Алгебраическое многообразие

Математический объект, изучаемый в области алгебраической геометрии.

Скрученная кубика является проективным алгебраическим многообразием.

Алгебраические многообразия являются центральными объектами изучения в алгебраической геометрии , подразделе математики . Классически алгебраическое многообразие определяется как множество решений системы полиномиальных уравнений над действительными или комплексными числами . Современные определения обобщают эту концепцию несколькими различными способами, пытаясь при этом сохранить геометрическую интуицию, лежащую в основе исходного определения. ^{[1] : 58}

Соглашения относительно определения алгебраического многообразия немного различаются. Например, некоторые определения требуют, чтобы алгебраическое многообразие было неприводимым , что означает, что оно не является объединением двух меньших множеств , замкнутых в топологии Зарисского . Согласно этому определению, неприводимые алгебраические многообразия называются алгебраическими множествами . Другие соглашения не требуют неприводимости.

Основная теорема алгебры устанавливает связь между алгеброй и геометрией , показывая, что монический многочлен (алгебраический объект) от одной переменной с комплексными числовыми коэффициентами определяется множеством своих корней (геометрическим объектом) в комплексной плоскости . Обобщая этот результат, Nullstellensatz Гильберта обеспечивает фундаментальное соответствие между идеалами полиномиальных колец и алгебраическими множествами. Используя Nullstellensatz и связанные с ним результаты, математики установили сильное соответствие между вопросами об алгебраических множествах и вопросами теории колец . Это соответствие является определяющей чертой алгебраической геометрии.

Многие алгебраические многообразия являются дифференцируемыми многообразиями , но алгебраическое многообразие может иметь особые точки , а дифференцируемое многообразие — нет. Алгебраические многообразия можно охарактеризовать с помощью их размерности . Алгебраические многообразия размерности один называются алгебраическими кривыми , а алгебраические многообразия размерности два называются алгебраическими поверхностями .

В контексте современной теории схем алгебраическое многообразие над полем — это целая (неприводимая и приведенная) схема над этим полем, структурный морфизм которой разделен и имеет конечный тип.

Обзор и определения

Аффинное многообразие над алгебраически замкнутым полем — это концептуально самый простой тип многообразия для определения, что и будет сделано в этом разделе. Далее, можно определить проективные и квазипроективные многообразия аналогичным образом. Наиболее общее определение многообразия получается путем склеивания меньших квазипроективных многообразий. Неочевидно, что таким образом можно построить действительно новые примеры многообразий, но Нагата привел пример такого нового многообразия в 1950-х годах.

Аффинные многообразия

Для алгебраически замкнутого поля K и натурального числа n пусть A ⁿ будет аффинным n -пространством над K , идентифицированным с посредством выбора аффинной системы координат . Многочлены f в кольце K [ x ₁ , ..., x _n ] можно рассматривать как K -значные функции на A ^{n ,} оценивая f в точках в A ⁿ , т. е. выбирая значения в K для каждого x _i . Для каждого набора S многочленов в K [ x ₁ , ..., x _n ] определим нулевое множество Z ( S ) как множество точек в A ^{n ,} на которых функции из S одновременно обращаются в нуль, то есть ${\displaystyle K^{n}}$    

${\displaystyle Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\right\}.}$

Подмножество V множества A называется аффинным алгебраическим множеством , если V = Z ( S ) для некоторого S . ^{[1] : 2} Непустое аффинное алгебраическое множество V называется неприводимым ^, если его нельзя записать в виде объединения двух собственных алгебраических подмножеств. ^{[1] : 3} Неприводимое аффинное алгебраическое множество также называется аффинным многообразием . ^{[1] : 3} (Некоторые авторы используют фразу аффинное многообразие для обозначения любого аффинного алгебраического множества, неприводимого или нет. ^{[примечание 1]} )

Аффинным многообразиям можно придать естественную топологию , объявив замкнутые множества в точности аффинными алгебраическими множествами. Эта топология называется топологией Зарисского. ^{[1] : 2}

Для подмножества V множества An мы определяем I ( V ) как идеал всех полиномиальных функций, обращающихся в нуль ^на V :

