Выпуклая кривая

Тип плоской кривой

Выпуклая кривая (черная) образует связное подмножество границы выпуклого множества (синего) и имеет опорную линию (красную), проходящую через каждую из ее точек.

Парабола , выпуклая кривая , которая является графиком выпуклой функции. ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

В геометрии выпуклая кривая — это плоская кривая , которая имеет опорную линию , проходящую через каждую из ее точек. Существует много других эквивалентных определений этих кривых, восходящих к Архимеду . Примерами выпуклых кривых являются выпуклые многоугольники , границы выпуклых множеств и графики выпуклых функций . Важные подклассы выпуклых кривых включают замкнутые выпуклые кривые (границы ограниченных выпуклых множеств), гладкие кривые , которые являются выпуклыми, и строго выпуклые кривые, которые обладают дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждая опорная линия проходит через единственную точку кривой.

Ограниченные выпуклые кривые имеют четко определенную длину, которую можно получить, аппроксимируя их многоугольниками или из средней длины их проекций на линию. Максимальное количество точек сетки, которые могут принадлежать одной кривой, контролируется ее длиной. Точки, в которых выпуклая кривая имеет уникальную опорную линию , плотны внутри кривой, и расстояние этих линий от начала координат определяет непрерывную опорную функцию . Гладкая простая замкнутая кривая является выпуклой тогда и только тогда, когда ее кривизна имеет постоянный знак, что происходит тогда и только тогда, когда ее полная кривизна равна ее полной абсолютной кривизне .

Определения

Архимед в своей работе «О сфере и цилиндре » определяет выпуклые дуги как плоские кривые, которые лежат по одну сторону от прямой, проходящей через их две конечные точки, и для которых все хорды касаются одной и той же стороны кривой. ^[1] Это, возможно, было первым формальным определением любого понятия выпуклости, хотя выпуклые многоугольники и выпуклые многогранники были известны уже задолго до Архимеда. ^[2] В течение следующих двух тысячелетий выпуклость изучалась мало: ^[2] ее глубокое исследование возобновилось только в 19 веке, ^[3] когда Огюстен-Луи Коши и другие начали использовать математический анализ вместо алгебраических методов , чтобы поставить исчисление на более строгую основу. ^{[1] [2]}

Возможны многие другие эквивалентные определения для выпуклых кривых, как подробно описано ниже. Выпуклые кривые также определяются их опорными линиями, множествами, границы которых они образуют, и их пересечениями с линиями. Чтобы отличить замкнутые выпуклые кривые от кривых, которые не являются замкнутыми, замкнутые выпуклые кривые иногда также называются выпуклыми петлями , а выпуклые кривые, которые не являются замкнутыми, также называются выпуклыми дугами . ^[4]

Концепции фона

Плоская кривая — это изображение любой непрерывной функции из интервала в евклидову плоскость . Интуитивно, это набор точек, которые можно вычертить движущейся точкой. Более конкретно, гладкие кривые , как правило, по крайней мере требуют, чтобы функция из интервала в плоскость была непрерывно дифференцируемой , и в некоторых контекстах определяются как требующие более высоких производных. Функция, параметризующая гладкую кривую, часто предполагается регулярной , что означает, что ее производная остается вдали от нуля; интуитивно, движущаяся точка никогда не замедляется до остановки или не меняет направление. Каждая внутренняя точка гладкой кривой имеет касательную линию . Если, кроме того, вторая производная существует везде, то каждая из этих точек имеет четко определенную кривизну . ^[5]

Плоская кривая замкнута , если две конечные точки интервала отображаются в одну и ту же точку на плоскости, и проста, если никакие другие две точки не совпадают. ^[5] Реже простую плоскую кривую можно назвать открытой , если она топологически эквивалентна прямой, не имеет конечной точки и не образует никакой предельной точки, которая ей не принадлежит, и делит плоскость на две неограниченные области. ^[6] Однако эта терминология неоднозначна, поскольку другие источники называют кривую с двумя различными конечными точками открытой кривой. ^[7] Здесь мы используем топологическое линейное значение открытой кривой.

