Фонон

Квазичастица механических колебаний

Фонон — это коллективное возбуждение в периодическом, упругом расположении атомов или молекул в конденсированном веществе , в частности в твердых телах и некоторых жидкостях . Тип квазичастицы в физике , ^[1] фонон — это возбужденное состояние в квантово -механическом квантовании мод колебаний для упругих структур взаимодействующих частиц. Фононы можно рассматривать как квантованные звуковые волны , подобно фотонам как квантованным световым волнам . ^[2]

Изучение фононов является важной частью физики конденсированных сред. Они играют важную роль во многих физических свойствах систем конденсированных сред, таких как теплопроводность и электропроводность , а также в моделях рассеяния нейтронов и связанных с ними эффектах.

Понятие фононов было введено в 1930 году советским физиком Игорем Таммом . Название фонон было предложено Яковом Френкелем . ^[3] Оно происходит от греческого слова φωνή ( phonē ), что переводится как звук или голос , потому что длинноволновые фононы порождают звук . Название подчеркивает аналогию со словом фотон , в том смысле, что фононы представляют корпускулярно-волновой дуализм для звуковых волн таким же образом, как фотоны представляют корпускулярно-волновой дуализм для световых волн . Твёрдые тела с более чем одним атомом в наименьшей элементарной ячейке демонстрируют как акустические, так и оптические фононы.

Определение

Фонон — это квантово-механическое описание элементарного колебательного движения, в котором решетка атомов или молекул равномерно колеблется на одной частоте . ^[4] В классической механике это обозначает нормальный режим колебаний. Нормальные режимы важны, поскольку любое произвольное колебание решетки можно рассматривать как суперпозицию этих элементарных режимов колебаний (ср. анализ Фурье ). В то время как нормальные режимы являются волноподобными явлениями в классической механике, фононы также обладают свойствами частиц , что связано с дуализмом волна-частица в квантовой механике.

Динамика решетки

Уравнения в этом разделе не используют аксиомы квантовой механики, а вместо этого используют соотношения, для которых существует прямое соответствие в классической механике.

Например: жесткая регулярная кристаллическая (не аморфная ) решетка состоит из N частиц. Эти частицы могут быть атомами или молекулами. N — большое число, скажем, порядка 10 ²³ или порядка числа Авогадро для типичного образца твердого тела. Поскольку решетка жесткая, атомы должны оказывать друг на друга силы , чтобы удерживать каждый атом вблизи его положения равновесия. Этими силами могут быть силы Ван-дер-Ваальса , ковалентные связи , электростатические притяжения и другие, все из которых в конечном итоге обусловлены электрической силой. Магнитные и гравитационные силы, как правило, пренебрежимо малы. Силы между каждой парой атомов можно охарактеризовать функцией потенциальной энергии V , которая зависит от расстояния разделения атомов. Потенциальная энергия всей решетки представляет собой сумму всех парных потенциальных энергий, умноженную на коэффициент 1/2 для компенсации двойного счета: ^[5]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}$

где r _i — положение i- го атома , а V — потенциальная энергия между двумя атомами.

Эту многочастичную задачу трудно решить явно ни в классической, ни в квантовой механике. Чтобы упростить задачу, обычно вводятся два важных приближения . Во-первых, суммирование выполняется только по соседним атомам. Хотя электрические силы в реальных твердых телах простираются до бесконечности, это приближение все еще справедливо, поскольку поля, создаваемые удаленными атомами, эффективно экранируются . Во-вторых, потенциалы V рассматриваются как гармонические потенциалы . Это допустимо, пока атомы остаются близкими к своим положениям равновесия. Формально это достигается путем разложения Тейлором V вокруг его равновесного значения до квадратичного порядка, что дает V , пропорциональную смещению x ² , а упругую силу просто пропорциональную x . Ошибка при игнорировании членов более высокого порядка остается небольшой, если x остается близким к положению равновесия.

Полученную решетку можно визуализировать как систему шариков, соединенных пружинами. На следующем рисунке показана кубическая решетка, которая является хорошей моделью для многих типов кристаллических твердых тел. Другие решетки включают линейную цепь, которая является очень простой решеткой, которую мы вскоре будем использовать для моделирования фононов. (Для других распространенных решеток см. кристаллическую структуру .)

Потенциальную энергию решетки теперь можно записать как

${\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.}$

Здесь ω — собственная частота гармонических потенциалов, которые предполагаются одинаковыми, поскольку решетка регулярна. R _i — координата положения i- го атома, которую мы теперь измеряем из его положения равновесия. Сумма по ближайшим соседям обозначается (nn).