${\displaystyle I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ for all }}x\in V\right\}.}$

Для любого аффинного алгебраического множества V координатное кольцо или структурное кольцо V является фактором кольца многочленов по этому идеалу. ^{[1] : 4}

Проективные многообразия и квазипроективные многообразия

Пусть k — алгебраически замкнутое поле, а P ⁿ — проективное n -пространство над k . Пусть f in k [ x ₀ , ..., x _n ] — однородный многочлен степени d . Не вполне определено вычислять f в точках P ⁿ в однородных координатах . Однако, поскольку f однородно, то есть f   ( λx ₀ , ..., λx _n ) = λ ^d f   ( x ₀ , ..., x _n ) , имеет смысл спросить, обращается ли f в нуль в точке [ x ₀  : ... : x _n ] . Для каждого множества S однородных многочленов определим нулевое множество S как множество точек в P ^{n ,} в которых функции из S обращаются в нуль:          

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\}.}$

Подмножество V множества P ⁿ называется проективным алгебраическим множеством , если V = Z ( S ) для некоторого S . ^{[1] : 9} Неприводимое проективное алгебраическое множество называется проективным многообразием . ^{[1] : 10}

Проективные многообразия также снабжаются топологией Зарисского, объявляя все алгебраические множества замкнутыми.

Для данного подмножества V множества P ⁿ пусть I ( V ) будет идеалом, порожденным всеми однородными многочленами, обращающимися в нуль на V . Для любого проективного алгебраического множества V координатное кольцо множества V является фактором кольца многочленов по этому идеалу. ^{[1] : 10}

Квазипроективное многообразие — это открытое по Зарискому подмножество проективного многообразия. Обратите внимание, что каждое аффинное многообразие является квазипроективным. ^[2] Обратите внимание также, что дополнение алгебраического множества в аффинном многообразии является квазипроективным многообразием; в контексте аффинных многообразий такое квазипроективное многообразие обычно называется не многообразием, а конструируемым множеством .

Абстрактные разновидности

В классической алгебраической геометрии все многообразия по определению были квазипроективными многообразиями , что означает , что они были открытыми подмногообразиями замкнутых подмногообразий проективного пространства . Например, в Главе 1 Хартсхорна многообразие над алгебраически замкнутым полем определяется как квазипроективное многообразие , ^{[1] : 15} но начиная с Главы 2 термин многообразие (также называемое абстрактным многообразием ) относится к более общему объекту, который локально является квазипроективным многообразием, но при рассмотрении в целом не обязательно является квазипроективным; т. е. он может не иметь вложения в проективное пространство . ^{[1] : 105} Таким образом, классически определение алгебраического многообразия требовало вложения в проективное пространство, и это вложение использовалось для определения топологии на многообразии и регулярных функций на многообразии. Недостатком такого определения является то, что не все многообразия имеют естественные вложения в проективное пространство. Например, в рамках этого определения произведение P ¹ × P ¹ не является многообразием, пока оно не вложено в большее проективное пространство; обычно это делается с помощью вложения Сегре . Более того, любое многообразие, допускающее одно вложение в проективное пространство, допускает и множество других, например, путем составления вложения с вложением Веронезе ; таким образом, многие понятия, которые должны быть внутренними, например, понятие регулярной функции, не являются таковыми, очевидно.

Самая ранняя успешная попытка определить алгебраическое многообразие абстрактно, без вложения, была сделана Андре Вейлем . В его «Основаниях алгебраической геометрии» с использованием оценок . Клод Шевалле дал определение схемы , которое служило схожей цели, но было более общим. Однако определение схемы Александра Гротендика является еще более общим и получило наиболее широкое признание. На языке Гротендика абстрактное алгебраическое многообразие обычно определяется как целочисленная , разделенная схема конечного типа над алгебраически замкнутым полем, ^{[1] : 104–105} хотя некоторые авторы опускают условие неприводимости, редуцированности или раздельности или допускают, чтобы базовое поле не было алгебраически замкнутым. ^{[примечание 2]} Классические алгебраические многообразия являются квазипроективными целочисленными разделенными схемами конечного типа над алгебраически замкнутым полем.

