Система реакция-диффузия

Тип математической модели

Моделирование двух виртуальных химических веществ, реагирующих и диффундирующих на торе с использованием модели Грея–Скотта

Системы реакция-диффузия — это математические модели, которые соответствуют нескольким физическим явлениям. Наиболее распространенным является изменение в пространстве и времени концентрации одного или нескольких химических веществ: локальные химические реакции , в которых вещества преобразуются друг в друга, и диффузия , которая заставляет вещества распространяться по поверхности в пространстве.

Системы реакции-диффузии естественным образом применяются в химии . Однако система может также описывать динамические процессы нехимической природы. Примеры можно найти в биологии , геологии и физике (теория диффузии нейтронов) и экологии . Математически системы реакции-диффузии принимают форму полулинейных параболических уравнений в частных производных . Их можно представить в общем виде

${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\underline {\boldsymbol {D}}}}\,\nabla ^{2}{\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}),}$

где q ( x , t ) представляет собой неизвестную векторную функцию, D — диагональная матрица коэффициентов диффузии , а R учитывает все локальные реакции. Решения уравнений реакции-диффузии демонстрируют широкий спектр поведения, включая образование бегущих волн и волнообразных явлений, а также других самоорганизованных узоров , таких как полосы, шестиугольники или более сложные структуры, такие как диссипативные солитоны . Такие узоры были названы « узорами Тьюринга ». ^[1] Каждая функция, для которой справедливо дифференциальное уравнение реакции-диффузии, фактически представляет собой переменную концентрации .

Однокомпонентные уравнения реакции-диффузии

Простейшее уравнение реакции-диффузии имеет одно пространственное измерение в плоской геометрии:

${\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),}$

также называется уравнением Колмогорова–Петровского–Пискунова . ^[2] Если член реакции равен нулю, то уравнение представляет собой чистый диффузионный процесс. Соответствующее уравнение — второй закон Фика . Выбор R ( u ) = u (1− u ) приводит к уравнению Фишера , которое изначально использовалось для описания распространения биологических популяций , ^[3] уравнению Ньюэлла–Уайтхеда–Сегеля с R ( u ) = u (1− u2 ⁾ для описания конвекции Рэлея–Бенара , ^{[4] [5]} более общему уравнению Зельдовича–Франка–Каменецкого с R ( u ) = u (1− u )e ^{- β (1- u )} и 0 < β < ∞ ( число Зельдовича ) ^, которое возникает в теории горения , ^[6] и его частному вырожденному случаю с R ( u ) = u2 − u3 ^, который иногда также называют уравнением Зельдовича. ^[7]

Динамика однокомпонентных систем имеет определенные ограничения, поскольку уравнение эволюции можно записать и в вариационной форме

${\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}$

и, следовательно, описывает постоянное уменьшение «свободной энергии», заданной функционалом ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\tfrac {D}{2}}\left(\partial _{x}u\right)^{2}-V(u)\right]\,{\text{d}}x}$

с потенциалом V ( u ) таким, что R ( u ) = ⁠д В ( у )/ты ?⁠ .

Решение уравнения Фишера методом бегущей волны.

В системах с более чем одним стационарным однородным решением типичное решение дается движущимися фронтами, соединяющими однородные состояния. Эти решения движутся с постоянной скоростью, не меняя своей формы, и имеют вид u ( x , t ) = û ( ξ ) с ξ = x − ct , где c — скорость движущейся волны. Обратите внимание, что в то время как движущиеся волны являются в общем устойчивыми структурами, все немонотонные стационарные решения (например, локализованные области, состоящие из пары фронт-антифрон) неустойчивы. Для c = 0 существует простое доказательство этого утверждения: ^[8] если u ₀ ( x ) — стационарное решение, а u = u ₀ ( x ) + ũ ( x , t ) — бесконечно мало возмущенное решение, линейный анализ устойчивости дает уравнение

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\qquad U(x)=-R^{\prime }(u){\Big |}_{u=u_{0}(x)}.}$

С помощью анзаца ũ = ψ ( x )exp(− λt ) приходим к задаче на собственные значения

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}$

типа Шредингера , где отрицательные собственные значения приводят к неустойчивости решения. Вследствие трансляционной инвариантности ψ = ∂ _x  u ₀ ( x ) является нейтральной собственной функцией с собственным значением λ = 0 , а все остальные собственные функции можно отсортировать по возрастающему числу узлов, причем величина соответствующего действительного собственного значения монотонно увеличивается с числом нулей. Собственная функция ψ = ∂ _x  u ₀ ( x ) должна иметь по крайней мере один нуль, а для немонотонного стационарного решения соответствующее собственное значение λ = 0 не может быть наименьшим, что подразумевает неустойчивость.