Вспомогательные линии

Опорная линия — это линия, содержащая по крайней мере одну точку кривой, для которой кривая содержится в одной из двух полуплоскостей , ограниченных линией. Плоская кривая называется выпуклой , если она имеет опорную линию, проходящую через каждую из ее точек. ^{[8] [9]} Например, график выпуклой функции имеет опорную линию под графиком, проходящую через каждую из ее точек. Более того, в точках, где функция имеет производную, существует ровно одна опорная линия — касательная линия . ^[10]

Опорные линии и касательные линии — это не одно и то же, ^[11] но для выпуклых кривых каждая касательная линия является опорной линией. ^[8] В точке кривой, где существует касательная линия, может быть только одна опорная линия, касательная линия. ^[12] Следовательно, гладкая кривая является выпуклой, если она лежит по одну сторону от каждой из своих касательных линий. Это можно использовать как эквивалентное определение выпуклости для гладких кривых или, в более общем смысле, для кусочно- гладких кривых. ^{[13] [a]}

Границы выпуклых множеств

Выпуклая кривая может быть альтернативно определена как связное подмножество границы выпуклого множества в евклидовой плоскости . ^{[8] [9]} Не каждое выпуклое множество имеет связную границу, ^[b] но когда это так, вся граница является примером выпуклой кривой. Когда ограниченное выпуклое множество в плоскости не является отрезком прямой, его граница образует простую замкнутую выпуклую кривую. ^[16] По теореме Жордана о кривой простая замкнутая кривая делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, и другое эквивалентное определение замкнутой выпуклой кривой состоит в том, что это простая замкнутая кривая, объединение которой с ее внутренней частью является выпуклым множеством. ^{[9] [17]} Примерами открытых и неограниченных выпуклых кривых являются графики выпуклых функций. Опять же, это границы выпуклых множеств, надграфики тех же функций. ^[18]

Это определение эквивалентно определению выпуклых кривых из опорных линий. Каждая выпуклая кривая, определяемая как кривая с опорной линией, проходящей через каждую точку, является подмножеством границы своей собственной выпуклой оболочки . Каждое связное подмножество границы выпуклого множества имеет опорную линию, проходящую через каждую его точку. ^{[8] [9] [19]}

Пересечение с линиями

Четыре пересечения прямой и выпуклой кривой (в данном случае пятиугольника), сверху вниз: пустое множество, одна точка, две точки и интервал.

Для выпуклой кривой каждая линия на плоскости пересекает кривую одним из четырех способов: ее пересечение может быть пустым множеством, одной точкой, парой точек или интервалом. В случаях, когда замкнутая кривая пересекается в одной точке или интервале, линия является опорной линией. Это можно использовать как альтернативное определение выпуклых кривых: это кривые Жордана (связанные простые кривые), для которых каждое пересечение с линией имеет один из этих четырех типов. Это определение можно использовать для обобщения выпуклых кривых из евклидовой плоскости на некоторые другие линейные пространства, такие как действительная проективная плоскость . В этих пространствах, как и в евклидовой плоскости, любая кривая с только этими ограниченными пересечениями линий имеет опорную линию для каждой точки. ^[20]

Строгая выпуклость

Строго выпуклые кривые снова имеют много эквивалентных определений. Это выпуклые кривые, которые не содержат никаких отрезков прямых . ^[21] Это кривые, для которых каждое пересечение кривой с прямой состоит не более чем из двух точек. ^[20] Это кривые, которые могут быть образованы как связное подмножество границы строго выпуклого множества . ^[22] Здесь множество строго выпукло, если каждая точка его границы является крайней точкой множества, единственным максимизатором некоторой линейной функции. ^[23] Как границы строго выпуклых множеств, это кривые, которые лежат в выпуклом положении , что означает, что ни одна из их точек не может быть выпуклой комбинацией любого другого подмножества его точек. ^[24]

Замкнутые строго выпуклые кривые можно определить как простые замкнутые кривые, которые локально эквивалентны (при соответствующем преобразовании координат) графикам строго выпуклых функций. Это означает, что в каждой точке кривой существует окрестность точек и система декартовых координат внутри этой окрестности, такая, что внутри этой окрестности кривая совпадает с графиком строго выпуклой функции. ^{[25] [c]}