Существование неквазипроективных абстрактных алгебраических многообразий

Один из самых ранних примеров неквазипроективного алгебраического многообразия был дан Нагатой. ^[3] Пример Нагаты не был полным (аналог компактности), но вскоре после этого он нашел алгебраическую поверхность, которая была полной и непроективной. ^{[4] [1] : Замечание 4.10.2, стр.105} С тех пор были найдены другие примеры: например, легко построить торические многообразия , которые не являются квазипроективными, но полными. ^[5]

Примеры

Подвид

Подмногообразие — это подмножество многообразия, которое само является многообразием (относительно топологической структуры, индуцированной окружающим многообразием). Например, каждое открытое подмножество многообразия является многообразием. См. также закрытое погружение .

В теореме Гильберта о нулях говорится, что замкнутые подмногообразия аффинного или проективного многообразия находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми идеалами или нерелевантными однородными простыми идеалами координатного кольца многообразия.

Аффинное многообразие

Пример 1

Пусть k = C , а A ² — двумерное аффинное пространство над C. Многочлены в кольце C [ x , y ] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A ^2, вычисляя их в точках A ^2. Пусть подмножество S из C [ x , y ] содержит единственный элемент f   ( x , y ) : 

${\displaystyle f(x,y)=x+y-1.}$

Нулевое множество функции f   ( x , y ) — это множество точек в A ² , на которых эта функция обращается в нуль: это множество всех пар комплексных чисел ( x , y ) таких, что y = 1 − x . Это называется прямой в аффинной плоскости. (В классической топологии, вытекающей из топологии комплексных чисел, комплексная прямая — это действительное многообразие размерности два.) Это множество Z (  f  ) : 

${\displaystyle Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.}$

Таким образом, подмножество V = Z (  f  ) множества A ² является алгебраическим множеством. Множество V не пусто. Оно неприводимо, поскольку его нельзя записать как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Таким образом, это аффинное алгебраическое многообразие.

Пример 2

Пусть k = C , а A ² — двумерное аффинное пространство над C. Многочлены в кольце C [ x , y ] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A ^2, оценивая их в точках A ^2. Пусть подмножество S из C [ x , y ] содержит единственный элемент g ( x , y ):

${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.}$

Нуль-локус функции g ( x , y ) — это множество точек в A ² , на которых эта функция обращается в нуль, то есть множество точек ( x , y ) таких, что x ² + y ² = 1. Поскольку g ( x , y ) — абсолютно неприводимый многочлен, это алгебраическое многообразие. Множество его действительных точек (то есть точек, для которых x и y являются действительными числами) известно как единичная окружность ; это название также часто дается всему многообразию.

Пример 3

Следующий пример не является ни гиперповерхностью , ни линейным пространством , ни одной точкой. Пусть A ³ — трехмерное аффинное пространство над C . Множество точек ( x , x ² , x ³ ) для x в C является алгебраическим многообразием, а точнее, алгебраической кривой, которая не содержится ни в одной плоскости. ^{[примечание 3]} Это скрученная кубика, показанная на рисунке выше. Она может быть определена уравнениями

${\displaystyle {\begin{aligned}y-x^{2}&=0\\z-x^{3}&=0\end{aligned}}}$

Неприводимость этого алгебраического множества требует доказательства. Один из подходов в этом случае — проверить, что проекция ( x , y , z ) → ( x , y ) инъективна на множестве решений и что ее образ является неприводимой плоской кривой.

Для более сложных примеров всегда можно привести похожее доказательство, но оно может подразумевать сложные вычисления: сначала вычисление базиса Грёбнера для вычисления размерности, затем случайная линейная замена переменных (не всегда необходима); затем вычисление базиса Грёбнера для другого мономиального упорядочения для вычисления проекции и доказательства того, что она является генерически инъективной и что ее образ является гиперповерхностью , и, наконец, полиномиальная факторизация для доказательства неприводимости образа.

