Теория категорий

Общая теория математических структур

Схематическое изображение категории с объектами X , Y , Z и морфизмами f , g , g ∘ f . (Три тождественных морфизма категории 1 _X , 1 _Y и 1 _Z , если их явно представить, будут выглядеть как три стрелки, идущие от букв X , Y и Z к самим себе соответственно.)

Теория категорий — это общая теория математических структур и их отношений. Она была введена Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Маклейном в середине 20-го века в их основополагающей работе по алгебраической топологии . ^[1] Теория категорий используется почти во всех областях математики. В частности, многие конструкции новых математических объектов из предыдущих, которые появляются одинаково в нескольких контекстах, удобно выражаются и унифицируются в терминах категорий. Примерами служат факторпространства , прямые произведения , завершение и двойственность .

Многие области компьютерной науки также опираются на теорию категорий, например, функциональное программирование и семантика .

Категория образована двумя видами объектов : объектами категории и морфизмами , которые связывают два объекта, называемых источником и целью морфизма. Метафорически морфизм — это стрелка, которая отображает свой источник в свою цель. Морфизмы могут быть составлены, если цель первого морфизма равна источнику второго. Композиция морфизма имеет схожие свойства с композицией функций ( ассоциативность и существование тождественного морфизма для каждого объекта). Морфизмы часто являются своего рода функциями , но это не всегда так. Например, моноид можно рассматривать как категорию с одним объектом, морфизмы которого являются элементами моноида.

Второе фундаментальное понятие теории категорий — это понятие функтора , который играет роль морфизма между двумя категориями и : он отображает объекты в объекты и морфизмы в морфизмы таким образом, что источники отображаются в источники, а цели отображаются в цели (или, в случае контравариантного функтора , источники отображаются в цели и наоборот ). Третье фундаментальное понятие — это естественное преобразование , которое можно рассматривать как морфизм функторов. ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$

Категории, объекты и морфизмы

Категории

Категория состоит из следующих трех математических сущностей: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Класс , элементы которого называются объектами ; ${\displaystyle {\text{ob}}({\mathcal {C}})}$
• Класс , элементы которого называются морфизмами , картами или стрелками . Каждый морфизм имеет исходный объект и целевой объект . ${\displaystyle {\text{hom}}({\mathcal {C}})}$
  ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Выражение можно было бы устно выразить так: « является морфизмом из a в b ». ${\displaystyle f:a\mapsto b}$ ${\displaystyle f}$

Выражение – альтернативно выраженное как , , или – обозначает hom-класс всех морфизмов из в . ${\displaystyle {\text{hom}}(a,b)}$ ${\displaystyle {\text{hom}}_{\mathcal {C}}(a,b)}$ ${\displaystyle {\text{mor}}(a,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

• Бинарная операция , называемая композицией морфизмов , такая, что ${\displaystyle \circ }$

для любых трех объектов a , b и c мы имеем

${\displaystyle \circ :{\text{hom}}(b,c)\times {\text{hom}}(a,b)\mapsto {\text{hom}}(a,c)}$

Состав и записывается как или , ^[a] регулируется двумя аксиомами: ${\displaystyle f:a\mapsto b}$ ${\displaystyle g:b\mapsto c}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle gf}$

1. Ассоциативность : Если , , и тогда ${\displaystyle f:a\mapsto b}$ ${\displaystyle g:b\mapsto c}$ ${\displaystyle h:c\mapsto d}$

${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$

2. Тождество : Для каждого объекта x существует морфизм (также обозначаемый как ), называемый морфизмом тождества для x , такой, что для каждого морфизма мы имеем ${\displaystyle 1_{x}:x\mapsto x}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{x}}$ ${\displaystyle f:a\mapsto b}$

${\displaystyle 1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}}$

Из аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один тождественный морфизм .

