Теория множеств Цермело–Френкеля

Стандартная система аксиоматической теории множеств

В теории множеств , теория множеств Цермело-Френкеля , названная в честь математиков Эрнста Цермело и Авраама Френкеля , является аксиоматической системой , которая была предложена в начале двадцатого века для того, чтобы сформулировать теорию множеств , свободную от парадоксов , таких как парадокс Рассела . Сегодня теория множеств Цермело-Френкеля , с включенной исторически спорной аксиомой выбора (AC), является стандартной формой аксиоматической теории множеств и как таковая является наиболее распространенной основой математики . Теория множеств Цермело-Френкеля с включенной аксиомой выбора сокращенно обозначается ZFC , где C означает «выбор», ^[1] а ZF относится к аксиомам теории множеств Цермело-Френкеля с исключенной аксиомой выбора.

Неформально, ^[2] теория множеств Цермело–Френкеля предназначена для формализации единого примитивного понятия, понятия наследственного хорошо обоснованного множества , так что все сущности во вселенной дискурса являются такими множествами. Таким образом, аксиомы теории множеств Цермело–Френкеля относятся только к чистым множествам и не позволяют ее моделям содержать urelements (элементы множеств, которые сами по себе не являются множествами). Более того, собственные классы (коллекции математических объектов, определяемые свойством, общим для их членов, где коллекции слишком велики, чтобы быть множествами) могут рассматриваться только косвенно. В частности, теория множеств Цермело–Френкеля не допускает ни существования универсального множества (множества, содержащего все множества), ни неограниченного понимания , тем самым избегая парадокса Рассела. Теория множеств фон Неймана–Бернейса–Геделя (NBG) является широко используемым консервативным расширением теории множеств Цермело–Френкеля, которое допускает явную обработку собственных классов.

Существует множество эквивалентных формулировок аксиом теории множеств Цермело–Френкеля. Большинство аксиом утверждают существование конкретных множеств, определенных из других множеств. Например, аксиома спаривания гласит, что для любых двух множеств и существует новое множество , содержащее ровно и . Другие аксиомы описывают свойства членства в множестве. Цель аксиом состоит в том, что каждая аксиома должна быть истинной, если ее интерпретировать как утверждение о совокупности всех множеств во вселенной фон Неймана (также известной как кумулятивная иерархия). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Метаматематика теории множеств Цермело–Френкеля была широко изучена. Знаменательные результаты в этой области установили логическую независимость аксиомы выбора от остальных аксиом Цермело–Френкеля и континуум- гипотезы от ZFC. Непротиворечивость теории, такой как ZFC, не может быть доказана внутри самой теории, как показывает вторая теорема Гёделя о неполноте .

История

Современное изучение теории множеств было начато Георгом Кантором и Ричардом Дедекиндом в 1870-х годах. Однако открытие парадоксов в наивной теории множеств , таких как парадокс Рассела , привело к желанию более строгой формы теории множеств, свободной от этих парадоксов.

В 1908 году Эрнст Цермело предложил первую аксиоматическую теорию множеств , теорию множеств Цермело . Однако, как впервые указал Авраам Френкель в письме Цермело от 1921 года, эта теория была неспособна доказать существование определенных множеств и кардинальных чисел , существование которых считалось само собой разумеющимся большинством теоретиков множеств того времени, в частности, кардинального числа и множества , где — любое бесконечное множество, а — операция множества мощности . ^[3] Более того, одна из аксиом Цермело ссылалась на концепцию «определенного» свойства, операциональное значение которого было неясным. В 1922 году Френкель и Торальф Скулем независимо друг от друга предложили операционализировать «определенное» свойство как свойство, которое можно было бы сформулировать в виде правильно сформированной формулы в логике первого порядка , атомарные формулы которой были ограничены членством во множестве и идентичностью. Они также независимо друг от друга предложили заменить схему аксиом спецификации на схему аксиом замены . Добавление этой схемы, а также аксиомы регулярности (впервые предложенной Джоном фон Нейманом ) ^[4] к теории множеств Цермело дает теорию, обозначенную ZF . Добавление к ZF либо аксиомы выбора (AC), либо эквивалентного ей утверждения дает ZFC. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\},}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Формальный язык

Формально ZFC — это односортная теория в логике первого порядка . Символ равенства можно рассматривать как примитивный логический символ или как аббревиатуру высокого уровня для обозначения абсолютно одинаковых элементов. Первый подход является наиболее распространенным. Сигнатура имеет один предикатный символ, обычно обозначаемый , который является предикатным символом арности 2 (бинарный символ отношения). Этот символ символизирует отношение принадлежности к множеству . Например, формула означает, что является элементом множества (также читается как является членом ). ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle a\in b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Существуют различные способы формулировки формального языка. Некоторые авторы могут выбирать другой набор связок или квантификаторов. Например, логическая связка NAND сама по себе может кодировать другие связки, свойство, известное как функциональная полнота . В этом разделе делается попытка найти баланс между простотой и интуитивностью.