Общая линейная группа

Множество матриц размера n на n над базовым полем k можно отождествить с аффинным n ² -пространством с координатами, такими что является ( i , j )-м элементом матрицы . Тогда определитель является многочленом по и, таким образом, определяет гиперповерхность в . Тогда дополнение к является открытым подмножеством , которое состоит из всех обратимых матриц размера n на n , общей линейной группы . Это аффинное многообразие, поскольку, в общем случае, дополнение гиперповерхности в аффинном многообразии является аффинным. Явно рассмотрим, где аффинная прямая имеет координату t . Тогда равно нулю-локусу в многочлена по : ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle x_{ij}}$ ${\displaystyle x_{ij}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle x_{ij}}$ ${\displaystyle H=V(\det )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle x_{ij},t}$

${\displaystyle t\cdot \det[x_{ij}]-1,}$

т.е. множество матриц A, такое, что имеет решение. Это лучше всего видно алгебраически: координатное кольцо является локализацией , которую можно отождествить с . ${\displaystyle t\det(A)=1}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle k[x_{ij}\mid 0\leq i,j\leq n][{\det }^{-1}]}$ ${\displaystyle k[x_{ij},t\mid 0\leq i,j\leq n]/(t\det -1)}$

Мультипликативная группа k ^* базового поля k совпадает с и, таким образом, является аффинным многообразием. Ее конечное произведение — алгебраический тор , который снова является аффинным многообразием. ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(k)}$ ${\displaystyle (k^{*})^{r}}$

Общая линейная группа является примером линейной алгебраической группы , аффинного многообразия, имеющего структуру группы таким образом, что групповые операции являются морфизмами многообразий.

Характерное разнообразие

Пусть A — не обязательно коммутативная алгебра над полем k . Даже если A не коммутативна, все равно может случиться, что A имеет -фильтрацию, так что ассоциированное кольцо будет коммутативным, приведенным и конечно порожденным как k -алгебра; т. е. является координатным кольцом аффинного (приводимого) многообразия X. Например, если A — универсальная обертывающая алгебра конечномерной алгебры Ли , то является кольцом многочленов ( теорема PBW ); точнее, координатным кольцом дуального векторного пространства . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {gr} A=\bigoplus _{i=-\infty }^{\infty }A_{i}/{A_{i-1}}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Пусть M — фильтрованный модуль над A (т.е. ). Если конечно порождено как -алгебра, то носитель в X ; т.е. множество, где не обращается в нуль, называется характеристическим многообразием M . ^{[6] Это понятие играет важную} роль в теории D -модулей . ${\displaystyle A_{i}M_{j}\subset M_{i+j}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} M}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} A}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} M}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} M}$

Проективное разнообразие

Проективное многообразие — это замкнутое подмногообразие проективного пространства. То есть это нулевое множество множества однородных многочленов , которые порождают простой идеал .

Пример 1

Аффинная плоская кривая y ² = x ³ − x . Соответствующая проективная кривая называется эллиптической кривой.

Плоская проективная кривая — это нулевое множество неприводимого однородного многочлена от трех неизвестных. Проективная прямая P ¹ — пример проективной кривой; ее можно рассматривать как кривую в проективной плоскости P ² = {[ x , y , z ] } , определенную x = 0 . Для другого примера сначала рассмотрим аффинную кубическую кривую

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x.}$

в 2-мерном аффинном пространстве (над полем характеристики, отличной от двух). Имеет соответствующее кубическое однородное полиномиальное уравнение:

${\displaystyle y^{2}z=x^{3}-xz^{2},}$

которая определяет кривую в P ^{2 ,} называемую эллиптической кривой . Кривая имеет род один ( формула рода ); в частности, она не изоморфна проективной прямой P ¹ , которая имеет род ноль. Использование рода для различения кривых очень просто: на самом деле, род является первым инвариантом, который используется для классификации кривых (см. также построение модулей алгебраических кривых ).