Симметрия

Овал с горизонтальной осью симметрии

Гладкие замкнутые выпуклые кривые с осью симметрии , такие как эллипс или яйцо Мосса , иногда могут называться овалами . ^[28] Однако это же слово также использовалось для описания множеств, для которых каждая точка имеет уникальную линию, не пересекающуюся с остальной частью множества, особенно в контексте овалов в конечной проективной геометрии . В евклидовой геометрии это гладкие строго выпуклые замкнутые кривые, без какого-либо требования симметрии. ^[20]

Характеристики

Длина и площадь

Каждая ограниченная выпуклая кривая является спрямляемой кривой , что означает, что она имеет четко определенную конечную длину дуги , и может быть аппроксимирована по длине последовательностью вписанных многоугольных цепей . Для замкнутых выпуклых кривых длина может быть задана формой формулы Крофтона как умноженная на среднюю длину ее проекций на линии. ^[8] Также возможно аппроксимировать площадь выпуклой оболочки выпуклой кривой последовательностью вписанных выпуклых многоугольников . Для любого целого числа наиболее точный аппроксимирующий -угольник обладает тем свойством, что каждая вершина имеет опорную линию, параллельную линии, проходящей через ее две соседние вершины. ^[29] Как уже знал Архимед, если две выпуклые кривые имеют одну и ту же конечную точку, и одна из двух кривых лежит между другой и линией, проходящей через их конечные точки, то внутренняя кривая короче внешней. ^[2] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Согласно теореме Ньютона об овалах , площадь, отсекаемая от бесконечно дифференцируемой выпуклой кривой прямой, не может быть алгебраической функцией коэффициентов прямой. ^[30]

Гладкая выпуклая кривая, проходящая через 13 целочисленных точек решетки

Строго выпуклая кривая не может проходить через множество точек целочисленной решетки . Если кривая имеет длину , то согласно теореме Войтеха Ярника , число точек решетки, через которые она может пройти, не превышает Поскольку эта оценка использует большую нотацию O , она точна только в предельном случае больших длин. Ни ведущая константа, ни показатель степени в погрешности не могут быть улучшены. ^[31] ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{3}]{2\pi }}}L^{2/3}+O(L^{1/3}).}$$

Опорные линии и опорная функция

Выпуклая кривая может иметь не более счетного множества особых точек , где она имеет более одной опорной линии. Все оставшиеся точки должны быть неособыми, и единственная опорная линия в этих точках обязательно является касательной. Это подразумевает, что неособые точки образуют плотное множество в кривой. ^{[10] [32]} Также возможно построить выпуклые кривые, для которых особые точки являются плотными. ^[19]

Замкнутая строго выпуклая замкнутая кривая имеет непрерывную опорную функцию , отображающую каждое направление опорных линий на их знаковое расстояние от начала координат. Это пример ежа , типа кривой, определяемой как огибающая системы линий с непрерывной опорной функцией. Ежи также включают невыпуклые кривые, такие как астроида , и даже самопересекающиеся кривые, но гладкие строго выпуклые кривые являются единственными ежами, которые не имеют особых точек. ^[33]

Невозможно, чтобы выпуклая кривая имела три параллельные касательные линии. Более строго, гладкая замкнутая кривая является выпуклой тогда и только тогда, когда она не имеет трех параллельных касательных линий. В одном направлении середина любых трех параллельных касательных линий разделяла бы точки касания двух других линий, поэтому она не могла бы быть линией поддержки. Не могло бы быть никакой другой линии поддержки через ее точку касания, поэтому кривая, касательная к этим трем линиям, не могла бы быть выпуклой. В другом направлении невыпуклая гладкая замкнутая кривая имеет по крайней мере одну точку без линии поддержки. Касательная линия, проходящая через эту точку, и две касательные опорные линии, параллельные ей, образуют набор из трех параллельных касательных линий. ^{[13] [d]}

Кривизна

Эллипс (красный) и его эволюта ( синий), геометрическое место его центров кривизны. Четыре отмеченные вершины эллипса соответствуют четырем точкам возврата эволюты.