Важно отметить, что математическая обработка, представленная здесь, сильно упрощена, чтобы сделать ее доступной для неспециалистов. Упрощение было достигнуто путем принятия двух основных предположений в выражении для полной потенциальной энергии кристалла. Эти предположения заключаются в том, что (i) полная потенциальная энергия может быть записана как сумма парных взаимодействий, и (ii) каждый атом взаимодействует только со своими ближайшими соседями. Они используются лишь изредка в современной динамике решетки. ^[6] Более общий подход заключается в выражении потенциальной энергии через силовые константы. ^[6] См., например, статью Wiki о многомасштабных функциях Грина.

Решетчатые волны

Фонон распространяется через квадратную решетку (смещения атомов сильно преувеличены)

Из-за связей между атомами смещение одного или нескольких атомов из положений равновесия приводит к возникновению набора вибрационных волн, распространяющихся по решетке. Одна из таких волн показана на рисунке справа. Амплитуда волны определяется смещениями атомов из положений равновесия. Длина волны λ отмечена.

Существует минимально возможная длина волны, заданная удвоенным равновесным расстоянием a между атомами. Любая длина волны короче этой может быть отображена на длину волны больше 2 a , из-за периодичности решетки. Это можно рассматривать как следствие теоремы Найквиста–Шеннона о выборке , при этом точки решетки рассматриваются как «точки выборки» непрерывной волны.

Не каждое возможное колебание решетки имеет четко определенную длину волны и частоту. Однако нормальные моды обладают четко определенными длинами волн и частотами .

Одномерная решетка

Анимация, демонстрирующая 6 нормальных мод одномерной решетки: линейная цепочка частиц. Самая короткая длина волны находится вверху, а все более длинные волны — ниже. В самых нижних строках можно увидеть движение волн вправо.

Для упрощения анализа, необходимого для 3-мерной решетки атомов, удобно моделировать 1-мерную решетку или линейную цепь. Эта модель достаточно сложна, чтобы отобразить основные особенности фононов.

Классическое лечение

Предполагается, что силы между атомами линейны и действуют по принципу ближайшего соседа, и они представлены упругой пружиной. Каждый атом считается точечной частицей, а ядро ​​и электроны движутся синхронно ( адиабатическая теорема ):

н − 1 н н + 1 ← а →        

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···

→→  →  →→→

у _{н − 1} у _н у _{н + 1}  

где n обозначает n- й атом из общего числа N , a — расстояние между атомами, когда цепь находится в равновесии, а u _— смещение n- го атома из положения равновесия.

Если C — упругая константа пружины, а m — масса атома, то уравнение движения n- го атома имеет вид

${\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}$

Это набор связанных уравнений.

Поскольку ожидается, что решения будут колебательными, новые координаты определяются дискретным преобразованием Фурье , чтобы разделить их. ^[7]

Помещать

${\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}$

Здесь na соответствует и переходит в непрерывную переменную x скалярной теории поля. Q _k известны как нормальные координаты для мод континуального поля с для . ${\displaystyle \phi _{k}=e^{ikna}}$ ${\displaystyle k=2\pi j/(Na)}$ ${\displaystyle j=1\dots N}$

Подстановка в уравнение движения дает следующие разделенные уравнения (это требует значительной манипуляции с использованием соотношений ортонормальности и полноты дискретного преобразования Фурье), ^[8]

${\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}$

Это уравнения для развязанных гармонических осцилляторов , которые имеют решение

${\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}$

Каждая нормальная координата Q _k представляет собой независимую колебательную моду решетки с волновым числом k , которая известна как нормальная мода .

Второе уравнение для ω _k известно как дисперсионное соотношение между угловой частотой и волновым числом .

В пределе континуума , a → 0, N → ∞, при фиксированном Na , u _n → φ ( x ) , скалярное поле, и . Это равносильно классической теории свободного скалярного поля , совокупности независимых осцилляторов. ${\displaystyle \omega (k)\propto ka}$

Квантовая терапия

Одномерная квантово-механическая гармоническая цепочка состоит из N одинаковых атомов. Это простейшая квантово-механическая модель решетки, которая позволяет фононам возникать из нее. Формализм этой модели легко обобщается на два и три измерения.