Пример 2: Грассманиан

Пусть V — конечномерное векторное пространство. Грассманово многообразие G _n ( V ) — это множество всех n -мерных подпространств V . Это проективное многообразие: оно вкладывается в проективное пространство посредством вложения Плюккера :

${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\wedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}}$

где b _i — любой набор линейно независимых векторов в V , — n -я внешняя степень V , а скобка [ w ] означает линию, натянутую на ненулевой вектор w . ${\displaystyle \wedge ^{n}V}$

Грассманово многообразие имеет естественное векторное расслоение (или локально свободный пучок в другой терминологии), называемое тавтологическим расслоением , которое важно при изучении характеристических классов, таких как классы Черна .

Якобиево многообразие и абелево многообразие

Пусть C — гладкая полная кривая и ее группа Пикара ; т. е. группа классов изоморфизма линейных расслоений на C . Поскольку C гладкая, можно идентифицировать как группу классов дивизоров C , и, таким образом, существует гомоморфизм степени . Якобиево многообразие C является ядром этого отображения степени; т. е . группа классов дивизоров на C нулевой степени. Якобиево многообразие является примером абелева многообразия , полного многообразия с совместимой структурой абелевой группы на нем (название «абелевое», однако, не является таковым, поскольку это абелева группа). Абелево многообразие оказывается проективным (короче говоря, алгебраические тета-функции дают вложение в проективное пространство. См. уравнения, определяющие абелевы многообразия ); таким образом, является проективным многообразием. Касательное пространство к в единичном элементе естественным образом изоморфно ^[7], следовательно, размерность является родом . ${\displaystyle \operatorname {Pic} (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} :\operatorname {Pic} (C)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});}$ ${\displaystyle \operatorname {Jac} (C)}$ ${\displaystyle C}$

Зафиксируем точку на . Для каждого целого числа существует естественный морфизм ^[8] ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle C^{n}\to \operatorname {Jac} (C),\,(P_{1},\dots ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}]}$

где — произведение n копий C. Для (т. е. C — эллиптическая кривая) указанный выше морфизм оказывается изоморфизмом; ^{[1] : Гл. IV, Пример 1.3.7.} в частности, эллиптическая кривая является абелевым многообразием. ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle n=1}$

Модули многообразия

При заданном целом числе множество классов изоморфизма гладких полных кривых рода называется модулями кривых рода и обозначается как . Существует несколько способов показать, что эти модули имеют структуру возможно приводимого алгебраического многообразия; например, один из способов — использовать геометрическую теорию инвариантов , которая гарантирует, что множество классов изоморфизма имеет (приводимую) квазипроективную структуру многообразия. ^[9] Модули, такие как модули кривых фиксированного рода, обычно не являются проективным многообразием; грубо говоря, причина в том, что вырождение (предел) гладкой кривой имеет тенденцию быть негладким или приводимым. Это приводит к понятию стабильной кривой рода , не обязательно гладкой полной кривой без ужасно плохих особенностей и не такой уж большой группы автоморфизмов. Модули стабильных кривых , множество классов изоморфизма стабильных кривых рода , тогда является проективным многообразием, которое содержит в качестве открытого плотного подмножества. Поскольку получается добавлением граничных точек к , в разговорной речи говорят, что это компактификация . Исторически в статье Мамфорда и Делиня ^[10] было введено понятие стабильной кривой, чтобы показать , что является неприводимым, когда . ${\displaystyle g\geq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

Модули кривых иллюстрируют типичную ситуацию: модули хороших объектов, как правило, не проективны, а только квазипроективны. Другой случай — модули векторных расслоений на кривой. Здесь имеются понятия стабильных и полустабильных векторных расслоений на гладкой полной кривой . Модули полустабильных векторных расслоений заданного ранга и заданной степени (степени определителя расслоения) являются тогда проективным многообразием, обозначаемым как , которое содержит множество классов изоморфизма стабильных векторных расслоений ранга и степени в качестве открытого подмножества. ^[11] Поскольку линейное расслоение стабильно, такой модуль является обобщением якобиева многообразия . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle SU_{C}(n,d)}$ ${\displaystyle U_{C}(n,d)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C}$

