е (математическая константа)

2,71828..., основание натуральных логарифмов

Постоянная величина, используемая в математике

График уравнения y = 1/ x . Здесь e — уникальное число больше 1, делающее заштрихованную область под кривой равной 1.

Число e — это математическая константа, приблизительно равная 2,71828, которая является основанием натурального логарифма и показательной функции . Иногда его называют числом Эйлера , в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера , хотя это может вызвать путаницу с числами Эйлера или с константой Эйлера , другой константой, обычно обозначаемой . В качестве альтернативы e можно назвать константой Непера в честь Джона Непера . ^{[2] [3]} Швейцарский математик Якоб Бернулли открыл эту константу, изучая сложные проценты. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \gamma }$

Число e имеет большое значение в математике, ^[6] наряду с 0, 1, π и i . Все пять появляются в одной формулировке тождества Эйлера и играют важные и повторяющиеся роли в математике. ^{[7] [8]} Как и константа π , e является иррациональным , что означает, что его нельзя представить в виде отношения целых чисел, и, более того, оно трансцендентно , что означает, что оно не является корнем никакого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. ^[3] До 30 знаков после запятой значение e равно: ^[1] ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352

Определения

Число e — это предел выражения, который возникает при вычислении сложных процентов . $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$

Это сумма бесконечного ряда $${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}$$

Это единственное положительное число a, такое что график функции y = a ^x имеет наклон 1 при x = 0 .

Имеется , где — (естественная) показательная функция , единственная функция, которая равна своей собственной производной и удовлетворяет уравнению Поскольку показательная функция обычно обозначается как , то также имеется $${\displaystyle e=\exp(1),}$$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \exp(0)=1.}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$ $${\displaystyle e=e^{1}.}$$

Логарифм по основанию b можно определить как обратную функцию функции Так как имеем Из уравнения следует, что e является основанием натурального логарифма. ${\displaystyle x\mapsto b^{x}.}$ ${\displaystyle b=b^{1},}$ ${\displaystyle \log _{b}b=1.}$ ${\displaystyle e=e^{1}}$

Число e также можно охарактеризовать с помощью интеграла : ^[9] $${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.}$$

Другие характеристики см. в § Представления.

История

Первые ссылки на константу были опубликованы в 1618 году в таблице приложения к работе о логарифмах Джона Непера . Однако она не содержала саму константу, а просто список логарифмов по основанию ${\displaystyle e}$ . Предполагается, что таблица была написана Уильямом Отредом . В 1661 году Христиан Гюйгенс изучал, как вычислять логарифмы геометрическими методами, и вычислил величину, которая, оглядываясь назад, является логарифмом по основанию 10 от e , но он не распознал саму e как величину, представляющую интерес. ^{[5] [10]}

Сама константа была введена Якобом Бернулли в 1683 году для решения задачи непрерывного начисления процентов. ^{[11] [12]} В его решении константа e встречается как предел , где n представляет собой количество интервалов в году, на которых оцениваются сложные проценты (например, для ежемесячного начисления). $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$ ${\displaystyle n=12}$

Первым символом, использованным для этой константы, была буква b, которую использовал Готфрид Лейбниц в письмах Христиану Гюйгенсу в 1690 и 1691 годах. ^[13]

Леонард Эйлер начал использовать букву e для обозначения константы в 1727 или 1728 году в неопубликованной статье о взрывных силах в пушках ^[14] и в письме к Кристиану Гольдбаху 25 ноября 1731 года. ^{[15] [16]} Первое появление e в печатном издании было в «Механике» Эйлера (1736). ^[17] Неизвестно, почему Эйлер выбрал именно букву e . ^[18] Хотя некоторые исследователи в последующие годы использовали букву c , буква e была более распространена и в конечном итоге стала стандартной. ^[2]

Эйлер доказал, что e является суммой бесконечного ряда , где n ! — факториал n . ^[5] Эквивалентность двух характеристик, использующих предел и бесконечный ряд, может быть доказана с помощью биномиальной теоремы . ^[19] $${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,}$$

Приложения

Сложные проценты

Эффект от получения 20% годовых на первоначальные инвестиции в размере $1000 при различных частотах начисления процентов. Ограничивающая кривая сверху — это график , где y в долларах, t в годах, а 0,2 = 20%. ${\displaystyle y=1000e^{0.2t}}$

Якоб Бернулли открыл эту константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах : ^[5]

Счет начинается с $1.00 и выплачивает 100 процентов годовых. Если проценты начисляются один раз, в конце года, стоимость счета на конец года составит $2.00. Что произойдет, если проценты начисляются и начисляются чаще в течение года?