Примеры

• Категория Набор
  • В качестве класса объектов выбираем класс всех множеств. ${\displaystyle {\text{ob}}({\text{Set}})}$
  • В качестве класса морфизмов мы выбираем класс всех функций . Следовательно, для двух объектов A и B , т.е. множеств, мы должны выбрать класс всех функций ⁠ ⁠ таких, что ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\text{hom}}({\text{Set}})}$ ${\displaystyle {\text{hom}}(A,B)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:A\mapsto B}$
  • Композиция морфизмов ⁠ ⁠ ${\displaystyle \circ }$ — это просто обычная композиция функций , т.е. для двух морфизмов ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:A\mapsto B}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle g:B\mapsto C}$ , мы имеем ⁠ ⁠ ${\displaystyle g\circ f:A\mapsto C}$ , , что, очевидно, ассоциативно. Более того, для каждого объекта A мы имеем тождественный морфизм, который является тождественным отображением , на A ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{A}}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{A}:A\mapsto A}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{A}(x)=x}$

Морфизмы

Отношения между морфизмами (например, fg = h ) часто изображаются с помощью коммутативных диаграмм , где «точки» (углы) представляют объекты, а «стрелки» — морфизмы.

Морфизмы могут иметь любое из следующих свойств. Морфизм f  : a → b — это a:

• мономорфизм (или моничность ), если f ∘ g ₁ = f ∘ g ₂ влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂  : x → a .
• эпиморфизм (или эпический ), если g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂  : b → x .
• биморфизм , если f является одновременно эпическим и моническим.
• изоморфизм , если существует морфизм g  : b → a такой, что f ∘ g = 1 _b и g ∘ f = 1 _a . ^[b]
• эндоморфизм , если a = b . end( a ) обозначает класс эндоморфизмов a .
• автоморфизм , если f является одновременно эндоморфизмом и изоморфизмом. aut( a ) обозначает класс автоморфизмов a .
• раздел, если существует правый обратный к f , т.е. если существует морфизм g  : b → a с f ∘ g = 1 _b .
• ретракция , если существует левый обратный к f , т.е. если существует морфизм g  : b → a с g ∘ f = 1 _a .

Каждая ретракция является эпиморфизмом, а каждая секция является мономорфизмом. Более того, следующие три утверждения эквивалентны:

• f — мономорфизм и ретракция;
• f — эпиморфизм и сечение;
• f — изоморфизм.

Функторы

Функторы — это сохраняющие структуру отображения между категориями. Их можно рассматривать как морфизмы в категории всех (малых) категорий.

( Ковариантный ) функтор F из категории C в категорию D , обозначаемый как F  : C → D , состоит из:

• для каждого объекта x в C , объект F ( x ) в D ; и
• для каждого морфизма f  : x → y в C , морфизм F ( f ) : F ( x ) → F ( y ) в D ,

таким образом, чтобы выполнялись следующие два свойства:

• Для каждого объекта x в C , F (1 _x ) = 1 _{F ( x )} ;
• Для всех морфизмов f  : x → y и g  : y → z , F ( g ∘ f ) = F ( g ) ∘ F ( f ) .

Контравариантный функтор F : C → D подобен ковариантному функтору, за исключением того, что он «переворачивает морфизмы» («меняет все стрелки»). Более конкретно, каждый морфизм f :  x → y в C должен быть сопоставлен морфизму F ( f ) : F ( y ) → F ( x ) в D . Другими словами, контравариантный функтор действует как ковариантный функтор из противоположной категории C ^op в D .

Естественные преобразования

Естественное преобразование — это отношение между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», а естественные преобразования затем описывают «естественные гомоморфизмы» между двумя такими конструкциями. Иногда две совершенно разные конструкции дают «один и тот же» результат; это выражается естественным изоморфизмом между двумя функторами.