В общем случае, в отличие от случая модулей кривых, компактификация модуля не обязательно должна быть единственной, и в некоторых случаях различные неэквивалентные компактификации строятся с использованием разных методов и разными авторами. Примером является проблема компактификации , фактора ограниченной симметричной области по действию арифметической дискретной группы . ^[12] Базовым примером является случай , когда , верхнее полупространство Зигеля и соизмеримо с ; в этом случае имеет интерпретацию как модули главно поляризованных комплексных абелевых многообразий размерности (главная поляризация отождествляет абелево многообразие с его двойственным). Теория торических многообразий (или вложений торов) дает способ компактификации , его тороидальной компактификации. ^{[13] [14]} Но есть и другие способы компактификации ; например, существует минимальная компактификация Бейли и Бореля: это проективное многообразие, связанное с градуированным кольцом, образованным модулярными формами (в случае Зигеля, модулярными формами Зигеля ; ^[15] см. также модулярное многообразие Зигеля ). Неединственность компактификаций обусловлена ​​отсутствием модульных интерпретаций этих компактификаций; т. е. они не представляют (в смысле теории категорий) никакой естественной проблемы модулей или, на точном языке, не существует естественного стека модулей , который был бы аналогом стека модулей стабильных кривых. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D/\Gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle D/\Gamma }$ ${\displaystyle D={\mathfrak {H}}_{g}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle D/\Gamma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D/\Gamma }$ ${\displaystyle D/\Gamma }$ ${\displaystyle D/\Gamma }$

Неаффинный и непроективный пример

Алгебраическое многообразие не может быть ни аффинным, ни проективным. Для примера, пусть X = P ¹ × A ¹ и p : X → A ¹ — проекция. Здесь X — алгебраическое многообразие, поскольку оно является произведением многообразий. Оно не аффинно, поскольку P ¹ — замкнутое подмногообразие X (как нулевое множество p ), но аффинное многообразие не может содержать проективное многообразие положительной размерности как замкнутое подмногообразие. Оно также не проективно, поскольку на X существует непостоянная регулярная функция , а именно p .

Другим примером неаффинного непроективного многообразия является X = A ² − (0, 0) (ср. Морфизм многообразий § Примеры .)

Не примеры

Рассмотрим аффинную прямую над . Дополнение окружности в не является алгебраическим многообразием (и даже алгебраическим множеством). Обратите внимание, что не является многочленом в (хотя является многочленом в действительных координатах ). С другой стороны, дополнение начала координат в является алгебраическим (аффинным) многообразием, поскольку начало координат является нулевым локусом . Это можно объяснить следующим образом: аффинная прямая имеет размерность один, и поэтому любое ее подмногообразие, отличное от нее самой, должно иметь строго меньшую размерность; а именно, нулевую. ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} {\text{ with }}|z|^{2}=1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|^{2}-1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$

По аналогичным причинам унитарная группа (над комплексными числами) не является алгебраическим многообразием, в то время как специальная линейная группа является замкнутым подмногообразием , нулевым локусом . (Однако над другим базовым полем унитарной группе можно задать структуру многообразия.) ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \det -1}$

Основные результаты

• Аффинное алгебраическое множество V является многообразием тогда и только тогда, когда I ( V ) является простым идеалом ; эквивалентно, V является многообразием тогда и только тогда, когда его координатное кольцо является областью целостности . ^{[16] : 52  [1] : 4}
• Каждое непустое аффинное алгебраическое множество может быть записано единственным образом как конечное объединение алгебраических многообразий (где ни одно из многообразий в разложении не является подмногообразием какого-либо другого). ^{[1] : 5}
• Размерность многообразия может быть определена различными эквивалентными способами. Подробности см. в разделе Размерность алгебраического многообразия .
• Произведение конечного числа алгебраических многообразий (над алгебраически замкнутым полем) является алгебраическим многообразием. Конечное произведение аффинных многообразий является аффинным ^[17] , а конечное произведение проективных многообразий является проективным.

Изоморфизм алгебраических многообразий

Пусть V ₁ , V ₂ — алгебраические многообразия. Мы говорим, что V ₁ и V ₂ изоморфны , и пишем V ₁ ≅ V ₂ , если существуют регулярные отображения φ  : V ₁ → V ₂ и ψ  : V 2 → V ₁ такие, что _{композиции} ψ ∘ φ и φ ∘ ψ являются тождественными отображениями на _V 1 и V ₂ соответственно.

