Математическая константа

Фиксированный номер, получивший имя

Длина окружности с диаметром 1 равна π .

Математическая константа — это число , значение которого зафиксировано однозначным определением, часто обозначаемым специальным символом (например, буквой алфавита ) или именами математиков для облегчения его использования в различных математических задачах . ^[1] Константы возникают во многих областях математики , причем такие константы, как e и π, встречаются в таких разнообразных контекстах, как геометрия , теория чисел , статистика и исчисление .

Некоторые константы возникают естественным образом из фундаментального принципа или внутреннего свойства, например, соотношение между длиной окружности и диаметром круга ( π ). Другие константы примечательны скорее по историческим причинам, чем из-за своих математических свойств. Наиболее популярные константы изучались на протяжении веков и вычислялись с точностью до многих знаков после запятой.

Все именованные математические константы являются определяемыми числами и, как правило, также вычисляемыми числами ( константа Хайтина является существенным исключением).

Основные математические константы

Это константы, с которыми можно столкнуться в ходе довузовского образования во многих странах.

постоянная Архимедаπ

Константа π (пи) имеет естественное определение в евклидовой геометрии как отношение длины окружности к диаметру круга. Ее можно найти во многих других местах математики: например, в гауссовом интеграле , комплексных корнях из единицы и распределениях Коши в вероятности . Однако ее повсеместность не ограничивается чистой математикой. Она появляется во многих формулах в физике, и несколько физических констант наиболее естественно определяются с помощью π или ее обратной величины, вынесенной за скобки. Например, волновая функция основного состояния атома водорода имеет вид

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\pi {a_{0}}^{3}}}}e^{-r/a_{0}},}$

где - радиус Бора . ${\displaystyle a_{0}}$

π — иррациональное число и трансцендентное число .

Числовое значение π приблизительно равно 3,1415926536 (последовательность A000796 в OEIS ) . Запоминание все более точных цифр π является стремлением к мировому рекорду.

Мнимая единицая

Мнимая единица i в комплексной плоскости . Действительные числа лежат на горизонтальной оси, а мнимые числа лежат на вертикальной оси

Мнимая единица или единичное мнимое число , обозначаемое как i , является математической концепцией, которая расширяет систему действительных чисел до комплексной системы чисел . Основное свойство мнимой единицы заключается в том, что i ² = −1 . Термин « мнимая » был придуман, потому что не существует ( действительного ) числа, имеющего отрицательный квадрат . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

На самом деле существует два комплексных квадратных корня из −1, а именно i и − i , так же как существует два комплексных квадратных корня из любого другого действительного числа (за исключением нуля , у которого есть один двойной квадратный корень).

В контекстах, где символ i неоднозначен или проблематичен, иногда используется j или греческая йота ( ι ). Это особенно актуально в электротехнике и инженерии систем управления , где мнимая единица часто обозначается как j , поскольку i обычно используется для обозначения электрического тока .

Число Эйлерае

Экспоненциальный рост (зеленый) описывает многие физические явления.

Число Эйлера e , также известное как константа экспоненциального роста , встречается во многих областях математики, и одним из возможных его определений является значение следующего выражения:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Константа e неразрывно связана с экспоненциальной функцией . ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

Швейцарский математик Якоб Бернулли обнаружил, что e возникает в сложных процентах : если счет начинается с 1 доллара и приносит проценты по годовой ставке R , то по мере того, как количество периодов начисления сложных процентов в году стремится к бесконечности (ситуация, известная как непрерывное начисление сложных процентов ), сумма денег в конце года приблизится к e ^R долларов.

Константа e также имеет приложения к теории вероятностей , где она возникает способом, не связанным с экспоненциальным ростом. В качестве примера предположим, что игровой автомат с вероятностью выигрыша один из n играет n раз, тогда для больших n (например, один миллион) вероятность того, что ничего не будет выиграно, будет стремиться к 1/ e , когда n стремится к бесконечности.

Другое применение e , частично обнаруженное Якобом Бернулли вместе с французским математиком Пьером Раймоном де Монмором , заключается в проблеме расстройств , также известной как проблема проверки шляпы . ^[2] Здесь n гостей приглашаются на вечеринку, и у двери каждый гость сдает свою шляпу дворецкому, который затем кладет их в маркированные коробки. Дворецкий не знает имен гостей и, следовательно, должен положить их в коробки, выбранные случайным образом. Задача де Монмора: какова вероятность того, что ни одна из шляп не будет положена в нужную коробку. Ответ:

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}}$

который, когда n стремится к бесконечности, приближается к 1/ e .

