Теория категорий

Общая теория математических структур

Схематическое изображение категории с объектами X , Y , Z и морфизмами f , g , g ∘ f . (Три тождественных морфизма категории 1 _X , 1 _Y и 1 _Z , если они представлены явно, будут выглядеть как три стрелки, ведущие от букв X, Y и Z к себе соответственно.)

Теория категорий — это общая теория математических структур и их отношений, которая была введена Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в середине 20-го века в их основополагающей работе по алгебраической топологии . Теория категорий используется практически во всех областях математики. В частности, многие конструкции новых математических объектов из предыдущих, которые появляются одинаково в нескольких контекстах, удобно выражаются и унифицированы в терминах категорий. Примеры включают факторпространства , прямые произведения , пополнение и двойственность .

Многие области информатики также полагаются на теорию категорий, например функциональное программирование и семантика .

Категория формируется двумя видами объектов : объектами категории и морфизмами , которые связывают два объекта , называемые источником и целью морфизма. Часто говорят, что морфизм — это стрелка , которая отображает источник в цель. Морфизмы могут быть составлены , если цель первого морфизма равна источнику второго, а композиция морфизмов имеет те же свойства, что и композиция функций ( ассоциативность и существование тождественных морфизмов ). Морфизмы часто представляют собой какую-то функцию , но это не всегда так. Например, моноид можно рассматривать как категорию с одним объектом, морфизмы которого являются элементами моноида.

Второе фундаментальное понятие теории категорий — это понятие функтора , который играет роль морфизма между двумя категориями и отображает объекты в объекты и морфизмы в морфизмы таким образом, что источники отображаются в источники, и цели сопоставляются с целями (или, в случае контравариантного функтора , источники сопоставляются с целями и наоборот ). Третья фундаментальная концепция — это естественное преобразование , которое можно рассматривать как морфизм функторов. ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}:}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Категории, объекты и морфизмы

Категории

Категория C состоит из следующих трех математических объектов:

• Класс ob( C ), элементы которого называются объектами ;
• Класс hom( C ), элементы которого называются морфизмами , картами или стрелками .
  Каждый морфизм f имеет исходный объект a и целевой объект b .
  Выражение f  : a → b можно было бы выразить устно как « f — это морфизм от a до b ».
  Выражение hom( a , b ) – альтернативно выраженное как hom _C ( a , b ) , mor( a , b ) или C ( a , b ) – обозначает hom-класс всех морфизмов от a до b .
• Бинарная операция ∘, называемая композицией морфизмов , такая, что
  для любых трех объектов a , b и c мы имеем

∘ : hom( б , c ) × hom( а , б ) → hom( а , c ) .

Композиция f  : a → b и g  : b → c записывается как g ∘ f или gf , ^{[a] и} подчиняется двум аксиомам:

1. Ассоциативность : если f  : a → b , g  : b → c и h  : c → d, то

час ∘ ( г ∘ ж ) знак равно ( час ∘ г ) ∘ ж

2. Идентичность : для каждого объекта x существует морфизм 1 _x  : x → x (также обозначаемый как id _x ), называемый тождественным морфизмом для x ,
такой, что

для каждого морфизма f  : a → b имеем

1 _б ∘ ж знак равно ж = ж ∘ 1 _а

Из аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один тождественный морфизм .

Морфизмы

Отношения между морфизмами (например, fg = h ) часто изображаются с помощью коммутативных диаграмм , где «точки» (углы) представляют объекты, а «стрелки» представляют морфизмы.

Морфизмы могут обладать любым из следующих свойств. Морфизм f  : a → b — это a:

• мономорфизм (или моник ), если f ∘ g ₁ = f ∘ g _2, влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂  : x → a .
• эпиморфизм (или эпический ), если g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f, влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂  : b → x .
• биморфизм, если f одновременно эпический и монический.
• изоморфизм, если существует морфизм g  : b → a такой, что f ∘ g = 1 _b и g ∘ f = 1 _a . ^[б]
• эндоморфизм , если a = b . end( a ) обозначает класс эндоморфизмов a .
• автоморфизм, если f является одновременно эндоморфизмом и изоморфизмом. aut( a ) обозначает класс автоморфизмов a .
• ретракция , если существует правая инверсия f , т.е. если существует морфизм g  : b → a с f ∘ g = 1 _b .
• раздел , если существует левый обратный элемент f , т. е. если существует морфизм g  : b → a с g ∘ f = 1 _a .