В отличие от предыдущего раздела, положения масс обозначаются не как , а как , измеренные от их положений равновесия. (Т.е. если частица находится в своем положении равновесия.) В двух или более измерениях являются векторными величинами. Гамильтониан для этой системы имеет вид ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

где m — масса каждого атома (предполагая, что она одинакова для всех), а x _i и p _i — операторы положения и импульса , соответственно, для i -го атома, а суммирование производится по ближайшим соседям (nn). Однако можно ожидать, что в решетке также могут появляться волны, которые ведут себя как частицы. Обычно с волнами имеют дело в пространстве Фурье , которое использует нормальные моды волнового вектора в качестве переменных вместо координат частиц. Количество нормальных мод совпадает с количеством частиц. Тем не менее, пространство Фурье очень полезно, учитывая периодичность системы.

Можно ввести набор из N «нормальных координат» Q k , определяемых как дискретные преобразования Фурье x k , и _N « сопряженных _{импульсов} » Π k , _{определяемых} как преобразования Фурье p _k :

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}$

Величина k оказывается волновым числом фонона, т.е. 2π , деленным на длину волны .

Этот выбор сохраняет желаемые коммутационные соотношения как в реальном пространстве, так и в пространстве волновых векторов.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}}$

Из общего результата

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}$

Потенциальная энергия имеет вид

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}$

где

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

Гамильтониан можно записать в пространстве волновых векторов как

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

Связи между переменными положения были преобразованы; если бы Q и Π были эрмитовыми (а это не так), преобразованный гамильтониан описывал бы N несвязанных гармонических осцилляторов.

Форма квантования зависит от выбора граничных условий; для простоты накладываются периодические граничные условия, определяющие ( N  + 1)-й атом как эквивалент первого атома. Физически это соответствует присоединению цепи на ее концах. Результирующее квантование имеет вид

${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }$

Верхняя граница n определяется минимальной длиной волны, которая в два раза больше шага решетки a , как обсуждалось выше.

Собственные значения гармонического осциллятора или уровни энергии для моды ω _k равны:

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

Уровни равномерно распределены:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$

где ⁠1/2⁠ ħω — нулевая энергия квантового гармонического осциллятора .

Точное количество энергии ħω должно быть передано решетке гармонического осциллятора, чтобы перевести ее на следующий энергетический уровень. По аналогии со случаем фотона , когда электромагнитное поле квантуется, квант колебательной энергии называется фононом.

Все квантовые системы одновременно проявляют волновые и корпускулярные свойства. Корпускулярные свойства фонона лучше всего понять, используя методы вторичного квантования и операторные техники, описанные ниже. ^[9]

Трехмерная решетка

Это можно обобщить до трехмерной решетки. Волновое число k заменяется трехмерным волновым вектором k . Кроме того, каждый k теперь связан с тремя нормальными координатами.

Новые индексы s = 1, 2, 3 обозначают поляризацию фононов. В одномерной модели атомы были ограничены движением вдоль линии, поэтому фононы соответствовали продольным волнам . В трех измерениях вибрация не ограничена направлением распространения и может также происходить в перпендикулярных плоскостях, как поперечные волны . Это приводит к появлению дополнительных нормальных координат, которые, как показывает форма гамильтониана, мы можем рассматривать как независимые виды фононов.

Дисперсионное соотношение

Дисперсионные кривые в линейной двухатомной цепи

Оптические и акустические колебания в линейной двухатомной цепи.

Колебания двухатомной цепи на разных частотах.

Дисперсионное соотношение ω  =  ω ( k ) для некоторых волн, соответствующих колебаниям решетки в GaAs. ^[10]

Для одномерного чередующегося массива двух типов ионов или атомов массой m ₁ , m _{2 ,} периодически повторяющихся на расстоянии a , соединенных пружинами с жесткостью K , возникают два режима колебаний: ^[11]

${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}$

где k — волновой вектор вибрации, связанный с ее длиной волны соотношением . ${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$

Связь между частотой и волновым вектором, ω  =  ω ( k ), известна как дисперсионное соотношение . Знак плюс приводит к так называемому оптическому режиму, а знак минус — к акустическому режиму. В оптическом режиме два соседних разных атома движутся друг против друга, тогда как в акустическом режиме они движутся вместе.

Скорость распространения акустического фонона, которая также является скоростью звука в решетке, определяется наклоном акустического дисперсионного уравнения, ⁠∂ ω _к/∂ к⁠ (см. групповая скорость .) При низких значениях k (т. е. больших длинах волн) дисперсионное соотношение почти линейно, а скорость звука приблизительно равна ωa , независимо от частоты фонона. В результате пакеты фононов с разными (но большими) длинами волн могут распространяться на большие расстояния по решетке, не распадаясь. Это причина того, что звук распространяется через твердые тела без значительных искажений. Это поведение нарушается при больших значениях k , т. е. коротких длинах волн, из-за микроскопических деталей решетки.

