Векторные исчисления или векторный анализ — раздел математики, занимающийся дифференциацией и интеграцией векторных полей , в первую очередь в трехмерном евклидовом пространстве , [1] Термин векторное исчисление иногда используется как синоним более широкого предмета многомерного исчисления , которое охватывает векторное исчисление, а также частичное дифференцирование и множественное интегрирование . Векторные исчисления играют важную роль в дифференциальной геометрии и в изучении уравнений с частными производными . Они широко используются в физике и технике, особенно при описании электромагнитных полей , гравитационных полей и потоков жидкости .
Векторные исчисления были разработаны на основе теории кватернионов Дж . Уиллардом Гиббсом и Оливером Хевисайдом в конце 19-го века, а большая часть обозначений и терминологии была установлена Гиббсом и Эдвином Бидвеллом Уилсоном в их книге 1901 года Векторный анализ . В своей стандартной форме, использующей векторное произведение , векторное исчисление не обобщается на более высокие измерения, но альтернативный подход геометрической алгебры , который использует внешнее произведение , делает это (см. § Обобщения ниже для получения дополнительной информации).
Скалярное поле связывает скалярное значение с каждой точкой пространства. Скаляр — это математическое число, представляющее физическую величину . Примерами скалярных полей в приложениях являются распределение температуры в пространстве, распределение давления в жидкости и квантовые поля с нулевым спином (известные как скалярные бозоны ), такие как поле Хиггса . Эти поля являются предметом теории скалярного поля .
Векторные поля — это присвоение вектора каждой точке пространства . [ 2] Например, векторное поле на плоскости можно визуализировать как набор стрелок с заданной величиной и направлением, каждая из которых прикреплена к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в пространстве или силы и направления некоторой силы , такой как магнитная или гравитационная сила, когда она изменяется от точки к точке. Это можно использовать, например, для расчета работы, проделанной по линии.
В более продвинутых трактовках дополнительно различают псевдовекторные поля и псевдоскалярные поля, которые идентичны векторным полям и скалярным полям, за исключением того, что они меняют знак при отображении, меняющем ориентацию: например, ротор векторного поля является псевдовекторным полем, и если отразить векторное поле, ротор будет указывать в противоположном направлении. Это различие проясняется и разрабатывается в геометрической алгебре , как описано ниже.
Алгебраические (недифференциальные) операции в векторном исчислении называются векторной алгеброй , определяются для векторного пространства и затем применяются поточечно к векторному полю. Основные алгебраические операции состоят из:
Также широко используются два тройных продукта :
Векторные исчисления изучают различные дифференциальные операторы, определенные на скалярных или векторных полях, которые обычно выражаются в терминах оператора del ( ), также известного как «набла». Три основных векторных оператора : [3]
Также широко используются два оператора Лапласа:
Величина, называемая матрицей Якоби, полезна для изучения функций, когда и область определения, и область определения функции являются многомерными, например, при замене переменных во время интегрирования.
Три основных векторных оператора имеют соответствующие теоремы, которые обобщают фундаментальную теорему исчисления на более высокие измерения:
В двух измерениях теоремы о дивергенции и роторе сводятся к теореме Грина:
Линейные приближения используются для замены сложных функций линейными функциями, которые почти такие же. При наличии дифференцируемой функции f ( x , y ) с действительными значениями можно приблизить f ( x , y ) для ( x , y ) близких к ( a , b ) по формуле
Правая часть представляет собой уравнение плоскости, касательной к графику z = f ( x , y ) в точке ( a , b ) .
Для непрерывно дифференцируемой функции нескольких действительных переменных точка P (то есть набор значений входных переменных, рассматриваемый как точка в R n ) является критической , если все частные производные функции равны нулю в точке P , или, что то же самое, если ее градиент равен нулю. Критические значения — это значения функции в критических точках.
Если функция гладкая или, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируема, критическая точка может быть либо локальным максимумом , либо локальным минимумом , либо седловой точкой . Различные случаи можно различить, рассмотрев собственные значения матрицы Гессе вторых производных.
По теореме Ферма все локальные максимумы и минимумы дифференцируемой функции происходят в критических точках. Поэтому для нахождения локальных максимумов и минимумов теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях.
Векторную теорию исчисления можно также обобщить на другие трехмерные многообразия и пространства более высоких размерностей .
Вектор исчисления изначально определен для евклидова 3-пространства , которое имеет дополнительную структуру, выходящую за рамки того, чтобы быть просто 3-мерным вещественным векторным пространством, а именно: норма (дающая понятие длины), определяемая через внутреннее произведение ( скалярное произведение ), которое в свою очередь дает понятие угла, и ориентация , которая дает понятие левостороннего и правостороннего. Эти структуры порождают объемную форму , а также перекрестное произведение , которое широко используется в векторном исчислении.
Градиент и расхождение требуют только внутреннего произведения, тогда как ротор и векторное произведение также требуют учета направленности системы координат ( более подробную информацию см. в разделе Перекрестное произведение § Направленность ).
