Словарь математических терминов

Язык математики имеет широкий словарный запас специальных и технических терминов. Он также имеет определенное количество жаргона : общеупотребительные фразы, которые являются частью культуры математики, а не предмета. Жаргон часто появляется в лекциях, а иногда и в печати, как неформальное сокращение для строгих аргументов или точных идей. Большая часть этого использует общеупотребительные английские слова, но с определенным неочевидным значением при использовании в математическом смысле.

Некоторые фразы, например «в целом», встречаются ниже в нескольких разделах.

Философия математики

абстрактный вздор: Ироничная ссылка на теорию категорий , с помощью которой можно использовать аргументы, устанавливающие (возможно , конкретный) результат без ссылки на какие-либо особенности данной проблемы. По этой причине ее также называют общей абстрактной бессмыслицей или обобщенной абстрактной бессмыслицей .

[В статье Эйленберга и Маклейна (1942)] была введена весьма абстрактная идея «категории » — предмета, который тогда называли «общей абстрактной бессмыслицей»!
— Сондерс Мак Лейн (1997)

[ Гротендик ] поднял алгебраическую геометрию на новый уровень абстракции... если некоторые математики могли утешать себя на время надеждой, что все эти сложные структуры являются «абстрактной бессмыслицей»... то более поздние работы Гротендика и других показали, что классические проблемы... которые сопротивлялись усилиям нескольких поколений талантливых математиков, могут быть решены в терминах... сложных концепций.
— Михаил Монастырский (2001)

канонический: Ссылка на стандартное или свободное от выбора представление некоторого математического объекта (например, каноническая карта, каноническая форма или канонический порядок). Этот же термин может также использоваться более неформально для обозначения чего-то «стандартного» или «классического». Например, можно сказать, что доказательство Евклида является «каноническим доказательством» бесконечности простых чисел .

Существует два канонических доказательства, которые всегда используются, чтобы показать нематематикам, что такое математическое доказательство:
—Доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел .
— Доказательство иррациональности квадратного корня из двух .
— Фрик Видейк (2006, стр. 2)

глубокий: Результат называется «глубоким», если его доказательство требует концепций и методов, которые выходят за рамки концепций, необходимых для формулировки результата. Например, теорема о простых числах — первоначально доказанная с использованием методов комплексного анализа — когда-то считалась глубоким результатом, пока не были найдены элементарные доказательства . ^[1] С другой стороны, тот факт, что π иррационально, обычно считается глубоким результатом, поскольку требует значительного развития реального анализа, прежде чем доказательство может быть установлено — даже если само утверждение может быть сформулировано в терминах простой теории чисел и геометрии .
элегантный: Эстетический термин, относящийся к способности идеи обеспечивать понимание математики, будь то путем объединения разрозненных областей, введения новой точки зрения на одну область или предоставления метода доказательства, который либо особенно прост, либо захватывает интуицию или воображение относительно того, почему доказанный ею результат верен. В некоторых случаях термин «красивый» также может использоваться с тем же эффектом, хотя Джан-Карло Рота различал элегантность представления и красоту концепции , говоря, что, например, некоторые темы могут быть написаны элегантно, хотя математическое содержание некрасиво, а некоторые теоремы или доказательства красивы, но могут быть написаны неэлегантно.

Красота математической теории не зависит от эстетических качеств... строгих изложений теории. Некоторые прекрасные теории никогда не получат представления, соответствующего их красоте....Можно также найти примеры посредственных теорий сомнительной красоты, которым даны блестящие, захватывающие изложения....[Теория категорий] богата красивыми и проницательными определениями и бедна элегантными доказательствами....[Теоремы] остаются неуклюжими и скучными....[Изложения проективной геометрии ] соперничали друг с другом в элегантности представления и в остроумии доказательств....Оглядываясь назад, задаешься вопросом, из-за чего была вся эта суета.