Если проценты начисляются дважды в год, процентная ставка за каждые 6 месяцев составит 50%, поэтому первоначальный $1 умножается на 1,5 дважды, что дает $1,00 × 1,5 ² = $2,25 в конце года. Квартальное начисление процентов дает $1,00 × 1,25 ⁴ = $2,44140625 , а ежемесячное начисление процентов дает $1,00 × (1 + 1/12) ¹² = $2,613035... . Если имеется n интервалов начисления процентов, проценты за каждый интервал составят 100%/ n , а значение в конце года составит $1,00 ×  (1 + 1/ n ) ⁿ . ^{[20] [21]}

Бернулли заметил, что эта последовательность приближается к пределу ( силе процента ) с большим n и, таким образом, меньшими интервалами начисления процентов. ^[5] Еженедельное начисление процентов ( n = 52 ) дает 2,692596 долларов США..., в то время как ежедневное начисление процентов ( n = 365 ) дает 2,714567 долларов США... (примерно на два цента больше). Предел по мере увеличения n — это число, которое стало известно как e . То есть при непрерывном начислении процентов стоимость счета достигнет 2,718281828 долларов США... В более общем смысле, счет, который начинается с 1 доллара США и предлагает годовую процентную ставку R , через t лет принесет e ^Rt долларов США при непрерывном начислении процентов. Здесь R — десятичный эквивалент процентной ставки, выраженной в процентах , поэтому для 5% годовых R = 5/100 = 0,05 . ^{[20] [21]}

Испытания Бернулли

Графики вероятности P ненаблюдения независимых событий, каждое из которых имеет вероятность 1/ n после n испытаний Бернулли и 1 − P против n  ; можно заметить, что с увеличением n вероятность того, что событие с вероятностью 1/ n никогда не произойдет после n попыток, быстро сходится к 1/ e . 

Число e само по себе также имеет применение в теории вероятностей , способом, который не связан с экспоненциальным ростом. Предположим, что игрок играет в игровой автомат, который выплачивает с вероятностью один из n, и играет в него n раз. По мере увеличения n вероятность того, что игрок проиграет все n ставок, приближается к 1/ e . Для n = 20 это уже приблизительно 1/2,789509....

Это пример процесса испытаний Бернулли . Каждый раз, когда игрок играет в слоты, есть один шанс из n выиграть. Игра n раз моделируется биномиальным распределением , которое тесно связано с биномиальной теоремой и треугольником Паскаля . Вероятность выиграть k раз из n попыток равна: ^[22]

${\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.}$

В частности, вероятность выигрыша ноль раз ( k = 0 ) равна

${\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Предел приведенного выше выражения, когда n стремится к бесконечности, равен точно 1/ e .

Экспоненциальный рост и упадок

Экспоненциальный рост — это процесс, который увеличивает количество с течением времени с постоянно возрастающей скоростью. Это происходит, когда мгновенная скорость изменения (то есть производная ) количества по времени пропорциональна самому количеству. ^[21] Описанная как функция, количество, подвергающееся экспоненциальному росту, является экспоненциальной функцией времени, то есть переменная, представляющая время, является экспонентой (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ). Если константа пропорциональности отрицательна, то количество уменьшается со временем, и говорят, что вместо этого оно подвергается экспоненциальному убыванию . Закон экспоненциального роста можно записать в различных, но математически эквивалентных формах, используя другое основание , для которого число e является общепринятым и удобным выбором: Здесь обозначает начальное значение количества x , k — константа роста, а — время, необходимое для роста количества в e . $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение с нулевым средним значением и единичным стандартным отклонением известно как стандартное нормальное распределение ^[23] , заданное функцией плотности вероятности $${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

Ограничение стандартного отклонения единицы (и, следовательно, дисперсии единицы) приводит к ⁠1/2⁠ в показателе степени, а ограничение единичной общей площади под кривой приводит к фактору . Эта функция симметрична относительно x = 0 , где она достигает своего максимального значения , и имеет точки перегиба при x = ±1 . ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