Для кристалла, имеющего по крайней мере два атома в своей примитивной ячейке , дисперсионные соотношения демонстрируют два типа фононов, а именно, оптические и акустические моды, соответствующие верхней синей и нижней красной кривой на диаграмме соответственно. Вертикальная ось представляет собой энергию или частоту фонона, а горизонтальная ось — волновой вектор . Границы при − ⁠π/а⁠ и ⁠π/а⁠ являются таковыми первой зоны Бриллюэна . ^[11] Кристалл с N  ≥ 2 различными атомами в примитивной ячейке демонстрирует три акустические моды: одну продольную акустическую моду и две поперечные акустические моды . Число оптических мод равно 3 N  – 3. На нижнем рисунке показаны дисперсионные соотношения для нескольких фононных мод в GaAs как функции волнового вектора k в главных направлениях его зоны Бриллюэна. ^[10]

Моды также называются ветвями дисперсии фононов. В общем случае, если в примитивной элементарной ячейке есть p-атомы (обозначенные ранее как N), в трехмерном кристалле будет 3p-ветви дисперсии фононов. Из них 3 ветви соответствуют акустическим модам, а оставшиеся 3p-3 ветви будут соответствовать оптическим модам. В некоторых специальных направлениях некоторые ветви совпадают из-за симметрии. Эти ветви называются вырожденными. В акустических модах все p-атомы колеблются в фазе. Поэтому относительные смещения этих атомов не изменяются во время распространения волны.

Изучение дисперсии фононов полезно для моделирования распространения звуковых волн в твердых телах, которое характеризуется фононами. Энергия каждого фонона, как указано ранее, равна ħω. Скорость волны также задается через ω и k . Направление волнового вектора является направлением распространения волны, а вектор поляризации фонона задает направление, в котором колеблются атомы. На самом деле, в общем случае, скорость волны в кристалле различна для разных направлений k. Другими словами, большинство кристаллов анизотропны для распространения фононов.

Волна является продольной, если атомы колеблются в том же направлении, что и распространение волны. В поперечной волне атомы колеблются перпендикулярно распространению волны. Однако, за исключением изотропных кристаллов, волны в кристалле не являются точно продольными или поперечными. Для общих анизотропных кристаллов фононные волны являются продольными или поперечными только в определенных специальных направлениях симметрии. В других направлениях они могут быть почти продольными или почти поперечными. Только для удобства обозначения их часто называют продольными или поперечными, но на самом деле они являются квазипродольными или квазипоперечными. Обратите внимание, что в трехмерном случае в каждой точке линии есть два направления, перпендикулярные прямой линии. Следовательно, для каждой (квази) продольной волны всегда есть две (квази) поперечные волны.

Многие кривые дисперсии фононов были измерены методом неупругого рассеяния нейтронов .

Физика звука в жидкостях отличается от физики звука в твердых телах, хотя обе являются волнами плотности: звуковые волны в жидкостях имеют только продольные компоненты, тогда как звуковые волны в твердых телах имеют продольные и поперечные компоненты. Это связано с тем, что жидкости не могут выдерживать напряжения сдвига (но см. вязкоупругие жидкости, которые применимы только к высоким частотам).

Интерпретация фононов с использованием методов вторичного квантования

Выведенный выше гамильтониан может выглядеть как классическая гамильтонова функция, но если его интерпретировать как оператор , то он описывает квантовую теорию поля невзаимодействующих бозонов . ^[2] Техника второго квантования , похожая на метод лестничного оператора, используемый для квантовых гармонических осцилляторов , является средством извлечения собственных значений энергии без прямого решения дифференциальных уравнений. Учитывая гамильтониан , а также сопряженное положение , и сопряженный импульс , определенные в разделе квантового рассмотрения выше, мы можем определить операторы рождения и уничтожения : ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle Q_{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}$   и   ${\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}$

Следующие коммутаторы можно легко получить, подставив в каноническое коммутационное соотношение :

${\displaystyle \left[b_{k},{b_{k'}}^{\dagger }\right]=\delta _{k,k'},\quad {\Big [}b_{k},b_{k'}{\Big ]}=\left[{b_{k}}^{\dagger },{b_{k'}}^{\dagger }\right]=0}$

Используя это, операторы b _k ^† и b _k можно инвертировать, чтобы переопределить сопряженное положение и импульс как:

${\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}$   и   ${\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}$

Непосредственная подстановка этих определений вместо и в гамильтониан волнового векторного пространства, как он определен выше, и упрощение приводит к тому, что гамильтониан принимает вид: ^[2] ${\displaystyle Q_{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}$