Математики могут сказать, что теорема прекрасна, когда на самом деле имеют в виду, что она просветительская. Мы признаем красоту теоремы, когда видим, как теорема «вписывается» на свое место....Мы говорим, что доказательство прекрасно, когда такое доказательство наконец выдает секрет теоремы....
- Джан-Карло Рота (1977, стр. 173–174, стр. 181–182)

элементарный: Доказательство или результат называется «элементарным», если оно включает только основные концепции и методы в данной области и должно быть противопоставлено глубоким результатам, которые требуют большего развития в пределах или за пределами данной области. Понятие «элементарного доказательства» используется конкретно в теории чисел , где оно обычно относится к доказательству, которое не прибегает к методам комплексного анализа .
фольклор: Результат называется «фольклором», если он неочевиден и не опубликован, но при этом общеизвестен специалистам в данной области. Во многих случаях неясно, кто первым получил результат, хотя, если результат значим, он может в конечном итоге попасть в учебники, после чего перестает быть фольклором.

Многие из результатов, упомянутых в этой статье, следует считать «фольклором», поскольку они просто формально излагают идеи, которые хорошо известны исследователям в данной области, но могут быть неочевидны для новичков и, насколько мне известно, не встречаются в других печатных источниках.
— Рассел Импальяццо (1995)

крючкотворство: Термин, касающийся утверждений. Если утверждение ложно, то говорят, что оно демонстрирует мошенничество . "Что вы имеете в виду, когда говорите, что подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено? Это мошенничество!" $\mathbb {R}$

естественный: Похож на «канонический», но более конкретен и ссылается на описание (почти исключительно в контексте преобразований ), которое выполняется независимо от любых выборов. Хотя этот термин долго использовался неформально, он нашел формальное определение в теории категорий.
патологический: Объект ведет себя патологически (или, в более широком смысле, вырожденным образом), если он либо не соответствует общему поведению таких объектов, либо не удовлетворяет определенным контекстно-зависимым свойствам регулярности, либо просто не подчиняется математической интуиции . Во многих случаях это могут быть и часто являются противоречивыми требованиями, в то время как в других случаях этот термин более преднамеренно используется для обозначения объекта, искусственно сконструированного как контрпример к этим свойствам. Простой пример: из определения треугольника, имеющего углы , сумма которых составляет π радиан, одна прямая линия патологически соответствует этому определению.

За последние полвека мы стали свидетелями появления множества странных функций , которые, кажется, пытаются как можно меньше походить на честные функции, служащие какой-то цели... Более того, с логической точки зрения именно эти странные функции являются наиболее общими... сегодня они придуманы специально для того, чтобы поставить под сомнение рассуждения наших отцов...
— Анри Пуанкаре (1913)

[ Функция Дирихле ] приобрела огромное значение... как стимул для создания новых типов функций, свойства которых полностью отошли от того, что интуитивно казалось допустимым. Знаменитый пример такой так называемой «патологической» функции... — это функция, предоставленная Вейерштрассом ... Эта функция непрерывна , но не дифференцируема .
— Дж. Соуза Пинто (2004)

Обратите внимание на последнюю цитату, что поскольку дифференцируемые функции являются скудными в пространстве непрерывных функций, как обнаружил Банах в 1931 году, дифференцируемые функции, говоря простым языком, являются редким исключением среди непрерывных. Таким образом, вряд ли можно больше оправдывать то, чтобы называть недифференцируемые непрерывные функции патологическими.
строгость (строгость): Акт установления математического результата с использованием бесспорной логики, а не неформального описательного аргумента. Строгость является краеугольным камнем математики и может играть важную роль в предотвращении вырождения математики в заблуждения.
хорошо себя вел: Объект считается хорошо себя ведущим (в отличие от патологического ), если он удовлетворяет определенным преобладающим свойствам регулярности или если он соответствует математической интуиции (хотя интуиция часто может подсказывать и противоположное поведение). В некоторых случаях (например, анализ ) термин « гладкий » также может использоваться с тем же эффектом.

Описательные неформальности

Хотя в конечном итоге каждый математический аргумент должен соответствовать высокому стандарту точности, математики используют описательные, но неформальные утверждения для обсуждения повторяющихся тем или концепций с помощью громоздких формальных утверждений. Обратите внимание, что многие термины полностью строги в контексте.