Согласно теореме о четырех вершинах , каждая гладкая замкнутая кривая имеет по крайней мере четыре вершины , точки, которые являются локальными минимумами или локальными максимумами кривизны . ^[36] Первоначальное доказательство теоремы, данное Шьямадасом Мукхопадхьяей в 1909 году, рассматривало только выпуклые кривые; ^[37] позднее оно было распространено на все гладкие замкнутые кривые. ^[36]

Кривизна может быть использована для характеристики гладких замкнутых кривых, которые являются выпуклыми. ^[13] Кривизна зависит тривиальным образом от параметризации кривой: если регулярная параметризация кривой меняется на обратную, получается тот же набор точек, но ее кривизна отрицается . ^[5] Гладкая простая замкнутая кривая с регулярной параметризацией является выпуклой тогда и только тогда, когда ее кривизна имеет постоянный знак: всегда неотрицательный или всегда неположительный. ^{[13] [e]} Каждая гладкая простая замкнутая кривая со строго положительной (или строго отрицательной) кривизной является строго выпуклой, но некоторые строго выпуклые кривые могут иметь точки с нулевой кривизной. ^[39]

Полная абсолютная кривизна гладкой выпуклой кривой не более . Это точно для замкнутых выпуклых кривых, равно полной кривизне этих кривых и любой простой замкнутой кривой. Для выпуклых кривых равенство полной абсолютной кривизны и полной кривизны следует из того факта, что кривизна имеет постоянный знак. Для замкнутых кривых, которые не являются выпуклыми, полная абсолютная кривизна всегда больше , и ее избыток может использоваться как мера того, насколько далека от выпуклости кривая. В более общем смысле, по теореме Фенхеля полная абсолютная кривизна замкнутой гладкой пространственной кривой не менее , с равенством только для выпуклых плоских кривых. ^{[40] [41]} $${\displaystyle \int |\kappa (s)|ds,}$$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

По теореме Александрова , негладкая выпуклая кривая имеет вторую производную, и, следовательно, хорошо определенную кривизну, почти всюду . Это означает, что подмножество точек без второй производной имеет меру ноль на кривой. Однако, в других смыслах, множество точек со второй производной может быть малым. В частности, для графиков общих негладких выпуклых функций, это тощее множество , то есть счетное объединение нигде не плотных множеств . ^[42]

Вписанные многоугольники

Граница любого выпуклого многоугольника образует выпуклую кривую (то есть кусочно-линейную кривую , а не строго выпуклую). Многоугольник, вписанный в любую строго выпуклую кривую, с вершинами, расположенными вдоль кривой, должен быть выпуклым многоугольником. ^[43]

Проблема вписанного квадрата — это проблема доказательства того, что каждая простая замкнутая кривая на плоскости содержит четыре угла квадрата. Хотя она все еще не решена в общем случае, ее решенные случаи включают выпуклые кривые. ^[44] В связи с этой проблемой были изучены связанные проблемы нахождения вписанных четырехугольников для выпуклых кривых. Масштабированная и повернутая копия любого прямоугольника или трапеции может быть вписана в любую заданную замкнутую выпуклую кривую. Когда кривая гладкая, масштабированная и повернутая копия любого вписанного четырехугольника может быть вписана в нее. Однако предположение о гладкости необходимо для этого результата, потому что некоторые прямые воздушные змеи не могут быть вписаны в некоторые тупоугольные равнобедренные треугольники . ^{[45] [46]} Правильные многоугольники с более чем четырьмя сторонами не могут быть вписаны во все замкнутые выпуклые кривые, потому что кривая, образованная полукругом и его диаметром, не содержит ни одного из этих многоугольников. ^[47]

Смотрите также

• Выпуклая поверхность , многомерное обобщение выпуклых кривых
• Список тем по выпуклости