Это известно как метод вторичного квантования, также известный как формулировка числа занятости, где n _k = b _k ^† b _k — число занятости. Это можно рассматривать как сумму N независимых гамильтонианов осцилляторов, каждый с уникальным волновым вектором, и совместимо с методами, используемыми для квантового гармонического осциллятора (обратите внимание, что n _k является эрмитовым ). ^[12] Когда гамильтониан можно записать как сумму коммутирующих субгамильтонианов, собственные энергетические состояния будут даны произведениями собственных состояний каждого из отдельных субгамильтонианов. Соответствующий энергетический спектр тогда даётся суммой отдельных собственных значений субгамильтонианов. ^[12]

Как и в случае квантового гармонического осциллятора, можно показать, что b _k ^† и b _k соответственно создают и уничтожают одно полевое возбуждение, фонон, с энергией ħω _k . ^{[12] [2]}

Из этой техники можно вывести три важных свойства фононов. Во-первых, фононы являются бозонами , поскольку любое количество идентичных возбуждений может быть создано повторным применением оператора создания b _k ^† . Во-вторых, каждый фонон является «коллективной модой», вызванной движением каждого атома в решетке. Это можно увидеть из того факта, что операторы создания и уничтожения, определенные здесь в импульсном пространстве, содержат суммы по операторам положения и импульса каждого атома, когда они записаны в позиционном пространстве. (См. Положение и импульсное пространство .) ^[12] Наконец, используя функцию корреляции положение-положение , можно показать, что фононы действуют как волны смещения решетки. ^{[ необходима цитата ]}

Этот метод легко обобщается на три измерения, где гамильтониан принимает вид: ^{[12] [2]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}$

Это можно интерпретировать как сумму 3N независимых гамильтонианов осцилляторов, по одному для каждого волнового вектора и поляризации. ^[12]

Акустические и оптические фононы

Твердые тела, содержащие более одного атома в наименьшей элементарной ячейке, демонстрируют два типа фононов: акустические фононы и оптические фононы.

Акустические фононы — это когерентные движения атомов решетки из положений равновесия. Если смещение происходит в направлении распространения, то в некоторых областях атомы будут ближе, в других дальше друг от друга, как в звуковой волне в воздухе (отсюда и название — акустические). Смещение, перпендикулярное направлению распространения, сравнимо с волнами на струне. Если длина волны акустических фононов стремится к бесконечности, это соответствует простому смещению всего кристалла, и это стоит нулевой энергии деформации. Акустические фононы демонстрируют линейную зависимость между частотой и волновым вектором фонона для больших длин волн. Частоты акустических фононов стремятся к нулю с большей длиной волны. Продольные и поперечные акустические фононы часто сокращенно обозначаются как LA и TA фононы соответственно.

Оптические фононы — это противофазные движения атомов в решетке, один атом движется влево, а его сосед — вправо. Это происходит, если основа решетки состоит из двух или более атомов. Они называются оптическими , потому что в ионных кристаллах, таких как хлорид натрия , колебания смещения создают электрическую поляризацию, которая связывается с электромагнитным полем. ^[2] Следовательно, они могут возбуждаться инфракрасным излучением , электрическое поле света будет перемещать каждый положительный ион натрия в направлении поля, а каждый отрицательный ион хлорида — в другом направлении, заставляя кристалл вибрировать.

Оптические фононы имеют ненулевую частоту в центре зоны Бриллюэна и не показывают дисперсии вблизи этого предела большой длины волны. Это связано с тем, что они соответствуют режиму вибрации, где положительные и отрицательные ионы в соседних узлах решетки качаются друг против друга, создавая изменяющийся во времени электрический дипольный момент . Оптические фононы, которые взаимодействуют таким образом со светом, называются инфракрасно-активными . Оптические фононы, которые являются рамановскими активными, также могут взаимодействовать со светом косвенно, посредством рамановского рассеяния . Оптические фононы часто сокращают до LO и TO фононов, для продольной и поперечной мод соответственно; расщепление между частотами LO и TO часто точно описывается соотношением Лиддана–Сакса–Теллера .

При экспериментальном измерении энергии оптического фонона частоты оптического фонона иногда указываются в спектроскопической записи волнового числа , где символ ω представляет обычную частоту (не угловую частоту) и выражается в единицах см ⁻¹ . Значение получается путем деления частоты на скорость света в вакууме . Другими словами, волновое число в единицах см ⁻¹ соответствует обратной величине длины волны фотона в вакууме, имеющего ту же частоту, что и измеренный фонон. ^[13]

Кристаллический импульс

Векторы k, выходящие за пределы первой зоны Бриллюэна (красные), не несут больше информации, чем их аналоги (черные) в первой зоне Бриллюэна.