почти все: Сокращенный термин для «всех, кроме множества меры нуль » , когда есть мера , о которой можно говорить. Например, «почти все действительные числа трансцендентны » , потому что алгебраические действительные числа образуют счетное подмножество действительных чисел с мерой нуль. Можно также говорить о «почти всех» целых числах, имеющих свойство означать «все, кроме конечного множества», несмотря на то, что целые числа не допускают меры, для которой это согласуется с предыдущим использованием. Например, «почти все простые числа нечетны » . Существует также более сложное значение для целых чисел, обсуждаемое в основной статье. Наконец, этот термин иногда используется как синоним универсального , ниже.
произвольно большой: Понятия, которые возникают в основном в контексте пределов , ссылаясь на повторяемость явления по мере приближения к пределу. Утверждение, такое как то, что предикат P удовлетворяется произвольно большими значениями, может быть выражено в более формальной нотации как ∀ x : ∃ y ≥ x : P ( y ) . См. также часто . Утверждение, что величина f ( x ) в зависимости от x «может быть сделана» произвольно большой, соответствует ∀ y : ∃ x : f ( x ) ≥ y .
произвольный: Сокращение для квантификатора всеобщности . Произвольный выбор — это тот, который делается неограниченно, или, в качестве альтернативы, утверждение справедливо для произвольного элемента множества, если оно справедливо для любого элемента этого множества. Также часто встречается в общеязыковом употреблении среди математиков: «Конечно, эта проблема может быть произвольно сложной».
в конце концов: В контексте пределов это сокращенное значение для достаточно больших аргументов ; соответствующий аргумент(ы) подразумеваются в контексте. Например, функция log(log( x )) в конечном итоге становится больше 100"; в этом контексте "в конечном итоге" означает "для достаточно больших x ".
фактор через: Термин в теории категорий, относящийся к композиции морфизмов . Если для трех объектов A , B и C отображение может быть записано как композиция с и , то говорят, что f пропускается через любой (и все) из , и . $f\двоеточие от A\до C$ $f=h\circ g$ $g\двоеточие от A\до B$ $h\двоеточие B\to C$ $Б$ $г$ $ч$
конечный: Когда говорится о значении переменной, принимающей значения из неотрицательных расширенных действительных чисел , обычно подразумевается «не бесконечно». Например, если дисперсия случайной величины считается конечной, это подразумевает, что она является неотрицательным действительным числом, возможно, нулевым. Однако в некоторых контекстах, например, в «малой, но конечной амплитуде», нуль и бесконечно малые числа исключаются. Когда говорится о значении переменной, принимающей значения из расширенных натуральных чисел, это означает просто «не бесконечно». Когда говорится о множестве или математическом объекте, основным компонентом которого является множество, это означает, что мощность множества меньше . $\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \},$ $\mathbb {N} \cup \{\infty \},$ $\алеф _{0}$
часто: В контексте пределов это сокращение для произвольно больших аргументов и их родственников; как и в случае с в конечном итоге , предполагаемый вариант подразумевается. Например, последовательность часто находится в интервале (1/2, 3/2), поскольку существуют произвольно большие n , для которых значение последовательности находится в интервале. $(-1)^{n}$
формальный, официально: Квалифицирует все, что достаточно точно для прямого перевода в формальной системе . Например, формальное доказательство , формальное определение .
общий: Этот термин имеет схожие коннотации, как и почти все , но используется, в частности, для понятий, выходящих за рамки теории меры . Свойство выполняется «в общем» на множестве, если множество удовлетворяет некоторому (зависящему от контекста) понятию плотности или, возможно, если его дополнение удовлетворяет некоторому (зависящему от контекста) понятию малости. Например, свойство, которое выполняется на плотном G _δ ( пересечение счетного числа открытых множеств ), называется выполненным в общем. В алгебраической геометрии говорят, что свойство точек на алгебраическом многообразии , которое выполняется на плотном открытом по Зарискому множестве, является истинным в общем; однако обычно не говорят, что свойство, которое выполняется только на плотном множестве (которое не является открытым по Зарискому), является в этой ситуации общим.
в общем: В описательном контексте эта фраза вводит простую характеристику широкого класса объектов с целью выявления объединяющего принципа. Этот термин вводит «элегантное» описание, которое справедливо для «произвольных» объектов. Исключения из этого описания могут быть упомянуты явно, как «патологические» случаи.