Алфавит языка состоит из:

• Счётное бесконечное количество переменных, используемых для представления множеств.
• Логические связки , , ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \lor }$
• Символы квантификатора , ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$
• Символ равенства ${\displaystyle =}$
• Символ членства в наборе ${\displaystyle \in }$
• Скобки ( )

При использовании этого алфавита рекурсивные правила формирования правильно построенных формул (wff) следующие:

• Пусть и будут метапеременными для любых переменных. Это два способа построения атомарных формул (простейших wff): ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=y}$

${\displaystyle x\in y}$

• Пусть и будут метапеременными для любого wff, а будет метапеременной для любой переменной. Это допустимые конструкции wff: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lnot \phi }$

${\displaystyle (\phi \land \psi )}$

${\displaystyle (\phi \lor \psi )}$

${\displaystyle \forall x\phi }$

${\displaystyle \exists x\phi }$

Правильно сформированную формулу можно рассматривать как синтаксическое дерево. Листовые узлы всегда являются атомарными формулами. Узлы и имеют ровно два дочерних узла, тогда как узлы , и имеют ровно один. Существует счетное бесконечное множество wff, однако каждый wff имеет конечное число узлов. ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle \forall x}$ ${\displaystyle \exists x}$

Аксиомы

Существует много эквивалентных формулировок аксиом ZFC. ^[5] Следующий конкретный набор аксиом взят из Kunen (1980). Аксиомы в порядке ниже выражены в смеси логики первого порядка и высокоуровневых сокращений.

Аксиомы 1–8 образуют ZF, тогда как аксиома 9 превращает ZF в ZFC. Следуя Кюнену (1980), мы используем эквивалентную теорему о хорошем порядке вместо аксиомы выбора для аксиомы 9.

Все формулировки ZFC подразумевают, что существует по крайней мере одно множество. Кунен включает аксиому, которая напрямую утверждает существование множества, хотя он отмечает, что делает это только «для акцента». ^[6] Ее отсутствие здесь может быть оправдано двумя способами. Во-первых, в стандартной семантике логики первого порядка, в которой обычно формализуется ZFC, область дискурса должна быть непустой. Следовательно, это логическая теорема логики первого порядка, что нечто существует — обычно выражаемая как утверждение, что нечто тождественно себе, . Следовательно, это теорема каждой теории первого порядка, что нечто существует. Однако, как отмечено выше, поскольку в предполагаемой семантике ZFC существуют только множества, интерпретация этой логической теоремы в контексте ZFC заключается в том, что некоторое множество существует. Следовательно, нет необходимости в отдельной аксиоме, утверждающей, что множество существует. Во-вторых, однако, даже если ZFC сформулирован в так называемой свободной логике , в которой не доказуемо из одной лишь логики, что что-то существует, аксиома бесконечности утверждает, что существует бесконечное множество. Это подразумевает, что множество существует, и поэтому, опять же, излишне включать аксиому, утверждающую то же самое. ${\displaystyle \exists x(x=x)}$

Аксиома экстенсиональности

Два множества равны (являются одним и тем же множеством), если они состоят из одних и тех же элементов.

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

Обратное этой аксиомы следует из свойства подстановки равенства . ZFC строится в логике первого порядка. Некоторые формулировки логики первого порядка включают тождество, другие — нет. Если разновидность логики первого порядка, в которой вы строите теорию множеств, не включает равенство, « », может быть определена как сокращение для следующей формулы: ^[7] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}$

В этом случае аксиому экстенсиональности можно переформулировать как

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],}$

который гласит, что если и имеют одни и те же элементы, то они принадлежат одним и тем же множествам. ^[8] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Аксиома регулярности (также называемая аксиомой основания)

Каждое непустое множество содержит элемент такой, что и являются непересекающимися множествами . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}$^[9]

или в современной записи: ${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}$

Это (наряду с аксиомами спаривания и объединения) подразумевает, например, что ни одно множество не является элементом самого себя и что каждое множество имеет порядковый ранг .