Расстройства

Другое применение e , также частично обнаруженное Якобом Бернулли вместе с Пьером Ремоном де Монмором , заключается в проблеме расстройств , также известной как проблема проверки шляп : ^[24] n гостей приглашаются на вечеринку, и у двери все гости сдают свои шляпы дворецкому, который по очереди кладет шляпы в n коробок, каждая из которых помечена именем одного гостя. Но дворецкий не спросил личности гостей, и поэтому кладет шляпы в коробки, выбранные случайным образом. Задача де Монмора состоит в том, чтобы найти вероятность того, что ни одна из шляп не будет положена в нужную коробку. Эта вероятность, обозначенная , равна: ${\displaystyle p_{n}\!}$

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

При стремлении n к бесконечности p _n стремится к 1/ e . Более того, число способов, которыми шляпы можно разместить в коробках так, чтобы ни одна из шляп не оказалась в нужной коробке, равно n !/ e , округленное до ближайшего целого числа, для каждого положительного  n . ^[25]

Задачи оптимального планирования

Максимальное значение достигается при . Эквивалентно, для любого значения основания b > 1 максимальное значение достигается при ( проблема Штейнера , обсуждаемая ниже). ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ ${\displaystyle x=e}$ ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ ${\displaystyle x=e}$

Это полезно в задаче о палке длиной L , которая разбита на n равных частей. Значение n , которое максимизирует произведение длин, тогда равно либо ^[26]

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }$или ${\displaystyle \left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .}$

Количество также является мерой информации , полученной из события, происходящего с вероятностью (приблизительно когда ), так что по сути то же самое оптимальное разделение возникает в задачах оптимального планирования, таких как задача секретаря . ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle 36.8\%}$ ${\displaystyle x=e}$

Асимптотика

Число e естественным образом встречается в связи со многими проблемами, связанными с асимптотикой . Примером является формула Стирлинга для асимптотики факториальной функции , в которой появляются как числа e, так и π ^{: [27]} $${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

Как следствие, ^[27] $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$$

Характеристики

Исчисление

Графики функций x ↦ a ^x показаны для a = 2 (пунктирный), a = e (синий) и a = 4 (штриховой). Все они проходят через точку (0,1) , но красная линия (имеющая наклон 1 ) касается только e ^x там.

Значение функции натурального логарифма для аргумента e , т.е. ln e , равно 1.

Основной мотивацией введения числа e , особенно в исчислении , является выполнение дифференциального и интегрального исчисления с показательными функциями и логарифмами . ^[28] Общая показательная функция y = a ^x имеет производную, заданную пределом :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

Заключенный в скобки предел справа не зависит от переменной x . Его значение оказывается логарифмом a по основанию e . Таким образом, когда значение a установлено равным e , этот предел равен 1 , и поэтому мы приходим к следующему простому тождеству:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

Следовательно, показательная функция с основанием e особенно подходит для выполнения исчислений. Выбор e (в отличие от какого-либо другого числа) в качестве основания показательной функции значительно упрощает вычисления, включающие производные.

Другая мотивация исходит из рассмотрения производной основания логарифма (т.е. log _a x ) ^[28] для  x > 0 :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

где была сделана замена u = h / x . Основание логарифма e равно 1, если a равно e . Так что символически,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

Логарифм с этим специальным основанием называется натуральным логарифмом и обычно обозначается как ln ; он хорошо ведет себя при дифференцировании, поскольку не существует неопределенного предела для проведения вычислений.

Таким образом, существует два способа выбора таких специальных чисел a . Один способ — приравнять производную показательной функции a ^x к a ^x и решить относительно a . Другой способ — приравнять производную логарифма по основанию a к 1/ x и решить относительно a . В каждом случае получается удобный выбор основания для выполнения исчисления. Оказывается, эти два решения для a на самом деле одинаковы : число e .

Пять цветных областей имеют одинаковую площадь и определяют единицы гиперболического угла вдоль гиперболы. ${\displaystyle xy=1.}$

Ряд Тейлора для показательной функции можно вывести из того факта, что показательная функция является своей собственной производной и что она равна 1 при вычислении в 0: ^[29] Задание восстанавливает определение e как суммы бесконечного ряда. $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$ ${\displaystyle x=1}$

Функцию натурального логарифма можно определить как интеграл от 1 до , а показательную функцию можно определить как обратную функцию натурального логарифма. Число e является значением показательной функции, вычисленным при , или, что эквивалентно, числом, натуральный логарифм которого равен 1. Отсюда следует, что e является единственным положительным действительным числом, таким что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle x=1}$ $${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}$$

Поскольку ех ^— единственная функция ( с точностью до умножения на константу К ), равная своей собственной производной ,

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}$$

поэтому он также является своим собственным первообразным : ^[30]

$${\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}$$

Эквивалентно, семейство функций

$${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$$

где K — любое действительное или комплексное число, является полным решением дифференциального уравнения

$${\displaystyle y'=y.}$$

Неравенства

Экспоненциальные функции y = 2 ^x и y = 4 ^x пересекают график y = x + 1 соответственно при x = 1 и x = -1/2 . Число e является единственным основанием, таким что y = e ^x пересекается только при x = 0. Мы можем сделать вывод, что e лежит между 2 и 4.