Норберт А'Кампо из Базельского университета однажды спросил Гротендика о чем-то, связанном с Платоновыми телами . Гротендик посоветовал проявить осторожность. Платоновы тела настолько красивы и исключительны, сказал он, что нельзя предполагать, что такая исключительная красота будет сохраняться в более общих ситуациях.
— Эллин Джексон (2004, стр.1197)

левая сторона, правая сторона (LHS, RHS): Чаще всего они просто относятся к левой или правой стороне уравнения ; например, has on the LHS и on the RHS. Иногда они используются в смысле lvalue и rvalue: RHS является примитивным, а LHS является производным. $x=y+1$ $x$ $у+1$
хороший: Математический объект в разговорной речи называется хорошим или достаточно хорошим, если он удовлетворяет гипотезам или свойствам, иногда неуказанным или даже неизвестным, которые особенно желательны в данном контексте. Это неформальный антоним для патологического . Например, можно предположить, что дифференциальный оператор должен удовлетворять определенному условию ограниченности «для хороших тестовых функций», или можно утверждать, что некоторый интересный топологический инвариант должен быть вычислимым «для хороших пространств X ».
на: Функция (которая в математике обычно определяется как отображение элементов одного множества A на элементы другого множества B ) называется « A на B » (вместо « A на B » или « A в B »), только если она сюръективна ; можно даже сказать, что « f на» (т. е. сюръективна). Непереводима (без иносказаний) на некоторые языки, кроме английского.
правильный: Если для некоторого понятия подструктуры объекты являются подструктурами самих себя (то есть отношение рефлексивно ), то правильная квалификация требует, чтобы объекты были разными. Например, правильное подмножество множества S — это подмножество S , которое отлично от S , а правильный делитель числа n — это делитель n , который отличен от n . Это перегруженное слово также не является жаргоном для правильного морфизма .
обычный: Функция называется регулярной , если она удовлетворяет удовлетворительным свойствам непрерывности и дифференцируемости, которые часто зависят от контекста. Эти свойства могут включать обладание указанным числом производных , при этом функция и ее производные демонстрируют некоторое приятное свойство (см. nice выше), такое как непрерывность Гёльдера . Неформально этот термин иногда используется как синоним гладкого , ниже. Эти неточные использования слова регулярный не следует путать с понятием регулярного топологического пространства , которое строго определено.
соотв.: (Соответственно) Соглашение для сокращения параллельных изложений. « A (соответственно B ) [имеет некоторое отношение к] X (соответственно Y )» означает, что A [имеет некоторое отношение к] X , а также что B [имеет (то же) отношение к] Y. Например, квадраты (соответственно треугольники) имеют 4 стороны (соответственно 3 стороны); или компактные (соответственно Линделёфовы ) пространства — это такие, в которых каждое открытое покрытие имеет конечное (соответственно счетное) открытое подпокрытие.
острый: Часто математическая теорема устанавливает ограничения на поведение некоторого объекта; например, будет показано, что функция имеет верхнюю или нижнюю границу . Ограничение является точным (иногда оптимальным ), если его нельзя сделать более строгим без сбоев в некоторых случаях. Например, для произвольных неотрицательных действительных чисел x показательная функция e ^x , где e = 2,7182818..., дает верхнюю границу значений квадратичной функции x ² . Это не точно; разрыв между функциями везде составляет не менее 1. Среди показательных функций вида α ^x установка α = e ^{2/ e} = 2,0870652... приводит к точной верхней границе; немного меньший выбор α = 2 не дает верхней границы, поскольку тогда α ³ = 8 < 3 ² . В прикладных областях слово «жесткий» часто используется с тем же значением. ^[2]