Аксиоматическая схема спецификации (или разделения, или ограниченного понимания)

Подмножества обычно строятся с использованием нотации конструктора множеств . Например, четные целые числа могут быть построены как подмножество целых чисел, удовлетворяющих предикату конгруэнтности по модулю : ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}}$

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}$

В общем случае подмножество множества, подчиняющееся формуле с одной свободной переменной, можно записать как: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \{x\in z:\varphi (x)\}.}$

Схема аксиом спецификации утверждает, что это подмножество всегда существует (это схема аксиом , потому что есть одна аксиома для каждого ). Формально, пусть будет любой формулой на языке ZFC со всеми свободными переменными среди ( не является свободной в ). Тогда: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z))].}$

Обратите внимание, что аксиоматическая схема спецификации может строить только подмножества и не допускает построения сущностей более общей формы:

${\displaystyle \{x:\varphi (x)\}.}$

Это ограничение необходимо для того, чтобы избежать парадокса Рассела (пусть тогда ) и его вариантов, которые сопровождают наивную теорию множеств с неограниченным пониманием (поскольку при этом ограничении относится только к множествам внутри , которые не принадлежат самим себе, и не было установлено, хотя это и так, поэтому находится в отдельном положении, из которого оно не может ссылаться на себя или понимать себя; поэтому, в определенном смысле, эта схема аксиом говорит, что для того, чтобы построить на основе формулы , нам необходимо предварительно ограничить множества, которые будут рассматриваться внутри множества , которое выходит за пределы, поэтому не может ссылаться на себя; или, другими словами, множества не должны ссылаться на себя). ${\displaystyle y=\{x:x\notin x\}}$ ${\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y\in z}$ ${\displaystyle y\subseteq z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

В некоторых других аксиоматизациях ZF эта аксиома избыточна, поскольку она следует из аксиоматической схемы замены и аксиомы пустого множества .

С другой стороны, аксиоматическая схема спецификации может быть использована для доказательства существования пустого множества , обозначаемого , как только известно, что существует хотя бы одно множество. Один из способов сделать это — использовать свойство , которого нет ни у одного множества. Например, если — это любое существующее множество, пустое множество может быть построено как ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.}$

Таким образом, аксиома пустого множества подразумевается девятью аксиомами, представленными здесь. Аксиома экстенсиональности подразумевает, что пустое множество уникально (не зависит от ). Обычно делают расширение определения , которое добавляет символ " " к языку ZFC. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Аксиома спаривания

Если и являются множествами, то существует множество, которое содержит и в качестве элементов, например, если x = {1,2} и y = {2,3}, то z будет {{1,2},{2,3}} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}$

Для сведения этого к набору с этими двумя элементами необходимо использовать схему аксиом спецификации. Аксиома спаривания является частью Z, но избыточна в ZF, поскольку она следует из схемы аксиом замены, если нам дан набор по крайней мере с двумя элементами. Существование набора по крайней мере с двумя элементами гарантируется либо аксиомой бесконечности , либо схемой аксиом спецификации ^{[ dubious – discussion ]} и аксиомой набора мощности, примененной дважды к любому набору.

Аксиома союза

Объединение по элементам множества существует. Например, объединение по элементам множества есть ${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

Аксиома объединения гласит, что для любого набора множеств существует набор, содержащий каждый элемент, который является членом некоторого члена : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

Хотя эта формула напрямую не утверждает существование , множество может быть построено из приведенного выше с использованием аксиоматической схемы спецификации: ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}$

Аксиоматическая схема замены

Аксиоматическая схема замены утверждает, что образ множества при любой определимой функции также попадет внутрь множества.

