В математике натуральными числами являются числа 1, 2, 3 и т. д., возможно, включая и 0. [ в обсуждении ] В некоторых определениях, включая стандарт ISO 80000-2 , [1] натуральные числа начинаются с 0 , что соответствует неотрицательным целым числам 0, 1, 2, 3, ... , тогда как другие начинаются с 1 , соответствующие положительным целым числам 1, 2, 3, ... [2] [a] Тексты, которые исключают ноль из натуральных чисел, иногда называют натуральные числа вместе с нулем целыми числами , в то время как в других произведениях этот термин вместо этого используется для целых чисел (включая отрицательные целые числа). [4] В обычном языке, особенно в начальной школе, натуральные числа можно назвать счетными числами [5] , чтобы интуитивно исключить целые отрицательные числа и ноль, а также противопоставить дискретность счета непрерывности измерения — отличительной характеристике вещественные числа .
Натуральные числа можно использовать для подсчета (например, « на столе шесть монет»), и в этом случае они служат количественными числами . Их также можно использовать для упорядочивания (например, «это третий по величине город в стране»), и в этом случае они служат порядковыми числами . Натуральные числа иногда используются в качестве меток, также известных как номинальные числа (например, номера на футболках в спорте), которые не обладают свойствами чисел в математическом смысле. [3] [6]
Натуральные числа образуют набор , часто обозначаемый как . Многие другие наборы чисел создаются путем последовательного расширения набора натуральных чисел: целые числа за счет включения аддитивного тождества 0 (если оно еще не введено) и аддитивного обратного значения − n для каждого ненулевого натурального числа n ; рациональные числа , включая мультипликативное обратное для каждого ненулевого целого числа n (а также произведение этих обратных чисел на целые числа); действительные числа путем включения пределов последовательностей Коши [b] рациональных чисел; комплексные числа путем присоединения к действительным числам квадратного корня из −1 (а также их сумм и произведений); и так далее. [c] [d] Эта цепочка расширений канонически встраивает натуральные числа в другие системы счисления.
Свойства натуральных чисел, такие как делимость и распределение простых чисел , изучаются в теории чисел . Проблемы, связанные со счетом и упорядочиванием, такие как разбиение и перечисления , изучаются в комбинаторике .
Самый примитивный метод представления натурального числа — использование пальцев, например, при счете пальцев . Еще одним примитивным методом является проставление метки для каждого объекта. Позже набор объектов можно было проверить на равенство, избыток или недостаток — вычеркнув отметку и удалив объект из набора.
Первым крупным достижением в области абстракции стало использование цифр для обозначения чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали мощную систему цифр с отдельными иероглифами для 1, 10 и всех степеней от 10 до более чем 1 миллиона. Резьба по камню из Карнака , датируемая примерно 1500 годом до нашей эры и ныне находящаяся в Лувре в Париже, изображает 276 как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622. У вавилонян была система разрядов , основанная в основном на цифрах 1 и 10 с основанием шестьдесят, так что символ шестидесяти был таким же, как и символ единицы, — его значение определялось из контекста. [10]
Гораздо более поздним достижением стало развитие идеи о том, что можно рассматривать как число со своей собственной цифрой. Использование цифры 0 в позиционной записи (внутри других чисел) восходит к 700 г. до н. э. вавилонянами, которые опускали такую цифру, когда она должна была быть последним символом в числе. [e] Цивилизации ольмеков и майя использовали 0 как отдельное число еще в I веке до нашей эры , но это использование не распространилось за пределы Мезоамерики . [12] [13] Использование цифры 0 в наше время возникло благодаря индийскому математику Брахмагупте в 628 году нашей эры. Однако 0 использовался как число в средневековых вычислениях (вычислении даты Пасхи), начиная с Дионисия Эксигууса в 525 году нашей эры, без обозначения цифры. Стандартные римские цифры не имеют символа 0; вместо этого для обозначения значения 0 использовалось nulla (или форма родительного падежа nullae ) от nullus , латинского слова, означающего «нет». [14]