е — иррациональное число и трансцендентное число.

Числовое значение e приблизительно равно 2,7182818284 (последовательность A001113 в OEIS ).

постоянная Пифагора√ 2

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 1.

Квадратный корень из 2 , часто называемый корнем 2 , радикалом 2 или постоянной Пифагора и записываемый как √ 2 , является положительным алгебраическим числом , которое при умножении само на себя дает число 2. Его точнее называть главным квадратным корнем из 2 , чтобы отличать его от отрицательного числа с тем же свойством.

Геометрически квадратный корень из 2 равен длине диагонали квадрата со сторонами в одну единицу длины ; это следует из теоремы Пифагора . Вероятно, это было первое число, известное как иррациональное . Его числовое значение, усеченное до 65 знаков после запятой, равно:

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799... (последовательность A002193 в OEIS ).

Квадратный корень из 2.

В качестве альтернативы, быстрое приближение 99/70 (≈ 1,41429) для квадратного корня из двух часто использовалось до повсеместного использования электронных калькуляторов и компьютеров . Несмотря на то, что знаменатель равен всего 70, он отличается от правильного значения менее чем на 1/10 000 (приблизительно 7,2 × 10  ⁻⁵ ).

постоянная Феодора√ 3

Числовое значение √ 3 приблизительно равно 1,7320508075 (последовательность A002194 в OEIS ).

Константы в высшей математике

Это константы, которые часто встречаются в высшей математике .

Константы Фейгенбаума α и δ

Диаграмма бифуркации логистической карты.

Итерации непрерывных отображений служат простейшими примерами моделей для динамических систем . ^[3] Названные в честь математического физика Митчелла Фейгенбаума , две константы Фейгенбаума появляются в таких итерационных процессах: они являются математическими инвариантами логистических отображений с квадратичными точками максимума ^[4] и их бифуркационных диаграмм . В частности, константа α представляет собой отношение между шириной зубца и шириной одного из двух его подзублатов, а константа δ представляет собой предельное отношение каждого интервала бифуркации к следующему между каждой бифуркацией удвоения периода .

Логистическая карта — это полиномиальное отображение, часто приводимое в качестве архетипического примера того, как хаотическое поведение может возникнуть из очень простых нелинейных динамических уравнений. Карта была популяризирована в основополагающей статье 1976 года австралийского биолога Роберта Мэя [ ^5] отчасти как дискретная временная демографическая модель, аналогичная логистическому уравнению, впервые созданному Пьером Франсуа Верхюльстом . Разностное уравнение предназначено для охвата двух эффектов воспроизводства и голодания.

Числовое значение α составляет приблизительно 2,5029. Числовое значение δ составляет приблизительно 4,6692.

Золотое сечениеφ

Золотые прямоугольники в правильном икосаэдре

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}$

Явная формула для n- го числа Фибоначчи, включающая золотое сечение φ .

Число φ , также называемое золотым сечением , часто встречается в геометрии , особенно в фигурах с пентагональной симметрией . Действительно, длина диагонали правильного пятиугольника равна φ , умноженному на его сторону. Вершины правильного икосаэдра являются вершинами трех взаимно ортогональных золотых прямоугольников . Кроме того, оно появляется в последовательности Фибоначчи , связанной с ростом посредством рекурсии . ^[6] Кеплер доказал, что это предел отношения последовательных чисел Фибоначчи. ^[7] Золотое сечение имеет самую медленную сходимость среди всех иррациональных чисел. ^[8] По этой причине это один из худших случаев теоремы Лагранжа об аппроксимации и экстремальный случай неравенства Гурвица для диофантовых приближений . Возможно, именно поэтому углы, близкие к золотому сечению, часто появляются в филлотаксисе (росте растений). ^[9] Он приблизительно равен 1,6180339887498948482, или, точнее, 2⋅sin(54°) = ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Константа Эйлера–Машерони γ

Площадь между двумя кривыми (красная) стремится к пределу, а именно к константе Эйлера-Маскерони.

Константа Эйлера –Маскерони определяется как следующий предел:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln n\right)\\[5px]\end{aligned}}}$

Константа Эйлера–Маскерони появляется в третьей теореме Мертенса и имеет связь с гамма-функцией , дзета-функцией и многими различными интегралами и рядами .