Число e — это единственное действительное число, такое что для всех положительных x . ^[31] $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$$

Кроме того, мы имеем неравенство для всех действительных x , с равенством тогда и только тогда, когда x = 0. Более того, e является единственным основанием экспоненты, для которого неравенство a ^x ≥ x + 1 выполняется для всех x . ^[32] Это предельный случай неравенства Бернулли . $${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$$

Экспоненциальные функции

Глобальный максимум x √ x достигается при x ⁼ e .

Задача Штайнера заключается в поиске глобального максимума функции

$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$$

Этот максимум достигается точно при x = e . (Можно проверить, что производная ln f ( x ) равна нулю только для этого значения  x .)

Аналогично, x = 1/ e — это точка, где достигается глобальный минимум функции

$${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$$

Бесконечная тетрация

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$или ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

сходится тогда и только тогда, когда x ∈ [(1/ e ) ^e , e ^{1/ e} ] ≈ [0,06599, 1,4447] , ^{[33] [34]} показано теоремой Леонарда Эйлера . ^{[35] [36] [37]}

Теория чисел

Действительное число e иррационально . Эйлер доказал это, показав, что его простое разложение в цепную дробь не заканчивается. ^[38] (См. также доказательство Фурье того , что e иррационально .)

Более того, по теореме Линдемана–Вейерштрасса , e является трансцендентным , то есть не является решением любого ненулевого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Это было первое число, трансцендентность которого была доказана без того, чтобы оно было специально построено для этой цели (сравните с числом Лиувилля ); доказательство было дано Шарлем Эрмитом в 1873 году. ^[39] Число e является одним из немногих трансцендентных чисел, для которых известен точный показатель иррациональности (задается как ). ^[40] ${\displaystyle \mu (e)=2}$

Нерешенной проблемой до сих пор является вопрос о том, являются ли числа e и π алгебраически независимыми . Это может быть решено гипотезой Шануэля — на данный момент недоказанным обобщением теоремы Линдемана–Вейерштрасса. ^{[41] [42]}

Предполагается, что число e является нормальным , то есть когда число e выражено в любой системе счисления, возможные цифры в этой системе счисления распределены равномерно (встречаются с равной вероятностью в любой последовательности заданной длины). ^[43]

В алгебраической геометрии период — это число, которое можно выразить как интеграл алгебраической функции по алгебраической области . Константа π является периодом, но предполагается, что e — нет. ^[44]

Комплексные числа

Экспоненциальную функцию e ^x можно записать в виде ряда Тейлора ^{[45] [29]}

$${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

Поскольку этот ряд сходится для каждого комплексного значения x , он обычно используется для расширения определения e ^x на комплексные числа. ^[46] Это, вместе с рядом Тейлора для sin и cos x , позволяет вывести формулу Эйлера :

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

которое справедливо для любого комплексного x . ^[46] Частным случаем при x = π является тождество Эйлера :

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$$который считается образцом математической красоты , поскольку он показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике. Кроме того, он напрямую используется в доказательстве того, что π является трансцендентным , что подразумевает невозможность квадратуры круга . ^{[47] [48]} Более того, тождество подразумевает, что в главной ветви логарифма, ^[46]

$${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$$

Более того, используя законы возведения в степень,

$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx}$$

для любого целого числа n , что является формулой Муавра . ^[49]

Выражения cos x и sin x в терминах показательной функции можно вывести из ряда Тейлора: ^[46] $${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$$

Выражение иногда сокращается до cis( x ) . ^[49] ${\textstyle \cos x+i\sin x}$

Представления

Число e можно представить различными способами: как бесконечный ряд , бесконечное произведение , цепная дробь или предел последовательности . Помимо предела и ряда, приведенных выше, существует также простая цепная дробь

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}$^{[50] [51]}

что написано выглядит как

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Следующее бесконечное произведение вычисляется как e : ^[26] $${\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .}$$

Было доказано множество других представлений числа e в виде рядов, последовательностей, цепных дробей и бесконечных произведений .

