Набор (математика)

Набор — это математическая модель совокупности различных ^[1]вещей ; ^[2]^[3]^[4] набор содержит элементы или члены , которые могут быть математическими объектами любого типа: числами, символами, точками в пространстве, линиями, другими геометрическими фигурами, переменными или даже другими наборами. ^[5] Множество без элементов является пустым множеством ; набор с одним элементом является синглтоном . Множество может иметь конечное число элементов или быть бесконечным .

Наборы уникально характеризуются своими элементами; это означает, что два множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны (это один и тот же набор). ^[6] Это свойство называется экстенсиональностью . В частности, это означает, что существует только одно пустое множество.

Множества широко распространены в современной математике. Действительно, теория множеств , а точнее теория множеств Цермело-Френкеля , была стандартным способом обеспечения строгих основ для всех областей математики с первой половины 20-го века. ^[5]

Определение и обозначения

В математических текстах множества обычно обозначаются заглавными буквами ^[7]^[5] курсивом , например $A$ , $B$ , $C.$ ^[8] Набор также можно называть коллекцией или семейством , особенно если его элементы сами являются наборами.

Обозначение реестра

Обозначение реестра или перечисления определяет набор путем перечисления его элементов в фигурных скобках , разделенных запятыми: ^[9]^[10]^[11]^[12]

А = {4, 2, 1, 3}

B = {синий, белый, красный}

Эта нотация была введена Эрнстом Цермело в 1908 году. ^[13] В множестве все, что имеет значение, это то, находится ли в нем каждый элемент или нет, поэтому порядок элементов в реестровой нотации не имеет значения (напротив, в последовательности кортеж или перестановка набора, порядок терминов имеет значение). Например, ${2, 4, 6}$ и ${4, 6, 4, 2}$ представляют один и тот же набор. ^[14]^[8]^[15]

Для наборов со многими элементами, особенно тех, которые следуют неявному шаблону, список членов можно сократить с помощью многоточия ' ... $'$ . ^[16]^[17] Например, набор из первой тысячи положительных целых чисел может быть указан в записи реестра как

{1, 2, 3, ..., 1000}

Бесконечные множества в реестровых обозначениях

Бесконечное множество — это множество с бесконечным списком элементов. Чтобы описать бесконечное множество в записи списка, в конце списка или на обоих концах ставится многоточие, чтобы указать, что список продолжается вечно. Например, набор неотрицательных целых чисел равен

{0, 1, 2, 3, 4, ...}

и набор всех целых чисел равен

{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Семантическое определение

Другой способ определить набор — использовать правило для определения элементов:

Пусть

A

— множество, членами которого являются первые четыре положительных целых числа .

Пусть

B

— набор цветов французского флага .

Такое определение называется семантическим описанием . ^[18]^[19]

Обозначение построителя множеств

Обозначение построителя множеств определяет набор как выборку из большего набора, определяемого условием элементов. ^[19]^[20]^[21] Например, набор $F$ можно определить следующим образом:

F=\{n\mid n{\text{ — целое число, а }}0\leq n\leq 19\}.

В этом обозначении вертикальная черта "|" означает «такой, что», а описание можно интерпретировать как « $F$ — множество всех чисел $n$ таких, что $n$ — целое число в диапазоне от 0 до 19 включительно». Некоторые авторы вместо вертикальной черты используют двоеточие «:». ^[22]

Классификация методов определения

Философия использует конкретные термины для классификации типов определений:

Интенсиональное определение использует правило для определения членства. Примерами являются семантические определения и определения, использующие нотацию построителя множеств.
Экстенсиональное определение описывает множество, перечисляя все его элементы . ^[19] Такие определения еще называют перечислительными .
Указательное определение — это определение, которое описывает множество, приводя примеры элементов; Примером может служить список с многоточием.

Членство

Если $B$ — множество, а $x$ — элемент $B$ , это сокращенно записывается как $x \in B$ , что также можно прочитать как « x принадлежит B » или « x находится в B ». ^[23] Утверждение « y не является элементом B » записывается как $y \notin B$ , что также можно прочитать как « y не является элементом B ». ^[24]^[25]

Например, относительно множеств $A = {1, 2, 3, 4}$ , $B = {blue, white, red}$ и $F = {n | n — целое число и 0 \leq n \leq 19}$ ,

4 € А

12 € F

; и

20 \notin

и

зеленый

\notin B.

Пустой набор

Пустой набор (или нулевой набор ) — это уникальный набор, не имеющий членов. Его обозначают $\emptyset$ , , { }, ^[26]^[27] $φ$ , ^[28] или $φ$ . ^[29] $\emptyset$

Наборы синглтонов

Одноэлементный набор — это набор, состоящий ровно из одного элемента; такой набор также можно назвать единичным набором . ^[6] Любой такой набор можно записать как { x }, где x — элемент. Набор { x } и элемент x означают разные вещи; Халмос ^[30] проводит аналогию: коробка со шляпой — это не то же самое, что шляпа.

Подмножества

Если каждый элемент множества A также находится в B , то A описывается как подмножество B или содержащееся в B , записывая A ⊆ B , ^[31] или B ⊇ A . ^[32] Последнее обозначение может читаться как B содержит A , B включает A или B является надмножеством A . Отношения между множествами, установленные ⊆ , называются включением или включением . Два множества равны, если они содержат друг друга: A ⊆ B и B ⊆ A эквивалентно A = B . ^[20]

Если A является подмножеством B , но A не равно B , то A называется собственным подмножеством B. Это можно записать A ⊊ B . Аналогично, B ⊋ A означает, что B является собственным надмножеством A , т. е . B содержит A и не равно A.

Третья пара операторов ⊂ и ⊃ используется разными авторами по-разному: некоторые авторы используют A ⊂ B и B ⊃ A , подразумевая, что A является любым подмножеством B (и не обязательно собственным подмножеством), ^[33]^[24], в то время как другие зарезервируйте A ⊂ B и B ⊃ A для случаев, когда A является собственным подмножеством B . ^[31]

Примеры:

Совокупность всех людей является подмножеством совокупности всех млекопитающих.
{1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Пустое множество является подмножеством каждого множества, ^[26] , а каждое множество является подмножеством самого себя: ^[33]

∅ ⊆ А .
А ⊆ А. _

Диаграммы Эйлера и Венна

Диаграмма Эйлера — это графическое представление набора множеств; каждый набор изображается как плоская область, заключенная в петлю, с элементами внутри. Если $A$ является подмножеством $B$ , то область, представляющая $A,$ полностью находится внутри области, представляющей $B.$ Если два набора не имеют общих элементов, регионы не перекрываются.

Диаграмма Венна , напротив, представляет собой графическое представление $n$ наборов, в которых $n$ контуров делят плоскость на $2 n$ зон, так что для каждого способа выбора некоторых из $n$ наборов (возможно, всех или ни одного) существует зона для элементы, принадлежащие всем выбранным наборам и ни одному другому. Например, если наборами являются $A$ , $B$ и $C$ , должна быть зона для элементов, находящихся внутри $A$ и $C$ и снаружи $B$ (даже если такие элементы не существуют).

Специальные наборы чисел в математике

Натуральные числа содержатся в целых числах , которые содержатся в рациональных числах , которые содержатся в действительных числах , которые содержатся в комплексных числах. $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Существуют множества такой математической важности, к которым математики так часто обращаются, что они получили специальные названия и обозначения для их идентификации.

Многие из этих важных наборов представлены в математических текстах с использованием жирного (например , ) или жирного (например , ) шрифта. ^[34] К ним относятся $\mathbf {Z}$ $\mathbb {Z}$

$\mathbf {N}$ или , набор всех натуральных чисел : (часто авторы исключают $0$ ); ^[34] $\mathbb {N}$ $\mathbf {N} =\{0,1,2,3,...\}$
$\mathbf {Z}$ или , набор всех целых чисел (положительных, отрицательных или нулевых): ; ^[34] $\mathbb {Z}$ $\mathbf {Z} =\{..., -2, -1,0,1,2,3,...\}$
$\mathbf {Q}$ или , набор всех рациональных чисел (то есть набор всех правильных и неправильных дробей ): . Например, $—$ $\mathbb {Q}$ $\mathbf {Q} =\left\{{\frac {a}{b}}\mid a,b\in \mathbf {Z},b\neq 0\right\}$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}7/4∈ Q$ и $5 = 5 / 1 € Q$ ; ^[34]
$\mathbf {R}$ или , набор всех действительных чисел , включая все рациональные числа и все иррациональные числа (которые включают алгебраические числа , такие как те, которые нельзя переписать как дроби, а также трансцендентные числа, такие как π и e ); ^[34] $\mathbb {R}$ ${\sqrt {2}}$
$\mathbf {C}$ или набор всех комплексных чисел : $C$ $= {$ $a$ $+$ $bi$ $|$ $a$ $,$ $b$ $\in$ $R$ $}$ , например, 1 $+ 2$ $i$ $\in$ $C.$ ^[34] $\mathbb {C}$

Каждый из приведенных выше наборов чисел имеет бесконечное количество элементов. Каждый из них представляет собой подмножество наборов, перечисленных под ним.

Наборы положительных или отрицательных чисел иногда обозначаются надстрочными знаками плюс и минус соответственно. Например, представляет собой набор положительных рациональных чисел. $\mathbf {Q} ^{+}$

Функции

Функция (или отображение ) множества $A$ в множество $B$ — это правило, которое присваивает каждому «входному» элементу $A$ «выходной элемент», который является элементом $B$ ; более формально, функция — это особый вид отношения , которое связывает каждый элемент A $ровно$ с одним элементом $B.$ Функция называется

инъективен (или взаимно однозначен), если он отображает любые два разных элемента $A$ в разные элементы $B$ ,
сюръективен (или на), если для каждого элемента $B$ существует хотя бы один элемент $A$ , который отображается в него, и
биективное (или взаимно однозначное соответствие), если функция одновременно инъективна и сюръективна - в этом случае каждый элемент $A$ соединен с уникальным элементом $B$ , а каждый элемент $B$ соединен с уникальным элементом $A$ , чтобы не было непарных элементов.

Инъективная функция называется инъекцией , сюръективная функция называется сюръекцией , а биективная функция называется биекцией или взаимно -однозначным соответствием .

Мощность

Мощность множества $S$ , обозначаемая $| С |$ , число членов $S$ . ^[35] Например, если $B = {синий, белый, красный}$ , то $| Б | = 3$ . Повторяющиеся участники в записи реестра не учитываются, ^[36]^[37] поэтому $| {синий, белый, красный, синий, белый} | = 3$ тоже.

Более формально, два множества имеют одинаковую мощность, если между ними существует биекция.

Мощность пустого множества равна нулю. ^[38]

Бесконечные множества и бесконечная мощность

Список элементов некоторых множеств бесконечен или бесконечен . Например, множество натуральных чисел бесконечно. ^[20] Фактически, все специальные наборы чисел, упомянутые в разделе выше, бесконечны. Бесконечные множества имеют бесконечную мощность . $\mathbb {N}$

Некоторые бесконечные мощности больше других. Возможно, один из наиболее важных результатов теории множеств заключается в том, что набор действительных чисел имеет большую мощность, чем набор натуральных чисел. ^[39] Множества с мощностью, меньшей или равной таковой, называются счетными множествами ; это либо конечные множества, либо счетно бесконечные множества (множества той же мощности, что и ); некоторые авторы используют слово «счетный» для обозначения «счетной бесконечности». Множества, мощность которых строго больше, чем у, называются несчетными множествами . $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$

Однако можно показать, что мощность прямой линии (т. е. количество точек на прямой) такая же, как мощность любого отрезка этой линии, всей плоскости и даже любого конечномерного евклидова космос . ^[40]

Гипотеза континуума

Гипотеза континуума, сформулированная Георгом Кантором в 1878 году, представляет собой утверждение о том, что не существует множества с мощностью строго между мощностью натуральных чисел и мощностью прямой линии. ^[41] В 1963 году Пол Коэн доказал, что гипотеза континуума не зависит от системы аксиом ZFC, состоящей из теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора . ^[42] (ZFC — наиболее широко изученная версия аксиоматической теории множеств.)

Силовые наборы

Набор мощности набора $S$ - это набор всех подмножеств $S$ . ^[20] Пустое множество и само $S$ являются элементами набора мощности $S$ , потому что оба они являются подмножествами $S$ . Например, набор степеней ${1, 2, 3}$ равен ${\emptyset, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}}$ . Набор мощности набора $S$ обычно записывается как $P (S)$ или $2 S.$ ^[20]^[43]^[8]

Если $S$ имеет $n$ элементов, то $P (S)$ имеет $2 n$ элементов. ^[44] Например, ${1, 2, 3}$ состоит из трех элементов, а его набор степеней содержит $23 = 8$ элементов, как показано выше.

Если $S$ бесконечно (неважно, счетно или несчетно ), то $P (S)$ несчетно. Более того, набор степеней всегда строго «больше», чем исходный набор, в том смысле, что любая попытка соединить элементы $S$ с элементами $P (S)$ оставит некоторые элементы $P (S)$ неспаренными. (Никогда не существует биекции S на $P$ $($ $S$ $)$ .) $[$ ^45]

Перегородки

Раздел множества S — это набор непустых подмножеств S , такой, что каждый элемент x в S находится ровно в одном из этих подмножеств. То есть подмножества попарно не пересекаются (это означает, что любые два множества раздела не содержат общих элементов), а объединение всех подмножеств раздела равно S . ^[46]^[47]

Основные операции

Предположим, что универсальное множество $U$ (множество, содержащее все обсуждаемые элементы) фиксировано и что $A$ является подмножеством $U$ .

Дополнением A является множество всех элементов ( U $)$ , $которые$ не принадлежат $A.$ Его можно обозначать $A$ $c$ или $A$ $'$ . В обозначениях построителя множеств . Дополнение также можно назвать абсолютным дополнением , чтобы отличить его от относительного дополнения, приведенного ниже. Пример: Если универсальный набор считается набором целых чисел, то дополнением набора четных целых чисел является набор нечетных целых чисел. $A^{\text{c}}=\{a\in U:a\notin A\}$

Объединение A и $B$ , $обозначаемое$ $A$ $\cup$ $B$ _

Пересечение A и $B$ , $обозначаемое$ $A$ $\cap$ $B$ _

Учитывая любые два множества $A$ и $B$ ,

их объединение $A \cup B$ представляет собой множество всех вещей, которые являются членами A или B , или того и другого.
их пересечение $A \cap B$ представляет собой множество всех вещей, которые являются членами как A , так и B . Если $A \cap B = \emptyset$ , то $A$ и $B$ называются непересекающимися .
разность множеств $A \ B$ (также обозначаемая как $A - B$ ) — это набор всех вещей, которые принадлежат $A$ , но не принадлежат $B$ . Особенно когда $B$ является подмножеством $A$ , его также называют $относительным$ дополнением B в $A.$ Поскольку $Bc$ является абсолютным дополнением к B $($ в универсальном множестве $U$ $)$ , $A$ $\$ $B$ $=$ $A$ $\cap$ $Bc$ .
их симметричная разность $A Δ B$ представляет собой совокупность всех вещей, принадлежащих $A$ или $B$ , но не обоим одновременно. Надо . $A\,\Delta \,B = (A\setminus B)\чашка (B\setminus A)$
их декартово произведение $A \times B$ — это набор всех упорядоченных пар $(a, b)$ таких, что a $—$ элемент $A$ , а $b$ — элемент $B.$

Примеры:

${1, 2, 3} \cup {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5$ }.
${1, 2, 3} \cap {3, 4, 5} = {3$ }.
${1, 2, 3} - {3, 4, 5} = {1, 2$ }.
${1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5$ }.
${а, б} \times {1, 2, 3} = {(а,1), (а,2), (а,3), (б,1), (б,2), (б,3)$ }.

Вышеописанные операции удовлетворяют многим тождествам. Например, один из законов Де Моргана гласит, что $(A \cup B)' = A' \cap B'$ (то есть элементы вне объединения $A$ и $B$ — это элементы, находящиеся вне $A$ и вне $B$ ).

Мощность $A \times B$ является произведением мощностей $A$ и $B$ . (Это элементарный факт, когда $A$ и $B$ конечны. Когда одно или оба бесконечны, для того чтобы это было верным, определено умножение кардинальных чисел.)

Набор степеней любого набора становится булевым кольцом с симметричной разницей как сложение кольца и пересечением как умножение кольца.

Приложения

Множества широко распространены в современной математике. Например, структуры в абстрактной алгебре , такие как группы , поля и кольца , представляют собой множества, замкнутые относительно одной или нескольких операций.

Одним из основных применений наивной теории множеств является построение отношений . Отношение области A $к$ кодомену B $является$ подмножеством декартова произведения $A \times B$ . Например, если рассматривать набор $S = {камень, бумага, ножницы}$ фигур в одноименной игре , то отношение «бьется» от $S$ к $S$ — это набор $B = {(ножницы, бумага), (бумага, камень ), (камень, ножницы)}$ ; таким образом , $x$ побеждает $y$ в игре, если пара $(x, y)$ является членом $B.$ Другим примером является множество $F$ всех пар $(x, x 2)$ , где $x$ вещественное число. Это отношение является подмножеством $R \times R$ , поскольку множество всех квадратов является подмножеством множества всех действительных чисел. Поскольку для каждого $x$ в $R$ одна и только одна пара $(x,...)$ находится в $F$ , она называется функцией . В функциональной записи это соотношение можно записать как $F (x) = x 2$ .

Принцип включения и исключения

Принцип включения-исключения — это метод подсчета элементов в объединении двух конечных множеств с точки зрения размеров двух множеств и их пересечения. Символически это можно выразить как

|A\чашка B|=|A|+|B|-|A\cap B|.

Более общая форма принципа дает мощность любого конечного объединения конечных множеств:

{\begin{aligned}\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \cup A_ {n}\right|=&\left(\left|A_ {1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n}\right|\right)\\&{}- \left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots \cap A_{n}\right|\right).\end{aligned}}

История

Понятие множества возникло в математике в конце XIX века. ^{[48] Немецкое слово}Menge , обозначающее множество , было придумано Бернардом Больцано в его работе «Парадоксы бесконечности» . ^[49]^[50]^[51]

Георг Кантор , один из основателей теории множеств, дал следующее определение в начале своей работы « Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» : ^[52]^[1]

Набор — это совокупность в целое определенных, различных объектов нашего восприятия или нашего мышления, которые называются элементами набора.

Бертран Рассел ввел различие между множеством и классом ( множество — это класс, но некоторые классы, например класс всех множеств, не являются множествами; см. парадокс Рассела ): ^[53]

Когда математики имеют дело с тем, что они называют многообразием, агрегатом, Менге , ансамблем или каким-либо эквивалентным именем, обычно, особенно когда число задействованных терминов конечно, рассматривать рассматриваемый объект (который на самом деле является классом) как определяется перечислением его терминов и состоит, возможно, из одного термина, которым в данном случае является класс.

Наивная теория множеств

Главным свойством множества является то, что оно может иметь элементы, также называемые членами . Два множества равны, если они содержат одинаковые элементы. Точнее, множества A и B равны, если каждый элемент A является элементом B , а каждый элемент B является элементом A ; это свойство называется экстенсиональностью множеств . ^[23]

Простое понятие множества оказалось чрезвычайно полезным в математике, но возникают парадоксы , если не накладывать никаких ограничений на то, как могут быть построены множества:

Парадокс Рассела показывает, что «множество всех множеств, которые не содержат самих себя », т. е. { x | x — множество и x ∉ x } не может существовать.
Парадокс Кантора показывает, что «множество всех множеств» не может существовать.

Наивная теория множеств определяет множество как любую четко определенную совокупность различных элементов, но проблемы возникают из-за расплывчатости термина «четко определенный» .

Аксиоматическая теория множеств

В последующих попытках разрешить эти парадоксы со времени первоначальной формулировки наивной теории множеств свойства множеств определялись с помощью аксиом . Аксиоматическая теория множеств принимает понятие множества как примитивное понятие . ^[54] Цель аксиом — предоставить базовую основу, из которой можно вывести истинность или ложность конкретных математических утверждений (утверждений) о множествах, используя логику первого порядка . Однако, согласно теоремам Гёделя о неполноте , невозможно использовать логику первого порядка, чтобы доказать, что любая такая конкретная аксиоматическая теория множеств свободна от парадоксов. ^{[ нужна цитата ]}

Смотрите также

Примечания

^ аб Кантор, Георг; Журден, Филип Э.Б. (переводчик) (1915). Вклад в создание теории трансфинитных чисел . New York Dover Publications (английский перевод, 1954 г.). Под «агрегатом» (Menge) мы должны понимать любую совокупность в целое (Zusammenfassung zu einem Ganzen) М определенных и отдельных объектов нашей интуиции или нашего мышления.Здесь: стр.85
^ ПК Джайн; Халил Ахмад; Ом П. Ахуджа (1995). Функциональный анализ. Нью Эйдж Интернэшнл. п. 1. ISBN 978-81-224-0801-0.
^ Сэмюэл Голдберг (1 января 1986 г.). Вероятность: Введение. Курьерская корпорация. п. 2. ISBN 978-0-486-65252-8.
^ Томас Х. Кормен; Чарльз Э. Лейзерсон; Рональд Л. Ривест; Клиффорд Стейн (2001). Введение в алгоритмы. МТИ Пресс. п. 1070. ИСБН 978-0-262-03293-3.
^ abc Halmos 1960, с. 1.
^ Аб Столл, Роберт (1974). Множества, логика и аксиоматические теории . WH Фриман и компания. стр. 5. ISBN 9780716704577.
^ Сеймор Липшуц; Марк Липсон (22 июня 1997 г.). Очерк дискретной математики Шаума. МакГроу Хилл Профессионал. п. 1. ISBN 978-0-07-136841-4.
^ abc «Введение в наборы». www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 г.
↑ Чарльз Робертс (24 июня 2009 г.). Введение в математические доказательства: переход. ЦРК Пресс. п. 45. ИСБН 978-1-4200-6956-3.
^ Дэвид Джонсон; Дэвид Б. Джонсон; Томас А. Моури (июнь 2004 г.). Конечная математика: практические приложения (версия Docutech). У. Х. Фриман. п. 220. ИСБН 978-0-7167-6297-3.
^ Игнасио Белло; Антон Кауль; Джек Р. Бриттон (29 января 2013 г.). Темы современной математики. Cengage Обучение. п. 47. ИСБН 978-1-133-10742-2.
↑ Сюзанна С. Эпп (4 августа 2010 г.). Дискретная математика с приложениями. Cengage Обучение. п. 13. ISBN 978-0-495-39132-6.
^ А. Канамори, «Пустое множество, синглтон и упорядоченная пара», стр.278. Бюллетень символической логики, том. 9, нет. 3, (2003). По состоянию на 21 августа 2023 г.
^ Стивен Б. Маурер; Энтони Ралстон (21 января 2005 г.). Дискретная алгоритмическая математика. ЦРК Пресс. п. 11. ISBN 978-1-4398-6375-6.
^ Д. Ван Дален; ХК Доец; Х. Де Сварт (9 мая 2014 г.). Множества: наивные, аксиоматические и прикладные: базовый сборник с упражнениями для использования в теории множеств для нелогиков, работающих и преподающих математиков и студентов. Эльзевир Наука. п. 1. ISBN 978-1-4831-5039-0.
^ Альфред Баста; Стефан Делонг; Надин Баста (1 января 2013 г.). Математика для информационных технологий. Cengage Обучение. п. 3. ISBN 978-1-285-60843-3.
^ Лаура Брекен; Эд Миллер (15 февраля 2013 г.). Элементарная алгебра. Cengage Обучение. п. 36. ISBN 978-0-618-95134-5.
^ Халмош 1960, с. 4.
^ abc Фрэнк Руда (6 октября 2011 г.). Сброд Гегеля: исследование философии права Гегеля. Издательство Блумсбери. п. 151. ИСБН 978-1-4411-7413-0.
^ abcde Джон Ф. Лукас (1990). Введение в абстрактную математику. Роуман и Литтлфилд. п. 108. ИСБН 978-0-912675-73-2.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Набор». Вольфрам Математический мир . Проверено 19 августа 2020 г.
^ Ральф К. Стейнладж (1987). Колледж алгебры. Западная издательская компания. ISBN 978-0-314-29531-6.
^ аб Халмош 1960, с. 2.
^ аб Марек Капински; Питер Э. Копп (2004). Мера, интеграл и вероятность. Springer Science & Business Media. п. 2. ISBN 978-1-85233-781-0.
^ «Установить символы». www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 г.
^ аб Халмош 1960, с. 8.
^ КТ Люнг; Дорис Лай-чу Чен (1 июля 1992 г.). Элементарная теория множеств, часть I/II. Издательство Гонконгского университета. п. 27. ISBN 978-962-209-026-2.
^ Аггарвал, ML (2021). «1. Наборы». Понимание XI класса математики ISC . Том. 1. Arya Publications (Издательство «Авичал»). п. А=3.
^ Сурендра Нат, Де (январь 2015 г.). «Наборы и функции модуля 1: 1. Теория множеств». Чхая Ганит (Экадаш Шрени) . Scholar Books Pvt. ООО с. 5.
^ Халмош 1960, раздел 2.
^ аб Феликс Хаусдорф (2005). Теория множеств. Американское математическое соц. п. 30. ISBN 978-0-8218-3835-8.
↑ Питер Комнинос (6 апреля 2010 г.). Методы математического и компьютерного программирования для компьютерной графики. Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN 978-1-84628-292-8.
^ аб Халмош 1960, с. 3.
^ abcdef Джордж Турлакис (13 февраля 2003 г.). Лекции по логике и теории множеств: Том 2, Теория множеств. Издательство Кембриджского университета. п. 137. ИСБН 978-1-139-43943-5.
^ Яннис Н. Мошовакис (1994). Заметки по теории множеств. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-94180-4.
^ Артур Чарльз Флек (2001). Формальные модели вычислений: предельные ограничения вычислений. Всемирная научная. п. 3. ISBN 978-981-02-4500-9.
↑ Уильям Джонстон (25 сентября 2015 г.). Интеграл Лебега для студентов. Математическая ассоциация Америки. п. 7. ISBN 978-1-939512-07-9.
^ Карл Дж. Смит (7 января 2008 г.). Математика: ее сила и полезность. Cengage Обучение. п. 401. ИСБН 978-0-495-38913-2.
↑ Джон Стиллвелл (16 октября 2013 г.). Действительные числа: введение в теорию множеств и анализ. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-01577-4.
↑ Дэвид Талл (11 апреля 2006 г.). Развитое математическое мышление. Springer Science & Business Media. п. 211. ИСБН 978-0-306-47203-9.
^ Кантор, Георг (1878). «Эйн Бейтраг зур Маннигфальтигкеитслехре». Журнал для королевы и математики . 1878 (84): 242–258. дои : 10.1515/crll.1878.84.242.
↑ Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Бибкод : 1963PNAS...50.1143C. дои : 10.1073/pnas.50.6.1143 . JSTOR 71858. PMC 221287 . ПМИД 16578557.
^ Халмош 1960, с. 19.
^ Халмош 1960, с. 20.
^ Эдвард Б. Бургер; Майкл Старберд (18 августа 2004 г.). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению. Springer Science & Business Media. п. 183. ИСБН 978-1-931914-41-3.
↑ Туфик Мансур (27 июля 2012 г.). Комбинаторика разбиений множеств. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4398-6333-6.
^ Халмош 1960, с. 28.
↑ Хосе Феррейрос (16 августа 2007 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике. Биркхойзер Базель. ISBN 978-3-7643-8349-7.
^ Стив Расс (9 декабря 2004 г.). Математические труды Бернара Больцано. ОУП Оксфорд. ISBN 978-0-19-151370-1.
^ Уильям Эвальд; Уильям Брэгг Эвальд (1996). От Канта до Гильберта. Том 1: Справочник по основам математики. ОУП Оксфорд. п. 249. ИСБН 978-0-19-850535-8.
^ Пол Раснок; Ян Себестик (25 апреля 2019 г.). Бернар Больцано: его жизнь и творчество. ОУП Оксфорд. п. 430. ИСБН 978-0-19-255683-7.
^ Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)». Mathematische Annalen (на немецком языке). 46 (4): 481–512.
^ Бертран Рассел (1903) Принципы математики , глава VI: Классы
^ Хосе Феррейрос (1 ноября 2001 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5749-8.

Внешние ссылки

Словарное определение множества в Викисловаре
Кантора «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» (на немецком языке)