Спинор

Нетензорное представление спиновой группы; представляет фермионы в физике

Спинор визуализируется как вектор, направленный вдоль ленты Мёбиуса , демонстрирующий инверсию знака, когда круг («физическая система») непрерывно вращается на полный оборот на 360 °. ^[а]

В геометрии и физике спиноры / s p ɪ n ər / являются элементами векторного пространства на основе комплексных чисел , которое можно связать с евклидовым пространством . ^[b] Спинор трансформируется линейно, когда евклидово пространство подвергается небольшому ( бесконечно малому ) вращению, ^[c] но в отличие от геометрических векторов и тензоров , спинор трансформируется в отрицательный, когда пространство вращается на 360 ° (см. Рисунок). Спинору требуется поворот на 720°, чтобы вернуться в исходное состояние. Это свойство характеризует спиноры: спиноры можно рассматривать как «квадратные корни» векторов (хотя это неточно и может вводить в заблуждение; их лучше рассматривать как «квадратные корни» секций векторных расслоений - в случае расслоения внешней алгебры). кокасательного расслоения они, таким образом, становятся «квадратными корнями» дифференциальных форм).

Также можно связать по существу аналогичное понятие спинора с пространством Минковского , и в этом случае преобразования Лоренца специальной теории относительности играют роль вращений. Спиноры были введены в геометрию Эли Картаном в 1913 году. ^{[1] [d]} В 1920-х годах физики обнаружили, что спиноры необходимы для описания собственного углового момента , или «спина», электрона и других субатомных частиц. ^[э]

Спиноры характеризуются специфическим поведением при вращении. Они изменяются по-разному в зависимости не только от общего окончательного вращения, но и от деталей того, как это вращение было достигнуто (с помощью непрерывного пути в группе вращения ). Существует два топологически различимых класса ( гомотопических класса ) путей посредством вращений, которые приводят к одному и тому же общему вращению, как показано в головоломке с трюком с поясом . Эти два неэквивалентных класса дают спинорные преобразования противоположного знака. Группа спинов — это группа всех вращений, отслеживающих класс. ^[f] Он дважды охватывает группу вращений, поскольку каждое вращение может быть получено двумя неэквивалентными способами в качестве конечной точки пути. Пространство спиноров по определению оснащено (комплексным) линейным представлением спиновой группы, а это означает, что элементы спиновой группы действуют как линейные преобразования в пространстве спиноров, причем это действительно зависит от гомотопического класса. ^[g] В математических терминах спиноры описываются двузначным проективным представлением группы вращений SO(3).

Хотя спиноры могут быть определены исключительно как элементы пространства представления спиновой группы (или ее алгебры Ли бесконечно малых вращений), они обычно определяются как элементы векторного пространства, которое несет линейное представление алгебры Клиффорда . Алгебра Клиффорда — это ассоциативная алгебра , которая может быть построена из евклидова пространства и его внутреннего продукта независимо от базиса. И спиновая группа, и ее алгебра Ли естественным образом вложены в алгебру Клиффорда, и в приложениях с алгеброй Клиффорда часто проще всего работать. ^[h] Пространство Клиффорда действует в спинорном пространстве, а элементы спинорного пространства являются спинорами. ^[3] После выбора ортонормированного базиса евклидова пространства представление алгебры Клиффорда генерируется гамма-матрицами , матрицами, которые удовлетворяют набору канонических антикоммутационных отношений. Спиноры — это векторы-столбцы, на которые действуют эти матрицы. Например, в трех евклидовых измерениях спиновые матрицы Паули представляют собой набор гамма-матриц ^[i], а двухкомпонентные комплексные векторы-столбцы , на которые действуют эти матрицы, являются спинорами. Однако конкретное матричное представление алгебры Клиффорда, а следовательно, и то, что именно представляет собой «вектор-столбец» (или спинор), существенно включает выбор базиса и гамма-матрицы. В качестве представления спиновой группы эта реализация спиноров в виде (комплексных ^[j] ) векторов-столбцов будет либо неприводимой , если размерность нечетна, либо разложится на пару так называемых «полуспиновых» представлений или представлений Вейля. если размер четный. ^[к]

Введение

Постепенное вращение можно представить в виде ленты в пространстве. ^[l] Два постепенных вращения разных классов: одно на 360° и одно на 720° показаны здесь, в головоломке с трюком с поясом . Решение головоломки — непрерывные манипуляции с ремнем, фиксируя концы, которые его раскручивают. Это невозможно при вращении на 360°, но возможно при вращении на 720°. Решение, показанное на второй анимации, дает явную гомотопию в группе вращений между вращением на 720° и единичным вращением на 0°.

Предмет, прикрепленный к ремням или веревкам, может непрерывно вращаться, не запутываясь. Обратите внимание, что после того, как куб совершает поворот на 360°, спираль меняет свое первоначальное положение на противоположное. Ремни возвращаются к исходной конфигурации после поворота на полные 720°.

Более крайний пример, демонстрирующий, что это работает с любым количеством строк. В пределе кусок сплошного непрерывного пространства может вращаться на месте, не разрываясь и не пересекаясь.

То, что характеризует спиноры и отличает их от геометрических векторов и других тензоров, неясно. Рассмотрите возможность применения поворота к координатам системы. Ни один объект в самой системе не переместился, а только координаты, поэтому всегда будет компенсирующее изменение в этих значениях координат при их применении к любому объекту системы. Например, геометрические векторы имеют компоненты, которые будут вращаться так же, как и координаты. В более широком смысле любой тензор , связанный с системой (например, напряжение какой-либо среды), также имеет описания координат, которые корректируются для компенсации изменений самой системы координат.

Спиноры не появляются на этом уровне описания физической системы, когда речь идет только о свойствах одного изолированного вращения координат. Скорее, спиноры появляются, когда мы представляем, что вместо одного вращения система координат постепенно ( непрерывно ) вращается между некоторой начальной и конечной конфигурацией. Для любой из знакомых и интуитивных («тензорных») величин, связанных с системой, закон преобразования не зависит от точных деталей того, как координаты пришли к своей окончательной конфигурации. Спиноры, с другой стороны, сконструированы таким образом, что они чувствительны к тому, как туда прибыло постепенное вращение координат: они демонстрируют зависимость от пути. Оказывается, что для любой окончательной конфигурации координат на самом деле существуют два (« топологически ») неэквивалентных постепенных (непрерывных) поворота системы координат, которые приводят к той же самой конфигурации. Эта неоднозначность называется гомотопическим классом постепенного вращения. Головоломка с поясом (показана) демонстрирует два разных вращения: одно на угол 2 π , а другое на угол 4 π , имеющие одинаковые конечные конфигурации, но разные классы. Спиноры на самом деле демонстрируют смену знака, которая действительно зависит от этого гомотопического класса. Это отличает их от векторов и других тензоров, ни один из которых не может чувствовать класс.