Примечания

1. Предположение о гладкости необходимо при определении выпуклых кривых с помощью касательных линий. Существуют фрактальные кривые и даже графики непрерывных функций , которые не имеют никаких касательных линий, даже вертикальных или односторонних касательных. ^[14] Для этих кривых бессодержательно верно , что они лежат по одну сторону каждой касательной линии, но они не выпуклы.
2. Для плиты , области между двумя параллельными линиями, границей являются две ее определяющие линии. ^[15]
3. Многие спирали также локально выпуклы, но не образуют замкнутых кривых. ^{[9] [26]} Невыпуклые многоугольники — это замкнутые кривые, которые локально эквивалентны графикам кусочно-линейных выпуклых функций, но эти функции не являются строго выпуклыми. ^[27]
4. Существуют гладкие открытые кривые, которые не имеют трех параллельных касательных, но не являются выпуклыми; график любого кубического многочлена является примером. Для графика функции наклон любой касательной является производной функции в этой точке, ^[34] и поскольку производная кубического многочлена является квадратичным многочленом, она производит любой заданный наклон не более двух раз. ^[35]
5. Некоторые не простые замкнутые кривые, такие как розы, также имеют согласованные кривизны. ^[38]

Ссылки

1. Fenchel, W. (1983), «Выпуклость сквозь века», в Gruber, Peter M. ; Wills, Jörg M. (ред.), Выпуклость и ее применение , Базель: Birkhäuser , стр. 120–130, doi :10.1007/978-3-0348-5858-8_6, ISBN 978-3-0348-5860-1, МР  0731109
2. Двилевич, Роман Дж. (2009), «Краткая история выпуклости» (PDF) , Дифференциальная геометрия—Динамические системы , 11 : 112–129, MR  2533649
3. Грубер, Питер М. (1993), «История выпуклости», в Грубер, Питер М. (ред.), Справочник по выпуклой геометрии, том A , Амстердам: Северная Голландия, стр. 1–15, ISBN 0-444-89598-1
4. Странцен, Джон; Брукс, Джефф (1992), «Отображение растяжения хорды выпуклой петли является изометрией», Geometriae Dedicata , 41 (1): 51–62, doi :10.1007/BF00181542, MR  1147501, S2CID  121294001
5. Banchoff, Thomas F. ; Lovett, Stephen T. (2016), «Глава 1: Плоские кривые: локальные свойства», Differential Geometry of Curves and Surfaces (2-е изд.), CRC Press, стр. 1–46, ISBN 978-1-4822-4737-4
6. Мур, Роберт Л. (1920), «О простых непрерывных кривых», Труды Американского математического общества , 21 (3): 333–347, doi : 10.2307/1988935 , JSTOR  1988935, MR  1501148
7. Веблен, Освальд (1931), Кембриджский коллоквиум, 1916, Часть II: Analysis Situs, Лекции коллоквиума, т. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 3
8. Топоногов, Виктор А. (2006), "1.5 Проблемы: выпуклые плоские кривые", в Ровенский, Владимир Ю. (ред.), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: краткое руководство , Биркхойзер, стр. 15–19, doi :10.1007/b137116, ISBN 978-0-8176-4402-4
9. Латецкий, Лонгин Ян; Розенфельд, Азриэль (март 1998), "Поддерживаемость и управляемость дифференциальной геометрии плоских кривых" (PDF) , Распознавание образов , 31 (5): 607–622, Bibcode :1998PatRe..31..607L, doi :10.1016/s0031-3203(97)00071-x
10. Бурбаки, Николас (2004), Функции действительной переменной: Элементарная теория, Элементы математики, перевод: Испания, Филипп, Берлин: Springer-Verlag , стр. 29, doi :10.1007/978-3-642-59315-4, ISBN 3-540-65340-6, МР  2013000
11. Радемахер, Ганс ; Теплиц, Отто (1994), Удовольствие от математики, Научная библиотека Принстона , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. 164, ISBN 0-691-02351-4, МР  1300411
12. Эпштейн, Чарльз Л. (2008), Введение в математику медицинской визуализации (2-е изд.), Общество промышленной и прикладной математики , стр. 17, ISBN 978-0-89871-779-2