Формально, пусть будет любой формулой на языке ZFC, свободные переменные которой находятся среди , так что, в частности, не является свободной в . Тогда: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\varphi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr ]}.}$

(Уникальный квантификатор существования обозначает существование ровно одного элемента, который следует за данным утверждением.) ${\displaystyle \exists !}$

Другими словами, если отношение представляет определимую функцию , представляет ее область определения и является множеством для каждого , то диапазон является подмножеством некоторого множества . Указанная здесь форма, в которой может быть больше, чем строго необходимо, иногда называется схемой аксиом коллекции . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Аксиома бесконечности

Сократим , где — некоторое множество. (Мы можем увидеть, что — допустимое множество, применив аксиому сопряжения с так, чтобы множество z ​​было ). Тогда существует множество X такое, что пустое множество , определенное аксиоматически, является членом X и, всякий раз, когда множество y является членом X , то оно также является членом X . ${\displaystyle S(w)}$ ${\displaystyle w\cup \{w\},}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \{w\}}$ ${\displaystyle x=y=w}$ ${\displaystyle \{w\}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle S(y)}$

${\displaystyle \exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e)\land e\in X)\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

или в современной записи: ${\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

Говоря более разговорно, существует множество X, имеющее бесконечно много элементов. (Однако необходимо установить, что все эти элементы различны, поскольку если два элемента одинаковы, последовательность будет зацикливаться в конечном цикле множеств. Аксиома регулярности не позволяет этому случиться.) Минимальное множество X, удовлетворяющее аксиоме бесконечности, — это ординал фон Неймана ω , который также можно рассматривать как множество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

Аксиома степенного множества

По определению, множество является подмножеством множества тогда и только тогда, когда каждый элемент также является элементом : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).}$

Аксиома мощности множества гласит, что для любого множества существует множество , содержащее каждое подмножество : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\Rightarrow z\in y).}$

Затем аксиоматическая схема спецификации используется для определения множества мощности как подмножества такого , содержащего подмножества именно: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.}$

Аксиомы 1–8 определяют ZF. Часто встречаются альтернативные формы этих аксиом, некоторые из которых перечислены в Jech (2003). Некоторые аксиоматизации ZF включают аксиому, утверждающую, что пустое множество существует . Аксиомы спаривания, объединения, замены и мощности множества часто формулируются так, что члены множества , существование которого утверждается, являются как раз теми множествами, которые должна содержать утверждаемая аксиома. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Для превращения ZF в ZFC добавляется следующая аксиома:

Аксиома хорошего порядка (выбора)

Последняя аксиома, обычно известная как аксиома выбора , представлена ​​здесь как свойство о хорошо-порядках , как в Kunen (1980). Для любого множества существует бинарное отношение , которое хорошо-упорядочивает . Это означает, что есть линейный порядок на такой, что каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент под порядком . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).}$

Учитывая аксиомы 1–8 , многие утверждения доказуемо эквивалентны аксиоме 9. Наиболее распространенное из них выглядит следующим образом. Пусть будет множеством  ,  все члены которого непусты. Тогда существует функция из в объединение членов , называемая « функцией выбора », такая, что для всех имеет место . Третья версия аксиомы, также эквивалентная, — лемма Цорна . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\in X}$ ${\displaystyle f(Y)\in Y}$

Поскольку существование функции выбора, когда — конечное множество , легко доказывается из аксиом 1–8 , AC имеет значение только для определенных бесконечных множеств . AC характеризуется как неконструктивный , поскольку он утверждает существование функции выбора, но ничего не говорит о том, как эта функция выбора должна быть «построена». ${\displaystyle X}$

Мотивация через кумулятивную иерархию

Одной из мотиваций аксиом ZFC является кумулятивная иерархия множеств, введенная Джоном фон Нейманом . ^[10] С этой точки зрения вселенная теории множеств строится поэтапно, с одним этапом для каждого порядкового числа . На этапе 0 множеств еще нет. На каждом следующем этапе множество добавляется к вселенной, если все его элементы были добавлены на предыдущих этапах. Таким образом, пустое множество добавляется на этапе 1, а множество, содержащее пустое множество, добавляется на этапе 2. ^[11] Коллекция всех множеств, полученных таким образом, на всех этапах, известна как V. Множества в V можно организовать в иерархию , назначив каждому множеству первый этап, на котором это множество было добавлено к V.

Доказуемо, что множество находится в V тогда и только тогда, когда множество является чистым и хорошо обоснованным . И V удовлетворяет всем аксиомам ZFC, если класс ординалов имеет соответствующие свойства отражения. Например, предположим, что множество x добавляется на этапе α, что означает, что каждый элемент x был добавлен на этапе, более раннем, чем α. Тогда каждое подмножество x также добавляется на этапе α (или до него), потому что все элементы любого подмножества x также были добавлены до этапа α. Это означает, что любое подмножество x , которое может построить аксиома разделения, добавляется на этапе α (или до него), и что powerset x будет добавлен на следующем этапе после α. ^[12]

Картина вселенной множеств, стратифицированных в кумулятивную иерархию, характерна для ZFC и связанных с ней аксиоматических теорий множеств, таких как теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (часто называемая NBG) и теория множеств Морса–Келли . Кумулятивная иерархия несовместима с другими теориями множеств, такими как Новые основания .