Пока неизвестно, рационально это или нет. ${\displaystyle \gamma }$

Числовое значение приблизительно равно 0,57721. ${\displaystyle \gamma }$

Константа Апери ζ(3)

Постоянная Апери представляет собой сумму ряда Постоянная Апери является иррациональным числом , а ее числовое значение приблизительно равно 1,2020569. $${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }$$

Несмотря на то , что константа Апери является особым значением дзета-функции Римана , она естественным образом возникает в ряде физических задач, в том числе в членах второго и третьего порядка гиромагнитного отношения электрона , вычисляемых с использованием квантовой электродинамики . ^[10]

Постоянная КаталанаГ

Константа Каталана определяется переменной суммой квадратов нечетных чисел:

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,}$

где β — бета-функция Дирихле . Ее численное значение приблизительно равно 0,91596 55941... (последовательность A006752 в OEIS )

и он часто встречается в комбинаторике и теории чисел .

постоянная ХинчинаК

Если действительное число r записано в виде простой цепной дроби :

${\displaystyle r=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}},}$

где a _k — натуральные числа для всех k , то, как доказал русский математик Александр Хинчин в 1934 году, предел при n, стремящемся к бесконечности, геометрического среднего : ( a ₁ a ₂ ... a _n ) ^{1/ n} существует и является константой, константой Хинчина , за исключением множества меры 0. ^[11]

Числовое значение K приблизительно равно 2,6854520010.

Константа Глейшера–КинкелинаА

Константа Глейшера –Кинкелина определяется как предел :

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\prod _{k=1}^{n}k^{k}}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}$

Он появляется в некоторых выражениях производной дзета -функции Римана . Он имеет численное значение приблизительно 1,2824271291.

Математические курьезы и неопределенные константы

Простые представители множеств чисел

На этой вавилонской глиняной табличке приведено приближенное значение квадратного корня из 2 в виде четырех шестидесятеричных цифр: 1; 24, 51, 10, что соответствует точности около шести десятичных цифр. ^[12]

${\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.\underbrace {\overbrace {110001} ^{3!{\text{ digits}}}000000000000000001} _{4!{\text{ digits}}}000\dots }$

Константа Лиувилля — простой пример трансцендентного числа .

Некоторые константы, такие как квадратный корень из 2 , постоянная Лиувилля и постоянная Чамперноуна :

${\displaystyle C_{10}=0.{\color {blue}{1}}2{\color {blue}{3}}4{\color {blue}{5}}6{\color {blue}{7}}8{\color {blue}{9}}10{\color {blue}{11}}12{\color {blue}{13}}14{\color {blue}{15}}16\dots }$

не являются важными математическими инвариантами, но сохраняют интерес, будучи простыми представителями специальных множеств чисел, иррациональных чисел , ^[13] трансцендентных чисел ^[14] и нормальных чисел (по основанию 10) ^[15] соответственно. Открытие иррациональных чисел обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта , который доказал, скорее всего геометрически, иррациональность квадратного корня из 2. Что касается постоянной Лиувилля, названной в честь французского математика Жозефа Лиувилля , то это было первое число, трансцендентность которого была доказана. ^[16]

Постоянная Хайтина Ω

В подразделе компьютерных наук алгоритмической теории информации константа Хайтина — это действительное число, представляющее вероятность остановки случайно выбранной машины Тьюринга , образованное из конструкции аргентинско - американского математика и ученого-компьютерщика Грегори Хайтина . Хотя константа Хайтина и невычислима , доказано, что она трансцендентна и нормальна . Константа Хайтина не универсальна и сильно зависит от числового кодирования, используемого для машин Тьюринга; однако ее интересные свойства не зависят от кодирования.

Неопределенные константы

Если не указано, константы указывают на классы схожих объектов, обычно функций, все равные с точностью до константы — технически говоря, это можно рассматривать как «сходство с точностью до константы». Такие константы часто появляются при работе с интегралами и дифференциальными уравнениями . Хотя они не указаны, они имеют конкретное значение, которое часто не важно.

Решения с различными константами интегрирования . ${\displaystyle y'(x)=-2y+e^{-x}}$

В интегралах

Неопределенные интегралы называются неопределенными, потому что их решения единственны только с точностью до константы. Например, при работе над полем действительных чисел

${\displaystyle \int \cos x\ dx=\sin x+C}$

где C , константа интегрирования , является произвольным фиксированным действительным числом. ^[17] Другими словами, каково бы ни было значение C , дифференцирование sin x + C по x всегда дает cos x .

В дифференциальных уравнениях

Аналогичным образом константы появляются в решениях дифференциальных уравнений , где задано недостаточно начальных значений или граничных условий . Например, обыкновенное дифференциальное уравнение y ^'  =  y ( x ) имеет решение Ce ^x, где C — произвольная константа.