Обсуждение и обобщения

Основные определения и факты, приведенные выше, позволяют заниматься классической алгебраической геометрией. Чтобы иметь возможность делать больше — например, иметь дело с многообразиями над полями, которые не являются алгебраически замкнутыми — требуются некоторые фундаментальные изменения. Современное понятие многообразия значительно более абстрактно, чем приведенное выше, хотя эквивалентно в случае многообразий над алгебраически замкнутыми полями. Абстрактное алгебраическое многообразие — это особый вид схемы; обобщение на схемы с геометрической стороны позволяет расширить описанное выше соответствие на более широкий класс колец. Схема — это локально окольцованное пространство , такое, что каждая точка имеет окрестность, которая, как локально окольцованное пространство, изоморфна спектру кольца . По сути, многообразие над k — это схема, структурный пучок которой является пучком k -алгебр со свойством, что кольца R , которые встречаются выше, все являются целостными областями и все являются конечно порожденными k -алгебрами, то есть они являются факторами полиномиальных алгебр по простым идеалам .

Это определение работает над любым полем k . Оно позволяет склеивать аффинные многообразия (вдоль общих открытых множеств), не беспокоясь о том, можно ли поместить полученный объект в какое-то проективное пространство. Это также приводит к трудностям, поскольку можно ввести несколько патологические объекты, например, аффинную линию с удвоенным нулем. Такие объекты обычно не считаются многообразиями и устраняются требованием разделить схемы, лежащие в основе многообразия . (Строго говоря, есть также третье условие, а именно, что в определении выше нужно только конечное число аффинных патчей.)

Некоторые современные исследователи также снимают ограничение на наличие у многообразия аффинных карт целочисленной области и, говоря о многообразии, требуют только, чтобы аффинные карты имели тривиальный нильрадикал .

Полное многообразие — это многообразие, такое, что любое отображение из открытого подмножества неособой кривой в него может быть единственным образом продолжено на всю кривую. Каждое проективное многообразие является полным, но не наоборот.

Эти многообразия были названы «многообразиями в смысле Серра», поскольку основополагающая работа Серра FAC ^[18] о когомологиях пучков была написана для них. Они остаются типичными объектами для начала изучения в алгебраической геометрии, даже если более общие объекты также используются вспомогательным образом.

Один из способов, который приводит к обобщениям, — это разрешить приводимые алгебраические множества (и поля k , которые не являются алгебраически замкнутыми), так что кольца R могут не быть целостными областями. Более существенное изменение — разрешить нильпотенты в пучке колец, то есть кольца, которые не являются приведенными . Это одно из нескольких обобщений классической алгебраической геометрии, которые встроены в теорию схем Гротендика .

Разрешение нильпотентных элементов в кольцах связано с отслеживанием «кратностей» в алгебраической геометрии. Например, замкнутая подсхема аффинной прямой, определяемая x ² = 0, отличается от подсхемы, определяемой x = 0 (начало координат). В более общем смысле, слой морфизма схем X → Y в точке Y может быть нередуцированным, даже если X и Y редуцированы. Геометрически это говорит о том, что слои хороших отображений могут иметь нетривиальную «бесконечно малую» структуру.

Существуют и другие обобщения, называемые алгебраическими пространствами и стеками .

Алгебраические многообразия

Алгебраическое многообразие — это алгебраическое многообразие, которое также является m -мерным многообразием, и, следовательно, каждый достаточно малый локальный участок изоморфен k ^m . Эквивалентно, многообразие является гладким (не имеет особых точек). Когда k — это действительные числа, R , алгебраические многообразия называются многообразиями Нэша . Алгебраические многообразия можно определить как нулевое множество конечного набора аналитических алгебраических функций. Проективные алгебраические многообразия являются эквивалентным определением для проективных многообразий. Сфера Римана — один из примеров.