Если F и G являются (ковариантными) функторами между категориями C и D , то естественное преобразование η из F в G сопоставляет каждому объекту X в C морфизм η _X  : F ( X ) → G ( X ) в D такой, что для любого морфизма f  : X → Y в C мы имеем η _Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η _X ; это означает, что следующая диаграмма коммутативна :

Коммутативная диаграмма, определяющая естественные преобразования

Два функтора F и G называются естественно изоморфными , если существует естественное преобразование из F в G такое, что η _X является изоморфизмом для каждого объекта X из C.

Другие концепции

Универсальные конструкции, пределы и копределы

Используя язык теории категорий, можно классифицировать многие области математических исследований. Категории включают множества, группы и топологии.

Каждая категория отличается свойствами, которые являются общими для всех ее объектов, такими как пустое множество или произведение двух топологий , однако в определении категории объекты считаются атомарными, т. е. мы не знаем, является ли объект A множеством, топологией или любым другим абстрактным понятием. Следовательно, задача состоит в том, чтобы определить специальные объекты, не ссылаясь на внутреннюю структуру этих объектов. Чтобы определить пустое множество, не ссылаясь на элементы, или топологию произведения, не ссылаясь на открытые множества, можно охарактеризовать эти объекты в терминах их отношений с другими объектами, как задано морфизмами соответствующих категорий. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти универсальные свойства , которые однозначно определяют интересующие объекты.

Многочисленные важные конструкции могут быть описаны чисто категориальным способом, если предел категории может быть развит и дуализирован, чтобы получить понятие копредела .

Эквивалентные категории

Возникает естественный вопрос: при каких условиях две категории можно считать по сути одинаковыми , в том смысле, что теоремы об одной категории можно легко преобразовать в теоремы о другой категории? Основной инструмент, который используется для описания такой ситуации, называется эквивалентностью категорий , которая задается соответствующими функторами между двумя категориями. Категориальная эквивалентность нашла многочисленные применения в математике.

Дальнейшие концепции и результаты

Определения категорий и функторов дают только самые основы категорической алгебры; дополнительные важные темы перечислены ниже. Хотя между всеми этими темами существуют сильные взаимосвязи, данный порядок можно рассматривать как руководство для дальнейшего чтения.

• Категория функторов D ^C имеет в качестве объектов функторы из C в D и в качестве морфизмов естественные преобразования таких функторов. Лемма Йонеды является одним из самых известных основных результатов теории категорий; она описывает представимые функторы в категориях функторов.
• Двойственность : Каждое утверждение, теорема или определение в теории категорий имеет дуальное , которое по сути получается путем «перестановки всех стрелок». Если одно утверждение истинно в категории C , то его дуальное истинно в дуальной категории C ^op . Эта дуальность, которая прозрачна на уровне теории категорий, часто скрыта в приложениях и может привести к удивительным отношениям.
• Сопряженные функторы : функтор может быть слева (или справа) сопряженным к другому функтору, который отображается в противоположном направлении. Такая пара сопряженных функторов обычно возникает из конструкции, определяемой универсальным свойством; это можно рассматривать как более абстрактный и мощный взгляд на универсальные свойства.

Категории более высокого измерения

Многие из вышеприведенных концепций, особенно эквивалентность категорий, сопряженные пары функторов и категории функторов, могут быть помещены в контекст категорий более высокой размерности . Вкратце, если мы рассматриваем морфизм между двумя объектами как «процесс, ведущий нас от одного объекта к другому», то категории более высокой размерности позволяют нам выгодно обобщить это, рассматривая «процессы более высокой размерности».

Например, (строгая) 2-категория — это категория вместе с «морфизмами между морфизмами», т. е. процессами, которые позволяют нам преобразовывать один морфизм в другой. Затем мы можем «составить» эти «биморфизмы» как горизонтально, так и вертикально, и нам требуется, чтобы выполнялся 2-мерный «закон обмена», связывающий два закона композиции. В этом контексте стандартным примером является Cat , 2-категория всех (малых) категорий, и в этом примере биморфизмы морфизмов являются просто естественными преобразованиями морфизмов в обычном смысле. Другим базовым примером является рассмотрение 2-категории с одним объектом; это по сути моноидальные категории . Бикатегории — это более слабое понятие 2-мерных категорий, в которых композиция морфизмов не является строго ассоциативной, а только ассоциативной «с точностью до» изоморфизма.