Чтобы определить скорость c движущегося фронта, можно перейти в движущуюся систему координат и рассмотреть стационарные решения:

${\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.}$

Это уравнение имеет хороший механический аналог в виде движения массы D с положением û в течение «времени» ξ под действием силы R с коэффициентом затухания c, что позволяет получить довольно наглядный доступ к построению различных типов решений и определению c .

При переходе от одного к большему количеству пространственных измерений ряд утверждений из одномерных систем все еще могут быть применены. Плоские или изогнутые волновые фронты являются типичными структурами, и новый эффект возникает, когда локальная скорость изогнутого фронта становится зависимой от локального радиуса кривизны (это можно увидеть, перейдя к полярным координатам ). Это явление приводит к так называемой неустойчивости, вызванной кривизной. ^[9]

Двухкомпонентные уравнения реакции-диффузии

Двухкомпонентные системы допускают гораздо больший диапазон возможных явлений, чем их однокомпонентные аналоги. Важная идея, впервые предложенная Аланом Тьюрингом, заключается в том, что состояние, которое является стабильным в локальной системе, может стать нестабильным при наличии диффузии . [ ^10]

Однако линейный анализ устойчивости показывает, что при линеаризации общей двухкомпонентной системы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}$

возмущение плоской волны

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}$

стационарного однородного раствора будет удовлетворять

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}+{\boldsymbol {R}}^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}.}$

Идея Тьюринга может быть реализована только в четырех классах эквивалентности систем, характеризуемых знаками якобиана R ′ функции реакции. В частности, если предполагается, что конечный волновой вектор k является наиболее нестабильным, якобиан должен иметь знаки

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.}$

Этот класс систем назван системой активатор-ингибитор по имени ее первого представителя: близко к основному состоянию, один компонент стимулирует производство обоих компонентов, а другой подавляет их рост. Его наиболее ярким представителем является уравнение Фицхью–Нагумо

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}}$

с f  ( u ) = λu − u ³ − κ , что описывает, как потенциал действия распространяется по нерву. ^{[11] [12]} Здесь d _u , d _v , τ , σ и λ — положительные константы. 

Когда система активатор-ингибитор претерпевает изменение параметров, можно перейти от условий, при которых однородное основное состояние устойчиво, к условиям, при которых оно линейно неустойчиво. Соответствующая бифуркация может быть либо бифуркацией Хопфа в глобально осциллирующее однородное состояние с доминирующим волновым числом k = 0 , либо бифуркацией Тьюринга в глобально структурированное состояние с доминирующим конечным волновым числом. Последнее в двух пространственных измерениях обычно приводит к полосовым или гексагональным узорам.

• Докритическая бифуркация Тьюринга: формирование гексагонального узора из зашумленных начальных условий в указанной выше двухкомпонентной системе реакция-диффузия типа Фицхью-Нагумо.
• Зашумленные начальные условия при t  = 0.
• Состояние системы при t  = 10.
• Почти конвергентное состояние при t  = 100.

Для примера Фицхью–Нагумо нейтральные кривые устойчивости, отмечающие границу линейно устойчивой области для бифуркации Тьюринга и Хопфа, задаются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}}$

Если бифуркация является субкритической, часто локализованные структуры ( диссипативные солитоны ) можно наблюдать в гистерезисной области, где паттерн сосуществует с основным состоянием. Другие часто встречающиеся структуры включают импульсные последовательности (также известные как периодические бегущие волны ), спиральные волны и целевые паттерны. Эти три типа решений также являются общими чертами двух- (или более-) компонентных уравнений реакции-диффузии, в которых локальная динамика имеет устойчивый предельный цикл ^[13]

• Другие закономерности, обнаруженные в приведенной выше двухкомпонентной реакционно-диффузионной системе типа Фицхью–Нагумо.
• Вращающаяся спираль.
• Целевой рисунок.
• Стационарный локализованный импульс (диссипативный солитон).