По аналогии с фотонами и волнами материи , фононы рассматривались с волновым вектором k , как будто он имеет импульс ħk ; ^[14] однако, это не совсем верно, потому что ħk на самом деле не является физическим импульсом; он называется кристаллическим импульсом или псевдоимпульсом . Это потому, что k определяется только с точностью до сложения постоянных векторов ( векторов обратной решетки и их целых кратных). Например, в одномерной модели нормальные координаты Q и Π определяются так, что

${\displaystyle Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}}$

где

${\displaystyle K={\frac {2n\pi }{a}}}$

для любого целого числа n . Фонон с волновым числом k , таким образом, эквивалентен бесконечному семейству фононов с волновыми числами k  ±  ⁠2π​/а⁠ , к  ±  ⁠4π​/а⁠ и так далее. Физически векторы обратной решетки действуют как дополнительные порции импульса, которые решетка может передать фонону. Электроны Блоха подчиняются аналогичному набору ограничений.

Зоны Бриллюэна, (а) в квадратной решетке и (б) в гексагональной решетке

Обычно удобно рассматривать фононные волновые векторы k , имеющие наименьшую величину | k | в своем «семействе». Набор всех таких волновых векторов определяет первую зону Бриллюэна . Дополнительные зоны Бриллюэна могут быть определены как копии первой зоны, смещенные на некоторый вектор обратной решетки.

Термодинамика

Термодинамические свойства твердого тела напрямую связаны с его фононной структурой. Весь набор всех возможных фононов, которые описываются дисперсионными соотношениями фононов, объединяются в то, что известно как плотность фононных состояний , которая определяет теплоемкость кристалла. По характеру этого распределения теплоемкость определяется высокочастотной частью распределения, тогда как теплопроводность в основном является результатом низкочастотной области. ^{[ необходима цитата ]}

При температуре абсолютного нуля кристаллическая решетка находится в своем основном состоянии и не содержит фононов. Решетка при ненулевой температуре имеет энергию, которая не является постоянной, а хаотично колеблется около некоторого среднего значения . Эти колебания энергии вызваны случайными колебаниями решетки, которые можно рассматривать как газ фононов. Поскольку эти фононы генерируются температурой решетки, их иногда называют тепловыми фононами. ^[15]

Тепловые фононы могут создаваться и уничтожаться случайными энергетическими флуктуациями. На языке статистической механики это означает, что химический потенциал для добавления фонона равен нулю. ^[15] Такое поведение является расширением гармонического потенциала в ангармонический режим. Поведение тепловых фононов похоже на фотонный газ , создаваемый электромагнитной полостью , в которой фотоны могут испускаться или поглощаться стенками полости. Это сходство не случайно, поскольку оказывается, что электромагнитное поле ведет себя как набор гармонических осцилляторов, порождая излучение черного тела . Оба газа подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна : в тепловом равновесии и в гармоническом режиме вероятность нахождения фононов или фотонов в заданном состоянии с заданной угловой частотой равна: ^[16]

${\displaystyle n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$

где ω _{k , s} — частота фононов (или фотонов) в состоянии, k _B — постоянная Больцмана , а T — температура.

Фононное туннелирование

Было показано, что фононы демонстрируют квантовое туннельное поведение (или туннелирование фононов ), когда через зазоры шириной до нанометра тепло может передаваться через фононы, которые «туннелируют» между двумя материалами. ^[17] Этот тип передачи тепла работает между расстояниями, слишком большими для осуществления проводимости , но слишком малыми для осуществления излучения , и поэтому не может быть объяснен классическими моделями передачи тепла . ^[17]

Операторный формализм

Гамильтониан фонона определяется выражением

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)}$

В терминах операторов создания и уничтожения они задаются как

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }}$

Здесь, при выражении гамильтониана в операторном формализме, мы не учли ⁠1/2⁠ ħω _q термин, поскольку, учитывая континуум или бесконечную решетку , ⁠1/2⁠ ħω _q члены будут складываться, давая бесконечный член . Поскольку разница в энергии — это то, что мы измеряем, а не ее абсолютное значение, постоянный член ⁠1/2⁠ ħω _q можно игнорировать, не меняя уравнения движения. Следовательно, ⁠1/2⁠ В операторно формализованном выражении для гамильтониана отсутствует множитель ħω _q .