Этот процесс можно распространить на все натуральные числа n , и они называются n -категориями . Существует даже понятие ω-категории, соответствующей порядковому числу ω .

Категории более высокого порядка являются частью более широкой математической области алгебры более высокого порядка , концепции, введенной Рональдом Брауном . Для разговорного введения в эти идеи см. John Baez, 'A Tale of n-categories' (1996).

Исторические заметки

Прежде всего следует отметить, что вся концепция категории по сути является вспомогательной; наши основные концепции — это по сути концепции функтора и естественного преобразования [...]

—  Эйленберг и Маклейн (1945) ^[2]

В то время как конкретные примеры функторов и естественных преобразований были приведены Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Маклейном в статье 1942 года по теории групп ^[3] , эти концепции были введены в более общем смысле вместе с дополнительным понятием категорий в статье 1945 года тех же авторов ^[2] (которые обсуждали приложения теории категорий к области алгебраической топологии ). ^[4] Их работа была важной частью перехода от интуитивной и геометрической гомологии к гомологической алгебре , Эйленберг и Маклейн позже писали, что их целью было понять естественные преобразования, для чего сначала требовалось определение функторов, а затем категорий.

Станислав Улам и некоторые авторы, писавшие от его имени, утверждали, что подобные идеи были актуальны в конце 1930-х годов в Польше. Эйленберг был поляком и изучал математику в Польше в 1930-х годах. ^{[ требуется ссылка ]} Теория категорий также, в некотором смысле, является продолжением работы Эмми Нётер (одной из учителей Маклейна) по формализации абстрактных процессов; ^[5] Нётер поняла, что понимание типа математической структуры требует понимания процессов, которые сохраняют эту структуру ( гомоморфизмов ). ^{[ требуется ссылка ]} Эйленберг и Маклейн ввели категории для понимания и формализации процессов ( функторов ), которые связывают топологические структуры с алгебраическими структурами ( топологическими инвариантами ), которые их характеризуют.

Теория категорий была первоначально введена для нужд гомологической алгебры и широко расширена для нужд современной алгебраической геометрии ( теория схем ). Теорию категорий можно рассматривать как расширение универсальной алгебры , поскольку последняя изучает алгебраические структуры , а первая применяется к любому виду математической структуры и изучает также отношения между структурами различной природы. По этой причине она используется во всей математике. Приложения к математической логике и семантике ( категориальная абстрактная машина ) появились позже.

Определенные категории, называемые топосами (сингулярные топосы ), могут даже служить альтернативой аксиоматической теории множеств как основе математики. Топос также можно рассматривать как особый тип категории с двумя дополнительными аксиомами топоса. Эти основополагающие приложения теории категорий были разработаны довольно подробно в качестве основы и обоснования конструктивной математики . Теория топосов является формой абстрактной теории пучков , имеющей геометрическое происхождение, и приводит к таким идеям, как бесточечная топология .

Категориальная логика теперь является четко определенной областью, основанной на теории типов для интуиционистской логики , с приложениями в функциональном программировании и теории доменов , где декартова замкнутая категория берется как несинтаксическое описание лямбда -исчисления . По крайней мере, язык теории категорий проясняет, что именно эти связанные области имеют общего (в некотором абстрактном смысле).

Теория категорий применялась и в других областях, см. прикладная теория категорий . Например, Джон Баэз показал связь между диаграммами Фейнмана в физике и моноидальными категориями. ^[6] Другое применение теории категорий, а точнее теории топосов, было сделано в математической теории музыки, см., например, книгу « Топосы музыки, геометрическая логика понятий, теория и исполнение» Герино Маццолы .