Спиноры могут быть представлены как конкретные объекты, используя выбор декартовых координат . Например, в трех евклидовых измерениях спиноры можно построить, выбрав спиновые матрицы Паули , соответствующие ( угловым моментам относительно) трех координатных осей. Это матрицы 2×2 с комплексными элементами, а двухкомпонентные комплексные векторы-столбцы , на которые эти матрицы действуют путем умножения матриц, являются спинорами. В этом случае спиновая группа изоморфна группе унитарных матриц размера 2 × 2 с определителем один, которая естественным образом находится внутри матричной алгебры. Эта группа действует путем сопряжения на вещественном векторном пространстве, натянутом самими матрицами Паули, ^[m] реализуя ее как группу вращений между ними, ^[n] , но она также действует на вектор-столбцы (то есть спиноры).

В более общем смысле, алгебра Клиффорда может быть построена из любого векторного пространства V, снабженного (невырожденной) квадратичной формой , такого как евклидово пространство со стандартным скалярным произведением или пространство Минковского со стандартной метрикой Лоренца. Пространство спиноров — это пространство вектор-столбцов с компонентами. Ортогональная алгебра Ли (т. е. бесконечно малые «вращения») и спиновая группа, связанная с квадратичной формой, обе (канонически) содержатся в алгебре Клиффорда, поэтому каждое представление алгебры Клиффорда также определяет представление алгебры Ли и спиновой группы. . ^[o] В зависимости от размерности и метрической сигнатуры эта реализация спиноров как векторов-столбцов может быть неприводимой или может разлагаться на пару так называемых «полуспиновых» представлений или представлений Вейля. ^[p] Когда векторное пространство V четырехмерно, алгебра описывается гамма-матрицами . ${\displaystyle 2^{\lfloor \dim V/2\rfloor }}$

Математическое определение

Пространство спиноров формально определяется как фундаментальное представление алгебры Клиффорда . (Оно может разлагаться, а может и не разлагаться на неприводимые представления.) Пространство спиноров также можно определить как спиновое представление ортогональной алгебры Ли . Эти спиновые представления также характеризуются как конечномерные проективные представления специальной ортогональной группы, которые не учитывают линейные представления. Эквивалентно, спинор - это элемент конечномерного группового представления спиновой группы , на котором центр действует нетривиально.

Обзор

По сути, существуют две основы для рассмотрения понятия спинора: точка зрения теории представлений и геометрическая точка зрения .

Теоретико-представительная точка зрения

С точки зрения теории представлений заранее известно, что существуют некоторые представления алгебры Ли ортогональной группы , которые не могут быть образованы обычными тензорными конструкциями. Эти недостающие представления затем называются спиновыми представлениями , а их составляющие — спинорами . С этой точки зрения спинор должен принадлежать представлению двойного накрытия группы вращений SO( n , ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или, в более общем смысле, двойного накрытия обобщенной специальной ортогональной группы SO ⁺ ( p ,  q , ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ на пространствах с метрическая подпись ( p ,  q ) . Эти двойные накрытия представляют собой группы Ли , называемые спиновыми группами Spin( n ) или Spin( p ,  q ) . Все свойства спиноров, их применения и производные объекты проявляются в первую очередь в спиновой группе. Представления двойных накрытий этих групп дают двузначные проективные представления самих групп. (Это означает, что действие конкретного вращения на векторы в квантовом гильбертовом пространстве определено только с точностью до знака.)

Таким образом, учитывая представление, заданное данными , где — векторное пространство над или и — гомоморфизм , спинор является элементом векторного пространства . ${\displaystyle (V,{\text{Spin}}(p,q),\rho )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :{\text{Spin}}(p,q)\rightarrow {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle V}$

Геометрическая точка зрения

С геометрической точки зрения можно явно построить спиноры, а затем исследовать, как они ведут себя под действием соответствующих групп Ли. Этот последний подход имеет то преимущество, что дает конкретное и элементарное описание того, что такое спинор. Однако такое описание становится громоздким, когда необходимы сложные свойства спиноров, такие как тождества Фирца .

Алгебры Клиффорда

Язык алгебр Клиффорда ^[5] (иногда называемый геометрическими алгебрами ) дает полную картину спиновых представлений всех спиновых групп и различных отношений между этими представлениями посредством классификации алгебр Клиффорда . Это в значительной степени устраняет необходимость в специальных конструкциях.

Подробно, пусть V — конечномерное комплексное векторное пространство с невырожденной симметричной билинейной формой g . Алгебра Клиффорда Cℓ( V ,  g ) — это алгебра, порожденная V вместе с антикоммутационным отношением xy + yx = 2 g ( x ,  y ) . Это абстрактная версия алгебры, порожденная гамма-матрицами или матрицами Паули . Если V = , в стандартной форме g ( x ,  y ) = x ^T y = x ₁ y ₁ + ... + x _n y _n мы обозначаем алгебру Клиффорда через Cℓ _n ( ). Поскольку из-за выбора ортонормированного базиса каждое комплексное векторное пространство с невырожденной формой изоморфно этому стандартному примеру, этим обозначением злоупотребляют в более общем смысле, если dim ( V ) = n . Если n = 2 k четно, Cℓ _n ( ) изоморфна как алгебра (неоднозначным образом) алгебре Mat(2 ^k ,  ) комплексных матриц размера 2 ^k  × 2 ^k (по теореме Артина–Веддерберна и легко доказать тот факт, что алгебра Клиффорда центрально проста ). Если n = 2 k  + 1 нечетно, Cℓ _{2 k +1} ( ) изоморфна алгебре Mat(2 ^k ,  ) ⊕ Mat(2 ^k ,  ) двух копий комплексных матриц размера 2 ^k  × 2 ^k . Следовательно, в любом случае Cℓ( V ,  g ) имеет единственное (с точностью до изоморфизма) неприводимое представление (также называемое простым модулем Клиффорда ), обычно обозначаемое Δ, размерности 2 ^{[ n /2]} . Поскольку алгебра Ли so ( V ,  g ) вложена как подалгебра Ли в Cℓ( V ,  g ) , снабженная алгеброй Клиффорда ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ _{${\displaystyle \mathbb {C} }$} ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$коммутатор как скобка Ли, пространство ∆ также является представлением алгебры Ли so ( V ,  g ), называемым спиновым представлением . Если n нечетно, это представление алгебры Ли неприводимо. Если n четное, оно далее разбивается ^{[ необходимы пояснения ]} на два неприводимых представления Δ = Δ ₊  ⊕ Δ _−, называемые представлениями Вейля или полуспиновыми представлениями .

Неприводимые представления над действительными числами в случае, когда V — вещественное векторное пространство, гораздо сложнее, и за более подробной информацией читатель отсылается к статье об алгебре Клиффорда .

Спиновые группы

Спиновое представление Δ представляет собой векторное пространство, снабженное представлением спиновой группы, которое не учитывает представление (специальной) ортогональной группы. Вертикальные стрелки изображают короткую точную последовательность .