13. Грей, Альфред ; Аббена, Эльза; Саламон, Саймон (2006), «6.4 Выпуклые плоские кривые», Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica (3-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press , стр. 164–166, ISBN 978-1-58488-448-4; обратите внимание, что (согласно Определению 1.5, стр. 5) этот источник предполагает, что все описываемые им кривые являются кусочно-гладкими.
14. Ciesielski, Krzysztof Chris (2022), «Непрерывные отображения, не допускающие касательных линий: столетие функций Безиковича», The American Mathematical Monthly , 129 (7): 647–659, doi : 10.1080/00029890.2022.2071562, MR  4457737, S2CID  249140750
15. Препарата, Франко П.; Шамос , Майкл Ян (1985), "2.2.2.1 Метод плит", Вычислительная геометрия: Введение , Нью-Йорк: Springer, стр. 45–48, doi :10.1007/978-1-4612-1098-6, ISBN 978-1-4612-7010-2, S2CID  206656565
16. Латецкий, Лонгин Ян (1998), «Основные определения и предложения», Дискретное представление пространственных объектов в компьютерном зрении , Computational Imaging and Vision, т. 11, Springer Netherlands , стр. 33–43, doi :10.1007/978-94-015-9002-0_2, ISBN 978-90-481-4982-7
17. Банчофф и Ловетт (2016), стр. 65.
18. Бринкхейс, Ян (2020), «Выпуклые функции: основные свойства», Выпуклый анализ для оптимизации , Graduate Texts in Operations Research, Springer International Publishing, стр. 123–149, doi : 10.1007/978-3-030-41804-5_5, ISBN 978-3-030-41804-5, S2CID  218921797
19. Hug, Daniel; Weil, Wolfgang (2020), Лекции по выпуклой геометрии , Graduate Texts in Mathematics , т. 286, Cham: Springer, doi : 10.1007/978-3-030-50180-8, ISBN 978-3-030-50180-8, MR  4180684, S2CID  226548863; см. в частности теорему 1.16 (теорема о поддержке), стр. 27, и упражнение 16, стр. 60
20. Полстер, Буркард ; Штайнке, Гюнтер (2001), "2.2.1 Выпуклые кривые, дуги и овалы", Геометрия на поверхностях , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 84, Cambridge University Press , стр. 31–34, doi :10.1017/CBO9780511549656, ISBN 0-521-66058-0, г-н  1889925
21. Маэхара, Хироши (2015), «Повторная задача о точке круговой решетки», Дискретная математика , 338 (3): 164–167, doi : 10.1016/j.disc.2014.11.004 , MR  3291879
22. Хартманн, Эрих; Фэн, Ю Ю (1993), «О выпуклости функциональных сплайнов», Computer Aided Geometric Design , 10 (2): 127–142, doi :10.1016/0167-8396(93)90016-V, MR  1213308
23. Ха, Труонг Суан Дык; Ян, Йоханнес (2019), «Характеристики строго выпуклых множеств по уникальности опорных точек», Оптимизация , 68 (7): 1321–1335, doi :10.1080/02331934.2018.1476513, MR  3985200, S2CID  126177709
24. Гарибальди, Джулия; Иосевич, Алекс; Сенгер, Стивен (2011), Задача о расстоянии Эрдёша , Студенческая математическая библиотека, т. 56, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 51, doi : 10.1090/stml/056, ISBN 978-0-8218-5281-1, г-н  2721878
25. Риччи, Фульвио; Травальини, Джанкарло (2001), «Выпуклые кривые, преобразования Радона и операторы свертки, определяемые сингулярными мерами», Труды Американского математического общества , 129 (6): 1739–1744, doi : 10.1090/S0002-9939-00-05751-8 , MR  1814105
26. Умэхара, Масааки; Ямада, Котаро (2017), «Глава 4: Геометрия спиралей», Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing , стр. 40–49, doi : 10.1142/9901, ISBN 978-981-4740-23-4, г-н  3676571
27. Юринский, Вадим Владимирович (1995), "1.4.4 Кусочно-линейные функции и многогранники", Суммы и гауссовские векторы , Lecture Notes in Mathematics, т. 1617, Берлин и Гейдельберг: Springer, стр. 24–27, doi :10.1007/bfb0092599, ISBN 978-3-540-60311-5
28. Шварцман, Стивен (1994), Слова математики: Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке, MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 156, ISBN 9780883855119