Можно изменить определение V так, чтобы на каждом этапе вместо добавления всех подмножеств объединения предыдущих этапов подмножества добавлялись только в том случае, если они определимы в определенном смысле. Это приводит к более «узкой» иерархии, которая дает конструируемую вселенную L , которая также удовлетворяет всем аксиомам ZFC, включая аксиому выбора. Независим от аксиом ZFC, является ли V  =  L . Хотя структура L более регулярна и хорошо себя ведет, чем структура  V , немногие математики утверждают, что  V =  L следует добавить в ZFC в качестве дополнительной « аксиомы конструируемости ».

Метаматематика

Виртуальные занятия

Правильные классы (коллекции математических объектов, определяемые свойством, общим для их членов, которые слишком велики, чтобы быть множествами) могут рассматриваться только косвенно в ZF (и, следовательно, ZFC). Альтернативой правильным классам, оставаясь в пределах ZF и ZFC, является конструкция нотации виртуальных классов , введенная Куайном (1969), где вся конструкция y ∈ { x | F x } просто определяется как F y . ^[13] Это обеспечивает простую нотацию для классов, которые могут содержать множества, но не обязательно сами являются множествами, при этом не привязываясь к онтологии классов (потому что нотация может быть синтаксически преобразована в ту, которая использует только множества). Подход Куайна основан на более раннем подходе Бернайса и Френкеля (1958). Виртуальные классы также используются в работах Леви (2002), Такеути и Заринга (1982) и в реализации ZFC в Metamath .

Конечная аксиоматизация

Схемы аксиом замены и разделения содержат бесконечно много экземпляров каждая. Монтегю (1961) включил результат, впервые доказанный в его докторской диссертации 1957 года: если ZFC непротиворечива, то невозможно аксиоматизировать ZFC, используя только конечное число аксиом. С другой стороны, теория множеств фон Неймана–Бернейса–Геделя (NBG) может быть конечно аксиоматизирована. Онтология NBG включает в себя как собственные классы , так и множества; множество — это любой класс, который может быть членом другого класса. NBG и ZFC являются эквивалентными теориями множеств в том смысле, что любая теорема, не упоминающая классы и доказуемая в одной теории, может быть доказана в другой.

Последовательность

Вторая теорема Гёделя о неполноте гласит, что рекурсивно аксиоматизируемая система, которая может интерпретировать арифметику Робинсона, может доказать свою собственную непротиворечивость, только если она непротиворечива. Более того, арифметику Робинсона можно интерпретировать в общей теории множеств , небольшом фрагменте ZFC. Следовательно, непротиворечивость ZFC не может быть доказана внутри самой ZFC (если только она на самом деле непротиворечива). Таким образом, в той степени, в которой ZFC отождествляется с обычной математикой, непротиворечивость ZFC не может быть продемонстрирована в обычной математике. Непротиворечивость ZFC следует из существования слабо недостижимого кардинала , который недоказуем в ZFC, если ZFC непротиворечива. Тем не менее, считается маловероятным, что ZFC таит в себе неожиданное противоречие; широко распространено мнение, что если бы ZFC была непротиворечивой, этот факт был бы раскрыт к настоящему времени. Одно можно сказать наверняка — ZFC невосприимчива к классическим парадоксам наивной теории множеств : парадоксу Рассела , парадоксу Бурали-Форти и парадоксу Кантора .

Abian & LaMacchia (1978) изучили подтеорию ZFC, состоящую из аксиом экстенсиональности, объединения, степенного множества, замены и выбора. Используя модели , они доказали непротиворечивость этой подтеории и доказали, что каждая из аксиом экстенсиональности, замены и степенного множества независима от четырех оставшихся аксиом этой подтеории. Если эта подтеория дополнена аксиомой бесконечности, каждая из аксиом объединения, выбора и бесконечности независима от пяти оставшихся аксиом. Поскольку существуют необоснованные модели, которые удовлетворяют каждой аксиоме ZFC, кроме аксиомы регулярности, эта аксиома независима от других аксиом ZFC.