Спиноры образуют векторное пространство , обычно над комплексными числами , снабженное линейным групповым представлением группы спинов , которое не учитывает представление группы вращений (см. Диаграмму). Спиновая группа — это группа вращений, отслеживающая гомотопический класс. Спиноры необходимы для кодирования основной информации о топологии группы вращений, поскольку эта группа не является односвязной , а односвязная спиновая группа является ее двойным покрытием . Таким образом, для каждого вращения существуют два элемента спиновой группы, которые его представляют. Геометрические векторы и другие тензоры не могут почувствовать разницу между этими двумя элементами, но они дают противоположные знаки, когда воздействуют на любой спинор в представлении. Если рассматривать элементы спиновой группы как гомотопические классы однопараметрических семейств вращений, каждое вращение представляется двумя различными гомотопическими классами путей к тождеству. Если однопараметрическое семейство вращений визуализируется как лента в пространстве, причем параметром является параметр длины дуги этой ленты (ее касательная, нормальная, бинормальная система координат фактически дает вращение), то эти два различных гомотопических класса визуализируются в два состояния головоломки с поясом (выше). Пространство спиноров - это вспомогательное векторное пространство, которое может быть построено явно в координатах, но в конечном итоге существует только с точностью до изоморфизма, поскольку не существует «естественной» конструкции для них, которая не опиралась бы на произвольный выбор, такой как системы координат. Понятие спиноров, как такого вспомогательного математического объекта, может быть связано с любым векторным пространством, снабженным квадратичной формой , таким как евклидово пространство с его стандартным скалярным произведением или пространство Минковского с его метрикой Лоренца . В последнем случае «вращения» включают повышения Лоренца , но в остальном теория по существу аналогична. ^{[ нужна цитата ]}

Спинорные поля в физике

Приведенные выше конструкции с точки зрения алгебры Клиффорда или теории представлений можно рассматривать как определение спиноров как геометрических объектов в нульмерном пространстве-времени . Чтобы получить спиноры физики, такие как спинор Дирака , необходимо расширить конструкцию, чтобы получить спиновую структуру в 4-мерном пространстве-времени ( пространстве Минковского ). Фактически, каждый начинает с касательного многообразия пространства-времени, каждая точка которого представляет собой 4-мерное векторное пространство с симметрией SO (3,1), а затем строит спиновую группу в каждой точке. Окрестности точек наделены понятиями гладкости и дифференцируемости: стандартная конструкция представляет собой расслоение , слои которого представляют собой аффинные пространства, преобразующиеся относительно спиновой группы. После построения расслоения можно затем рассмотреть дифференциальные уравнения, такие как уравнение Дирака или уравнение Вейля на расслоении. Эти уравнения (Дирака или Вейля) имеют решения, которые представляют собой плоские волны , имеющие симметрию, характерную для слоев, т.е. имеющие симметрию спиноров, как это получено из (нульмерной) теории представления алгебры/спина Клиффорда, описанной выше. Такие плосковолновые решения (или другие решения) дифференциальных уравнений можно тогда правильно назвать фермионами ; фермионы обладают алгебраическими свойствами спиноров. По общему соглашению, термины «фермион» и «спинор» часто используются в физике как взаимозаменяемые, как синонимы друг друга. ^{[ нужна цитата ]}

Похоже, что все фундаментальные частицы в природе со спином 1/2 описываются уравнением Дирака, за возможным исключением нейтрино . Кажется, не существует какой-либо априорной причины, по которой это могло бы произойти. Совершенно правильным выбором для спиноров была бы несложная версия Cℓ _2,2 ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , майорановского спинора . ^[6] Кажется, также не существует какого-либо конкретного запрета на появление спиноров Вейля в природе в виде фундаментальных частиц.

Спиноры Дирака, Вейля и Майораны взаимосвязаны, и их связь можно выяснить на основе реальной геометрической алгебры. ^[7] Спиноры Дирака и Вейля являются комплексными представлениями, а спиноры Майораны — вещественными представлениями.

Спиноров Вейля недостаточно для описания массивных частиц, таких как электроны , поскольку решения Вейля в виде плоских волн обязательно движутся со скоростью света; для массивных частиц необходимо уравнение Дирака . Первоначальная конструкция Стандартной модели физики элементарных частиц начинается с того, что электрон и нейтрино представляют собой безмассовые спиноры Вейля; механизм Хиггса придает электронам массу; классическое нейтрино оставалось безмассовым и, таким образом, было примером спинора Вейля. ^[q] Однако из-за наблюдаемых осцилляций нейтрино теперь считается, что они являются не спинорами Вейля, а, возможно, спинорами Майораны. ^[8] Неизвестно, существуют ли в природе фундаментальные спинорные частицы Вейля.

В физике конденсированного состояния ситуация иная: можно построить двух- и трехмерное «пространство-время» из самых разных физических материалов, от полупроводников до гораздо более экзотических материалов. В 2015 году международная группа под руководством ученых Принстонского университета объявила, что они нашли квазичастицу , которая ведет себя как фермион Вейля. ^[9]

Спиноры в теории представлений

Одним из основных математических приложений конструкции спиноров является возможность явного построения линейных представлений алгебр Ли специальных ортогональных групп и, следовательно, спинорных представлений самих групп. На более глубоком уровне было обнаружено, что спиноры лежат в основе подходов к теореме об индексе Атьи-Зингера и обеспечивают конструкции, в частности, для представлений дискретных серий полупростых групп .

Спиновые представления специальных ортогональных алгебр Ли отличаются от тензорных представлений , заданных конструкцией Вейля весами . В то время как веса тензорных представлений представляют собой целочисленные линейные комбинации корней алгебры Ли, веса спиновых представлений представляют собой их полуцелые линейные комбинации. Подробные сведения можно найти в статье, посвященной спиновому представлению .

Попытки интуитивного понимания

Простыми словами, спинор можно описать как «векторы пространства, преобразования которых определенным образом связаны с вращениями в физическом пространстве». ^[10] По-другому:

Спиноры ... обеспечивают линейное представление группы вращений в пространстве с любым количеством измерений, причем каждый спинор имеет компоненты где или . ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{\nu }}$ ${\displaystyle n=2\nu +1}$ ${\displaystyle 2\nu }$

Несколько способов иллюстрации повседневных аналогий были сформулированы в терминах фокуса с тарелками , танглоидов и других примеров ориентационной запутанности .

Тем не менее, эта концепция обычно считается общеизвестно трудной для понимания, о чем свидетельствует заявление Майкла Атьи , пересказанное биографом Дирака Грэмом Фармело:

Никто до конца не понимает спиноры. Их алгебра формально понятна, но их общее значение загадочно. В каком-то смысле они описывают «квадратный корень» геометрии, и точно так же, как для понимания квадратного корня из −1 потребовались столетия, то же самое можно сказать и о спинорах. ^[11]

История

Наиболее общая математическая форма спиноров была открыта Эли Картаном в 1913 году. ^[12] Слово «спинор» было придумано Паулем Эренфестом в его работе по квантовой физике . ^[13]

Спиноры были впервые применены в математической физике Вольфгангом Паули в 1927 году, когда он представил свои спиновые матрицы . ^[14] В следующем году Поль Дирак открыл полностью релятивистскую теорию спина электрона , показав связь между спинорами и группой Лоренца . ^[15] К 1930-м годам Дирак, Пит Хейн и другие сотрудники Института Нильса Бора (тогда известного как Институт теоретической физики Копенгагенского университета) создали игрушки, такие как танглоиды, для обучения и моделирования спинорного исчисления.