Первое систематическое исследование чисел как абстракций обычно приписывают греческим философам Пифагору и Архимеду . Некоторые греческие математики трактовали число 1 иначе, чем большие числа, а иногда даже вообще не как число. [f] Евклид , например, определил сначала единицу, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению, единица не является числом и не существует уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного числа единиц являются а 2). [16] Однако в определении совершенного числа , которое появляется вскоре после этого, Евклид рассматривает 1 как число, подобное любому другому. [17]
Независимые исследования численности также проводились примерно в то же время в Индии , Китае и Мезоамерике . [18]
В Европе XIX века велись математические и философские дискуссии о точной природе натуральных чисел. Анри Пуанкаре заявил, что аксиомы можно продемонстрировать только в их конечном применении, и пришел к выводу, что именно «сила разума» позволяет представить себе бесконечное повторение одного и того же действия. [19] Леопольд Кронекер резюмировал свою веру так: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека». [г]
Конструктивисты видели необходимость улучшить логическую строгость оснований математики . [h] В 1860-х годах Герман Грассманн предложил рекурсивное определение натуральных чисел, тем самым заявив, что они на самом деле не естественны, а являются следствием определений. Позднее были построены два класса таких формальных определений; еще позже было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.
Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге . Первоначально он определил натуральное число как класс всех множеств, находящихся во взаимно однозначном соответствии с определенным набором. Однако это определение привело к парадоксам, в том числе к парадоксу Рассела . Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как определенный набор, и говорят, что любой набор, который можно привести во взаимно однозначное соответствие с этим набором, имеет такое количество элементов. [22]
Второй класс определений был введен Чарльзом Сандерсом Пирсом , уточнен Ричардом Дедекиндом и дополнительно исследован Джузеппе Пеано ; этот подход теперь называется арифметикой Пеано . Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел : каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равносовместима с несколькими слабыми системами теории множеств . Одной из таких систем является ZFC , в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. [ нужна цитата ] Теоремы, которые могут быть доказаны в ZFC, но не могут быть доказаны с использованием аксиом Пеано, включают теорему Гудштейна . [23]
Учитывая все эти определения, удобно включить 0 (соответствующий пустому множеству ) как натуральное число. Включение 0 теперь является общепринятым соглашением среди теоретиков множеств [24] и логиков. [25] Другие математики также включают 0, [i] и компьютерные языки часто начинают с нуля при перечислении таких элементов, как счетчики циклов и элементы строк или массивов . [26] [27] С другой стороны, многие математики сохранили старую традицию считать 1 первым натуральным числом. [28]
Набор всех натуральных чисел обычно обозначается N или [3] [29]. В старых текстах иногда использовался J в качестве символа этого набора. [30]
Поскольку натуральные числа могут содержать 0 или нет, может быть важно знать, о какой версии идет речь. Это часто определяется контекстом, но также может быть сделано с использованием нижнего или верхнего индекса в обозначениях, например: [1] [31]
В качестве альтернативы, поскольку натуральные числа естественным образом образуют подмножество целых чисел (часто обозначаемых ), их можно называть положительными или неотрицательными целыми числами соответственно. [32] Чтобы однозначно определить, включен ли 0 или нет, иногда в первом случае добавляется верхний индекс « » или «+», а во втором случае добавляется нижний индекс (или верхний индекс) «0»: [1]
В этом разделе используется соглашение .
Учитывая набор натуральных чисел и функцию-преемник , отправляющую каждое натуральное число к следующему, можно рекурсивно определить сложение натуральных чисел, установив a + 0 = a и a + S ( b ) = S ( a + b ) для всех а , б . Таким образом, а + 1 = а + S(0) = S( а +0) = S( а ) , а + 2 = а + S(1) = S( а +1) = S(S( а )) , и так далее. Алгебраическая структура представляет собой коммутативный моноид с единицей 0. Это свободный моноид с одним образующим. Этот коммутативный моноид удовлетворяет свойству отмены , поэтому его можно вложить в группу . Наименьшая группа, содержащая натуральные числа, — это целые числа .