Если ZFC непротиворечив, то он не может доказать существование недоступных кардиналов , которые требует теория категорий . Огромные множества такого рода возможны, если ZF дополняется аксиомой Тарского . ^[14] Предполагая, что аксиома превращает аксиомы бесконечности , мощности множества и выбора ( 7–9 выше  )  в теоремы.

Независимость

Многие важные утверждения независимы от ZFC . Независимость обычно доказывается с помощью форсинга , посредством чего показывается, что каждая счетная транзитивная модель ZFC (иногда дополненная большими кардинальными аксиомами ) может быть расширена для удовлетворения рассматриваемого утверждения. Затем показано другое расширение для удовлетворения отрицания утверждения. Доказательство независимости с помощью форсинга автоматически доказывает независимость от арифметических утверждений, других конкретных утверждений и больших кардинальных аксиом. Некоторые утверждения, независимые от ZFC, могут быть доказаны для выполнения в определенных внутренних моделях , например, в конструктивной вселенной . Однако некоторые утверждения, которые верны относительно конструктивных множеств, не согласуются с предполагаемыми большими кардинальными аксиомами.

Принуждение доказывает, что следующие утверждения не зависят от ZFC:

• Аксиома конструктивности (V=L) (которая также не является аксиомой ZFC)
• Континуум-гипотеза
• Принцип алмаза
• Аксиома Мартина (которая не является аксиомой ZFC)
• гипотеза Суслина

Замечания:

• Согласованность V=L доказывается внутренними моделями , но не принудительно: каждую модель ZF можно обрезать, чтобы она стала моделью ZFC + V=L.
• Принцип алмаза подразумевает гипотезу континуума и отрицание гипотезы Суслина.
• Аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума подразумевают гипотезу Суслина.
• Конструируемая вселенная удовлетворяет обобщенной гипотезе континуума , принципу алмаза, аксиоме Мартина и гипотезе Курепы.
• Несостоятельность гипотезы Курепы равнозначна существованию строго недостижимого кардинала .

Вариация метода принуждения может также использоваться для демонстрации согласованности и недоказуемости аксиомы выбора , т. е. того, что аксиома выбора независима от ZF. Согласованность выбора может быть (относительно) легко проверена путем доказательства того, что внутренняя модель L удовлетворяет выбору. (Таким образом, каждая модель ZF содержит подмодель ZFC, так что Con(ZF) подразумевает Con(ZFC).) Поскольку принуждение сохраняет выбор, мы не можем напрямую создать модель, противоречащую выбору, из модели, удовлетворяющей выбору. Однако мы можем использовать принуждение для создания модели, которая содержит подходящую подмодель, а именно удовлетворяющую ZF, но не C.

Другой метод доказательства независимости результатов, не имеющий ничего общего с форсингом, основан на второй теореме Гёделя о неполноте. Этот подход использует утверждение, независимость которого проверяется, для доказательства существования модели множеств ZFC, в этом случае Con(ZFC) является истинным. Поскольку ZFC удовлетворяет условиям второй теоремы Гёделя, непротиворечивость ZFC недоказуема в ZFC (при условии, что ZFC на самом деле непротиворечива). Следовательно, ни одно утверждение, допускающее такое доказательство, не может быть доказано в ZFC. Этот метод может доказать, что существование больших кардиналов недоказуемо в ZFC, но не может доказать, что предположение таких кардиналов, учитывая ZFC, свободно от противоречий.

Предлагаемые дополнения

Проект по объединению теоретиков множеств вокруг дополнительных аксиом для разрешения гипотезы континуума или других метаматематических неоднозначностей иногда называют «программой Гёделя». ^[15] Математики в настоящее время спорят о том, какие аксиомы являются наиболее правдоподобными или «самоочевидными», какие аксиомы являются наиболее полезными в различных областях, и о том, в какой степени полезность должна быть уравновешена правдоподобием; некоторые теоретики множеств « мультивселенной » утверждают, что полезность должна быть единственным конечным критерием, в котором аксиомы обычно принимаются. Одна школа мысли опирается на расширение «итеративной» концепции множества для создания теоретико-множественной вселенной с интересной и сложной, но разумно поддающейся обработке структурой путем принятия принудительных аксиом; другая школа выступает за более аккуратную, менее загроможденную вселенную, возможно, сосредоточенную на «основной» внутренней модели. ^[16]

Критика

ZFC подвергался критике как за чрезмерную силу, так и за чрезмерную слабость, а также за неспособность охватить такие объекты, как собственные классы и универсальное множество .