Спинорные пространства были представлены как левые идеалы матричной алгебры в 1930 году Гюставом Жюветом ^[16] и Фрицем Заутером . ^{[17] [18]} Более конкретно, вместо того, чтобы представлять спиноры как комплексные двумерные вектор-столбцы, как это сделал Паули, они представляли их как комплексные матрицы размером 2 × 2, в которых только элементы левого столбца ненулевые. Таким образом спинорное пространство стало минимальным левым идеалом в Mat(2,  ·) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . ^{[р] [20]}

В 1947 году Марсель Рисс построил спинорные пространства как элементы минимального левого идеала алгебр Клиффорда . В 1966/1967 году Дэвид Хестенес ^{[21] [22]} заменил спинорные пространства четной подалгеброй Cℓ ⁰ _1,3 ( ) алгебры пространства-времени Cℓ _1,3 ( ). ^{[18] [20]} Начиная с 1980-х годов группа теоретической физики в Биркбек-колледже , возглавляемая Дэвидом Бомом и Бэзилом Хили, разрабатывала алгебраические подходы к квантовой теории , основанные на идентификации Заутера и Рисса спиноров с минимальными левыми идеалами. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Примеры

Некоторые простые примеры спиноров в малых размерностях возникают при рассмотрении четно-градуированных подалгебр алгебры Клиффорда Cℓ _{p ,  q} ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Это алгебра, построенная на ортонормированном базисе из n = p  +  q взаимно ортогональных векторов при сложении и умножении, p из которых имеет норму +1, а q из которых имеет норму -1, с правилом произведения для базисных векторов

$${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots ,p)\\-1&i=j,\,i\in (p+1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{cases}}}$$

Два измерения

Алгебра Клиффорда Cℓ _2,0 ( ) построена на основе одного единичного скаляра 1, двух ортогональных единичных векторов σ ₁ и σ ₂ и одного единичного псевдоскаляра i = σ ₁ σ ₂ . Из приведенных выше определений очевидно, что ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = 1 и ( σ ₁ σ ₂ )( σ ₁ σ ₂ ) = - σ ₁ σ ₁ σ ₂ σ ₂ = -1 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Четная подалгебра Cℓ ⁰ _2,0 ( ), натянутая четно-градуированными базисными элементами Cℓ _2,0 ( ), определяет пространство спиноров через свои представления. Он состоит из вещественных линейных комбинаций 1 и σ ₁ σ ₂ . Как действительная алгебра, Cℓ ⁰ _2,0 ( ) изоморфна полю комплексных чисел . В результате он допускает операцию сопряжения (аналог комплексного сопряжения ), иногда называемую обратной к элементу Клиффорда, определяемой формулой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$   ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}.}$$

$${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}.}$$

Действие четного элемента Клиффорда γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ на векторы, рассматриваемые как 1-градуированные элементы из Cℓ _2,0 ( ), определяется отображением общего вектора u = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ к вектору ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},}$$

спинор ^[s] ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi .}$$

Важной особенностью этого определения является различие между обычными векторами и спинорами, проявляющееся в том, что четно-градуированные элементы по-разному действуют на каждый из них. В общем, быстрая проверка отношений Клиффорда показывает, что четно-градуированные элементы коммутируют с обычными векторами:

$${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}$$

С другой стороны, по сравнению с действием на спиноры действие на обычные векторы выглядит как квадрат его действия на спиноры. ${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }$ ${\displaystyle \gamma }$

Рассмотрим, например, последствия этого для вращения плоскости. Поворот вектора на угол θ соответствует γ ² = exp( θ σ ₁ σ ₂ ) , так что соответствующее действие на спиноры осуществляется через γ = ± exp( θ σ ₁ σ ₂ /2) . В общем случае из-за логарифмического ветвления невозможно выбрать знак последовательным образом. Таким образом, представление плоских вращений на спинорах двузначно.

В приложениях спиноров в двух измерениях обычно используют тот факт, что алгебра четно-градуированных элементов (то есть просто кольцо комплексных чисел) идентична пространству спиноров. Таким образом, из-за злоупотребления языком эти два понятия часто смешивают. Тогда можно говорить о «действии спинора на вектор». В общих чертах такие заявления бессмысленны. Но в размерностях 2 и 3 (применительно, например, к компьютерной графике ) они имеют смысл.

Примеры

• Четный элемент
  $${\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})}$$
  соответствует повороту вектора на 90° от σ1 вокруг σ2 в сторону _σ2 , что можно проверить, подтвердив, _что
  $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}}$$
  Однако это соответствует повороту спинора всего на 45°:
  $${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• Аналогично четно-градуированный элемент γ  = − σ ₁ σ ₂ соответствует повороту вектора на 180°:
  $${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}}$$
  но поворот спинора всего на 90°:
  $${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• Продолжая дальше, четный элемент γ  = −1 соответствует повороту вектора на 360°:
  $${\displaystyle (-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}}$$
  но поворот спинора на 180°.

Три измерения

Алгебра Клиффорда Cℓ _3,0 ( ) построена на основе одного единичного скаляра 1, трех ортогональных единичных векторов _σ 1 , σ 2 и σ 3 , трех единичных бивекторов σ _{1 σ 2} , σ 2 σ ₃ , σ ₃ σ ₁ и псевдоскаляр i знак равно σ ₁ σ ₂ σ ₃ . Несложно показать, что ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = ( σ ₃ ) ² = 1 и ( σ ₁ σ ₂ ) ² = ( σ ₂ σ ₃ ) ² = ( σ ₃ σ ₁ ) ² знак равно ( σ ₁ σ ₂ σ ₃ ) ^{2 знак} равно -1 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Подалгебра четно-градуированных элементов состоит из скалярных расширений,

$${\displaystyle u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,}$$

$${\displaystyle u'=\gamma u\gamma ^{*},}$$

соответствует повороту вектора на угол θ вокруг оси, определяемой единичным вектором v = a ₁ σ ₁  +  a ₂ σ ₂  +  a ₃ σ ₃ .

В частном случае легко видеть, что если v = σ ₃ , это воспроизводит вращение σ ₁ σ ₂ , рассмотренное в предыдущем разделе; и что такое вращение оставляет коэффициенты векторов в направлении σ ₃ неизменными, поскольку

$${\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}$$

Бивекторы σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ и σ ₁ σ ₂ на самом деле являются кватернионами Гамильтона i , j и k , открытыми в 1843 году:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}}$$

При отождествлении четно-градуированных элементов с алгеброй кватернионов, как и в случае двухмерности, единственное представление алгебры четно-градуированных элементов находится на себе. ^[t] Таким образом, (реальные ^[u] ) спиноры в трехмерных измерениях являются кватернионами, а действие четно-градуированного элемента на спинор задается обычным кватернионным умножением. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Обратите внимание, что в выражении (1) для поворота вектора на угол θ угол , входящий в γ, был уменьшен вдвое . Таким образом, вращение спинора γ ( ψ ) =  γψ (обычное кватернионное умножение) повернет спинор ψ на угол, равный половине угла соответствующего векторного вращения. И снова проблема перевода векторного вращения в спинорное двузначна: выражение (1) с (180° +  θ /2) вместо θ /2 даст то же самое векторное вращение, но с отрицательным значением спинорное вращение.