29. Джонсон, Гарольд Х.; Фогт, Эндрю (1980), «Геометрический метод аппроксимации выпуклых дуг», SIAM Journal on Applied Mathematics , 38 (2): 317–325, doi :10.1137/0138027, MR  0564017
30. Арнольд, VI (1989), «Топологическое доказательство трансцендентности абелевых интегралов в «Началах» Ньютона», Историко-математические исследования (31): 7–17, ISSN  0136-0949, MR  0993175
31. Суиннертон-Дайер, HPF (1974), «Число точек решетки на выпуклой кривой», Журнал теории чисел , 6 (2): 128–135, Bibcode : 1974JNT.....6..128S, doi : 10.1016/0022-314X(74)90051-1 , MR  0337857
32. Какея, Соити (1915), «О некоторых свойствах выпуклых кривых и поверхностей», Tohoku Mathematical Journal , 8 : 218–221, JFM  45.1348.02
33. Мартинес-Мор, Ив (2001), «Фрактальный проективный ёж», Demonstratio Mathematica , 34 (1): 59–63, doi : 10.1515/dema-2001-0108 , MR  1823083, S2CID  118211962
34. Абрамсон, Джей (2014), «3.1 Определение производной», Precalculus, OpenStax
35. Хиггинс, Питер М. (2008), История чисел: от подсчета до криптографии, Лондон: Springer, стр. 179, doi :10.1007/978-1-84800-001-8, ISBN 978-1-84800-000-1
36. DeTurck, Dennis ; Gluck, Herman; Pomerleano, Daniel; Vick, David Shea (2007), «Теорема о четырех вершинах и ее обратная теорема» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 54 (2): 9268, arXiv : math/0609268
37. Мукхопадхьяя, С. (1909), «Новые методы в геометрии плоской дуги», Бюллетень Калькуттского математического общества , 1 : 21–27
38. Чеслак, Вальдемар; Зайоц, Юзеф (1986), «Розетки», Mathematica Scandinavica , 58 (1): 114–118, doi : 10.7146/math.scand.a-12133 , JSTOR  24491607, MR  0845490
39. Helton, J. William; Nie, Jiawang (2010), "Полуопределенное представление выпуклых множеств", Mathematical Programming , 122 (1, Ser. A): 21–64, arXiv : 0705.4068 , doi : 10.1007/s10107-008-0240-y, MR  2533752, S2CID  1352703
40. Чен, Банг-Йен (2000), «Римановы подмногообразия», в Диллен, Франки Дж. Э.; Верстрален, Леопольд К. А. (ред.), Справочник по дифференциальной геометрии, т. I , т. 1, Амстердам: Северная Голландия, стр. 187–418, doi :10.1016/S1874-5741(00)80006-0, ISBN 978-0-444-82240-6, г-н  1736854; см. в частности стр. 360
41. Банчофф и Ловетт (2016), стр. 108.
42. Грубер, Питер М. (2007), «2.2: Теорема Александрова о дифференцируемости второго порядка», Выпуклая и дискретная геометрия , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], том. 336, Берлин: Springer, стр. 27–32, ISBN. 978-3-540-71132-2, г-н  2335496
43. Милнор, Дж. У. (1950), «О полной кривизне узлов», Annals of Mathematics , вторая серия, 52 (2): 248–257, doi :10.2307/1969467, JSTOR  1969467, MR  0037509; см. обсуждение после теоремы 3.4 (теорема Фенхеля), стр. 254
44. Стромквист, Уолтер (1989), «Вписанные квадраты и квадратоподобные четырехугольники в замкнутых кривых», Mathematika , 36 (2): 187–197, doi :10.1112/S0025579300013061, MR  1045781
45. Акопян, Арсений; Аввакумов, Сергей (2018), "Любой вписанный четырехугольник может быть вписан в любую замкнутую выпуклую гладкую кривую", Forum of Mathematics , 6 : Paper No. e7, 9, arXiv : 1712.10205 , doi : 10.1017/fms.2018.7 , MR  3810027, S2CID  111377310
46. Matschke, Benjamin (2021), «Четырехугольники, вписанные в выпуклые кривые», Transactions of the American Mathematical Society , 374 (8): 5719–5738, arXiv : 1801.01945 , doi : 10.1090/tran/8359 , MR  4293786, S2CID  119174856
47. Джеррард, RP (1961), «Вписанные квадраты в плоские кривые», Труды Американского математического общества , 98 (2): 234–241, doi : 10.1090/s0002-9947-1961-0120604-3 , MR  0120604, S2CID  54091952