Уравнения реакции-диффузии с тремя и более компонентами

Для различных систем были предложены уравнения реакции-диффузии с более чем двумя компонентами, например, реакция Белоусова-Жаботинского ^[14] для свертывания крови [ ^15] волн деления ^[16] или плоских газоразрядных систем. ^[17]

Известно, что системы с большим количеством компонентов допускают множество явлений, невозможных в системах с одним или двумя компонентами (например, устойчивые бегущие импульсы в более чем одном пространственном измерении без глобальной обратной связи). ^[18] Введение и систематический обзор возможных явлений в зависимости от свойств базовой системы даются в. ^[19]

Применения и универсальность

В последнее время системы реакции-диффузии привлекли большой интерес в качестве прототипной модели для формирования паттернов . ^[20] Вышеупомянутые паттерны (фронты, спирали, мишени, шестиугольники, полосы и диссипативные солитоны) можно найти в различных типах систем реакции-диффузии, несмотря на большие расхождения, например, в локальных терминах реакции. Также утверждалось, что процессы реакции-диффузии являются существенной основой для процессов, связанных с морфогенезом в биологии ^{[21] [22]} и могут даже быть связаны с шерстью животных и пигментацией кожи. ^{[23] [24]} Другие приложения уравнений реакции-диффузии включают экологические вторжения, ^[25] распространение эпидемий, ^[26] рост опухолей, ^{[27] [28] [29]} динамику волн деления, ^[30] заживление ран ^[31] и зрительные галлюцинации. ^[32] Другая причина интереса к системам реакции-диффузии заключается в том, что, хотя они и являются нелинейными уравнениями в частных производных, часто существуют возможности для аналитического рассмотрения. ^{[8] [9] [33] [34] [35] [20]}

Эксперименты

Хорошо контролируемые эксперименты в системах химической реакции-диффузии до сих пор были реализованы тремя способами. Во-первых, могут быть использованы гелевые реакторы ^[36] или заполненные капиллярные трубки ^[37] . Во-вторых, были исследованы температурные импульсы на каталитических поверхностях . ^{[38] [39]} В-третьих, распространение бегущих нервных импульсов моделируется с использованием систем реакции-диффузии. ^{[11] [40]}

Помимо этих общих примеров, оказалось, что при соответствующих обстоятельствах электрические транспортные системы, такие как плазма ^[41] или полупроводники ^[42], могут быть описаны в подходе реакции-диффузии. Для этих систем были проведены различные эксперименты по формированию паттернов.

Численные методы лечения

Система реакции-диффузии может быть решена с помощью методов численной математики . В исследовательской литературе существует несколько численных методов решения. ^{[43] [20] [44]} Также для сложных геометрий предлагаются методы численного решения. ^{[45] [46]} Для наивысшей степени детализации системы реакции-диффузии описываются с помощью инструментов моделирования на основе частиц, таких как SRSim или ReaDDy ^[47] , которые используют, например, обратимую динамику реакции взаимодействующих частиц. ^[48]

Смотрите также

• Автоволна
• Реакция, контролируемая диффузией
• Химическая кинетика
• Метод фазового пространства
• Автокаталитические реакции и создание порядка
• Формирование паттерна
• Закономерности в природе
• Периодическая бегущая волна
• Стохастическая геометрия
• MКлон
• Химическая основа морфогенеза
• шаблон Тьюринга
• Многоуровневое моделирование биомолекул

Примеры

• Уравнение Фишера
• Уравнение Зельдовича–Франк-Каменецкого
• Модель ФицХью–Нагумо
• Краска от морщин