Более поздние попытки познакомить студентов с категориями как основой математики включают работы Уильяма Ловера и Роузбру (2003), а также Ловера и Стивена Шануэля (1997) и Миррослава Йотова (2012).

Смотрите также

• Математический портал

• Теория домена
• Обогащенная теория категорий
• Глоссарий теории категорий
• Теория групп
• Теория высшей категории
• Многомерная алгебра
• Важные публикации по теории категорий
• Лямбда-исчисление
• Очерк теории категорий
• Хронология теории категорий и смежной математики
• Прикладная теория категорий

Примечания

1. Некоторые авторы пишут в обратном порядке, записывая fg или f ∘ g вместо g ∘ f . Специалисты по информатике, использующие теорию категорий, очень часто пишут f  ; g вместо g ∘ f
2. Морфизм, который является одновременно эпическим и моническим, не обязательно является изоморфизмом. Элементарный контрпример: в категории, состоящей из двух объектов A и B , тождественных морфизмов и одного морфизма f из A в B , f является одновременно эпическим и моническим, но не является изоморфизмом.

Ссылки

Цитаты

1. Маркиз, Жан-Пьер (2023), Залта, Эдвард Н.; Нодельман, Ури (ред.), «Теория категорий», Стэнфордская энциклопедия философии (ред. осень 2023 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , дата обращения 23 апреля 2024 г.
2. Eilenberg, Samuel; Mac Lane, Saunders (1945). "Общая теория естественных эквивалентностей" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 58 : 247. doi :10.1090/S0002-9947-1945-0013131-6. ISSN  0002-9947. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-10.
3. Эйленберг, С.; Маклейн, С. (1942). "Расширения групп и гомологии" . Annals of Mathematics . 43 (4): 757–831. doi :10.2307/1968966. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968966 – через JSTOR .
4. Маркиз, Жан-Пьер (2019). «Теория категорий». Стэнфордская энциклопедия философии . Кафедра философии, Стэнфордский университет . Получено 26 сентября 2022 г.
5. Рек, Эрих (2020). Предыстория математического структурализма (1-е изд.). Oxford University Press. С. 215–219. ISBN 9780190641221.
6. Baez, JC; Stay, M. (2010). "Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень". Новые структуры для физики . Конспект лекций по физике. Том 813. С. 95–172. arXiv : 0903.0340 . doi :10.1007/978-3-642-12821-9_2. ISBN 978-3-642-12820-2. S2CID  115169297.