Спинорное/кватернионное представление вращений в 3D становится все более распространенным в компьютерной геометрии и других приложениях из-за заметной краткости соответствующей спиновой матрицы и простоты, с которой их можно умножать вместе, чтобы вычислить совокупный эффект последовательных вращений вокруг разные оси.

Явные конструкции

Пространство спиноров можно построить явно с помощью конкретных и абстрактных конструкций. Эквивалентность этих конструкций является следствием единственности спинорного представления комплексной алгебры Клиффорда. Полный пример в измерении 3 см. в разделе спиноры в трех измерениях .

Компонентные спиноры

Учитывая векторное пространство V и квадратичную форму g, явное матричное представление алгебры Клиффорда Cℓ( V ,  g ) можно определить следующим образом. Выберите ортонормированный базис e ¹ ... e ⁿ для V , т.е. g ( e ^µ e ^ν ) = η ^µν , где η ^µµ = ±1 и η ^µν = 0 для µ ≠ ν . Пусть k = ⌊ n /2⌋ . Зафиксируем набор матриц γ ¹ ... γ ⁿ размером 2 ^k  × 2 ^k такой, что γ ^γ γ ^ν + γ ^ν γ ^µ = 2 η ^µν 1 (т. е. зафиксируем соглашение для гамма-матриц ). Тогда назначение e ^µ → γ ^µ однозначно продолжается до гомоморфизма алгебр Cℓ( V ,  g ) → Mat(2 ^k ,  ) , переводя моном e ^{µ ₁} ⋅⋅⋅ e ^{µ _k} в алгебре Клиффорда в произведение γ ^{µ ₁} ⋅⋅⋅ γ ^{µ _k} матриц и продолжающаяся линейно. Пространство , на которое действуют гамма-матрицы, теперь является пространством спиноров. Однако такие матрицы необходимо строить явно. В измерении 3 определение гамма-матриц как сигма-матриц Паули приводит к появлению знакомых двухкомпонентных спиноров, используемых в нерелятивистской квантовой механике . Аналогичным образом использование гамма-матриц Дирака 4 × 4 приводит к появлению 4-х компонентных спиноров Дирака, используемых в 3+1-мерной релятивистской квантовой теории поля . В общем случае, чтобы определить гамма-матрицы требуемого вида, можно использовать матрицы Вейля–Брауэра . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}}$

В этой конструкции представление алгебры Клиффорда Cℓ( V ,  g ) , алгебры Ли so ( V ,  g ) и спиновой группы Spin( V ,  g ) зависит от выбора ортонормированного базиса и выбора гамма-матрицы. Это может вызвать путаницу в отношении соглашений, но инварианты, такие как трассировки, не зависят от выбора. В частности, все физически наблюдаемые величины должны быть независимы от такого выбора. В этой конструкции спинор можно представить в виде вектора из 2k ^{комплексных} чисел и обозначить индексами спинора (обычно α ,  β ,  γ ). В физической литературе такие индексы часто используются для обозначения спиноров, даже когда используется абстрактная спинорная конструкция.

Абстрактные спиноры

Существует по крайней мере два разных, но по сути эквивалентных способа абстрактного определения спиноров. Один подход направлен на идентификацию минимальных идеалов для левого действия Cℓ( V ,  g ) на себя. Это подпространства алгебры Клиффорда вида Cℓ( V ,  g ) ω , допускающие очевидное действие Cℓ( V ,  g ) путем левого умножения: c  : xω → cxω . Есть два варианта этой темы: можно либо найти примитивный элемент ω , который является нильпотентным элементом алгебры Клиффорда, либо элемент, который является идемпотентом . Конструкция с помощью нильпотентных элементов более фундаментальна в том смысле, что из нее затем можно получить идемпотент. ^[23] Таким образом, спинорные представления отождествляются с некоторыми подпространствами самой алгебры Клиффорда. Второй подход состоит в том, чтобы построить векторное пространство, используя выделенное подпространство V , а затем определить действие алгебры Клиффорда вне этого векторного пространства.

В любом подходе фундаментальным понятием является понятие изотропного подпространства W . Каждая конструкция зависит от начальной свободы выбора этого подпространства. В физических терминах это соответствует тому факту, что не существует протокола измерений, который мог бы указать базис спинового пространства, даже если задан предпочтительный базис V.

Как и выше, пусть ( V ,  g ) — n -мерное комплексное векторное пространство, снабженное невырожденной билинейной формой. Если V — действительное векторное пространство, то мы заменим V его комплексификацией и обозначим через g индуцированную билинейную форму на . Пусть W — максимальное изотропное подпространство, т.е. максимальное подпространство в V такое, что g | _В = 0 . Если n = 2 k четно, то пусть W ′ — изотропное подпространство, дополнительное к W . Если n = 2 k + 1 нечетно, пусть W ′ будет максимальным изотропным подпространством с W ∩  W ′ = 0 , и пусть U будет ортогональным дополнением к W  ⊕  W ′ . Как в четно-, так и в нечетномерном случае W и W ′ имеют размерность k . В нечетномерном случае U одномерен и натянут на единичный вектор u . ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

Минимальные идеалы

Поскольку W ′ изотропен, умножение элементов W ′ внутри Cℓ( V ,  g ) является косым . Следовательно, векторы в W ′ антикоммутируют, и Cℓ( W ′ ,  g | _{W ′} ) = Cℓ( W ′ , 0) — это просто внешняя алгебра Λ ^∗ W ′ . Следовательно, k -кратное произведение W ′ на самого себя, W ′ ^k , одномерно. Пусть ω — генератор W ′ ^k . В терминах базиса w ′ ₁ , ..., w ′ _k в W ′ одна из возможностей состоит в том, чтобы установить

$${\displaystyle \omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.}$$

Заметим, что ω ² = 0 (т.е. ω нильпотентно порядка 2), и более того, w ′ ω = 0 для всех w ′ ∈ W ′ . Следующие факты можно легко доказать:

1. Если n = 2 k , то левый идеал ℓ = Cℓ( V ,  g ) ω является минимальным левым идеалом. Более того, оно распадается на два спиновых пространства Δ ₊ = Cℓ ^четный ω и Δ ₋ = Cℓ ^{нечетный} ω при ограничении на действие четной алгебры Клиффорда.
2. Если n = 2 k + 1 , то действие единичного вектора u на левый идеал Cℓ( V ,  g ) ω разлагает пространство на пару изоморфных неприводимых собственных пространств (оба обозначаются Δ), соответствующих соответствующим собственным значениям + 1 и −1.

Подробно предположим, например, что n четно. Предположим, что I — ненулевой левый идеал, содержащийся в Cℓ( V ,  g ) ω . Мы покажем, что I должен быть равен Cℓ( V ,  g ) ω , доказав, что он содержит ненулевое скалярное кратное ω .

Зафиксируем базис w _i из W и дополнительный базис w _i ′ из W ′ так, чтобы

w _i w _j ′ + w _j ′ w _i знак равно δ _ij , и

( ш _я ) ² знак равно 0, ( ш _я ′) ² знак равно 0.