Основное состояние, также называемое « вакуумным состоянием », — это состояние, в котором нет фононов. Следовательно, энергия основного состояния равна 0. Когда система находится в состоянии | n ₁ n ₂ n ₃ …⟩ , мы говорим, что имеется n _α фононов типа α , где n _α — число заполнения фононов. Энергия одного фонона типа α определяется как ħω _q , а полная энергия общей фононной системы определяется как n ₁ ħω ₁  +  n ₂ ħω ₂  +.... Поскольку нет перекрестных членов (например, n ₁ ħω ₂ ), говорят, что фононы не взаимодействуют. Действие операторов рождения и уничтожения определяется как:

${\displaystyle {a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }}$

и,

${\displaystyle a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }}$

Оператор создания, a _α ^† создает фонон типа α , в то время как a _α уничтожает его. Следовательно, они являются соответственно операторами создания и уничтожения для фононов. Аналогично случаю квантового гармонического осциллятора , мы можем определить оператор числа частиц как

${\displaystyle N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.}$

Оператор числа коммутирует со строкой произведений операторов создания и уничтожения тогда и только тогда, когда количество операторов создания равно количеству операторов уничтожения.

Можно показать, что фононы симметричны относительно обмена (т.е. | α , β ⟩  =  | β , α ⟩ ), поэтому их можно считать бозонами . ^[18]

Нелинейность

Как и фотоны , фононы могут взаимодействовать посредством параметрического преобразования с понижением частоты ^[19] и образовывать сжатые когерентные состояния . ^[20]

Прогнозируемые свойства

Недавние исследования показали, что фононы и ротоны могут иметь немалую массу и подвергаться воздействию гравитации так же, как и стандартные частицы. ^[21] В частности, предсказывается, что фононы имеют своего рода отрицательную массу и отрицательную гравитацию. ^[22] Это можно объяснить тем, что фононы, как известно, движутся быстрее в более плотных материалах. Поскольку часть материала, направленная к гравитационному источнику, находится ближе к объекту, он становится плотнее на этом конце. Из этого предсказывается, что фононы будут отклоняться, поскольку он обнаруживает разницу в плотностях, демонстрируя качества отрицательного гравитационного поля. ^[23] Хотя эффект будет слишком мал для измерения, возможно, что будущее оборудование может привести к успешным результатам.

Сверхпроводимость

Сверхпроводимость — это состояние электронной материи, при котором электрическое сопротивление исчезает, а магнитные поля выталкиваются из материала. В сверхпроводнике электроны связаны в куперовские пары слабой силой притяжения. В обычном сверхпроводнике это притяжение вызвано обменом фононами между электронами. ^[24] Доказательство того, что фононы, колебания ионной решетки, имеют отношение к сверхпроводимости, предоставляется изотопным эффектом , зависимостью критической температуры сверхпроводимости от массы ионов.

Другие исследования

В 2019 году исследователям впервые удалось изолировать отдельные фононы, не разрушая их. ^[25]

Было также показано, что они образуют «фононные ветры», где электрический ток на поверхности графена генерируется потоком жидкости над ней из-за вязких сил на границе раздела жидкость-твердое тело. ^{[26] [27]}

Смотрите также

• Физический портал

• Бозон
• Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна
• Фрактон
• Линейная эластичность
• Механическая волна
• Рассеяние фононов
• Рассеивание носителей заряда
• Фононный кристалл
• Волна Рэлея
• Релятивистская теплопроводность
• Жесткие режимы работы блока
• САСЕР
• Второй звук
• Поверхностная акустическая волна
• Поверхностный фонон
• Теплопроводность
• Вибрация