Векторные исчисления могут быть определены на других трехмерных действительных векторных пространствах, если они имеют скалярное произведение (или, в более общем случае, симметричную невырожденную форму ) и ориентацию; это требует меньше данных, чем изоморфизм евклидову пространству, поскольку не требует набора координат (системы отсчета), что отражает тот факт, что векторное исчисление инвариантно относительно вращений (специальная ортогональная группа SO(3) ).
В более общем смысле векторное исчисление может быть определено на любом 3-мерном ориентированном римановом многообразии или, в более общем смысле , псевдоримановом многообразии . Эта структура просто означает, что касательное пространство в каждой точке имеет скалярное произведение (в более общем смысле, симметричную невырожденную форму) и ориентацию, или, в более глобальном смысле, что существует симметричный невырожденный метрический тензор и ориентация, и работает, поскольку векторное исчисление определяется в терминах касательных векторов в каждой точке.
Большинство аналитических результатов легко понять в более общей форме, используя аппарат дифференциальной геометрии , подмножество которой образует векторное исчисление. Grad и div немедленно обобщаются на другие измерения, как и теорема о градиенте, теорема о дивергенции и Лапласиан (приводя к гармоническому анализу ), в то время как curl и cross product не обобщаются столь же напрямую.
С общей точки зрения, различные поля в (3-мерном) векторном исчислении единообразно рассматриваются как k -векторные поля: скалярные поля являются 0-векторными полями, векторные поля являются 1-векторными полями, псевдовекторные поля являются 2-векторными полями, а псевдоскалярные поля являются 3-векторными полями. В более высоких измерениях существуют дополнительные типы полей (скаляр, вектор, псевдовектор или псевдоскаляр, соответствующие 0 , 1 , n − 1 или n измерениям, что является исчерпывающим в измерении 3), поэтому нельзя работать только с (псевдо)скалярами и (псевдо)векторами.
В любом измерении, предполагая невырожденную форму, grad скалярной функции является векторным полем, а div векторного поля является скалярной функцией, но только в измерении 3 или 7 [4] (и, тривиально, в измерении 0 или 1) rot векторного поля является векторным полем, и только в 3 или 7 измерениях может быть определено векторное произведение (обобщения в других измерениях либо требуют, чтобы векторы давали 1 вектор, либо являются альтернативными алгебрами Ли , которые являются более общими антисимметричными билинейными произведениями). Обобщение grad и div, а также то, как rot может быть обобщен, подробно рассматривается в Curl § Обобщения ; короче говоря, rot векторного поля является бивекторным полем, которое можно интерпретировать как специальную ортогональную алгебру Ли бесконечно малых вращений; Однако его нельзя отождествить с векторным полем, поскольку измерения различаются: в трех измерениях существует 3 измерения вращений, но в четырех измерениях — 6 измерений вращений (и, в более общем смысле, измерения вращений в n измерениях).
Существует два важных альтернативных обобщения векторного исчисления. Первое, геометрическая алгебра , использует k -векторные поля вместо векторных полей (в 3 или менее измерениях каждое k -векторное поле можно идентифицировать со скалярной функцией или векторным полем, но это неверно в более высоких измерениях). Это заменяет векторное произведение, которое специфично для 3 измерений, беря два векторных поля и давая в качестве выхода векторное поле, на внешнее произведение , которое существует во всех измерениях и берет два векторных поля, давая в качестве выхода бивекторное (2-векторное) поле. Это произведение дает алгебры Клиффорда как алгебраическую структуру на векторных пространствах (с ориентацией и невырожденной формой). Геометрическая алгебра в основном используется в обобщениях физики и других прикладных областей на более высокие измерения.
Второе обобщение использует дифференциальные формы ( k -ковекторные поля) вместо векторных полей или k -векторных полей и широко используется в математике, особенно в дифференциальной геометрии , геометрической топологии и гармоническом анализе , в частности, приводя к теории Ходжа на ориентированных псевдоримановых многообразиях. С этой точки зрения grad, rot и div соответствуют внешним производным 0-форм, 1-форм и 2-форм соответственно, а ключевые теоремы векторного исчисления являются частными случаями общей формы теоремы Стокса .
С точки зрения обоих этих обобщений векторное исчисление неявно идентифицирует математически различные объекты, что упрощает представление, но делает базовую математическую структуру и обобщения менее понятными. С точки зрения геометрической алгебры векторное исчисление неявно идентифицирует k -векторные поля с векторными полями или скалярными функциями: 0-векторы и 3-векторы со скалярами, 1-векторы и 2-векторы с векторами. С точки зрения дифференциальных форм векторное исчисление неявно идентифицирует k -формы со скалярными полями или векторными полями: 0-формы и 3-формы со скалярными полями, 1-формы и 2-формы с векторными полями. Так, например, ротор естественным образом принимает в качестве входных данных векторное поле или 1-форму, но естественным образом имеет в качестве выходных данных 2-векторное поле или 2-форму (следовательно, псевдовекторное поле), которое затем интерпретируется как векторное поле, а не напрямую переводит векторное поле в векторное поле; это отражается в роторе векторного поля в более высоких измерениях, не имеющем в качестве выходного значения векторного поля.