Всякая ретракция является эпиморфизмом, а каждое сечение — мономорфизмом. Кроме того, следующие три утверждения эквивалентны:

• f — мономорфизм и ретракция;
• f — эпиморфизм и сечение;
• f — изоморфизм.

Функторы

Функторы — это сохраняющие структуру отображения между категориями. Их можно рассматривать как морфизмы в категории всех (малых) категорий.

( ковариантный ) функтор F из категории C в категорию D , записываемый F  : C → D , состоит из:

• для каждого объекта x в C — объект F ( x ) в D ; и
• для каждого морфизма f  : x → y в C , морфизма F ( f ) : F ( x ) → F ( y ) в D ,

такие, что выполняются следующие два свойства:

• Для каждого объекта x в C F ( 1 _x ) = 1 _{F ( x )} ;
• Для всех морфизмов f  : x → y и g  : y → z , F ( g ∘ f ) знак равно F ( g ) ∘ F ( f ) .

Контравариантный функтор F : C → D подобен ковариантному функтору, за исключением того, что он «переворачивает морфизмы» («переворачивает все стрелки») . Более конкретно, каждый морфизм f  : x → y в C должен быть сопоставлен морфизму F ( f ) : F ( y ) → F ( x ) в D . Другими словами, контравариантный функтор действует как ковариантный функтор из категории C ^op , противоположной категории D .

Естественные преобразования

Естественное преобразование — это отношение между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», а естественные преобразования затем описывают «естественные гомоморфизмы» между двумя такими конструкциями. Иногда две совершенно разные конструкции дают «один и тот же» результат; это выражается естественным изоморфизмом между двумя функторами.

Если F и G являются (ковариантными) функторами между категориями C и D , то естественное преобразование η из F в G сопоставляет каждому объекту X в C морфизм η _X  : F ( X ) → G ( X ) в D такой, что для каждого морфизма f  : X → Y в C имеем η _Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η _X ; это означает, что следующая диаграмма коммутативна :

Коммутативная диаграмма, определяющая естественные преобразования

Два функтора F и G называются естественно изоморфными, если существует естественное преобразование F в G такое, что η _X является изоморфизмом для каждого объекта X в C .

Другие концепции

Универсальные конструкции, пределы и копределы

Используя язык теории категорий, можно классифицировать многие области математических исследований. Категории включают наборы, группы и топологии.

Каждая категория отличается свойствами, общими для всех ее объектов, такими как пустое множество или произведение двух топологий , однако в определении категории объекты считаются атомарными, т. е. мы не знаем , является ли объект А множество, топология или любое другое абстрактное понятие. Следовательно, задача состоит в том, чтобы определить специальные объекты, не обращаясь к внутренней структуре этих объектов. Чтобы определить пустое множество, не обращаясь к элементам, или топологию произведения, не обращаясь к открытым множествам, можно охарактеризовать эти объекты с точки зрения их отношений с другими объектами, заданными морфизмами соответствующих категорий. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти универсальные свойства , однозначно определяющие интересующие объекты.

Многочисленные важные конструкции могут быть описаны чисто категориальным способом, если предел категории можно развить и дуализировать, чтобы получить понятие копредела .

Эквивалентные категории

Естественный вопрос: при каких условиях две категории могут считаться по существу одинаковыми в том смысле, что теоремы об одной категории легко трансформируются в теоремы о другой категории? Основной инструмент, используемый для описания такой ситуации, называется эквивалентностью категорий , которая задается соответствующими функторами между двумя категориями. Категорическая эквивалентность нашла многочисленные применения в математике.

Дальнейшие концепции и результаты

Определения категорий и функторов дают лишь самые основы категориальной алгебры; дополнительные важные темы перечислены ниже. Хотя между всеми этими темами существует тесная взаимосвязь, данный порядок можно рассматривать как руководство для дальнейшего чтения.