Обратите внимание, что любой элемент I должен иметь форму αω в силу нашего предположения, что I ⊂ Cℓ( V ,  g )  ω . Пусть αω ∈ I — любой такой элемент. Используя выбранный базис, мы можем написать

$${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}}$$

a _{i 1 ... i p}B _j

$${\displaystyle \alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .}$$

aαw _i

$${\displaystyle a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}}$$

$${\displaystyle w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega }$$

ω

Обратите внимание, что для четного n это вычисление также показывает, что

$${\displaystyle \Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega }$$

Wпространство ФокасозданияWω

Построение внешней алгебры

Вычисления с минимальной идеальной конструкцией показывают, что спинорное представление также может быть определено непосредственно с помощью внешней алгебры Λ ^∗ W = ⊕ _j Λ ^j W изотропного подпространства W . Пусть ∆ = Λ ^∗ W обозначает внешнюю алгебру W , рассматриваемую только как векторное пространство. Это и будет спиновое представление, а его элементы будем называть спинорами. ^{[24] [25]}

Действие алгебры Клиффорда на ∆ определяется сначала заданием действия элемента из V на ∆, а затем показом того, что это действие удовлетворяет соотношению Клиффорда и, таким образом, продолжается до гомоморфизма полной алгебры Клиффорда в кольцо эндоморфизмов End( ∆) по универсальному свойству алгебр Клиффорда . Детали немного различаются в зависимости от того, является ли размерность V четной или нечетной.

Когда dim( V ) четно, V = W ⊕ W ′ , где W ′ — выбранное изотропное дополнение. Следовательно, любой v ∈ V однозначно разлагается как v = w + w ′ с w ∈ W и w ′ ∈ W ′ . Действие v на спинор определяется выражением

$${\displaystyle c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)}$$

iw 'внутреннее произведениеw 'VV ^*εwвнешнее произведениепроизведением Клиффорда

$${\displaystyle c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,}$$

c

Спиновое представление ∆ далее распадается на пару неприводимых комплексных представлений группы Spin ^[26] (полуспиновые представления, или спиноры Вейля) через

$${\displaystyle \Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.}$$

Когда dim( V ) нечетно, V = W ⊕ U ⊕ W ′ , где U натянут на единичный вектор u , ортогональный W . Действие Клиффорда c определяется, как и раньше, на W ⊕ W ′ , а действие Клиффорда (кратных) u определяется формулой

$${\displaystyle c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}}$$

c

Эрмитово векторное пространство и спиноры

Если векторное пространство V имеет дополнительную структуру, обеспечивающую разложение его комплексификации на два максимальных изотропных подпространства, то определение спиноров (любым методом) становится естественным.

Основным примером является случай, когда действительное векторное пространство V является эрмитовым векторным пространством ( V ,  h ) , т. е. V оснащено комплексной структурой J , которая является ортогональным преобразованием относительно скалярного произведения g на V. Тогда расщепляется в собственных пространствах ± i J . Эти собственные пространства изотропны для комплексификации g и могут быть отождествлены с комплексным векторным пространством ( V ,  J ) и его комплексно-сопряженным векторным пространством ( V , −J ) . Следовательно, для эрмитова векторного пространства ( V ,  h ) векторное пространство (а также его комплексно-сопряженное пространство является спинорным пространством для основного реального евклидова векторного пространства. ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V}$

С действием Клиффорда, как указано выше, но со сжатием с использованием эрмитовой формы, эта конструкция дает спинорное пространство в каждой точке почти эрмитова многообразия и является причиной того, что каждое почти комплексное многообразие (в частности, каждое симплектическое многообразие ) имеет структуру Spin ^c . Аналогично, каждое комплексное векторное расслоение на многообразии несет структуру Spin ^c . ^[27]

Разложение Клебша – Гордана

Возможен ряд разложений Клебша – Гордана на тензорном произведении одного спинового представления на другое. ^[28] Эти разложения выражают тензорное произведение через чередующиеся представления ортогональной группы.

В реальном или сложном случае альтернативные представления таковы:

• Γ _r = Λ ^r V — представление ортогональной группы на косых тензорах ранга r .

Кроме того, для вещественных ортогональных групп существуют три символа (одномерные представления)

• σ ₊  : O( p ,  q ) → {−1, +1}, заданный формулой σ ₊ (R) = −1 , если R меняет пространственную ориентацию V на противоположную , +1, если R сохраняет пространственную ориентацию V . ( Пространственный характер .)
• σ ₋  : O( p ,  q ) → {−1, +1}, заданный формулой σ ₋ (R) = −1 , если R меняет временную ориентацию V , +1, если R сохраняет временную ориентацию V . ( Временный характер .)
• σ знак равно σ ₊ σ _-  . ( Ориентирующий характер .)

Разложение Клебша–Гордана позволяет, среди прочего, определить:

• Действие спиноров на векторы.
• Эрмитова метрика на комплексных представлениях вещественных спиновых групп.
• Оператор Дирака для каждого спинового представления.

Четные размеры

Если n  = 2 k четно, то тензорное произведение ∆ с контрагредиентным представлением разлагается как

$${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}}$$

αω  ⊗  βω ′оператора звезды ХоджаΓ _p ⊕ σ Γ _p

Существует естественное отождествление ∆ с ее контрагредиентным представлением посредством сопряжения в алгебре Клиффорда:

$${\displaystyle (\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).}$$

⊗ ∆

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}}$$

Для комплексных представлений реальных алгебр Клиффорда ассоциированная структура реальности на комплексной алгебре Клиффорда спускается в пространство спиноров (например, посредством явной конструкции в терминах минимальных идеалов). Таким образом, мы получаем комплексно-сопряженное ∆ представления ∆, и, как видно, имеет место следующий изоморфизм:

$${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}}$$

В частности, отметим, что представление ∆ ортохронной спиновой группы является унитарным представлением . В общем случае существуют разложения Клебша – Гордана.

$${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).}$$

В метрической сигнатуре ( p ,  q ) для сопряженных представлений полуспина имеют место следующие изоморфизмы

• Если q четное, то и ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.}$
• Если q нечетно, то и ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.}$

Используя эти изоморфизмы, можно вывести аналогичные разложения для тензорных произведений полуспиновых представлений Δ _± ⊗ Δ _± .

Нечетные размеры

Если n  = 2 k + 1 нечетно, то

$${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.}$$

$${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.}$$

$${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}}$$

Последствия

Разложение спинорных пространств Клебша–Гордана имеет множество далеко идущих последствий. Наиболее фундаментальные из них относятся к теории электрона Дирака, среди основных требований которой

• Способ рассмотрения произведения двух спиноров ψ ψ как скаляра. Говоря физически, спинор должен определять амплитуду вероятности квантового состояния .
• Способ рассмотрения произведения ψ φ как вектора. Это существенная черта теории Дирака, связывающая спинорный формализм с геометрией физического пространства.
• Способ рассмотрения спинора как действующего на вектор с помощью такого выражения, как ψv ψ . В физических терминах это представляет собой электрический ток электромагнитной теории Максвелла или, в более общем смысле, вероятностный ток .