гладкий: Гладкость — это концепция, которую математика наделила многими значениями, от простой дифференцируемости до бесконечной дифференцируемости и аналитичности , и еще более сложными. Каждое такое использование пытается вызвать физически интуитивное понятие гладкости.
сильный, сильнее: Теорема считается сильной , если она выводит ограничительные результаты из общих гипотез. Одним из известных примеров является теорема Дональдсона , которая накладывает жесткие ограничения на то, что в противном случае казалось бы большим классом многообразий. Это (неформальное) использование отражает мнение математического сообщества: такая теорема должна быть не только сильной в описательном смысле (ниже), но и определяющей в своей области. Теорема, результат или условие далее называются сильнее других, если доказательство второго может быть легко получено из первого, но не наоборот. Примером является последовательность теорем: малая теорема Ферма , теорема Эйлера , теорема Лагранжа , каждая из которых сильнее предыдущей; другой пример заключается в том, что точная верхняя граница (см. точная выше) является более сильным результатом, чем неточная. Наконец, прилагательное точная или наречие точная могут быть добавлены к математическому понятию для указания на связанное с ним более сильное понятие; например, сильная антицепь — это антицепь, удовлетворяющая определенным дополнительным условиям, и аналогично сильно регулярный граф — это регулярный граф , удовлетворяющий более сильным условиям. При таком использовании более сильное понятие (такое как «сильная антицепь») является техническим термином с точно определенным значением; природа дополнительных условий не может быть выведена из определения более слабого понятия (такого как «антицепь»).
достаточно большой , соответственно маленький, достаточно близко: В контексте пределов эти термины относятся к некоторой (неопределенной, даже неизвестной) точке, в которой явление преобладает по мере приближения к пределу. Утверждение, например, что предикат P имеет место для достаточно больших значений, может быть выражено в более формальной нотации как ∃ x : ∀ y ≥ x : P ( y ). См. также в конечном итоге .
наверху, внизу: Описательный термин, относящийся к записи, в которой два объекта записываются один над другим; верхний — наверху , а нижний — внизу . Например, в пучке волокон общее пространство часто называют наверху , а базовое — внизу . В дроби числитель иногда называют наверху , а знаменатель — внизу , как в «переносе члена наверх».
до , по модулю, по модулю: Расширение математических представлений о модулярной арифметике . Утверждение истинно с точностью до некоторого условия, если выполнение этого условия является единственным препятствием к истинности утверждения. Также используется при работе с членами классов эквивалентности , особенно в теории категорий , где отношение эквивалентности — это (категорический) изоморфизм; например, «Тензорное произведение в слабой моноидальной категории ассоциативно и унитарно с точностью до естественного изоморфизма ».
исчезнуть: Принять значение 0. Например, «Функция sin( x ) обращается в нуль для тех значений x , которые являются целыми кратными π». Это также может применяться к пределам: см. Исчезновение на бесконечности .
слабый, слабее: Обратное сильному .
четко определенный: Точно и точно описанный или указанный. Например, иногда определение опирается на выбор некоторого объекта; результат определения должен тогда быть независимым от этого выбора.