Многие математические теоремы могут быть доказаны в гораздо более слабых системах, чем ZFC, таких как арифметика Пеано и арифметика второго порядка (как это исследовано программой обратной математики ). Сондерс Маклейн и Соломон Феферман оба указали на это. Часть «основной математики» (математики, не связанной напрямую с аксиоматической теорией множеств) выходит за рамки арифметики Пеано и арифметики второго порядка, но все же вся такая математика может быть выполнена в ZC ( теория множеств Цермело с выбором), еще одной теории, более слабой, чем ZFC. Большая часть силы ZFC, включая аксиому регулярности и схему аксиом замены, включена в первую очередь для облегчения изучения самой теории множеств.

С другой стороны, среди аксиоматических теорий множеств ZFC сравнительно слаба. В отличие от New Foundations , ZFC не допускает существования универсального множества. Следовательно, вселенная множеств в ZFC не замкнута относительно элементарных операций алгебры множеств . В отличие от теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (NBG) и теории множеств Морса–Келли (MK), ZFC не допускает существования собственных классов . Еще одна сравнительная слабость ZFC заключается в том, что аксиома выбора, включенная в ZFC, слабее аксиомы глобального выбора, включенной в NBG и MK.

Существует множество математических утверждений, независимых от ZFC . К ним относятся гипотеза континуума , проблема Уайтхеда и гипотеза о нормальном пространстве Мура . Некоторые из этих гипотез доказуемы с добавлением аксиом, таких как аксиома Мартина или большие кардинальные аксиомы к ZFC. Некоторые другие решаются в ZF+AD, где AD — аксиома определенности , сильное предположение, несовместимое с выбором. Одной из привлекательных сторон больших кардинальных аксиом является то, что они позволяют устанавливать многие результаты из ZF+AD в ZFC, присоединенные к некоторой большой кардинальной аксиоме. Система Мицара и метаматематика приняли теорию множеств Тарского–Гротендика , расширение ZFC, так что доказательства, включающие вселенные Гротендика (встречающиеся в теории категорий и алгебраической геометрии), могут быть формализованы.

Смотрите также

• Основы математики
• Внутренняя модель
• Большая кардинальная аксиома

Связанные аксиоматические теории множеств :

• Теория множеств Морса–Келли
• Теория множеств фон Неймана–Бернайса–Гёделя
• Теория множеств Тарского–Гротендика
• Конструктивная теория множеств
• Теория внутренних множеств

Примечания

1. Ciesielski 1997, стр. 4: «Аксиомы Цермело-Френкеля (сокращенно ZFC, где C обозначает аксиому выбора)»
2. Кунен 2007, стр. 10
3. Эббингауз 2007, стр. 136.
4. Halbeisen 2011, стр. 62–63.
5. Френкель, Бар-Гилель и Леви, 1973 г.
6. Кунен 1980, стр. 10.
7. Хэтчер 1982, стр. 138, определение 1.
8. Френкель, Бар-Гилель и Леви 1973.
9. Шенфилд 2001, стр. 239.
10. Шенфилд 1977, раздел 2.
11. Хинман 2005, стр. 467.
12. Полное доказательство того, что V удовлетворяет ZFC, см. в работе Шенфилда (1977).
13. Ссылка 2014
14. Тарский 1939.
15. Феферман 1996.
16. Вулховер 2013.