Резюме в малых размерах

• В одномерном измерении (тривиальный пример) единственное спинорное представление формально является Майорановским, реальным одномерным представлением, которое не преобразуется.
• В двух евклидовых измерениях левый и правый спиноры Вейля представляют собой 1-компонентные комплексные представления , т.е. комплексные числа, которые умножаются на e ^{± iφ /2} при вращении на угол φ .
• В трёх евклидовых измерениях одно спинорное представление является двумерным и кватернионным . Существование спиноров в трех измерениях следует из изоморфизма групп SU (2) ≅ Spin(3) , который позволяет нам определить действие Spin(3) на комплексный 2-компонентный столбец (спинор); генераторы SU(2) можно записать в виде матриц Паули .
• В 4-х евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм равен Spin(4) ≅ SU(2) × SU(2) . Существует два неэквивалентных кватернионных 2-компонентных спинора Вейля, каждый из которых преобразуется только под действием одного из факторов SU(2).
• В пяти евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм: Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2) , что означает, что представление с одним спинором является 4-мерным и кватернионным.
• В 6 евклидовых измерениях изоморфизм Spin(6) ≅ SU(4) гарантирует существование двух 4-мерных комплексных представлений Вейля, которые являются комплексно сопряженными друг другу.
• В 7 евклидовых измерениях единственное спинорное представление является 8-мерным и действительным; начиная с этой размерности, никаких изоморфизмов алгебре Ли из другой серии (A или C) не существует.
• В 8-мерных евклидовых измерениях существуют два вещественных 8-мерных представления Вейля-Майораны, которые связаны с 8-мерным вещественным векторным представлением специальным свойством Spin(8), называемым тройственностью .
• В измерениях d  + 8 количество различных неприводимых спинорных представлений и их реальность (действительные, псевдореальные или комплексные) имитируют структуру в измерениях d , но их размеры в 16 раз больше; это позволяет понять все оставшиеся случаи. См. периодичность Ботта .
• В пространстве-времени с p пространственными и q времениподобными направлениями измерения, рассматриваемые как измерения комплексных чисел, совпадают со случаем ( p  +  q ) -мерного евклидова пространства, но проекции реальности имитируют структуру в | р  -  q | Евклидовы размеры. Например, в 3+1 измерениях существуют два неэквивалентных комплексных Вейля (как и в 2 измерениях) 2-компонентных (как и в 4 измерениях) спинора, что следует из изоморфизма SL(2,·  ) ≅ Spin(3,1) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Смотрите также

• Аньон
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства
• Эйгенспинор
• Теория Эйнштейна – Картана
• Проективное представление
• Чистый спинор
• Спин-1/2
• Спинорное расслоение
• Суперзаряд
• Твисторная теория
• Алгебра пространства-времени

Примечания

1. Спиноры в трех измерениях - это точки линейного расслоения над коникой в ​​проективной плоскости. В этой картине, которая связана со спинорами трехмерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (1,2), коника — это обычная вещественная коника (здесь круг), линейное расслоение — расслоение Мёбиуса, а спин группа SL ₂ ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . В евклидовой сигнатуре вместо этого проективная плоскость, коника и расслоение линий находятся над комплексом, и эта картина представляет собой всего лишь настоящий срез.
2. Спиноры всегда можно определить по комплексным числам. Однако в некоторых сигнатурах существуют настоящие спиноры. Подробности можно найти в спиновом представлении .
3. Формальное определение спиноров на этом уровне состоит в том, что пространство спиноров является линейным представлением алгебры Ли бесконечно малых вращений определенного вида .
4. "Под этим названием спиноры были впервые использованы физиками в области квантовой механики. В наиболее общем виде спиноры были открыты в 1913 году автором этой работы в его исследованиях линейных представлений простых групп*; они обеспечивают линейное представление группы вращений в пространстве с любым числом измерений, причем каждый спинор имеет компоненты где или ». ^[2] Звездочка (*) относится к Картану (1913). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{\nu }}$ ${\displaystyle n=2\nu +1}$ ${\displaystyle 2\nu }$
5. Точнее, именно фермионы спина -1/2 описываются спинорами, что справедливо как в релятивистской, так и в нерелятивистской теории. Волновая функция нерелятивистского электрона имеет значения в двухкомпонентных спинорах, трансформирующихся при трехмерных бесконечно малых вращениях. Релятивистское уравнение Дирака для электрона представляет собой уравнение для 4-компонентных спиноров, преобразующихся при бесконечно малых преобразованиях Лоренца, для которых существует существенно аналогичная теория спиноров.
6. Формально спиновая группа — это группа относительных гомотопических классов с фиксированными конечными точками в группе вращения.
7. Более формально пространство спиноров можно определить как ( неприводимое ) представление спиновой группы, которое не учитывает представление группы вращения (вообще, связный компонент идентичности ортогональной группы ).
8. Геометрическая алгебра — это название алгебры Клиффорда в прикладном контексте.
9. Матрицы Паули соответствуют операторам углового момента относительно трех координатных осей. Это делает их несколько нетипичными гамма-матрицами, поскольку помимо антикоммутационного отношения они также удовлетворяют коммутационным соотношениям.
10. Метрическая сигнатура также актуальна, если нас интересуют реальные спиноры. См. представление спина .
11. Разлагается ли представление, зависит от того, считаются ли они представлениями спиновой группы (или ее алгебры Ли), и в этом случае оно разлагается в четных, но не нечетных измерениях, или алгебры Клиффорда, когда все наоборот. Могут существовать и другие структуры, помимо этого разложения; точные критерии рассматриваются в спиновом представлении и алгебре Клиффорда .
12. Рамка TNB ленты определяет вращение непрерывно для каждого значения параметра длины дуги.
13. Это набор комплексных бесследовых эрмитовых матриц размера 2×2 .
14. За исключением ядра , соответствующего двум разным элементам спиновой группы, которые совершают одно и то же вращение. ^[4] ${\displaystyle \{\pm 1\}}$
15. Таким образом, неоднозначность в идентификации самих спиноров сохраняется с точки зрения теории групп и все еще зависит от выбора.
16. Алгебре Клиффорда может быть присвоена четная/нечетная градуировка исходя из четности степени в гаммах, а спиновая группа и ее алгебра Ли лежат в четной части. Понимаем ли мы здесь под «представлением» представления спиновой группы или алгебры Клиффорда, это повлияет на определение их приводимости. Могут существовать и другие структуры, помимо этого разделения; точные критерии рассматриваются в спиновом представлении и алгебре Клиффорда .
17. Точнее, электрон начинается как два безмассовых спинора Вейля, левый и правый. При нарушении симметрии оба приобретают массу и соединяются, образуя спинор Дирака.
18. Матрицы размерности N  ×  N , в которых только элементы левого столбца ненулевые, образуют левый идеал в матричной алгебре N  ×  N Mat( N ,  ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ – умножение такой матрицы M слева на любое N  ×  N Матрица N A дает результат AM , который снова представляет собой матрицу размера N  ×  N , в которой только элементы левого столбца ненулевые. Более того, можно показать, что это минимальный левый идеал . ^[19]
19. Это правые спиноры Вейля в двух измерениях. Для левых спиноров Вейля представление осуществляется через γ ( φ ) =  γ φ . Спиноры Майораны являются общим вещественным представлением представлений Вейля.
20. Поскольку для тела ядро ​​представления должно быть тривиальным. Таким образом, неэквивалентные представления могут возникнуть только посредством автоморфизма тела. В этом случае существует пара эквивалентных представлений: γ ( φ ) = γφ и его кватернионное сопряжение γ ( φ ) =  φ γ .
21. Комплексные спиноры получаются как представления тензорного произведения = Mat ₂ ( ) . Более подробно они рассмотрены в спинорах в трех измерениях . ${\displaystyle \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Рекомендации