Терминология доказательства

Формальный язык доказательства постоянно черпает вдохновение из небольшого круга идей, многие из которых на практике используются посредством различных лексических сокращений.

алитр: Устаревший термин, который используется для того, чтобы объявить читателю альтернативный метод или доказательство результата. В доказательстве он, таким образом, отмечает часть рассуждения, которая является излишней с логической точки зрения, но имеет какой-то другой интерес.
путем от противного (BWOC), или «ибо, если нет, ...»: Риторическая прелюдия к доказательству от противного , предшествующая отрицанию доказываемого утверждения.
тогда и только тогда, когда (если и только тогда): Сокращение для обозначения логической эквивалентности утверждений.
в общем: В контексте доказательств эта фраза часто встречается в аргументах индукции при переходе от базового случая к шагу индукции, а также в определении последовательностей, первые несколько членов которых представлены в качестве примеров формулы, дающей каждый член последовательности.
необходимо и достаточно: Меньший вариант на тему «если и только если»; « A необходимо ( достаточно ) для B » означает « A если (только если) B ». Например, «Для того, чтобы поле K было алгебраически замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно не имело конечных расширений полей » означает « K алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет конечных расширений». Часто используется в списках, как в «Следующие условия необходимы и достаточны для того, чтобы поле было алгебраически замкнутым...».
необходимо показать (NTS), требуется доказать (RTP), желаем показать, хотим показать (WTS): Доказательства иногда осуществляются путем перечисления нескольких условий, выполнение которых в совокупности влечет за собой требуемую теорему; таким образом, необходимо привести только эти утверждения.
один и только один: Утверждение о существовании и уникальности объекта; объект существует, и, более того, никакого другого такого объекта не существует.
ЧТЭК: ( Quod erat demonstrandum ): латинская аббревиатура, означающая «что должно было быть продемонстрировано», исторически помещаемая в конце корректуры, но в настоящее время менее распространенная, поскольку была вытеснена знаком конца корректуры Halmos , квадратным знаком ∎.
достаточно хороший: Условие для объектов в рамках обсуждения, которое будет указано позже, которое гарантирует, что некоторое указанное свойство выполняется для них. При разработке теоремы использование этого выражения в формулировке теоремы указывает на то, что вовлеченные условия могут быть еще неизвестны говорящему, и что намерение состоит в том, чтобы собрать условия, которые будут сочтены необходимыми для того, чтобы доказательство теоремы было выполнено.
следующие эквивалентны (TFAE): Часто несколько эквивалентных условий (особенно для определения, такого как нормальная подгруппа ) одинаково полезны на практике; вводится теорема, утверждающая эквивалентность более чем двух утверждений с TFAE.
транспортировка структуры: Часто бывает так, что два объекта показываются эквивалентными в некотором роде, и что один из них наделен дополнительной структурой. Используя эквивалентность, мы можем определить такую структуру и на втором объекте, посредством переноса структуры . Например, любые два векторных пространства одинаковой размерности изоморфны ; если одному из них дано скалярное произведение и если мы фиксируем конкретный изоморфизм, то мы можем определить скалярное произведение на другом пространстве, пропустив через изоморфизм .

Пусть V — конечномерное векторное пространство над k ....Пусть ( e _i ) _{1≤ i ≤ n} — базис для V .... Существует изоморфизм алгебры многочленов k [ T _ij ] _{1≤ i , j ≤ n} на алгебру Sym _k ( V ⊗ V ^* )....Он продолжается до изоморфизма k [ GL _n ] на локализованную алгебру Sym _k ( V ⊗ V ^* ) _D , где D = det( e _i ⊗ e _j^* )....Мы записываем k [ GL ( V )] для этой последней алгебры. Перенося структуру, мы получаем линейную алгебраическую группу GL ( V ), изоморфную GL _n .
— Игорь Шафаревич (1991, с.12)

без (какой-либо) потери общности (WLOG, WOLOG, WALOG), мы можем предположить (WMA): Иногда предложение может быть легче доказано с дополнительными предположениями относительно объектов, которые оно касается. Если предложение в том виде, в котором оно сформулировано, следует из этого измененного предложения с простым и минимальным объяснением (например, если оставшиеся особые случаи идентичны, за исключением обозначений), то измененные предположения вводятся с этой фразой, и измененное предложение доказывается.

Методы доказательства

У математиков есть несколько фраз для описания доказательств или методов доказательства. Они часто используются как подсказки для заполнения скучных деталей.

