рассматривать как особый тип категории с двумя дополнительными аксиомами топоса. Эти основополагающие приложения теории категорий были достаточно подробно разработаны в качестве основы и обоснования конструктивной математики . Теория топоса — это форма абстрактной теории пучков , имеющая геометрическое происхождение и приводящая к таким идеям, как бессмысленная топология .
Теория категорий применялась и в других областях, см. Прикладную теорию категорий . Например, Джон Баэз показал связь между диаграммами Фейнмана в физике и моноидальными категориями. [5] Другое применение теории категорий, а точнее: теория топоса, было сделано в математической теории музыки, см., например, книгу Герино Маццола « Топос музыки, геометрическая логика понятий, теории и исполнения» .
Более поздние попытки познакомить студентов с категориями как основой для математики включают усилия Уильяма Ловера и Роузбру (2003), а также Ловера и Стивена Шануэля (1997) и Миррослава Йотова (2012).
^ Некоторые авторы составляют в обратном порядке, записывая fg или f ∘ g вместо g ∘ f . Ученые-компьютерщики, использующие теорию категорий, очень часто пишут f ; г вместо г ∘ ж
^ Морфизм, который является одновременно эпическим и моническим, не обязательно является изоморфизмом! Элементарный контрпример: в категории, состоящей из двух объектов A и B , тождественных морфизмов и одного морфизма f из A в B , f является одновременно эпическим и моническим, но не является изоморфизмом.
Рекомендации
Цитаты
^ аб Эйленберг, Сэмюэл; Мак Лейн, Сондерс (1945). «Общая теория естественных эквивалентностей» (PDF) . Труды Американского математического общества . 58 : 247. дои : 10.1090/S0002-9947-1945-0013131-6. ISSN 0002-9947. Архивировано (PDF) из оригинала 10 октября 2022 г.
^ Эйленберг, С.; Мак Лейн, С. (1942). «Расширения групп и гомологии» . Анналы математики . 43 (4): 757–831. дои : 10.2307/1968966. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968966 – через JSTOR .
^ Баэз, JC; Останься, М. (2010). «Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень». Новые структуры для физики . Конспект лекций по физике. Том. 813. стр. 95–172. arXiv : 0903.0340 . дои : 10.1007/978-3-642-12821-9_2. ISBN978-3-642-12820-2. S2CID 115169297.
Источники
Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст ; Стрекер, Джордж Э. (2004). Абстрактные и конкретные категории. Хельдерманн Верлаг Берлин.
Аводи, Стив (2010). Теория категорий . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0199237180.
Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2012) [1995], Теория категорий для информатики, Переиздания по теории и приложениям категорий, том. 22 (3-е изд.).
Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2005), Топосы, тройки и теории, переиздания по теории и применению категорий, том. 12, МР 2178101.
Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре. Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета. стр. 50–52. ISBN 9780521441780.
Фрейд, Питер Дж. (2003) [1964]. Абелевы категории. Переиздания по теории и приложениям категорий. Том. 3.
Фрейд, Питер Дж .; Щедров, Андре (1990). Категории, аллегории. Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 39. Северная Голландия. ISBN 978-0-08-088701-2.
Голдблатт, Роберт (2006) [1979]. Топосы: Категориальный анализ логики. Исследования по логике и основам математики. Том. 94. Дувр. ISBN 978-0-486-45026-1.
Херрлих, Хорст ; Стрекер, Джордж Э. (2007). Теория категорий (3-е изд.). Хельдерманн Верлаг Берлин. ISBN 978-3-88538-001-6..
Ловер, Ф. Уильям; Шануэль, Стивен Хоэл (2009) [1997]. Концептуальная математика: первое введение в категории (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89485-2.
Ленстер, Том [на немецком языке] (2004). Высшие операды, высшие категории. Лондонская математика. Серия лекций для общества. Том. 298. Издательство Кембриджского университета . п. 448. Бибкод : 2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0. Архивировано из оригинала 25 октября 2003 г. Проверено 3 апреля 2006 г.
Ленстер, Том [на немецком языке] (2014). Основная теория категорий. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 143. Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1612.09375 . ISBN 9781107044241.
Лурье, Джейкоб (2009). Теория высшего топоса . Анналы математических исследований. Том. 170. Издательство Принстонского университета. arXiv : math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0. МР 2522659.
Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-83414-8. Збл 1034.18001.
Шалк, А.; Симмонс, Х. (2005). Введение в теорию категорий в четырех простых движениях (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 21 марта 2017 г. Проверено 3 декабря 2007 г.Примечания к курсу, предлагаемому в рамках программы магистратуры. Доктор философии по математической логике , Манчестерский университет .
Симмонс, Гарольд (2011), Введение в теорию категорий , ISBN 978-0521283045.
Симпсон, Карлос (2010). Гомотопическая теория высших категорий. arXiv : 1001.4071 . Бибкод : 2010arXiv1001.4071S., черновик книги.
Тейлор, Пол (1999). Практические основы математики. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 59. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63107-5.
Тури, Даниэле (1996–2001). «Конспекты лекций по теории категорий» (PDF) . Проверено 11 декабря 2009 г.На основе Мак Лейна 1998.
дальнейшее чтение
Маркиз, Жан-Пьер (2008). С геометрической точки зрения: исследование истории и философии теории категорий . Спрингер. ISBN 978-1-4020-9384-5.
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы, связанные с теорией категорий .
В Wikiquote есть цитаты, связанные с теорией категорий .
Теория и применение категорий, электронный журнал по теории категорий, полный текст, бесплатно, с 1995 г.
nLab — вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения.
Кафе n-Category, по сути, коллоквиум по темам теории категорий.
Теория категорий, веб-страница со ссылками на конспекты лекций и свободно доступные книги по теории категорий.
Хиллман, Крис (2001), Категорический учебник , CiteSeerX 10.1.1.24.3264, формальное введение в теорию категорий.
Адамек, Дж.; Херрлих, Х.; Стекер, Г. «Абстрактные и конкретные категории — радость кошек» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2006 г.