Ссылки

1. Wooley, TE, Baker, RE , Maini, PK , Глава 34, Теория морфогенеза Тьюринга . В Copeland, B. Jack ; Bowen, Jonathan P.; Wilson , Robin ; Sprevak, Mark (2017). The Turing Guide . Oxford University Press . ISBN 978-0198747826.
2. Колмогоров, А., Петровский, И. и Пискунов, Н. (1937) Исследование уравнения диффузии, связанного с ростом качества материи, и его применение к биологической задаче. Вестник Московского университета по математике, 1, 1-26.
3. Р. А. Фишер, Энн. Евг. 7 (1937): 355
4. Newell, Alan C.; Whitehead, JA (3 сентября 1969 г.). «Конечная полоса пропускания, конвекция с конечной амплитудой». Journal of Fluid Mechanics . 38 (2). Cambridge University Press (CUP): 279–303. Bibcode : 1969JFM....38..279N. doi : 10.1017/s0022112069000176. ISSN  0022-1120. S2CID  73620481.
5. Segel, Lee A. (14 августа 1969 г.). «Отдалённые боковые стенки вызывают медленную амплитудную модуляцию ячеичной конвекции». Journal of Fluid Mechanics . 38 (1). Cambridge University Press (CUP): 203–224. Bibcode : 1969JFM....38..203S. doi : 10.1017/s0022112069000127. ISSN  0022-1120. S2CID  122764449.
6. Я. Б. Зельдович и Д. А. Франк-Каменецкий, Acta Physicochim. 9 (1938): 341
7. BH Gilding и R. Kersner, Бегущие волны в нелинейной диффузионно-конвективной реакции, Birkhäuser (2004)
8. PC Fife, Математические аспекты реагирующих и диффузионных систем, Springer (1979)
9. А.С. Михайлов, Основы синергетики I. Распределенные активные системы, Springer (1990)
10. Turing, AM (14 августа 1952 г.). «Химическая основа морфогенеза». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences . 237 (641). The Royal Society: 37–72. Bibcode : 1952RSPTB.237...37T. doi : 10.1098/rstb.1952.0012 . ISSN  2054-0280.
11. FitzHugh, Richard (1961). «Импульсы и физиологические состояния в теоретических моделях нервной мембраны». Biophysical Journal . 1 (6). Elsevier BV: 445–466. Bibcode : 1961BpJ.....1..445F. doi : 10.1016/s0006-3495(61)86902-6 . ISSN  0006-3495. PMC 1366333. PMID  19431309 . 
12. Дж. Нагумо и др., Proc. Инст. Радио Энгин. Электр. 50 (1962): 2061
13. Копелл, Н.; Ховард, Л. Н. (1973). «Плоские волновые решения уравнений реакции-диффузии». Исследования по прикладной математике . 52 (4). Wiley: 291–328. doi :10.1002/sapm1973524291. ISSN  0022-2526.
14. Ванаг, Владимир К.; Эпштейн, Ирвинг Р. (24 марта 2004 г.). "Стационарные и колебательные локализованные модели и докритические бифуркации". Physical Review Letters . 92 (12). Американское физическое общество (APS): 128301. Bibcode : 2004PhRvL..92l8301V. doi : 10.1103/physrevlett.92.128301. ISSN  0031-9007. PMID  15089714.
15. Лобанова, ES; Атауллаханов, FI (26 августа 2004 г.). «Бегущие импульсы сложной формы в модели реакции-диффузии». Physical Review Letters . 93 (9). Американское физическое общество (APS): 098303. Bibcode : 2004PhRvL..93i8303L. doi : 10.1103/physrevlett.93.098303. ISSN  0031-9007. PMID  15447151.
16. Osborne, AG; Recktenwald, GD; Deinert, MR (июнь 2012 г.). «Распространение одиночной волны деления». Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science . 22 (2): 023148. Bibcode : 2012Chaos..22b3148O. doi : 10.1063/1.4729927. hdl : 2152/43281 . ISSN  1054-1500. PMID  22757555.
17. Х.-Г. Пурвинс и др. в: Диссипативные солитоны, Конспект лекций по физике, под ред. Н. Ахмедиева и А. Анкевича, Springer (2005)