Стохастические представления

В дополнение к точным аналитическим выражениям для представления e существуют стохастические методы оценки e . Один из таких подходов начинается с бесконечной последовательности независимых случайных величин X ₁ , X ₂ ..., взятых из равномерного распределения на [0, 1]. Пусть V будет наименьшим числом n таким, что сумма первых n наблюдений превышает 1:

${\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}$

Тогда ожидаемое значение V равно e : E( V ) = e . ^[52] [ ^53]

Известные цифры

Число известных цифр числа e существенно возросло с момента появления компьютера, как из-за повышения производительности компьютеров, так и из-за усовершенствования алгоритмов. ^{[54] [55]}

Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров сделало возможным для любителей вычислять триллионы цифр числа e за приемлемое время. 5 декабря 2020 года был сделан рекордный расчет, давший e значение 31 415 926 535 897 (приблизительно π × 10¹³ ) цифры. ^[63]

Вычисление цифр

Один из способов вычисления цифр числа e — это ряд ^[64] $${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.}$$

Более быстрый метод включает две рекурсивные функции и . Функции определяются как ${\displaystyle p(a,b)}$ ${\displaystyle q(a,b)}$ $${\displaystyle {\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{cases}}}$$

Выражение производит n-ю частичную сумму ряда выше. Этот метод использует двоичное разбиение для вычисления e с меньшим количеством однозначных арифметических операций и, таким образом, снижает сложность битов . Сочетание этого с быстрыми методами преобразования Фурье для умножения целых чисел делает вычисление цифр очень быстрым. ^[64] $${\displaystyle 1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}}$$

В компьютерной культуре

В период зарождения интернет-культуры отдельные лица и организации иногда отдавали дань уважения числу е .

В одном из ранних примеров компьютерный ученый Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы Metafont приблизиться к e . Версии — 2, 2.7, 2.71, 2.718 и т. д. ^[65]

В другом случае, при подаче заявки на первичное публичное размещение акций Google в 2004 году, вместо типичной круглой суммы денег компания объявила о своем намерении привлечь 2 718 281 828 долларов США , что составляет миллиард долларов , округленный до ближайшего доллара. ^[66]

Google также был ответственен за рекламный щит ^[67] , который появился в самом сердце Кремниевой долины , а позже в Кембридже, Массачусетс ; Сиэтле, Вашингтон ; и Остине, Техас . На нем было написано "{первое 10-значное простое число, найденное в последовательных цифрах e }.com". Первое 10-значное простое число в e — это 7427466391, которое начинается с 99-й цифры. ^[68] Решение этой проблемы и посещение рекламируемого (ныне несуществующего) веб-сайта привело к еще более сложной задаче, которая заключалась в поиске пятого члена в последовательности 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Оказалось, что последовательность состояла из 10-значных чисел, найденных в последовательных цифрах e, сумма цифр которых составляла 49. Пятый член в последовательности — 5966290435, который начинается со 127-й цифры. ^[69] Решение этой второй проблемы в конечном итоге привело на веб-страницу Google Labs , где посетителю предлагалось отправить резюме. ^[70]