• Категория функторов D ^C имеет в качестве объектов функторы из C в D и в качестве морфизмов естественные преобразования таких функторов. Лемма Йонеды — один из самых известных основных результатов теории категорий; он описывает представимые функторы в категориях функторов.
• Двойственность : каждое утверждение, теорема или определение в теории категорий имеет двойственное выражение , которое по сути получается путем «переворачивания всех стрелок». Если одно утверждение верно в категории C ^, то его двойственное утверждение истинно и в двойственной категории Cop . Эта двойственность, очевидная на уровне теории категорий, часто неясна в приложениях и может привести к удивительным взаимоотношениям.
• Сопряженные функторы : Функтор может быть сопряжен слева (или справа) с другим функтором, который отображается в противоположном направлении. Такая пара сопряженных функторов обычно возникает в результате конструкции, определяемой универсальным свойством; это можно рассматривать как более абстрактный и мощный взгляд на универсальные свойства.

Категории более высокого измерения

Многие из вышеперечисленных концепций, особенно эквивалентность категорий, сопряженных пар функторов и категорий функторов, могут быть помещены в контекст категорий более высокой размерности . Короче говоря, если мы рассматриваем морфизм между двумя объектами как «процесс, ведущий нас от одного объекта к другому», то категории более высокой размерности позволяют нам выгодно обобщить это, рассматривая «процессы более высокой размерности».

Например, (строгая) 2-категория — это категория вместе с «морфизмами между морфизмами», т. е. процессами, позволяющими преобразовать один морфизм в другой. Затем мы можем «составить» эти «биморфизмы» как по горизонтали, так и по вертикали, и нам требуется, чтобы выполнялся двумерный «закон обмена», связывающий два закона композиции. В этом контексте стандартным примером является Cat , 2-категория всех (малых) категорий, и в этом примере биморфизмы морфизмов являются просто естественными преобразованиями морфизмов в обычном смысле. Другой базовый пример — рассмотреть 2-категорию с одним объектом; по сути, это моноидальные категории . Бикатегории — это более слабое понятие двумерных категорий, в которых композиция морфизмов не является строго ассоциативной, а только ассоциативной «с точностью до» изоморфизма.

Этот процесс можно распространить на все натуральные числа n , и они называются n -категориями . Существует даже понятие ω-категории , соответствующей порядковому номеру ω .

Категории более высокой размерности являются частью более широкой математической области многомерной алгебры — концепции, введенной Рональдом Брауном . Подробное введение в эти идеи см. в John Baez, «A Tale of n-categories» (1996).

Исторические заметки

Прежде всего следует заметить, что все понятие категории по существу является вспомогательным; наши основные понятия — это, по существу, понятия функтора и естественного преобразования [...]

-  Эйленберг и Мак Лейн (1945) ^[1]

Хотя конкретные примеры функторов и естественных преобразований были даны Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в статье по теории групп 1942 года , ^[2] эти концепции были введены в более общем смысле вместе с дополнительным понятием категорий в книге 1945 года. статья тех же авторов ^[1] (в которых обсуждались приложения теории категорий к области алгебраической топологии ). ^[3] Их работа была важной частью перехода от интуитивной и геометрической гомологии к гомологической алгебре . Эйленберг и Мак Лейн позже написали, что их целью было понять естественные преобразования, которые сначала требовали определения функторов, а затем категорий.

Станислав Улам и некоторые, писавшие от его имени, утверждали, что подобные идеи были распространены в конце 1930-х годов в Польше. Эйленберг был поляком и изучал математику в Польше в 1930-х годах. Теория категорий также в некотором смысле является продолжением работы Эмми Нётер (одной из учительниц Маклейна) по формализации абстрактных процессов; ^[4] Нётер поняла, что понимание типа математической структуры требует понимания процессов, которые сохраняют эту структуру ( гомоморфизмы ). ^{[ нужна цитата ]} Эйленберг и Мак Лейн ввели категории для понимания и формализации процессов ( функторов ), которые связывают топологические структуры с алгебраическими структурами ( топологическими инвариантами ), которые их характеризуют.

Теория категорий была первоначально введена для нужд гомологической алгебры и широко распространена для нужд современной алгебраической геометрии ( теории схем ). Теорию категорий можно рассматривать как расширение универсальной алгебры , поскольку последняя изучает алгебраические структуры , а первая применима к любому виду математической структуры , а также изучает отношения между структурами различной природы. По этой причине он используется во всей математике. Приложения к математической логике и семантике ( категориальная абстрактная машина ) появились позже.