Если 1 определяется как S (0) , то b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ) . То есть b + 1 является просто преемником b .
Аналогично, учитывая, что сложение определено, оператор умножения можно определить через a × 0 = 0 и a × S( b ) = ( a × b ) + a . Это превращается в свободный коммутативный моноид с единичным элементом 1; генераторным набором этого моноида является набор простых чисел .
Сложение и умножение совместимы, что выражается в законе распределения : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Эти свойства сложения и умножения делают натуральные числа экземпляром коммутативного полукольца . Полукольца — это алгебраическое обобщение натуральных чисел, в котором умножение не обязательно коммутативно. Отсутствие аддитивных обратных, что эквивалентно тому, что оно не замкнуто при вычитании (т. е. вычитание одного натурального числа из другого не всегда приводит к другому натуральному), означает, что оно не является кольцом ; вместо этого это полукольцо (также известное как буровая установка ).
Если натуральные числа взяты как «исключая 0» и «начиная с 1», определения + и × такие же, как выше, за исключением того, что они начинаются с a + 1 = S ( a ) и a × 1 = a . Более того, не имеет элемента идентичности.
В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab , обозначают произведение a × b , [33] и предполагается стандартный порядок операций .
Полный порядок натуральных чисел определяется условием a ≤ b тогда и только тогда, когда существует другое натуральное число c , где a + c = b . Этот порядок совместим с арифметическими операциями в следующем смысле: если a , b и c — натуральные числа и a ≤ b , то a + c ≤ b + c и ac ≤ bc .
Важным свойством натуральных чисел является то, что они хорошо упорядочены : каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент. Ранг среди хорошо упорядоченных множеств выражается порядковым числом ; для натуральных чисел это обозначается как ω (омега).
В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab , обозначают произведение a × b , и предполагается стандартный порядок операций .
Хотя, как правило, невозможно разделить одно натуральное число на другое и получить в результате натуральное число, в качестве замены доступна процедура деления с остатком или евклидово деление : для любых двух натуральных чисел a и b с b ≠ 0 существует — натуральные числа q и r такие, что
Число q называется частным , а r — остатком от деления a на b . Числа q и r однозначно определяются значениями a и b . Это евклидово деление является ключом к нескольким другим свойствам ( делимости ), алгоритмам (таким как алгоритм Евклида ) и идеям теории чисел.
Операции сложения (+) и умножения (×) натуральных чисел, определенные выше, имеют несколько алгебраических свойств:
Два важных обобщения натуральных чисел возникают из двух применений счета и упорядочивания: кардинальные числа и порядковые числа .
Наименьший порядковый номер мощности ℵ 0 (то есть начальный ординал ℵ 0 ) равен ω , но многие упорядоченные множества с кардинальным числом ℵ 0 имеют порядковый номер больше ω .
Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует взаимно однозначное соответствие между порядковыми и кардинальными числами; следовательно, они оба могут быть выражены одним и тем же натуральным числом — количеством элементов множества. Это число также можно использовать для описания положения элемента в более крупной конечной или бесконечной последовательности .
Счетная нестандартная модель арифметики, удовлетворяющая арифметике Пеано (то есть аксиомам Пеано первого порядка), была разработана Сколемом в 1933 году. Сверхнатуральные числа представляют собой несчетную модель, которая может быть построена из обычных натуральных чисел с помощью сверхстепенной конструкции . . Другие обобщения обсуждаются в разделе «Расширения концепции» .
Жорж Риб провокационно заявлял, что «наивные целые числа не заполняются ». [37]
Существует два стандартных метода формального определения натуральных чисел. Первая, названная в честь Джузеппе Пеано , состоит из автономной аксиоматической теории , называемой арифметикой Пеано , основанной на нескольких аксиомах, называемых аксиомами Пеано .
Второе определение основано на теории множеств . Он определяет натуральные числа как определенные множества . Точнее, каждое натуральное число n определяется как явно определенное множество, элементы которого позволяют подсчитывать элементы других множеств, в том смысле, что предложение «множество S имеет n элементов» означает, что существует однозначное соответствие между два набора n и S.