Ссылки

1. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A001113 (десятичное разложение e)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
2. Miller, Jeff. «Earliest Uses of Symbols for Constants». MacTutor . University of St. Andrews, Scotland . Получено 31 октября 2023 г.
3. Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com . Получено 10 августа 2020 г. .
4. Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики (иллюстрированное издание). Sterling Publishing Company. стр. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9.Выдержка из страницы 166
5. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (сентябрь 2001 г.). «Число e». Архив истории математики Мактьютора . Университет Сент-Эндрюс .
6. Sawyer, WW (1961). Mathematician's Delight . Penguin. стр. 155.
7. Уилсон, Робинн (2018). Уравнение Эйлера-новатора: самая красивая теорема в математике (иллюстрированное издание). Oxford University Press. стр. (предисловие). ISBN 978-0-19-251405-9.
8. Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2004). Pi: Биография самого загадочного числа в мире (иллюстрированное издание). Prometheus Books. стр. 68. ISBN 978-1-59102-200-8.
9. Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У., ред. (2010), «E (математическая константа)», Справочник по математическим функциям NIST , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
10. Брюинз, Э. М. (1983). «Вычисление логарифмов Гюйгенсом» (PDF) . Теория конструктивных функций : 254–257.
11. Джейкоб Бернулли рассмотрел проблему непрерывного начисления процентов, что привело к выражению в виде ряда для e . См.: Якоб Бернулли (1690) «Quæstiones Nonnullæ de Usuris, cum Solutione Issuetis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685» (Некоторые вопросы о процентах с решением проблемы об азартных играх, предложенные в Journal des Savants ( Ephemerides Eruditorum Gallicanae ), в году (анно) 1685.**), Acta eruditorum , стр. 219–23. На странице 222 Бернулли ставит вопрос: «Alterius naturæ hoc Issuea est: Quæritur, si кредитор aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut Singulis momentis parsпропорциональные usuræ annuæ sorti annumeretur; Quantum ipsi finito anno debeatur?» (Это проблема другого рода: вопрос в том, что если бы некий кредитор вложил [некую] сумму денег [под] проценты, позволил бы ей накапливаться, так чтобы [в] каждый момент [она] получала [а] пропорциональная часть [его] годового процента; сколько будет причитаться [на] конец [года]?) Бернулли строит степенной ряд для вычисления ответа, а затем пишет: «… quæ nostra serie [математическое выражение для геометрическая прогрессия] и т. д. major est. … si a = b , debebitur plu quam 2½ a & minus quam 3 a ." ( … который наш ряд [геометрическая прогрессия] больше [чем]. … если a = b , [то кредитору] будет должен больше 2½ a и меньше 3 a .) Если a = b , геометрическая прогрессия сводится к ряду для a × e , поэтому 2,5 < e < 3 . (** Ссылка на задачу, поставленную Якобом Бернулли и опубликованную в Journal des Sçavans 1685 года в нижней части страницы 314.)
12. Карл Бойер; Ута Мерцбах (1991). История математики (2-е изд.). Wiley. стр. 419. ISBN 978-0-471-54397-8.
13. Лейбниц, Готфрид Вильгельм (2003). «Sämliche Schriften Und Briefe» (PDF) (на немецком языке). посмотрите, например, букву №. 6
14. Эйлер, Meditatio in Experimenta Explosione Tormentorum Nuper Instituta . Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (на английском языке: написано для числа, единица логарифма которого равна е, то есть 2,7182817...»)
15. Письмо XV. Эйлер а Гольдбах, от 25 ноября 1731 г. в: PH Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров 18 века), vol. 1, (Санкт-Петербург, Россия: 1843), стр. 56–60, см. особенно с. 58. Со с. 58: «… (e обозначает число, cujus logarithmus Hyperbolicus est = 1), …» (… (e обозначает то число, гиперболический [т. е. натуральный] логарифм которого равен 1) … )
16. Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория комплексных функций . Спрингер-Верлаг . п. 136. ИСБН 978-0-387-97195-7.
17. Леонард Эйлер, Механика, sive Motus scientia Analyte Exposita (Санкт-Петербург (Петрополи), Россия: Академия наук, 1736), т. 1, с. 1, глава 2, следствие 11, п. 171, с. 68. Со страницы 68: Erit enim seu ubi e denotat numerum, cuius logarithmus Hyperbolicus est 1. ${\displaystyle {\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}}$ ${\displaystyle c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}}$ (Так что [т. е. c , скорость] будет или , где e обозначает число, гиперболический [т. е. натуральный] логарифм которого равен 1. .) ${\displaystyle {\frac {dc}{c}}={\frac {dyds}{rdx}}}$ ${\displaystyle c=e^{\int {\frac {dyds}{rdx}}}}$