1. Картан 1913.
2. Цитата Эли Картана: Теория спиноров , Герман, Париж, 1966, первое предложение раздела «Введение» в начале книги, до начала нумерации страниц.
3. Рухсан-Уль-Хак (декабрь 2016 г.). «Геометрия спина: алгебраический подход Клиффорда». Резонанс . 21 (12): 1105–1117. дои : 10.1007/s12045-016-0422-5. S2CID  126053475.
4. Подробности см. в Eberlein, WF (1962). «Спиновая модель евклидова трехмерного пространства». Американский математический ежемесячник . 69 (7): 587–598. дои : 10.2307/2310821.
5. Назван в честь Уильяма Кингдона Клиффорда ,
6. Назван в честь Этторе Майорана .
7. Фрэнсис, Мэтью Р.; Косовский, Артур (2005) [20 марта 2004 г.]. «Построение спиноров в геометрической алгебре». Анналы физики . 317 (2): 383–409. arXiv : math-ph/0403040 . Бибкод : 2005AnPhy.317..383F. дои : 10.1016/j.aop.2004.11.008. S2CID  119632876.
8. Вильчек, Франк (2009). «Майорана возвращается». Физика природы . Издательство Макмиллан . 5 (9): 614–618. Бибкод : 2009NatPh...5..614W. дои : 10.1038/nphys1380. ISSN  1745-2473.
9. Сюй, Ян-Су; и другие. (2015). «Открытие полуметаллического фермиона Вейля и топологических дуг Ферми». Научный журнал . АААС . 349 (6248): 613–617. arXiv : 1502.03807 . Бибкод : 2015Sci...349..613X. дои : 10.1126/science.aaa9297. ISSN  0036-8075. PMID  26184916. S2CID  206636457.
10. Жан Хладик: Спиноры в физике , перевод Дж. М. Коула, Springer 1999, ISBN 978-0-387-98647-0 , стр. 3 
11. Фармело, Грэм (2009). Самый странный человек: Скрытая жизнь Поля Дирака, квантового гения . Фабер и Фабер. п. 430. ИСБН 978-0-571-22286-5.
12. Картан 1913 г.
13. Томонага 1998, с. 129
14. Паули 1927.
15. Дирак 1928.
16. Жюве, Г. (1930). «Операторы Дирака и уравнения Максвелла». Commentarii Mathematici Helvetici (на французском языке). 2 : 225–235. дои : 10.1007/BF01214461. S2CID  121226923.
17. Заутер, Ф. (1930). «Lösung der Diracschen Gleichungen ohne Spezialisierung der Diracschen Операторен». Zeitschrift für Physik . 63 (11–12): 803–814. Бибкод : 1930ZPhy...63..803S. дои : 10.1007/BF01339277. S2CID  122940202.
18. Пертти Лунесто: Бивекторы и спиноры Крумейролля , стр. 137–166, В: Рафал Абламович, Пертти Лунесто (ред.): Алгебры Клиффорда и спинорные структуры: специальный том, посвященный памяти Альберта Крумейролля (1919–1992). ) , ISBN 0-7923-3366-7 , 1995, с. 151 
19. См. также: Пертти Лунесто: алгебры и спиноры Клиффорда , Конспект лекций Лондонского математического общества, серия 286, издательство Кембриджского университета, второе издание 2001 г., ISBN 978-0-521-00551-7 , стр. 52 
20. Пертти Лунесто: алгебры и спиноры Клиффорда , Конспект лекций Лондонского математического общества, серия 286, издательство Кембриджского университета, второе издание 2001 г., ISBN 978-0-521-00551-7 , стр. 148 ф. и п. 327 ф. 
21. Д. Хестенс: Алгебра пространства-времени , Гордон и Брич, Нью-Йорк, 1966, 1987, 1992.
22. Хестенес, Д. (1967). «Реальные спинорные поля». Дж. Математика. Физ. 8 (4): 798–808. Бибкод : 1967JMP.....8..798H. дои : 10.1063/1.1705279 . S2CID  13371668.
23. Эта конструкция принадлежит Картану (1913). Лечение здесь основано на Chevalley (1954) . harvtxt error: no target: CITEREFChevalley1954 (help)
24. Одним из источников этого подраздела является Fulton & Harris (1991).
25. Юрген Йост, «Риманова геометрия и геометрический анализ» (2002) Springer-Verlag Univeritext ISBN 3-540-42627-2 . См. главу 1. 
26. Через четно-градуированную алгебру Клиффорда.
27. Лоусон и Майкельсон 1989, Приложение D.
28. Брауэр и Вейль 1935.

дальнейшее чтение

• Брауэр, Ричард ; Вейль, Герман (1935). «Спиноры в n измерениях». Американский журнал математики . Издательство Университета Джонса Хопкинса. 57 (2): 425–449. дои : 10.2307/2371218. JSTOR  2371218.
• Картан, Эли (1913). «Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane» (PDF) . Бык. Соц. Математика. о . 41 : 53–96. дои : 10.24033/bsmf.916 .
• Картан, Эли (1981) [1966]. Теория спиноров (переиздание). Париж, Франция: Герман (1966); Дуврские публикации (1981). ISBN 978-0-486-64070-9.
• Шевалле, Клод (1996) [1954]. Алгебраическая теория спиноров и алгебры Клиффорда (переиздание). Издательство Колумбийского университета (1954); Спрингер (1996). ISBN 978-3-540-57063-9.
• Дирак, Поль М. (1928). «Квантовая теория электрона». Труды Лондонского королевского общества А. 117 (778): 610–624. Бибкод : 1928RSPSA.117..610D. дои : 10.1098/rspa.1928.0023 . JSTOR  94981.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 0-387-97495-4. МР  1153249.
• Гилки, Питер Б. (1984). Теория инвариантности: уравнение теплопроводности и теорема об индексе Атьи – Зингера. Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-20-9.
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-329650-4.
• Хитчин, Найджел Дж. (1974). «Гармонические спиноры». Достижения в математике . 14 :1–55. дои : 10.1016/0001-8708(74)90021-8 . МР  0358873.
• Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08542-0.
• Паули, Вольфганг (1927). «Квантовая механика магнитных электронов». Zeitschrift für Physik . 43 (9–10): 601–632. Бибкод : 1927ZPhy...43..601P. дои : 10.1007/BF01397326. S2CID  128228729.
• Пенроуз, Роджер ; Риндлер, В. (1988). Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени . Спиноры и пространство-время. Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-34786-6.
• Томонага, Син-Итиро (1998). «Лекция 7: Величина, которая не является ни вектором, ни тензором». История Спина . Издательство Чикагского университета. п. 129. ИСБН 0-226-80794-0.