чеканка под углом: Используется для описания геометрического доказательства, включающего нахождение соотношений между различными углами на диаграмме. ^[3]
расчет на обороте конверта: Неформальное вычисление, исключающее большую строгость, но не жертвующее правильностью. Часто это вычисление является "доказательством концепции" и рассматривает только доступный частный случай.
грубая сила: Вместо того, чтобы искать основные принципы или закономерности, это метод, в котором оценивается столько случаев, сколько необходимо для достаточного доказательства или предоставления убедительных доказательств того, что рассматриваемая вещь истинна. Иногда это включает оценку каждого возможного случая (что также известно как доказательство исчерпанием ).
на примере: Доказательство на примере — это аргумент, посредством которого утверждение не доказывается, а вместо этого иллюстрируется примером. Если сделать это правильно, конкретный пример легко обобщится до общего доказательства.
осмотром: Риторическое сокращение, созданное авторами, которые приглашают читателя проверить с первого взгляда правильность предложенного выражения или вывода. Если выражение можно оценить путем прямого применения простых методов и без обращения к расширенным вычислениям или общей теории, то его можно оценить путем осмотра . Он также применяется к решению уравнений; например, найти корни квадратного уравнения путем осмотра означает «заметить» их или мысленно проверить их. «Осмотром» может играть своего рода роль гештальта : ответ или решение просто встают на место.
путем запугивания: Стиль доказательства, при котором утверждения, которые автор считает легко проверяемыми, маркируются как «очевидные» или «тривиальные», что часто приводит читателя в замешательство.
ясно, можно легко показать: Термин, упрощающий вычисления, которые математик считает утомительными или рутинными, и доступный любому члену аудитории, обладающему необходимыми знаниями в этой области; Лаплас использовал очевидность ( французский : évident ).
полная интуиция: обычно используется для шуток (каламбуров на тему полной индукции ).
погоня за диаграммой: ^[4] Если дана коммутативная диаграмма объектов и морфизмов между ними, и требуется доказать некоторое свойство морфизмов (например, инъективность ), которое можно сформулировать в терминах элементов , то доказательство можно продолжить, прослеживая путь элементов различных объектов вокруг диаграммы по мере применения к ней последовательных морфизмов. То есть, можно преследовать элементы вокруг диаграммы или выполнять преследование диаграммы .
махание рукой: Не-техника доказательства, в основном используемая на лекциях, где формальный аргумент не является строго необходимым. Он осуществляется путем пропуска деталей или даже существенных ингредиентов и является просто аргументом правдоподобия.
в общем: В контексте, не требующем строгости, эта фраза часто появляется как средство экономии труда, когда технические детали полного аргумента перевешивают концептуальные выгоды. Автор приводит доказательство в достаточно простом случае, что вычисления разумны, а затем указывает, что «в целом» доказательство аналогично.
индекс битвы: Для доказательств, включающих объекты с несколькими индексами, которые можно решить, перейдя к основанию (если кто-то захочет взять на себя усилия). Аналогично преследованию диаграмм.
очевидно: Видеть ясно .
доказательство оставлено в качестве упражнения читателю: Обычно применяется к утверждению в рамках более крупного доказательства, когда доказательство этого утверждения может быть представлено в обычном порядке любым членом аудитории, обладающим необходимыми знаниями, но не настолько просто, чтобы быть очевидным .
тривиальный: Аналогично clear . Концепция тривиальна, если она выполняется по определению, является непосредственным следствием известного утверждения или простым частным случаем более общей концепции.

Разнообразный

В этом разделе представлены термины, используемые в различных областях математики , или термины, которые обычно не появляются в более специализированных глоссариях. Для терминов, используемых только в некоторых конкретных областях математики, см. глоссарии в категории:Глоссарии по математике .

Б

двоичный: Бинарное отношение — это набор упорядоченных пар; элемент x считается связанным с другим элементом y тогда и только тогда, когда (x,y) входят в набор.

С

канонический: 1. Каноническое отображение — это отображение или морфизм между объектами, которое естественным образом возникает из определения или построения объектов, отображаемых друг на друга.; 2. Каноническая форма объекта — это некий стандартный или универсальный способ выражения объекта.
переписка: Соответствие множества множеству является подмножеством декартова произведения ; другими словами, это бинарное отношение, но со спецификацией окружающих множеств, используемых в определении. $А$ $Б$ $A\times B$ $А,Б$

Д

диаграмма: См. математическую схему .

Ф

функция: Функция — это упорядоченная тройка, состоящая из множеств и подмножества декартова произведения , при условии, что влечет . Другими словами, это особый вид соответствия , где задан элемент из , существует уникальный элемент из , который ему соответствует. $f:A\to B$ $(А,Б,е)$ $А,Б$ $f$ $A\times B$ $(a,b),(a,b')\in f$ $b=b'$ $а$ $А$ $б$ $Б$
фундаментальный: Слово «фундаментальный» используется для описания теоремы в определенной области математики, которая считается самой центральной теоремой в этой конкретной области (например, « Фундаментальная теорема арифметики для арифметики »).