Некоторые категории, называемые топосами (единственные топосы ), могут даже служить альтернативой аксиоматической теории множеств как основе математики. Топос также можно рассматривать как особый тип категории с двумя дополнительными аксиомами топоса. Эти основополагающие приложения теории категорий были достаточно подробно разработаны в качестве основы и обоснования конструктивной математики . Теория топоса — это форма абстрактной теории пучков , имеющая геометрическое происхождение и приводящая к таким идеям, как бессмысленная топология .

Категориальная логика теперь является четко определенной областью, основанной на теории типов для интуиционистских логик , с приложениями в функциональном программировании и теории предметных областей , где декартова замкнутая категория рассматривается как несинтаксическое описание лямбда-исчисления . По крайней мере, теоретико-категорный язык проясняет, что именно общего между этими связанными областями (в некотором абстрактном смысле).

Теория категорий применялась и в других областях, см. Прикладную теорию категорий . Например, Джон Баэз показал связь между диаграммами Фейнмана в физике и моноидальными категориями. ^[5] Другое применение теории категорий, а точнее: теория топоса, было сделано в математической теории музыки, см., например, книгу Герино Маццола « Топос музыки, геометрическая логика понятий, теории и исполнения» .

Более поздние попытки познакомить студентов с категориями как основой для математики включают усилия Уильяма Ловера и Роузбру (2003), а также Ловера и Стивена Шануэля (1997) и Миррослава Йотова (2012).

Смотрите также

• Математический портал

• Теория предметной области
• Расширенная теория категорий
• Глоссарий теории категорий
• Теория групп
• Теория высших категорий
• Многомерная алгебра
• Важные публикации по теории категорий
• Лямбда-исчисление
• Очерк теории категорий
• Хронология теории категорий и связанной с ней математики
• Прикладная теория категорий

Примечания

1. Некоторые авторы составляют в обратном порядке, записывая fg или f ∘ g вместо g ∘ f . Ученые-компьютерщики, использующие теорию категорий, очень часто пишут f  ; г вместо г ∘ ж
2. Морфизм, который является одновременно эпическим и моническим, не обязательно является изоморфизмом! Элементарный контрпример: в категории, состоящей из двух объектов A и B , тождественных морфизмов и одного морфизма f из A в B , f является одновременно эпическим и моническим, но не является изоморфизмом.

Рекомендации

Цитаты

1. Эйленберг, Сэмюэл; Мак Лейн, Сондерс (1945). «Общая теория естественных эквивалентностей» (PDF) . Труды Американского математического общества . 58 : 247. дои : 10.1090/S0002-9947-1945-0013131-6. ISSN  0002-9947. Архивировано (PDF) из оригинала 10 октября 2022 г.
2. Эйленберг, С.; Мак Лейн, С. (1942). «Расширения групп и гомологии» . Анналы математики . 43 (4): 757–831. дои : 10.2307/1968966. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968966 – через JSTOR .
3. Маркиз, Жан-Пьер (2019). «Теория категорий». Стэнфордская энциклопедия философии . Кафедра философии Стэнфордского университета . Проверено 26 сентября 2022 г.
4. Рек, Эрих (2020). Предыстория математического структурализма (1-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 215–219. ISBN 9780190641221.
5. Баэз, JC; Останься, М. (2010). «Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень». Новые структуры для физики . Конспект лекций по физике. Том. 813. стр. 95–172. arXiv : 0903.0340 . дои : 10.1007/978-3-642-12821-9_2. ISBN 978-3-642-12820-2. S2CID  115169297.