Источники

• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст ; Стрекер, Джордж Э. (2004). Абстрактные и конкретные категории. Хельдерманн Верлаг Берлин.
• Аводей, Стив (2010). Теория категорий . Oxford University Press. ISBN 978-0199237180.
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2012) [1995], Теория категорий для вычислительной науки, Переиздания в Теории и приложениях категорий, т. 22 (3-е изд.).
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2005), Топосы, тройки и теории, Переиздания в Теории и приложениях категорий, т. 12, MR  2178101.
• Борсе, Фрэнсис (1994). Справочник по категорической алгебре. Энциклопедия математики и ее приложений. Cambridge University Press. С. 50–52. ISBN 9780521441780.
• Фрейд, Питер Дж. (2003) [1964]. Абелевы категории. Переиздания в Theory and Applications of Categories. Том 3.
• Фрейд, Питер Дж .; Скедров, Андре (1990). Категории, аллегории. Математическая библиотека Северной Голландии. Том 39. Северная Голландия. ISBN 978-0-08-088701-2.
• Голдблатт, Роберт (2006) [1979]. Topoi: Категориальный анализ логики. Исследования по логике и основаниям математики. Том 94. Дувр. ISBN 978-0-486-45026-1.
• Херрлих, Хорст ; Стрекер, Джордж Э. (2007). Теория категорий (3-е изд.). Хельдерманн Верлаг Берлин. ISBN 978-3-88538-001-6..
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006). Категории и пучки. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Том. 332. Спрингер. ISBN 978-3-540-27949-5.
• Ловер, Ф. Уильям ; Роузбрю, Роберт (2003). Наборы для математики . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3.
• Ловер, Ф. Уильям; Шануэль, Стивен Хоэль (2009) [1997]. Концептуальная математика: Первое введение в категории (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89485-2.
• Лейнстер, Том [на немецком языке] (2004). Высшие операды, высшие категории. Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 298. Cambridge University Press . стр. 448. Bibcode : 2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0. Архивировано из оригинала 2003-10-25 . Получено 2006-04-03 .
• Лейнстер, Том [на немецком языке] (2014). Базовая теория категорий. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 143. Cambridge University Press. arXiv : 1612.09375 . ISBN 9781107044241.
• Лури, Якоб (2009). Теория высшего топоса . Анналы математических исследований. Том 170. Princeton University Press. arXiv : math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0. МР  2522659.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics. Том 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98403-2. МР  1712872.
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (2-е изд.). Челси. ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Мартини, А.; Эхриг, Х.; Нунес, Д. (1996). «Элементы базовой теории категорий». Технический отчет . 96 (5).
• Mazzola, Guerino (2002). Топос музыки, геометрическая логика концепций, теория и исполнение . Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-5731-3.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ред. (2004). Категориальные основы. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 97. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-83414-8. Збл  1034.18001.
• Пирс, Бенджамин С. (1991). Базовая теория категорий для специалистов по информатике. MIT Press. ISBN 978-0-262-66071-6.
• Schalk, A.; Simmons, H. (2005). Введение в теорию категорий в четырех простых движениях (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2017-03-21 . Получено 2007-12-03 .Заметки к курсу, предлагаемому в рамках программы магистратуры по математической логике в Манчестерском университете .
• Симмонс, Гарольд (2011), Введение в теорию категорий , ISBN 978-0521283045.
• Симпсон, Карлос (2010). Гомотопическая теория высших категорий. arXiv : 1001.4071 . Bibcode :2010arXiv1001.4071S., черновик книги.
• Тейлор, Пол (1999). Практические основы математики. Кембриджские исследования по высшей математике. Том 59. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63107-5.
• Тури, Даниэле (1996–2001). «Конспект лекций по теории категорий» (PDF) . Получено 11 декабря 2009 г. .На основе Mac Lane 1998.

Дальнейшее чтение

• Маркиз, Жан-Пьер (2008). С геометрической точки зрения: исследование истории и философии теории категорий . Springer. ISBN 978-1-4020-9384-5.

Внешние ссылки

• Теория и применение категорий, электронный журнал по теории категорий, полный текст, бесплатно, с 1995 года.
• Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques, электронный журнал по теории категорий, полный текст, бесплатно, финансируется в 1957 году.
• nLab, вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения.
• Кафе n-Category, по сути, коллоквиум по темам теории категорий.
• Теория категорий, веб-страница со ссылками на конспекты лекций и свободно доступные книги по теории категорий.
• Хиллман, Крис (2001), Категориальный учебник , CiteSeerX  10.1.1.24.3264, формальное введение в теорию категорий.
• Адамек, Дж.; Херрлих, Х.; Штекер, Г. «Абстрактные и конкретные категории — радость кошек» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2006-06-10.
• Статья Жана-Пьера Марки «Теория категорий» в Стэнфордской энциклопедии философии с обширной библиографией.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баез, Джон (1996). «Сказка об n-категориях».— Неформальное введение в категории более высокого порядка.
• WildCats — пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
• Канал Catsters на YouTube , посвященный теории категорий.
• Теория категорий в PlanetMath ..
• Видеоархив записанных докладов по категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница, генерирующая примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.
• Теория категорий для естественных наук, руководство по теории категорий как инструменту во всех областях науки.
• Теория категорий для программистов Книга в форме блога, объясняющая теорию категорий для программистов.
• Введение в теорию категорий.