Библиография

• Абиан, Александр (1965). Теория множеств и трансфинитная арифметика . У. Б. Сондерс.
• ———; LaMacchia, Samuel (1978). «О согласованности и независимости некоторых аксиом теории множеств». Notre Dame Journal of Formal Logic . 19 : 155–58. doi : 10.1305/ndjfl/1093888220 .
• Бернайс, Пол; Френкель, АА (1958). Аксиоматическая теория множеств . Амстердам: Северная Голландия.
• Ciesielski, Krzysztof (1997). Теория множеств для практикующего математика. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59441-3.
• Девлин, Кит (1996) [Впервые опубликовано в 1984]. Радость множеств . Springer .
• Эббингауз, Хайнц-Дитер (2007). Эрнст Цермело: Подход к его жизни и творчеству . Springer. ISBN 978-3-540-49551-2.
• Феферман, Соломон (1996). «Программа Гёделя для новых аксиом: почему, где, как и что?». В Hájek, Petr (ред.). Гёдель '96: Логические основы математики, компьютерной науки и физики – наследие Курта Гёделя. Springer-Verlag. стр. 3–22. ISBN 3-540-61434-6..
• Френкель, Авраам ; Бар-Хиллель, Иегошуа ; Леви, Азриэль (1973) [Впервые опубликовано в 1958 году]. Основы теории множеств . Северная Голландия .Последнее слово Френкеля о ZF и ZFC.
• Halbeisen, Lorenz J. (2011). Комбинаторная теория множеств: с легким введением в принуждение. Springer. стр. 62–63. ISBN 978-1-4471-2172-5.
• Хэтчер, Уильям (1982) [Впервые опубликовано в 1968]. Логические основы математики . Pergamon Press .
• ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: Учебник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета .Включает аннотированные английские переводы классических статей Цермело , Френкеля и Сколема, посвященных ZFC .
• Хинман, Питер (2005). Основы математической логики . AK Peters . ISBN 978-1-56881-262-5.
• Jech, Thomas (2003). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Elsevier . ISBN 0-444-86839-9.
• Кунен, Кеннет (29 октября 2007 г.). Основы математики (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 7 сентября 2023 г.
• Леви, Азриэль (2002). Базовая теория множеств . Dover Publications. ISBN 048642079-5.
• Линк, Годехард (2014). Формализм и дальше: о природе математического дискурса . Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-1-61451-829-7.
• Монтегю, Ричард (1961). «Семантическая замкнутость и неконечная аксиоматизируемость». Infinistic Methods . Лондон: Pergamon Press. С. 45–69.
• Куайн, Уиллард ван Орман (1969). Теория множеств и ее логика (пересмотренное издание). Кембридж, Массачусетс и Лондон, Англия: Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 0-674-80207-1.
• Шенфилд, Джозеф Р. (1977). "Аксиомы теории множеств". В Barwise, KJ (ред.). Справочник по математической логике . North-Holland Publishing Company. ISBN 0-7204-2285-X.
• Шенфилд, Джозеф Р. (2001) [Впервые опубликовано в 1967]. Математическая логика (2-е изд.). AK Peters . ISBN 978-1-56881-135-2.
• Suppes, Patrick (1972) [Впервые опубликовано в 1960]. Аксиоматическая теория множеств . Переиздание Dover.
• Такеути, Гаиси ; Заринг, В. М. (1971). Введение в аксиоматическую теорию множеств . Springer-Verlag .
• Takeuti, Gaisi; Zaring, WM (1982). Введение в аксиоматическую теорию множеств . Springer. ISBN 9780387906836.
• Тарский, Альфред (1939). «О вполне упорядоченных подмножествах любого множества». Fundamenta Mathematicae . 32 : 176–83. doi : 10.4064/fm-32-1-176-783 .
• Тайлз, Мэри (1989). Философия теории множеств . Переиздание Дувра.
• Турлакис, Джордж (2003). Лекции по логике и теории множеств, т. 2. Cambridge University Press .
• Вулховер, Натали (2013). «Чтобы разрешить спор о бесконечности, новый закон логики». Журнал Quanta ..
• Цермело, Эрнст (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I». Математические Аннален . 65 (2): 261–281. дои : 10.1007/BF01449999. S2CID  120085563.Перевод на английский язык в Heijenoort, Jean van (1967). "Исследования по основам теории множеств". От Фреге до Гёделя: первоисточник по математической логике, 1879–1931 . Первоисточники по истории наук. Harvard University Press. С. 199–215. ISBN 978-0-674-32449-7.
• Цермело, Эрнст (1930). «Über Grenzzahlen und Mengenbereiche». Фундамента Математика . 16 : 29–47. дои : 10.4064/fm-16-1-29-47 . ISSN  0016-2736.

Внешние ссылки

• Аксиомы теории множеств - Lec 02 - Фредерик Шуллер на YouTube
• «ZFC», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Статьи Джоан Багарии из Стэнфордской энциклопедии философии :
  • Багария, Джоан (31 января 2023 г.). «Теория множеств». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
  • — (31 января 2023 г.). «Аксиомы теории множеств Цермело–Френкеля». В — (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Метаматическая версия аксиом ZFC — краткая и неизбыточная аксиоматизация. Фоновая логика первого порядка определена специально для облегчения машинной проверки доказательств.
  • Вывод в Metamath версии схемы разделения из версии схемы замены.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теория множеств Цермело-Френкеля». MathWorld .