При работе с частными дифференциальными уравнениями константы могут быть функциями , постоянными относительно некоторых переменных (но не обязательно всех). Например, УЧП

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=0}$

имеет решения f ( x , y ) =  C ( y ), где C ( y ) — произвольная функция переменной  y .

Обозначение

Представление констант

Числовое значение константы принято выражать, давая ее десятичное представление (или только первые несколько ее цифр). По двум причинам это представление может вызывать проблемы. Во-первых, хотя все рациональные числа имеют конечное или постоянно повторяющееся десятичное разложение, иррациональные числа не имеют такого выражения, что делает невозможным их полное описание таким образом. Кроме того, десятичное разложение числа не обязательно уникально. Например, два представления 0,999... и 1 эквивалентны ^{[18] [19]} в том смысле, что они представляют одно и то же число.

Вычисление цифр десятичного представления констант было обычным делом на протяжении многих столетий. Например, немецкий математик Людольф ван Кейлен из 16-го века провел большую часть своей жизни, вычисляя первые 35 цифр числа пи. ^[20] С помощью компьютеров и суперкомпьютеров некоторые математические константы, включая π, e и квадратный корень из 2, были вычислены с точностью более ста миллиардов цифр. Были разработаны быстрые алгоритмы , некоторые из которых — как для константы Апери — неожиданно быстры.

${\displaystyle G=\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \ldots \uparrow } 3\\\underbrace {\vdots } \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}}$

Число Грэма, определенное с использованием нотации Кнута со стрелкой вверх .

Некоторые константы настолько отличаются от обычных, что была изобретена новая нотация для их разумного представления. Число Грэма иллюстрирует это, поскольку используется нотация Кнута со стрелкой вверх . ^{[21] [22]}

Может быть интересно представить их с помощью непрерывных дробей для выполнения различных исследований, включая статистический анализ. Многие математические константы имеют аналитическую форму , то есть их можно построить с помощью известных операций, которые легко поддаются вычислениям. Однако не все константы имеют известные аналитические формы; константа Гроссмана ^[23] и константа Фойаса ^[24] являются примерами.

Символизация и наименование констант

Обозначение констант буквами часто используется для того, чтобы сделать запись более краткой. Распространенное соглашение , введенное Рене Декартом в 17 веке и Леонардом Эйлером в 18 веке, заключается в использовании строчных букв из начала латинского или греческого алфавита при работе с константами в целом. ${\displaystyle a,b,c,\dots }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\,\gamma ,\dots }$

Однако для более важных констант символы могут быть более сложными и иметь дополнительную букву, звездочку , цифру, лемнискату или использовать другие алфавиты, такие как иврит , кириллица или готика . ^[22]

константа Эрдеша–Борвейна константа Эмбри–Трефетена константа Бруна для простых чисел-близнецов константы Чамперноуна кардинальное число алеф ноль ${\displaystyle E_{B}}$
${\displaystyle \beta ^{*}}$
${\displaystyle B_{2}}$
${\displaystyle C_{b}}$
${\displaystyle \aleph _{0}}$

Примеры различных видов обозначений констант.

Иногда символ, представляющий константу, представляет собой целое слово. Например, 9-летний племянник американского математика Эдварда Каснера придумал названия гугол и гуголплекс . ^{[22] [25]}

${\displaystyle \mathrm {googol} =10^{100}\,\ ,\ \mathrm {googolplex} =10^{\mathrm {googol} }=10^{10^{100}}}$

Другие названия связаны либо со значением константы ( универсальная параболическая константа , константа-близнец , ...), либо с конкретным человеком ( константа Серпинского , константа Джозефсона и т. д.).

Универсальная параболическая константа — это отношение длины дуги параболического сегмента (красный), образованного latus rectum (синий), для любой параболы к фокальному параметру (зеленый).

Избранные математические константы

*Значение постоянной Милля неизвестно, но было рассчитано, что оно приблизительно равно 1,3063778838... если гипотеза Римана верна.