18. Калингер, Рональд (2016). Леонард Эйлер: математический гений эпохи Просвещения . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11927-4.стр. 124.
19. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). McGraw–Hill. стр. 63–65. ISBN 0-07-054235-X.
20. Gonick, Larry (2012). Карикатурное руководство по исчислению. Уильям Морроу. С. 29–32. ISBN 978-0-06-168909-3.
21. Абрамсон, Джей; и др. (2023). «6.1 Экспоненциальные функции». Колледж Алгебра 2e . ОпенСтакс. ISBN 978-1-951693-41-1.
22. Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Cambridge University Press . стр. 41. ISBN 978-0-521-87342-0. OCLC  860391091.
23. Илловски, Барбара; Дин, Сьюзан; и др. (2023). "6.1 Стандартное нормальное распределение". Статистика . OpenStax. ISBN 978-1-951693-22-0.
24. Гринстед, Чарльз М.; Снелл, Джеймс Лори (1997). Введение в теорию вероятностей (опубликовано онлайн под лицензией GFDL ). Американское математическое общество. стр. 85. ISBN 978-0-8218-9414-9. Архивировано из оригинала 2011-07-27.
25. Кнут, Дональд (1997). Искусство программирования . Т. I. Эддисон-Уэсли. стр. 183. ISBN 0-201-03801-3.
26. Стивен Финч (2003). Математические константы . Cambridge University Press. стр. 14. ISBN 978-0-521-81805-6.
27. Gbur, Greg (2011). Математические методы для оптической физики и техники . Cambridge University Press. стр. 779. ISBN 978-0-521516-10-5.
28. Kline, M. (1998). Исчисление: интуитивный и физический подход . Dover Publications. стр. 337 и далее. ISBN 0-486-40453-6.
29. Странг, Гилберт; Герман, Эдвин; и др. (2023). «6.3 Серия Тейлора и Маклорена». Расчет, том 2 . ОпенСтакс. ISBN 978-1-947172-14-2.
30. Стрэнг, Гилберт; Герман, Эдвин; и др. (2023). «4.10 Первообразные». Расчет, том 2 . ОпенСтакс. ISBN 978-1-947172-14-2.
31. Дорри, Генрих (1965). 100 великих проблем элементарной математики . Довер. С. 44–48.
32. Стандартное упражнение по исчислению с использованием теоремы о среднем значении ; см., например, Apostol (1967) Calculus , § 6.17.41.
33. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A073230 (Десятичное разложение (1/e)^e)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
34. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A073229 (Десятичное разложение e^(1/e))". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
35. Эйлер, Л. «De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus». Акта Акад. Научный. Петрополь. 2 , 29–51, 1783. Перепечатано в журнале Эйлера, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Алгебраические комментарии . Лейпциг, Германия: Тойбнер, стр. 350–369, 1921 г. (факсимиле)
36. Кнобель, Р. Артур (1981). «Повторные экспоненты». The American Mathematical Monthly . 88 (4): 235–252. doi :10.2307/2320546. ISSN  0002-9890. JSTOR  2320546.
37. Андерсон, Джоэл (2004). «Итерированные экспоненты». The American Mathematical Monthly . 111 (8): 668–679. doi :10.2307/4145040. ISSN  0002-9890. JSTOR  4145040.
38. Sandifer, Ed (февраль 2006 г.). «Как это сделал Эйлер: кто доказал, что e иррационально?» (PDF) . MAA Online. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-02-23 . Получено 2010-06-18 .
39. Gelfond, AO (2015) [1960]. Трансцендентные и алгебраические числа. Dover Books on Mathematics. Перевод Boron, Leo F. New York: Dover Publications . стр. 41. ISBN 978-0-486-49526-2. МР  0057921.
40. Weisstein, Eric W. "Мера иррациональности". mathworld.wolfram.com . Получено 14 сентября 2024 г.
41. Мурти, М. Рам; Рат, Пурушоттам (2014). Трансцендентные числа. Springer. doi :10.1007/978-1-4939-0832-5.
42. Вальдшмидт, Мишель (2021). «Гипотеза Шануэля: алгебраическая независимость трансцендентных чисел» (PDF) .
43. Хошневисан, Давар (2006). «Нормальные числа являются нормальными» (PDF) . Clay Mathematics Institute Annual Report 2006 . Clay Mathematics Institute . стр. 15, 27–31.
44. Концевич, Максим ; Загер, Дон (2001). «Периоды» (PDF) .
45. Уиттекер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1927-01-02). Курс современного анализа: Введение в общую теорию бесконечных процессов и аналитических функций; с учетом главных трансцендентных функций (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press . стр. 581. ISBN 978-0-521-06794-2.