Ссылки

1. Швабль, Франц (2008). Advanced Quantum Mechanics (4-е изд.). Springer. стр. 253. ISBN 978-3-540-85062-5.
2. Girvin, Steven M.; Yang, Kun (2019). Современная физика конденсированных сред . Cambridge University Press. стр. 78–96. ISBN 978-1-107-13739-4.
3. Кожевников, AB (2004). Великая наука Сталина: времена и приключения советских физиков. Лондон: Imperial College Press. С. 64–69. ISBN 978-1-86094-419-2.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
4. Саймон, Стивен Х. (2013). Основы твердого тела в Оксфорде (1-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. стр. 82. ISBN 978-0-19-968077-1.
5. Краут, Вернер (апрель 2006 г.). Статистическая механика: алгоритмы и вычисления. Международные издательства: Oxford University Press. С. 231–232. ISBN 978-0-19-851536-4.
6. Марадудин, А.; Монтролл, Э.; Вайс, Г.; Ипатова, И. (1971). Теория динамики решетки в гармоническом приближении . Физика твердого тела. Т. Приложение 3 (Второе изд.). Нью-Йорк: Academic Press.
7. Мэттук, Р. (1976). Руководство по диаграммам Фейнмана в задаче многих тел . McGraw-Hill. ISBN 9780070409545.
8. Феттер, Александр; Валецка, Джон (2003-12-16). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Dover Books on Physics. ISBN 978-0486432618.
9. Махан, ГД (1981). Физика многих частиц . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-306-46338-9.
10. Yu, Peter Y.; Cardona, Manuel (2010). "Рис. 3.2: Фононные дисперсионные кривые в GaAs вдоль высокосимметричных осей". Основы полупроводников . Физика и свойства материалов (4-е изд.). Springer. стр. 111. ISBN 978-3-642-00709-5.
11. Misra, Prasanta Kumar (2010). "§2.1.3 Нормальные моды одномерной цепи с базисом". Physics of Condensed Matter . Academic Press. стр. 44. ISBN 978-0-12-384954-0.
12. Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Saunders College Publishing. стр. 780–783. ISBN 0-03-083993-9.
13. Махан, Джеральд (2010). Конденсированное вещество в двух словах . Принстон: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14016-2.
14. Киттель, Чарльз (2004). Введение в физику твердого тела , 8-е издание . Wiley. С. 100. ISBN 978-0-471-41526-8.
15. "Неметаллы: тепловые фононы". Библиотека учебных и методических материалов Кембриджского университета . Получено 15 августа 2020 г.
16. Pathria; Beale (2011). Статистическая механика (3-е изд.). Индия: Elsevier. стр. 201. ISBN 978-93-80931-89-0.
17. "Tunneling across a tiny gap". News.mit.edu . 7 апреля 2015 г. Получено 13 августа 2019 г.
18. Фейнман, Ричард П. (1982). Статистическая механика, набор лекций. Reading, MA: Benjamin-Cummings. стр. 159. ISBN 978-0-8053-2508-9.
19. Marquet, C.; Schmidt-Kaler, F.; James, DFV (2003). "Фонон-фононные взаимодействия из-за нелинейных эффектов в линейной ионной ловушке" (PDF) . Applied Physics B . 76 (3): 199–208. arXiv : quant-ph/0211079 . Bibcode :2003ApPhB..76..199M. doi :10.1007/s00340-003-1097-7. S2CID  17019967.
20. Reiter, DE; Sauer, S.; Huneke, J.; Papenkort, T.; Kuhn, T.; Vagov, A.; Axt, VM (2009). "Генерация сжатых фононных состояний оптическим возбуждением квантовой точки". Journal of Physics: Conference Series . 193 (1). Institute of Physics : 012121. Bibcode :2009JPhCS.193a2121R. doi : 10.1088/1742-6596/193/1/012121 .
21. Альберто Николис и Риккардо Пенко. (2017). Взаимные взаимодействия фононов, ротонов и гравитации, Arxiv.org, Получено 27 ноября 2018 г.
22. Анджело Эспозито, Рафаэль Кричевски и Альберто Николис. (2018). Масса звука Получено 11 ноября 2018 г.
23. "Исследователи предполагают, что фононы могут иметь массу и, возможно, отрицательную гравитацию". Phys.org . Получено 13 августа 2019 г. .
24. Тинкхэм, Майкл (1996). Введение в сверхпроводимость. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. стр. 9. ISBN 0486435032.
25. «Обнаружение самых тихих звуков во Вселенной». Nature . 571 (7763): 8–9. 1 июля 2019 г. Bibcode :2019Natur.571....8.. doi : 10.1038/d41586-019-02009-5 . S2CID  195774243.
26. Лизе, Матье; Маркотт, Элис; Кокино, Батист; Кавокин, Никита; Собнат, Карен; Барро, Клеман; Бхардвадж, Анкит; Радха, Бойя; Нигуэс, Антуан; Боке, Лидерик; Сирия, Алессандро (17.02.2023). "Сильные электронные ветры, дующие под потоками жидкости на углеродных поверхностях". Physical Review X. 13 ( 1): 011020. arXiv : 2205.05037 . Bibcode : 2023PhRvX..13a1020L. doi : 10.1103/PhysRevX.13.011020. S2CID  248665478.
27. Ширбер, Майкл (2023-02-17). "Секрет индуцированных потоком электрических токов раскрыт". Physics . 16 (1): 26. arXiv : 2205.05037 . Bibcode :2023PhRvX..13a1020L. doi :10.1103/PhysRevX.13.011020. S2CID  248665478.

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с Phonon в Wikiquote
• Объяснение: Фононы, Новости Массачусетского технологического института, 2010.
• Оптические и акустические режимы
• Фононы в одномерном микрофлюидном кристалле [1] и [2] с фильмами в [3].