Используемые сокращения:

Gen – Общие сведения , NuT – Теория чисел , ChT – Теория хаоса , Com – Комбинаторика , Inf – Теория информации , Ana – Математический анализ

Смотрите также

• Инвариант (математика)
• Список математических символов
• Список номеров
• Физическая константа

Примечания

1. Weisstein, Eric W. "Constant". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-08-08 .
2. Гринстед, CM; Снелл, JL "Введение в теорию вероятностей". стр. 85. Архивировано из оригинала 27-07-2011 . Получено 09-12-2007 .
3. Коллет и Экман (1980). Итерированные отображения на интервале как динамические системы . Биркхаузер. ISBN 3-7643-3026-0.
4. Финч, Стивен (2003). Математические константы . Cambridge University Press . стр. 67. ISBN 0-521-81805-2.
5. Мэй, Роберт (1976). Теоретическая экология: принципы и приложения . Blackwell Scientific Publishers. ISBN 0-632-00768-0.
6. Ливио, Марио (2002). Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире. Нью-Йорк: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
7. Тэтерсалл, Джеймс (2005). Элементарная теория чисел в девяти главах (2-е изд. ).
8. "Тайная жизнь непрерывных дробей"
9. Числа Фибоначчи и природа. Часть 2: Почему золотое сечение — «лучшее» расположение?, из книги доктора Рона Нотта «Числа Фибоначчи и золотое сечение», получено 29 ноября 2012 г.
10. Стивен Финч. "Константа Апери". MathWorld .
11. Стивен Финч. «Константа Хинчина». MathWorld .
12. Фаулер, Дэвид ; Элеанор Робсон (ноябрь 1998 г.). «Приближения квадратного корня в старой вавилонской математике: YBC 7289 в контексте». Historia Mathematica . 25 (4): 368. doi : 10.1006/hmat.1998.2209 .
    Фотография, иллюстрация и описание таблички root(2) из ​​Йельской вавилонской коллекции
    Фотографии высокого разрешения, описания и анализ таблички root(2) (YBC 7289) из Йельской вавилонской коллекции
13. Богомольный, Александр . «Квадратный корень из 2 иррационален».
14. Обри Дж. Кемпнер (октябрь 1916 г.). «О трансцендентных числах». Труды Американского математического общества . 17 (4). Труды Американского математического общества, т. 17, № 4: 476–482. doi : 10.2307/1988833 . JSTOR  1988833.
15. Чамперноун, Дэвид (1933). «Построение нормальных десятичных дробей в десятичной шкале». Журнал Лондонского математического общества . 8 (4): 254–260. doi :10.1112/jlms/s1-8.4.254.
16. Вайсштейн, Эрик В. «Константа Лиувилля». MathWorld .
17. Эдвардс, Генри; Дэвид Пенни (1994). Исчисление с аналитической геометрией (4-е изд.). Prentice Hall. стр. 269. ISBN 0-13-300575-5.
18. Рудин, Уолтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3-е изд.). Макгроу-Хилл. Теорема 3.26, стр. 61. ISBN 0-07-054235-X.
19. Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление: Ранние трансцендентали (4-е изд.). Брукс/Коул. стр. 706. ISBN 0-534-36298-2.
20. Людольф ван Кейлен. Архивировано 07.07.2015 на Wayback Machine – биография в архиве истории математики MacTutor.
21. Кнут, Дональд (1976). «Математика и компьютерные науки: преодоление конечности. Достижения в нашей способности к вычислениям существенно приближают нас к предельным ограничениям». Science . 194 (4271): 1235–1242. doi :10.1126/science.194.4271.1235. PMID  17797067. S2CID  1690489.
22. "математические константы". Архивировано из оригинала 2012-09-07 . Получено 2007-11-27 .
23. Вайсштейн, Эрик В. "Константа Гроссмана". MathWorld .
24. Вайсштейн, Эрик В. «Константа Фойаса». MathWorld .
25. Эдвард Каснер и Джеймс Р. Ньюман (1989). Математика и воображение . Microsoft Press . стр. 23.
26. "Рекорды, установленные y-cruncher". www.numberworld.org . Получено 2024-08-22 .
27. "A074962 - OEIS". oeis.org . Получено 2024-08-22 .
28. "A002210 - OEIS". oeis.org . Получено 2024-08-22 .
29. "A006890 - OEIS". oeis.org . Получено 2024-08-22 .
30. "A006891 - OEIS". oeis.org . Получено 2024-08-22 .

Внешние ссылки

• Константы – из Wolfram MathWorld
• Обратный символьный калькулятор (CECM, ISC) (рассказывает, как заданное число может быть составлено из математических констант)
• Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS)
• Инвертор Саймона Плуффа
• Страница Стивена Финча о математических константах (ССЫЛКА НЕ РАБОТАЕТ)
• Стивен Р. Финч, «Математические константы», Энциклопедия математики и ее приложений , Cambridge University Press (2003).
• Страница Ксавье Гурдона и Паскаля Себа о числах, математических константах и ​​алгоритмах