я

инвариантный: Инвариант объекта или пространства — это свойство или число объекта или пространства, которое остается неизменным при некоторых преобразованиях.

М

карта: Синоним функции между множествами или морфизма в категории. В зависимости от авторов термин «карты» или термин «функции» может быть зарезервирован для определенных видов функций или морфизмов (например, функция как аналитический термин и карта как общий термин).
математика: См. математику .
многозначный: « Многозначная функция » из множества $A$ в множество $B$ — это функция из $A$ в подмножества $B.$ Обычно она обладает тем свойством, что для почти всех точек $x$ из $B$ существует окрестность $x$ , такая что ограничение функции на окрестность можно рассматривать как набор функций из окрестности в $B.$

П

проекция: Проекция — это, грубо говоря, отображение одного пространства или объекта на другое, которое пропускает некоторую информацию об объекте или пространстве. Например, является проекцией, а ее ограничение на график функции, скажем, также является проекцией. Термины « идемпотентный оператор » и « забывчивая карта » также являются синонимами проекции. $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x$

С

структура: Математическая структура объекта — это дополнительный набор объектов или данных, прикрепленных к объекту (например, отношение, операция, метрика, топология).

Смотрите также

Примечания

^ Голдфельд, Дориан. «Элементарное доказательство теоремы о простых числах: историческая перспектива» (PDF) . Колумбийский университет .
^ Бойд, Стивен (2004). Выпуклая оптимизация . Cambridge University Press. ISBN 978-0521833783.
^ Роу, Джон (1993), Элементарная геометрия , Oxford science publications, стр. 119, ISBN 978-0-19-853456-3
^ Многочисленные примеры можно найти в (Mac Lane 1998), например, на стр. 100.

Ссылки

Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1942), «Естественные изоморфизмы в теории групп», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 28 (12): 537–543, Bibcode : 1942PNAS...28..537E, doi : 10.1073/pnas.28.12.537 , PMC 1078535 , PMID 16588584.
Импальяццо, Рассел (1995), «Личный взгляд на сложность в среднем случае», Труды Десятой ежегодной конференции по теории структур сложности (SCT'95) , стр. 134–147, CiteSeerX 10.1.1.678.8930 , doi :10.1109/SCT.1995.514853, ISBN 978-0-8186-7052-7, S2CID 2154064.
Джексон, Аллин (2004), «Comme Appelé du Néant — Как будто вызванный из пустоты: Жизнь Александра Гротендика», AMS Notices , 51 (9, 10)(Части I и II).
Mac Lane, Saunders (1997), "PNAS тогда" (PDF) , Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 94 (12): 5983–5985, Bibcode : 1997PNAS...94.5983M, doi : 10.1073/pnas.94.12.5983 , PMC 33670 , PMID 9177152.
Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , Springer.
Монастырский, Михаил (2001), «Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса» (PDF) , Can. Math. Soc. Notes , 33 (2 и 3).
Пинто, Дж. Соуза (2004), Хоскинс, Р. Ф. (ред.), Методы бесконечно малых величин для математического анализа, Horwood Publishing, стр. 246, ISBN 978-1-898563-99-0.
Пуанкаре, Анри (1913), Холстед, Брюс (ред.), Основы науки, The Science Press, стр. 435.
Рота, Джан-Карло (1977), «Феноменология математической красоты», Synthese , 111 (2): 171–182, doi :10.1023/A:1004930722234, ISSN 0039-7857, S2CID 44064821.
Шафаревич, Игорь (1991), Кандалл, Г.А. (редактор), Алгебраическая геометрия , вып. IV, Спрингер.
Видейк, Фрик, ред. (2006), Семнадцать доказывающих мира , Биркхойзер, ISBN 978-3-540-30704-4.

Библиография

Энциклопедия математики