Смотрите также

• Разнообразие (разрешение неоднозначности) — перечисление также нескольких математических значений
• Функциональное поле алгебраического многообразия
• Бирациональная геометрия
• Мотив (алгебраическая геометрия)
• Аналитическое разнообразие
• Пространство Зариского–Римана
• Полуалгебраическое множество
• сорт Фано
• Теорема универсальности Мнева

Примечания

1. Хартшорн, стр.xv, Харрис, стр.3
2. Лю, Цин. Алгебраическая геометрия и арифметические кривые , стр. 55 Определение 2.3.47 и стр. 88 Пример 3.2.3
3. Харрис, стр. 9; то, что это неприводимо, указано в качестве упражнения в Хартсхорне, стр. 7.

Ссылки

1. Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
2. Хартшорн, Упражнение I.2.9, стр.12
3. Нагата, Масаёси (1956). «О проблеме вложения абстрактных многообразий в проективные многообразия». Мемуары Колледжа наук, Университет Киото. Серия A: Математика . 30 : 71–82. doi : 10.1215/kjm/1250777138 . MR  0088035.
4. Нагата, Масаёси (1957). «О вложениях абстрактных поверхностей в проективные многообразия». Мемуары Колледжа наук, Университет Киото. Серия A: Математика . 30 (3): 231–235. doi : 10.1215/kjm/1250777007 . MR  0094358. S2CID  118328992.
5. На странице 65 книги Фултона, Уильяма (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7, замечание описывает полное торическое многообразие, которое не имеет нетривиального линейного расслоения; таким образом, в частности, оно не имеет обильного линейного расслоения.
6. Определение 1.1.12 в Гинзбург, В., 1998. Лекции по D-модулям. Чикагский университет.
7. Милн 2008, Предложение 2.1.
8. Милн 2008, Начало § 5.
9. МФК 1994, Теорема 5.11.
10. Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода» (PDF) . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . doi :10.1007/bf02684599. S2CID  16482150. 
11. MFK 1994, Приложение C к гл. 5.
12. Марк Горески. Компактификации и когомологии модулярных многообразий. В Гармоническом анализе, формуле следа и многообразиях Шимуры, том 4 Clay Math. Proc., страницы 551–582. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.
13. Эш, А.; Мамфорд, Дэвид ; Рапопорт, М.; Тай, И. (1975), Гладкая компактификация локально симметричных многообразий (PDF) , Бруклин, Массачусетс: Math. Sci. Press, ISBN 978-0-521-73955-9, МР  0457437
14. Намикава, Юкихико (1980). Тороидальная компактификация пространств Зигеля . Конспект лекций по математике. Том 812. doi :10.1007/BFb0091051. ISBN 978-3-540-10021-8.
15. Чай, Чинг-Ли (1986). «Схемы модулей Зигеля и их компактификации над ». Арифметическая геометрия. стр. 231–251. doi :10.1007/978-1-4613-8655-1_9. ISBN ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 978-1-4613-8657-5.
16. Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия - Первый курс . Graduate Texts in Mathematics. Том 133. Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-2189-8. ISBN 0-387-97716-3.
17. Алгебраическая геометрия I. Энциклопедия математических наук. Т. 23. 1994. doi :10.1007/978-3-642-57878-6. ISBN 978-3-540-63705-9.
18. Серр, Жан-Пьер (1955). «Когерентные алгебраические выражения Faisceaux» (PDF) . Анналы математики . 61 (2): 197–278. дои : 10.2307/1969915. JSTOR  1969915.

Источники

• Кокс, Дэвид ; Джон Литтл; Дон О'Ши (1997). Идеалы, многообразия и алгоритмы (второе изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94680-2.
• Эйзенбуд, Дэвид (1999). Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94269-6.
• Милн, Джеймс С. (2008). "Алгебраическая геометрия" . Получено 01.09.2009 .
• Милн Дж., Якобиановские многообразия, опубликовано как Глава VII Арифметической геометрии (Сторрс, Коннектикут, 1984), 167–212, Springer, Нью-Йорк, 1986.
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том. 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. МР  1304906.
• Алгебраическая геометрия и арифметические кривые /. Oxford science publications. Oxford University Press. 2006. ISBN 978-0-19-154780-5. OCLC  646747871.

В данной статье использованы материалы из книги «Изоморфизм многообразий» на PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .