Множество (математика)

Коллекция математических объектов

Набор многоугольников на диаграмме Эйлера

Этот набор идентичен изображенному выше, поскольку оба состоят из одних и тех же элементов.

В математике множество — это совокупность различных ^[1] вещей; ^{[2] [3] [4]} эти вещи называются элементами или членами множества и обычно являются математическими объектами любого вида: числами, символами, точками в пространстве, линиями, другими геометрическими фигурами, переменными или даже другими множествами. ^[5] Множество может иметь конечное число элементов или быть бесконечным множеством . Существует уникальное множество без элементов, называемое пустым множеством ; множество с одним элементом называется синглтоном .

Множества однозначно характеризуются своими элементами; это означает, что два множества, которые имеют в точности одинаковые элементы, равны (они являются одним и тем же множеством). ^[6] Это свойство называется экстенсиональностью . В частности, это подразумевает, что существует только одно пустое множество.

Множества повсеместно встречаются в современной математике. Действительно, теория множеств , а точнее теория множеств Цермело–Френкеля , была стандартным способом предоставления строгих основ для всех разделов математики с первой половины 20-го века. ^[5]

Определение и обозначения

В математических текстах множества обычно обозначаются заглавными буквами ^{[7] [5]} курсивом , например, A , B , C. ^[8] Множество также может называться коллекцией или семейством , особенно когда его элементы сами являются множествами.

Нотация списка

Нотация списка или перечисления определяет множество путем перечисления его элементов в фигурных скобках , разделенных запятыми: ^{[9] [10] [11] [12]}

А = {4, 2, 1, 3}

B = {синий, белый, красный} .

Эта нотация была введена Эрнстом Цермело в 1908 году . ^[13] В наборе имеет значение только то, входит ли в него каждый элемент или нет, поэтому порядок элементов в нотации списка не имеет значения (в отличие от последовательности , кортежа или перестановки набора порядок членов имеет значение). Например, {2, 4, 6} и {4, 6, 4, 2} представляют один и тот же набор. ^{[14] [8] [15]}

Для наборов со многими элементами, особенно тех, которые следуют неявному шаблону, список членов может быть сокращен с помощью многоточия « ... ». ^{[16] [17]} Например, набор из первой тысячи положительных целых чисел может быть указан в нотации списка как

{1, 2, 3, ..., 1000} .

Бесконечные множества в нотации ростера

Бесконечное множество — это множество с бесконечным числом элементов. Если шаблон его элементов очевиден, бесконечное множество может быть задано в нотации ростера, с многоточием, помещенным в конце списка или на обоих концах, чтобы указать, что список продолжается вечно. Например, множество неотрицательных целых чисел — это

{0, 1, 2, 3, 4, ...} ,

и множество всех целых чисел равно

{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} .

Семантическое определение

Другой способ определения множества — это использование правила для определения его элементов:

Пусть A — множество, членами которого являются первые четыре положительных целых числа .

Пусть B — набор цветов французского флага .

Такое определение называется семантическим описанием . ^{[18] [19]}

Нотация конструктора множеств

Нотация конструктора множеств определяет множество как выборку из большего множества, определяемую условием для элементов. ^{[19] [20] [21]} Например, множество F можно определить следующим образом:

$${\displaystyle F=\{n\mid n{\text{ is an integer, and }}0\leq n\leq 19\}.}$$

В этой нотации вертикальная черта «|» означает «такой, что», и описание можно интерпретировать как « F — это множество всех чисел n таких, что n — целое число в диапазоне от 0 до 19 включительно». Некоторые авторы используют двоеточие « :» вместо вертикальной черты. ^[22]

Классификация методов определения

Философия использует специальные термины для классификации типов определений:

• Интенсиональное определение использует правило для определения членства. Семантические определения и определения с использованием нотации set-builder являются примерами.
• Экстенсиональное определение описывает множество путем перечисления всех его элементов . ^[19] Такие определения также называются перечислительными .
• Наглядное определение описывает множество, приводя примеры элементов; примером может служить список, содержащий многоточие.

Членство

Если B — множество, а x — элемент B , то это записывается в сокращении как x ∈ B , что также можно прочитать как « x принадлежит B » или « x находится в B ». ^[23] Утверждение « y не является элементом B » записывается как y ∉ B , что также можно прочитать как « y не находится в B ». ^{[24] [25]}

Например, относительно множеств A = {1, 2, 3, 4} , B = {синий, белый, красный} и F = { n | n — целое число, и 0 ≤ n ≤ 19} ,

4 ∈ A и 12 ∈ F ; и

20 ∉ F и зеленый ∉ B .

Пустой набор

Пустой набор ( или нулевой набор ) — это уникальный набор, не имеющий членов. Он обозначается ∅ , , { }, ^{[26] [27]} ϕ , ^[28] или ϕ . ^[29] ${\displaystyle \emptyset }$

Синглтон-множества

Синглтонный набор — это набор, содержащий ровно один элемент; такой набор также можно назвать единичным набором . ^[6] Любой такой набор можно записать как { x }, где x — элемент. Набор { x } и элемент x означают разные вещи; Халмош ^[30] проводит аналогию, что коробка, содержащая шляпу, — это не то же самое, что шляпа.

Подмножества

Если каждый элемент множества A также находится в B , то A описывается как подмножество B , или содержится в B , что записывается как A ⊆ B , ^[31] или B ⊇ A . ^[32] Последнее обозначение можно читать как B содержит A , B включает A , или B является надмножеством A . Связь между множествами, установленная с помощью ⊆ , называется включением или контейнментом . Два множества равны, если они содержат друг друга: A ⊆ B и B ⊆ A эквивалентны A = B . ^[20]

Если A является подмножеством B , но A не равно B , то A называется собственным подмножеством B. Это можно записать как A ⊊ B. Аналогично, B ⊋ A означает , что B является собственным надмножеством A , т. е . B содержит A и не равно A.

Третья пара операторов ⊂ и ⊃ используется по-разному разными авторами: некоторые авторы используют A ⊂ B и B ⊃ A , чтобы обозначить, что A является любым подмножеством B (и не обязательно собственным подмножеством) ^{[33] [24]} , в то время как другие оставляют A ⊂ B и B ⊃ A для случаев, когда A является собственным подмножеством B. ^[31]

Примеры:

• Множество всех людей является собственным подмножеством множества всех млекопитающих.
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4} .
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4} .

Пустое множество является подмножеством каждого множества, ^[26] а каждое множество является подмножеством самого себя: ^[33]

• ∅ ⊆ А .
• А ⊆ А .

Диаграммы Эйлера и Венна

A является подмножеством B.
B является надмножеством A.

Диаграмма Эйлера — это графическое представление набора множеств; каждое множество изображается как плоская область, заключенная в петлю, с ее элементами внутри. Если A является подмножеством B , то область, представляющая A, полностью находится внутри области, представляющей B. Если два множества не имеют общих элементов, области не перекрываются.

Диаграмма Венна , напротив, является графическим представлением n множеств, в котором n петель делят плоскость на 2 ⁿ зон таким образом, что для каждого способа выбора некоторых из n множеств (возможно, всех или ни одного) существует зона для элементов, которые принадлежат всем выбранным множествам и ни одному из других. Например, если множествами являются A , B и C , должна быть зона для элементов, которые находятся внутри A и C и снаружи B (даже если таких элементов не существует).

Специальные наборы чисел в математике

Натуральные числа содержатся в целых числах , которые содержатся в рациональных числах , которые содержатся в действительных числах , которые содержатся в комплексных числах. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Существуют множества, имеющие такое математическое значение и к которым математики обращаются так часто, что для их идентификации появились специальные названия и условные обозначения.

Многие из этих важных наборов представлены в математических текстах с использованием жирного шрифта (например, ) или шрифта Blackboard bold (например, ). ^[34] К ним относятся ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle \mathbf {N} }$или , множество всех натуральных чисел : (часто авторы исключают 0 ); ^[34] ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\{0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle \mathbf {Z} }$или , множество всех целых чисел (положительных, отрицательных или нулевых): ; ^[34] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle \mathbf {Q} }$или , множество всех рациональных чисел (то есть множество всех правильных и неправильных дробей ): . Например, − ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} =\left\{{\frac {a}{b}}\mid a,b\in \mathbf {Z} ,b\neq 0\right\}}$7/4⁠ ∈ Q и 5 = ⁠5/1⁠ ∈ Q ; ^[34]
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$или , множество всех действительных чисел , включая все рациональные числа и все иррациональные числа (включая алгебраические числа, такие как те, которые нельзя переписать в виде дробей, а также трансцендентные числа, такие как π и e ); ^[34] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {C} }$или , множество всех комплексных чисел : C = { a + bi | a , b ∈ R } , например, 1 + 2 i ∈ C. ^[34 ] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Каждый из перечисленных выше наборов чисел имеет бесконечное число элементов. Каждый из них является подмножеством наборов, перечисленных ниже.

Множества положительных или отрицательных чисел иногда обозначаются надстрочными знаками плюс и минус соответственно. Например, представляет множество положительных рациональных чисел. ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{+}}$

Функции

Функция (или отображение ) из множества A в множество B — это правило, которое назначает каждому «входному» элементу A «выходной», который является элементом B ; более формально, функция — это особый вид отношения , который связывает каждый элемент A ровно с одним элементом B. Функция называется

• инъективным (или один к одному), если он отображает любые два различных элемента A в различные элементы B ,
• сюръективным (или на), если для каждого элемента B существует по крайней мере один элемент A , который отображается на него, и
• биективным (или взаимно-однозначным соответствием), если функция является как инъективной, так и сюръективной — в этом случае каждый элемент A сопоставляется с уникальным элементом B , а каждый элемент B сопоставляется с уникальным элементом A , так что не существует непарных элементов.

Инъективная функция называется инъекцией , сюръективная функция называется сюръекцией , а биективная функция называется биекцией или взаимно-однозначным соответствием .

Мощность

Мощность множества S , обозначаемая | S | , — это количество членов S. [ ^35] Например, если B = {синий, белый, красный} , то | B | = 3. Повторяющиеся члены в записи состава не учитываются, ^{[36] [37]} поэтому | {синий, белый, красный, синий, белый} | = 3 тоже.

Более формально, два множества имеют одинаковую мощность, если между ними существует биекция.

Мощность пустого множества равна нулю. ^[38]

Бесконечные множества и бесконечная мощность

Список элементов некоторых множеств бесконечен, или бесконечен . Например, множество натуральных чисел бесконечно. ^[20] Фактически, все специальные множества чисел, упомянутые в разделе выше, бесконечны. Бесконечные множества имеют бесконечную мощность . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Некоторые бесконечные мощности больше других. Возможно, одним из самых важных результатов теории множеств является то, что множество действительных чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных чисел. ^[39] Множества с мощностью, меньшей или равной мощности, называются счетными множествами ; это либо конечные множества, либо счетно бесконечные множества (множества той же мощности, что и ); некоторые авторы используют «счетный» в значении «счетно бесконечный». Множества с мощностью, строго большей, чем мощность, называются несчетными множествами . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Однако можно показать, что мощность прямой линии (т. е. количество точек на линии) такая же, как мощность любого сегмента этой линии, всей плоскости и, конечно, любого конечномерного евклидова пространства . ^[40]

Гипотеза континуума

Гипотеза континуума, сформулированная Георгом Кантором в 1878 году, представляет собой утверждение о том, что не существует множества с мощностью строго между мощностью натуральных чисел и мощностью прямой линии. ^[41] В 1963 году Пол Коэн доказал, что гипотеза континуума не зависит от системы аксиом ZFC, состоящей из теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора . ^[42] (ZFC является наиболее широко изученной версией аксиоматической теории множеств.)

Силовые наборы

Множество мощности множества S — это множество всех подмножеств S. [ ^20] Пустое множество и само S являются элементами множества мощности S , поскольку оба они являются подмножествами S. Например, множество мощности {1, 2, 3} — это {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} . Множество мощности множества S обычно записывается как P ( S ) или 2 ^S . ^{[20] [43] [8]}

Если S имеет n элементов, то P ( S ) имеет 2 ⁿ элементов. ^[44] Например, {1, 2, 3} имеет три элемента, а его множество мощности имеет 2 ³ = 8 элементов, как показано выше.

Если S бесконечно (исчислимо или неисчислимо ) , то P ( S ) неисчислимо. Более того, множество мощности всегда строго «больше» исходного множества в том смысле, что любая попытка соединить элементы S с элементами P ( S ) оставит некоторые элементы P ( S ) неспаренными. (Никогда не существует биекции из S на P ( S ) .) ^[45]

Разделы

Разделение множества S — это множество непустых подмножеств S , такое, что каждый элемент x в S находится ровно в одном из этих подмножеств. То есть подмножества попарно не пересекаются (то есть любые два множества разбиения не содержат общих элементов), а объединение всех подмножеств разбиения равно S. [ ^{46] [47]}

Основные операции

Дополнение к букве A в букве U

Предположим, что универсальное множество U (множество , содержащее все обсуждаемые элементы) зафиксировано, и что A является подмножеством U.

• Дополнение к A — это множество всех элементов (из U ), которые не принадлежат A . Оно может обозначаться как A ^c или A ′ . В нотации конструктора множеств . Дополнение также может называться абсолютным дополнением , чтобы отличать его от относительного дополнения ниже. Пример: если универсальный набор рассматривается как множество целых чисел, то дополнением множества четных целых чисел является множество нечетных целых чисел. ${\displaystyle A^{\text{c}}=\{a\in U:a\notin A\}}$

Объединение A и B обозначается A ∪ B​​

Пересечение A и B обозначается A ∩ B​​

Разность множеств A \ B

Симметричная разность А и В​

Даны любые два множества A и B ,

• их объединение A ∪ B представляет собой множество всех вещей, которые являются членами A или B, или обоих.
• их пересечение A ∩ B — это множество всех вещей, которые являются членами как A , так и B. Если A ∩ B = ∅ , то говорят, что A и B не пересекаются .
• разность множеств A \ B (также пишется A − B ) — это множество всех вещей, которые принадлежат A , но не B . Особенно когда B является подмножеством A , оно также называется относительным дополнением B в A . С B ^c как абсолютным дополнением B (во всеобщем множестве U ), A \ B = A ∩ B ^c .
• их симметричная разность A Δ B — это множество всех вещей, которые принадлежат A или B, но не обоим. Имеется . ${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$
• их декартово произведение A × B представляет собой множество всех упорядоченных пар ( a , b ) таких, что a является элементом A , а b является элементом B.

Примеры:

• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5 }.
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3 }.
• {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2 }.
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5 }.
• { а , б } × {1, 2, 3} = {( а ,1), ( а ,2), ( а ,3), ( б ,1), ( б ,2), ( б ,3) }.

Операции выше удовлетворяют многим тождествам. Например, один из законов Де Моргана гласит, что ( A ∪ B )′ = A ′ ∩ B ′ (то есть элементы вне объединения A и B — это элементы, которые находятся вне A и вне B ).

Мощность A × B равна произведению мощностей A и B. Это элементарный факт, когда A и B конечны. Когда один или оба бесконечны, определено умножение кардинальных чисел, чтобы сделать это верным.

Множество элементов любого множества становится булевым кольцом с симметричной разностью как сложением колец и пересечением как умножением колец.

Приложения

Множества повсеместно встречаются в современной математике. Например, структуры в абстрактной алгебре , такие как группы , поля и кольца , являются множествами, замкнутыми относительно одной или нескольких операций.

Одно из основных приложений наивной теории множеств — построение отношений . Отношение из области A в область B является подмножеством декартова произведения A × B. Например, рассматривая множество S = {камень, бумага, ножницы} фигур в одноименной игре , отношение «бьет» из S в S — это множество B = {(ножницы, бумага), (бумага, камень), (камень, ножницы)} ; таким образом, x бьет y в игре, если пара ( x , y ) является членом B . Другим примером является множество F всех пар ( x , x ² ) , где x является действительным числом. Это отношение является подмножеством R × R , потому что множество всех квадратов является подмножеством множества всех действительных чисел. Поскольку для каждого x в R , одна и только одна пара ( x ,...) находится в F , оно называется функцией . В функциональной нотации это соотношение можно записать как F ( x ) = x ² .

Принцип включения и исключения

Принцип включения-исключения для двух конечных множеств гласит, что размер их объединения равен сумме размеров множеств за вычетом размера их пересечения.

Принцип включения-исключения — это метод подсчета элементов в объединении двух конечных множеств с точки зрения размеров двух множеств и их пересечения. Его можно выразить символически как $${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}$$

Более общая форма принципа дает мощность любого конечного объединения конечных множеств: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \cup A_{n}\right|=&\left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n}\right|\right)\\&{}-\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots \cap A_{n}\right|\right).\end{aligned}}}$$

История

Понятие множества возникло в математике в конце 19 века. ^[48] Немецкое слово для множества, Menge , было введено Бернардом Больцано в его работе «Парадоксы бесконечности» . ^{[49] [50] [51]}

Отрывок с переводом оригинального определения множества Георга Кантора. Немецкое слово Menge для множества здесь переводится как агрегат .

Георг Кантор , один из основателей теории множеств, дал следующее определение в начале своей работы «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» : ^{[52] [1]}

Множество — это объединение в единое целое определенных, отдельных объектов нашего восприятия или нашего мышления, которые называются элементами множества.

Бертран Рассел ввел различие между множеством и классом (множество является классом, но некоторые классы, такие как класс всех множеств, не являются множествами; см. парадокс Рассела ): ^[53]

Когда математики имеют дело с тем, что они называют многообразием, агрегатом, менге , ансамблем или каким-либо эквивалентным названием, обычно, особенно когда число задействованных членов конечно, рассматривают рассматриваемый объект (который фактически является классом) как определенный перечислением его членов и как состоящий, возможно, из одного члена, который в этом случае является классом.

Наивная теория множеств

Главное свойство множества состоит в том, что оно может иметь элементы, также называемые членами . Два множества равны , если они имеют одни и те же элементы. Точнее, множества A и B равны, если каждый элемент A является элементом B , и каждый элемент B является элементом A ; это свойство называется экстенсиональностью множеств . ^[23] Как следствие, например, {2, 4, 6} и {4, 6, 4, 2} представляют одно и то же множество. В отличие от множеств, мультимножества можно различать по количеству вхождений элемента; например, [2, 4, 6] и [4, 6, 4, 2] представляют разные мультимножества, в то время как [2, 4, 6] и [6, 4, 2] равны. Кортежи можно различать даже по порядку элементов; например, (2, 4, 6) и (6, 4, 2) представляют разные кортежи.

Простая концепция множества оказалась чрезвычайно полезной в математике, но если не накладывать никаких ограничений на способ построения множеств, возникают парадоксы :

• Парадокс Рассела показывает, что «множество всех множеств, не содержащих самих себя », т. е. { x | x — множество и x ∉ x }, не может существовать.
• Парадокс Кантора показывает, что «множество всех множеств» не может существовать.

Наивная теория множеств определяет множество как любую четко определенную совокупность различных элементов, но проблемы возникают из-за неопределенности термина « четко определенный» .

Аксиоматическая теория множеств

В последующих попытках разрешить эти парадоксы со времени первоначальной формулировки наивной теории множеств свойства множеств определялись аксиомами . Аксиоматическая теория множеств принимает концепцию множества как примитивное понятие . ^[54] Цель аксиом — предоставить базовую структуру, из которой можно вывести истинность или ложность конкретных математических предложений (утверждений) о множествах, используя логику первого порядка . Однако, согласно теоремам Гёделя о неполноте , невозможно использовать логику первого порядка, чтобы доказать, что любая такая конкретная аксиоматическая теория множеств свободна от парадоксов. ^[55]

Смотрите также

• Алгебра множеств
• Альтернативная теория множеств
• Категория наборов
• Класс (теория множеств)
• Семейство наборов
• Нечеткий набор
• Мереология
• Principia Mathematica

Примечания

1. Cantor, Georg; Jourdain, Philip EB (переводчик) (1915). Вклад в обоснование теории трансфинитных чисел . New York Dover Publications (перевод на английский язык, 1954). Под «агрегатом» (Menge) мы должны понимать любое собрание в целое (Zusammenfassung zu einem Ganzen) M определенных и отдельных объектов m нашей интуиции или нашей мысли.Здесь: стр.85
2. PK Jain; Khalil Ahmad; Om P. Ahuja (1995). Функциональный анализ. New Age International. стр. 1. ISBN 978-81-224-0801-0.
3. Сэмюэл Голдберг (1 января 1986 г.). Вероятность: Введение. Courier Corporation. стр. 2. ISBN 978-0-486-65252-8.
4. Томас Х. Кормен; Чарльз Э. Лейзерсон; Рональд Л. Ривест; Клиффорд Стейн (2001). Введение в алгоритмы. МТИ Пресс. п. 1070. ИСБН 978-0-262-03293-3.
5. Halmos 1960, стр. 1.
6. Stoll, Robert (1974). Множества, логика и аксиоматические теории . WH Freeman and Company. стр. 5. ISBN 9780716704577.
7. Сеймор Липшуц; Марк Липсон (22 июня 1997 г.). Очерк дискретной математики Шаума. МакГроу Хилл Профессионал. п. 1. ISBN 978-0-07-136841-4.
8. "Введение в множества". www.mathsisfun.com . Получено 19 августа 2020 г.
9. Чарльз Робертс (24 июня 2009 г.). Введение в математические доказательства: переход. CRC Press. стр. 45. ISBN 978-1-4200-6956-3.
10. Дэвид Джонсон; Дэвид Б. Джонсон; Томас А. Моури (июнь 2004 г.). Конечная математика: практическое применение (версия Docutech). WH Freeman. стр. 220. ISBN 978-0-7167-6297-3.
11. Игнасио Белло; Антон Кауль; Джек Р. Бриттон (29 января 2013 г.). Темы современной математики. Cengage Learning. стр. 47. ISBN 978-1-133-10742-2.
12. Сусанна С. Эпп (4 августа 2010 г.). Дискретная математика с приложениями. Cengage Learning. стр. 13. ISBN 978-0-495-39132-6.
13. А. Канамори, «Пустое множество, синглтон и упорядоченная пара», стр. 278. Бюллетень символической логики, т. 9, № 3 (2003). Доступ 21 августа 2023 г.
14. Стивен Б. Маурер; Энтони Ралстон (21 января 2005 г.). Дискретная алгоритмическая математика. CRC Press. стр. 11. ISBN 978-1-4398-6375-6.
15. D. Van Dalen; HC Doets; H. De Swart (9 мая 2014 г.). Sets: Naïve, Axiomatic and Applied: A Basic Compendium with Exercises for Use in Set Theory for Non Logicians, Working and Teaching Mathematics and Students. Elsevier Science. стр. 1. ISBN 978-1-4831-5039-0.
16. Альфред Баста; Стефан ДеЛонг; Надин Баста (1 января 2013 г.). Математика для информационных технологий. Cengage Learning. стр. 3. ISBN 978-1-285-60843-3.
17. Лора Брэкен; Эд Миллер (15 февраля 2013 г.). Элементарная алгебра. Cengage Learning. стр. 36. ISBN 978-0-618-95134-5.
18. Халмош 1960, стр. 4.
19. Frank Ruda (6 октября 2011 г.). Гегелевская чернь: исследование гегелевской философии права. Bloomsbury Publishing. стр. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.
20. Джон Ф. Лукас (1990). Введение в абстрактную математику. Rowman & Littlefield. стр. 108. ISBN 978-0-912675-73-2.
21. Weisstein, Eric W. "Set". Wolfram MathWorld . Получено 19 августа 2020 г.
22. Ральф С. Стейнлаге (1987). Колледжская алгебра. West Publishing Company. ISBN 978-0-314-29531-6.
23. Halmos 1960, стр. 2.
24. Marek Capinski; Peter E. Kopp (2004). Мера, интеграл и вероятность. Springer Science & Business Media. стр. 2. ISBN 978-1-85233-781-0.
25. "Set Symbols". www.mathsisfun.com . Получено 2020-08-19 .
26. Halmos 1960, стр. 8.
27. KT Leung; Doris Lai-chue Chen (1 июля 1992 г.). Элементарная теория множеств, часть I/II. Hong Kong University Press. стр. 27. ISBN 978-962-209-026-2.
28. Аггарвал, МЛ (2021). "1. Множества". Понимание математики ISC, класс XI . Том 1. Arya Publications (Avichal Publishing Company). стр. A=3.
29. Сурендра Нат, Де (январь 2015 г.). «Наборы и функции модуля 1: 1. Теория множеств». Чхая Ганит (Экадаш Шрени) . Scholar Books Pvt. ООО с. 5.
30. Халмош 1960, раздел 2.
31. Феликс Хаусдорф (2005). Теория множеств. Американское математическое общество. стр. 30. ISBN 978-0-8218-3835-8.
32. Питер Комнинос (6 апреля 2010 г.). Математические и компьютерные методы программирования для компьютерной графики. Springer Science & Business Media. стр. 7. ISBN 978-1-84628-292-8.
33. Halmos 1960, стр. 3.
34. Джордж Турлакис (13 февраля 2003 г.). Лекции по логике и теории множеств: Том 2, Теория множеств. Cambridge University Press. стр. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.
35. Яннис Н. Мошовакис (1994). Заметки о теории множеств. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-94180-4.
36. Артур Чарльз Флек (2001). Формальные модели вычислений: предельные пределы вычислений. World Scientific. стр. 3. ISBN 978-981-02-4500-9.
37. Уильям Джонстон (25 сентября 2015 г.). Интеграл Лебега для студентов. Математическая ассоциация Америки. стр. 7. ISBN 978-1-939512-07-9.
38. Карл Дж. Смит (7 января 2008 г.). Математика: ее сила и полезность. Cengage Learning. стр. 401. ISBN 978-0-495-38913-2.
39. Джон Стиллвелл (16 октября 2013 г.). Действительные числа: Введение в теорию множеств и анализ. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-01577-4.
40. Дэвид Толл (11 апреля 2006 г.). Продвинутое математическое мышление. Springer Science & Business Media. стр. 211. ISBN 978-0-306-47203-9.
41. Кантор, Георг (1878). «Эйн Бейтраг зур Маннигфальтигкеитслехре». Журнал для королевы и математики . 1878 (84): 242–258. doi : 10.1515/crll.1878.84.242 (неактивен 19 сентября 2024 г.).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)
42. Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073 /pnas.50.6.1143 . JSTOR  71858. PMC 221287. PMID  16578557. 
43. Халмош 1960, стр. 19.
44. Халмош 1960, стр. 20.
45. Эдвард Б. Бергер; Майкл Старбёрд (18 августа 2004 г.). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению. Springer Science & Business Media. стр. 183. ISBN 978-1-931914-41-3.
46. Туфик Мансур (27 июля 2012 г.). Комбинаторика разбиений множеств. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6333-6.
47. Халмош 1960, стр. 28.
48. Хосе Феррейрос (16 августа 2007 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике. Биркхойзер Базель. ISBN 978-3-7643-8349-7.
49. Стив Расс (9 декабря 2004 г.). Математические труды Бернарда Больцано. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151370-1.
50. Уильям Эвальд; Уильям Брэгг Эвальд (1996). От Канта до Гильберта Том 1: Источниковая книга по основам математики. OUP Oxford. стр. 249. ISBN 978-0-19-850535-8.
51. Пол Руснок; Ян Себестик (25 апреля 2019 г.). Бернард Больцано: Его жизнь и работа. OUP Oxford. стр. 430. ISBN 978-0-19-255683-7.
52. Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)». Mathematische Annalen (на немецком языке). 46 (4): 481–512.
53. Бертран Рассел (1903) Принципы математики , глава VI: Классы
54. Хосе Феррейрос (1 ноября 2001 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5749-8.
55. Раатикайнен, Пану (2022). Залта, Эдвард Н. (ред.). «Теоремы Гёделя о неполноте». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 03.06.2024 .

Ссылки

• Даубен, Джозеф В. (1979). Георг Кантор: его математика и философия бесконечности . Бостон: Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-691-02447-2.
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Ван Ностранд. ISBN 0-387-90092-6.
• Столл, Роберт Р. (1979). Теория множеств и логика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-63829-4.
• Веллеман, Дэниел (2006). Как это доказать: структурированный подход . Cambridge University Press . ISBN 0-521-67599-5.

Внешние ссылки

• Словарное определение слова set в Викисловаре
• Кантора «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» (на немецком языке)