Множества, используемые для определения натуральных чисел, удовлетворяют аксиомам Пеано. Отсюда следует, что каждая теорема , которую можно сформулировать и доказать в арифметике Пеано, можно также доказать и в теории множеств. Однако эти два определения не эквивалентны, поскольку существуют теоремы, которые можно сформулировать в терминах арифметики Пеано и доказать в теории множеств, но которые невозможно доказать внутри арифметики Пеано. Вероятный пример — Великая теорема Ферма .
Определение целых чисел как множеств, удовлетворяющих аксиомам Пеано, обеспечивает модель арифметики Пеано внутри теории множеств. Важным следствием является то, что если теория множеств непротиворечива (как это обычно предполагается), то и арифметика Пеано непротиворечива. Другими словами, если бы в арифметике Пеано можно было доказать противоречие, то теория множеств была бы противоречивой, и каждая теорема теории множеств была бы одновременно истинной и неверной.
Пять аксиом Пеано таковы: [38] [j]
Это не оригинальные аксиомы, опубликованные Пеано, но названные в его честь. Некоторые формы аксиом Пеано имеют 1 вместо 0. В обычной арифметике преемником является .
Интуитивно понятно, что натуральное число n является общим свойством всех множеств , состоящих из n элементов. Итак, кажется естественным определить n как класс эквивалентности по отношению «может быть выполнено во взаимно однозначном соответствии ». Это не работает в теории множеств , поскольку такой класс эквивалентности не будет множеством (из-за парадокса Рассела ). Стандартное решение — определить конкретный набор из n элементов, который будет называться натуральным числом n .
Следующее определение было впервые опубликовано Джоном фон Нейманом [39] , хотя Леви приписывает эту идею неопубликованной работе Цермело в 1916 году. [40] Поскольку это определение распространяется на бесконечное множество как определение порядкового числа , множества, рассматриваемые ниже, иногда называются ординалами фон Неймана .
Определение происходит следующим образом:
Отсюда следует, что натуральные числа определяются итеративно следующим образом:
Можно проверить, что натуральные числа удовлетворяют аксиомам Пеано .
С помощью этого определения, учитывая натуральное число n , предложение «множество S имеет n элементов» может быть формально определено как «существует биекция от n до S ». Это формализует операцию подсчета элементов S. Кроме того, n ≤ m тогда и только тогда, когда n является подмножеством m . Другими словами, включение множества определяет обычный общий порядок натуральных чисел. Этот порядок является хорошим порядком .
Из определения следует, что каждое натуральное число равно множеству всех натуральных чисел, меньших его. Это определение можно расширить до определения ординалов фон Неймана для определения всех порядковых чисел , включая бесконечные: «каждый ординал представляет собой хорошо упорядоченный набор всех меньших ординалов».
Если не принять аксиому бесконечности , натуральные числа не могут образовывать множество. Тем не менее, натуральные числа по-прежнему могут быть определены индивидуально, как указано выше, и они по-прежнему удовлетворяют аксиомам Пеано.
Существуют и другие теоретические конструкции. В частности, Эрнст Цермело представил конструкцию, которая в настоящее время представляет лишь исторический интерес и которую иногда называютПорядковые номера Цермело . [40]Он заключается в определении0как пустого множества и S ( a ) = { a }.
Согласно этому определению каждое натуральное число представляет собой одноэлементное множество . Итак, свойство натуральных чисел представлять мощности напрямую недоступно; только порядковое свойство (являющееся n- м элементом последовательности) является непосредственным. В отличие от конструкции фон Неймана, ординалы Цермело не распространяются на бесконечные ординалы.
Совершенное число – это то, которое равно сумме своих частей.В определении VII.3 «часть» определялась как число, но здесь 1 считается частью, так что, например, 6 = 1 + 2 + 3 является совершенным числом.
...множество натуральных чисел замкнуто при сложении... множество натуральных чисел замкнуто при умножении
Сложение натуральных чисел ассоциативно.