18. Шенк, CP; Ор-Гил, M.; Боде, M.; Пурвинс, H.-G. (12 мая 1997 г.). «Взаимодействующие импульсы в трехкомпонентных системах реакции-диффузии в двумерных доменах». Physical Review Letters . 78 (19). Американское физическое общество (APS): 3781–3784. Bibcode : 1997PhRvL..78.3781S. doi : 10.1103/physrevlett.78.3781. ISSN  0031-9007.
19. AW Liehr: Диссипативные солитоны в системах реакции-диффузии. Механизм, динамика, взаимодействие. Том 70 серии Springer по синергетике, Springer, Берлин-Гейдельберг 2013, ISBN 978-3-642-31250-2 
20. Gupta, Ankur; Chakraborty, Saikat (январь 2009 г.). «Анализ линейной устойчивости моделей высокой и низкой размерности для описания образования структур, ограниченных смешиванием, в гомогенных автокаталитических реакторах». Chemical Engineering Journal . 145 (3): 399–411. doi :10.1016/j.cej.2008.08.025. ISSN  1385-8947.
21. LG Harrison, Кинетическая теория жизненного паттерна, Cambridge University Press (1993)
22. Дюран-Небреда, Сальва; Пла, Джорди; Видиелла, Блай; Пиньеро, Хорди; Конде-Пуэйо, Нурия; Соле, Рикар (15 января 2021 г.). «Синтетическое латеральное ингибирование периодического паттерна формирования микробных колоний». ACS Синтетическая биология . 10 (2): 277–285. doi : 10.1021/acsynbio.0c00318. ISSN  2161-5063. ПМЦ 8486170 . ПМИД  33449631. 
23. Х. Мейнхардт, Модели формирования биологических паттернов, Academic Press (1982)
24. Мюррей, Джеймс Д. (9 марта 2013 г.). Математическая биология. Springer Science & Business Media. стр. 436–450. ISBN 978-3-662-08539-4.
25. Холмс, EE; Льюис, MA; Бэнкс, JE; Вайт, RR (1994). «Уравнения с частными производными в экологии: пространственные взаимодействия и динамика популяций». Экология . 75 (1). Wiley: 17–29. doi :10.2307/1939378. ISSN  0012-9658. JSTOR  1939378. S2CID  85421773.
26. Мюррей, Джеймс Д.; Стэнли, EA; Браун, DL (22 ноября 1986 г.). «О пространственном распространении бешенства среди лис». Труды Лондонского королевского общества. Серия B. Биологические науки . 229 (1255). Королевское общество: 111–150. Bibcode : 1986RSPSB.229..111M. doi : 10.1098/rspb.1986.0078. ISSN  2053-9193. PMID  2880348. S2CID  129301761.
27. Chaplain, MAJ (1995). «Предварительное формирование реакции–диффузии и его потенциальная роль в инвазии опухолей». Журнал биологических систем . 03 (4). World Scientific Pub Co Pte Lt: 929–936. doi :10.1142/s0218339095000824. ISSN  0218-3390.
28. Sherratt, JA; Nowak, MA (22 июня 1992 г.). «Онкогены, антионкогены и иммунный ответ на рак: математическая модель». Труды Королевского общества B: Биологические науки . 248 (1323). Королевское общество: 261–271. doi :10.1098/rspb.1992.0071. ISSN  0962-8452. PMID  1354364. S2CID  11967813.
29. RA Gatenby и ET Gawlinski, Cancer Res. 56 (1996): 5745
30. Осборн, Эндрю Г.; Дейнерт, Марк Р. (октябрь 2021 г.). «Устойчивость, нестабильность и бифуркация Хопфа в волнах деления». Cell Reports Physical Science . 2 (10): 100588. Bibcode : 2021CRPS....200588O. doi : 10.1016/j.xcrp.2021.100588 . S2CID  240589650.
31. Sherratt, JA; Murray, JD (23 июля 1990 г.). «Модели заживления эпидермальных ран». Труды Королевского общества B: Биологические науки . 241 (1300). Королевское общество: 29–36. doi :10.1098/rspb.1990.0061. ISSN  0962-8452. PMID  1978332. S2CID  20717487.
32. «Математическая теория, объясняющая, почему люди галлюцинируют». 30 июля 2018 г.