46. Деннери, П.; Крживицкий, А. (1995) [1967]. Математика для физиков . Довер. С. 23–25. ISBN 0-486-69193-4.
47. Милла, Лоренц (2020). «Трансцендентность числа π и квадратура круга». arXiv : 2003.14035 [math.HO].
48. Хайнс, Роберт. "e is transcendental" (PDF) . Университет Колорадо . Архивировано (PDF) из оригинала 2021-06-23.
49. Sultan, Alan; Artzt, Alice F. (2010). Математика, которую должен знать каждый учитель математики в средней школе . Routledge. стр. 326–328. ISBN 978-0-203-85753-3.
50. Хофштадтер, DR (1995). Текучие концепции и творческие аналогии: компьютерные модели фундаментальных механизмов мышления . Базовые книги. ISBN 0-7139-9155-0.
51. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A003417 (непрерывная дробь для e)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
52. Рассел, КГ (февраль 1991 г.). «Оценка значения e с помощью моделирования». The American Statistician . 45 (1): 66–68. doi :10.1080/00031305.1991.10475769. JSTOR  2685243.
53. Динов, ИД (2007) Оценка e с использованием моделирования SOCR , Практические занятия по SOCR (получено 26 декабря 2007 г.).
54. Себах, П. и Гурдон, X.; Константа e и ее вычисление
55. Гурдон, X.; Сообщил о больших вычислениях с PiFast
56. Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; см. особенно нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, …» (Более того, тем же способом соотношение находится между 2,718281828459… и 1, … )
57. Леонард Эйлер, Introductio in Analysin Infinitorum (Лозанна, Швейцария: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), том 1, стр. 90.
58. Уильям Шэнкс, Вклад в математику , ... (Лондон, Англия: G. Bell, 1853), стр. 89.
59. Уильям Шэнкс (1871) «О числовых значениях e, loge 2, loge 3, loge 5 и loge 10, а также о числовом значении M — модуля общей системы логарифмов, все до 205 знаков после запятой», Труды Лондонского королевского общества , 20  : 27–29.
60. Дж. Маркус Бурман (октябрь 1884 г.) «Вычисление основания Непера», Математический журнал , 1 (12): 204–205.
61. Дэниел Шэнкс ; Джон В. Ренч (1962). "Вычисление числа Пи до 100 000 знаков после запятой" (PDF) . Математика вычислений . 16 (77): 76–99. doi :10.2307/2003813. JSTOR  2003813. стр. 78: Мы вычислили e на 7090 до 100 265D с помощью очевидной программы
62. Возняк, Стив (июнь 1981 г.). «Невозможная мечта: вычисление числа e до 116 000 знаков с помощью персонального компьютера». BYTE . Том 6, № 6. McGraw-Hill. стр. 392. Получено 18 октября 2013 г.
63. Александр Йи, ред. (5 декабря 2020 г.). "e". Numberworld .
64. Finch, Steven R. (2005). Математические константы. Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-81805-6. OCLC  180072364.
65. Кнут, Дональд (1990-10-03). "Будущее TeX и Metafont" (PDF) . TeX Mag . 5 (1): 145 . Получено 2017-02-17 .
66. Роберж, Джонатан; Мелансон, Луи (июнь 2017 г.). «Быть ​​Кинг-Конгом алгоритмической культуры — нелегкая работа, в конце концов: режимы оправдания Google и значения Glass». Convergence: The International Journal of Research into New Media Technologies . 23 (3): 306–324. doi :10.1177/1354856515592506. ISSN  1354-8565.
67. "Первое 10-значное простое число, найденное в последовательных цифрах числа e". Теги мозга . Архивировано из оригинала 2013-12-03 . Получено 2012-02-24 .
68. Казмерчак, Маркус (29.07.2004). "Google Billboard". mkaz.com. Архивировано из оригинала 23.09.2010 . Получено 09.06.2007 .
69. Первое 10-значное простое число в e Архивировано 2021-04-11 в Wayback Machine . Исследуйте сообщество Портленда. Получено 2020-12-09.
70. Ши, Андреа. «Google соблазняет соискателей работы математической головоломкой». NPR . Получено 09.06.2007 .

Дальнейшее чтение

• Маор, Эли; e : История одного числа , ISBN 0-691-05854-7 
• Комментарий к примечанию 10 книги «Prime Obsession » для другого стохастического представления
• Маккартин, Брайан Дж. (2006). "e: The Master of All" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 28 (2): 10–21. doi :10.1007/bf02987150. S2CID  123033482.

Внешние ссылки

• Число e до 1 миллиона знаков и NASA.gov 2 и 5 миллионов знаков
• e Приближения – Wolfram MathWorld
• Самые ранние случаи использования символов для констант 13 января 2008 г.
• «История e», Робин Уилсон, колледж Грешам , 28 февраля 2007 г. (доступно для скачивания аудио и видео)
• Поисковая система e 2 миллиарда доступных для поиска цифр e , π и √ 2