Источники

• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст ; Стрекер, Джордж Э. (2004). Абстрактные и конкретные категории. Хельдерманн Верлаг Берлин.
• Аводи, Стив (2010). Теория категорий . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0199237180.
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2012) [1995], Теория категорий для информатики, Переиздания по теории и приложениям категорий, том. 22 (3-е изд.).
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2005), Топосы, тройки и теории, переиздания по теории и применению категорий, том. 12, МР  2178101.
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре. Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета. стр. 50–52. ISBN 9780521441780.
• Фрейд, Питер Дж. (2003) [1964]. Абелевы категории. Переиздания по теории и приложениям категорий. Том. 3.
• Фрейд, Питер Дж .; Щедров, Андре (1990). Категории, аллегории. Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 39. Северная Голландия. ISBN 978-0-08-088701-2.
• Голдблатт, Роберт (2006) [1979]. Топосы: Категориальный анализ логики. Исследования по логике и основам математики. Том. 94. Дувр. ISBN 978-0-486-45026-1.
• Херрлих, Хорст ; Стрекер, Джордж Э. (2007). Теория категорий (3-е изд.). Хельдерманн Верлаг Берлин. ISBN 978-3-88538-001-6..
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006). Категории и пучки. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 332. Спрингер. ISBN 978-3-540-27949-5.
• Ловер, Ф. Уильям ; Роузбру, Роберт (2003). Наборы по математике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-01060-3.
• Ловер, Ф. Уильям; Шануэль, Стивен Хоэл (2009) [1997]. Концептуальная математика: первое введение в категории (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89485-2.
• Ленстер, Том [на немецком языке] (2004). Высшие операды, высшие категории. Лондонская математика. Серия лекций для общества. Том. 298. Издательство Кембриджского университета . п. 448. Бибкод : 2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0. Архивировано из оригинала 25 октября 2003 г. Проверено 3 апреля 2006 г.
• Ленстер, Том [на немецком языке] (2014). Основная теория категорий. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 143. Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1612.09375 . ISBN 9781107044241.
• Лурье, Джейкоб (2009). Теория высшего топоса . Анналы математических исследований. Том. 170. Издательство Принстонского университета. arXiv : math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0. МР  2522659.
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-98403-2. МР  1712872.
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (2-е изд.). Челси. ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Мартини, А.; Эриг, Х.; Нуньес, Д. (1996). «Элементы базовой теории категорий». Технический отчет . 96 (5).
• Маццола, Гуэрино (2002). Топос музыки, геометрическая логика понятий, теории и исполнения . Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-5731-3.
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-83414-8. Збл  1034.18001.
• Пирс, Бенджамин К. (1991). Базовая теория категорий для специалистов по информатике. МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-66071-6.
• Шалк, А.; Симмонс, Х. (2005). Введение в теорию категорий в четырех простых движениях (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 21 марта 2017 г. Проверено 3 декабря 2007 г.Примечания к курсу, предлагаемому в рамках программы магистратуры. Доктор философии по математической логике , Манчестерский университет .
• Симмонс, Гарольд (2011), Введение в теорию категорий , ISBN 978-0521283045.
• Симпсон, Карлос (2010). Гомотопическая теория высших категорий. arXiv : 1001.4071 . Бибкод : 2010arXiv1001.4071S., черновик книги.
• Тейлор, Пол (1999). Практические основы математики. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 59. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63107-5.
• Тури, Даниэле (1996–2001). «Конспекты лекций по теории категорий» (PDF) . Проверено 11 декабря 2009 г.На основе Мак Лейна 1998.

дальнейшее чтение

• Маркиз, Жан-Пьер (2008). С геометрической точки зрения: исследование истории и философии теории категорий . Спрингер. ISBN 978-1-4020-9384-5.

Внешние ссылки

• Теория и применение категорий, электронный журнал по теории категорий, полный текст, бесплатно, с 1995 г.
• nLab — вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения.
• Кафе n-Category, по сути, коллоквиум по темам теории категорий.
• Теория категорий, веб-страница со ссылками на конспекты лекций и свободно доступные книги по теории категорий.
• Хиллман, Крис (2001), Категорический учебник , CiteSeerX  10.1.1.24.3264, формальное введение в теорию категорий.
• Адамек, Дж.; Херрлих, Х.; Стекер, Г. «Абстрактные и конкретные категории — радость кошек» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2006 г.
• Статья Жана-Пьера Маркиза «Теория категорий» в Стэнфордской энциклопедии философии с обширной библиографией.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баэз, Джон (1996). «Сказка о n-категориях».— Неофициальное введение в категории более высокого порядка.
• WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
• Канал котов на YouTube , канал о теории категорий.
• Теория категорий в PlanetMath ..
• Видеоархив записей выступлений по категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница, генерирующая примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.
• Теория категорий для наук, инструкция по теории категорий как инструменту в науках.
• Теория категорий для программистов Книга в форме блога, объясняющая теорию категорий для программистов.
• Введение в теорию категорий.