33. П. Гриндрод, Модели и волны: теория и применение уравнений реакции-диффузии, Clarendon Press (1991)
34. Дж. Смоллер, Ударные волны и уравнения реакции диффузии, Springer (1994)
35. Б. С. Кернер и В. В. Осипов, Автосолитоны. Новый подход к проблемам самоорганизации и турбулентности, Kluwer Academic Publishers (1994)
36. Ли, Кён-Джин; Маккормик, Уильям Д.; Пирсон, Джон Э.; Суинни, Гарри Л. (1994). «Экспериментальное наблюдение самовоспроизводящихся пятен в реакционно-диффузионной системе». Nature . 369 (6477). Springer Nature: 215–218. Bibcode :1994Natur.369..215L. doi :10.1038/369215a0. ISSN  0028-0836. S2CID  4257570.
37. Hamik, Chad T; Steinbock, Oliver (6 июня 2003 г.). "Волны возбуждения в реакционно-диффузионных средах с немонотонными дисперсионными соотношениями". New Journal of Physics . 5 (1). IOP Publishing: 58. Bibcode : 2003NJPh....5...58H. doi : 10.1088/1367-2630/5/1/358 . ISSN  1367-2630.
38. Ротермунд, ХХ; Якубит, С.; фон Эртцен, А.; Эртль, Г. (10 июня 1991 г.). «Солитоны в поверхностной реакции». Physical Review Letters . 66 (23). Американское физическое общество (APS): 3083–3086. Bibcode :1991PhRvL..66.3083R. doi :10.1103/physrevlett.66.3083. ISSN  0031-9007. PMID  10043694.
39. Грэм, Майкл Д.; Лейн, Сэмюэл Л.; Ласс, Дэн (1993). «Динамика температурного импульса на каталитическом кольце». Журнал физической химии . 97 (29). Американское химическое общество (ACS): 7564–7571. doi :10.1021/j100131a028. ISSN  0022-3654.
40. Hodgkin, AL; Huxley, AF (28 августа 1952 г.). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению в нерве». The Journal of Physiology . 117 (4). Wiley: 500–544. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004764 . ISSN  0022-3751. PMC 1392413. PMID  12991237 . 
41. Боде, М.; Пурвинс, Х.-Г. (1995). «Формирование паттернов в системах реакции-диффузии — диссипативные солитоны в физических системах». Physica D: Nonlinear Phenomena . 86 (1–2). Elsevier BV: 53–63. Bibcode : 1995PhyD...86...53B. doi : 10.1016/0167-2789(95)00087-k. ISSN  0167-2789.
42. Э. Шёлль, Нелинейная пространственно-временная динамика и хаос в полупроводниках, Cambridge University Press (2001)
43. S.Tang et al., J.Austral.Math.Soc. Сер.Б 35 (1993): 223–243.
44. GollyGang/ready, GollyGang, 20 августа 2024 г. , получено 4 сентября 2024 г.
45. Айзексон, Сэмюэл А.; Пескин, Чарльз С. (2006). «Включение диффузии в сложных геометриях в моделирование стохастической химической кинетики». SIAM J. Sci. Comput . 28 (1): 47–74. Bibcode :2006SJSC...28...47I. CiteSeerX 10.1.1.105.2369 . doi :10.1137/040605060. 
46. Линкер, Патрик (2016). «Численные методы решения уравнения реактивной диффузии в сложных геометриях». The Winnower .
47. Шёнеберг, Йоханнес; Ульрих, Александр; Ноэ, Франк (24 октября 2014 г.). «Инструменты моделирования для динамики реакции-диффузии на основе частиц в непрерывном пространстве». BMC Biophysics . 7 (1): 11. doi : 10.1186/s13628-014-0011-5 . ISSN  2046-1682. PMC 4347613 . PMID  25737778. 
48. Фрёнер, Кристоф и Франк Ноэ. «Динамика обратимой реакции взаимодействующих частиц». Журнал физической химии B 122.49 (2018): 11240-11250.

Внешние ссылки

• Реакция-диффузия по модели Грея-Скотта: параметризация Пирсона — визуальная карта пространства параметров реакции-диффузии Грея-Скотта.
• Диссертация о закономерностях реакции-диффузии с обзором области
• RD Tool: интерактивное веб-приложение для моделирования реакции-диффузии