Круг

Простая кривая евклидовой геометрии

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от заданной точки — центра . Расстояние между любой точкой окружности и центром называется радиусом . Длина отрезка прямой, соединяющего две точки окружности и проходящего через центр, называется диаметром . Окружность ограничивает область плоскости, называемую диском .

Круг был известен еще до начала письменной истории. Естественные круги обычны, например, полная луна или долька круглого фрукта. Круг является основой для колеса , которое вместе с соответствующими изобретениями, такими как шестерни , делает возможным создание многих современных машин. В математике изучение круга помогло вдохновить развитие геометрии, астрономии и исчисления .

Терминология

• Кольцо : кольцеобразный объект, область, ограниченная двумя концентрическими окружностями.
• Дуга : любая соединенная часть окружности. Указание двух конечных точек дуги и центра позволяет создать две дуги, которые вместе составляют полную окружность.
• Центр : точка, равноудалённая от всех точек окружности.
• Хорда : отрезок прямой, концы которого лежат на окружности, таким образом делящий окружность на два сегмента.
• Окружность : длина одного оборота по окружности или расстояние по окружности.
• Диаметр : отрезок прямой, концы которого лежат на окружности и который проходит через центр; или длина такого отрезка прямой. Это наибольшее расстояние между любыми двумя точками на окружности. Это частный случай хорды, а именно самая длинная хорда для данной окружности, и ее длина в два раза больше длины радиуса.
• Диск : область плоскости, ограниченная окружностью. В строгом математическом использовании окружность — это только граница диска (или диска), в то время как в повседневном использовании термин «круг» может также относиться к диску.
• Линза : область, общая для (пересечения) двух перекрывающихся дисков.
• Радиус : отрезок прямой, соединяющий центр окружности с любой одной точкой на самой окружности; или длина такого отрезка, которая составляет половину (длины) диаметра. Обычно радиус обозначается и должен быть положительным числом. Окружность с является вырожденным случаем, состоящим из одной точки. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=0}$
• Сектор : область, ограниченная двумя радиусами одинаковой длины с общим центром и любой из двух возможных дуг, определяемых этим центром и концами радиусов.
• Сегмент : область, ограниченная хордой и одной из дуг, соединяющих концы хорды. Длина хорды накладывает нижнюю границу на диаметр возможных дуг. Иногда термин сегмент используется только для областей, не содержащих центр окружности, к которой принадлежит их дуга.
• Секущая : продолженная хорда, прямая линия, лежащая в одной плоскости, пересекающая окружность в двух точках.
• Полукруг : одна из двух возможных дуг, определяемых конечными точками диаметра, принимая его середину за центр. В нетехническом общеупотребительном использовании это может означать внутреннюю часть двумерной области, ограниченной диаметром и одной из его дуг, которая технически называется полукругом. Полукруг — это частный случай сегмента, а именно наибольший.
• Касательная : копланарная прямая, имеющая одну общую точку с окружностью («касается окружности в этой точке»).

Все указанные регионы можно рассматривать как открытые , то есть не содержащие своих границ, или как закрытые , включая их соответствующие границы.

Этимология

Слово «круг» происходит от греческого κίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos ), которое само по себе является метатезой гомеровского греческого κρίκος ( krikos ), что означает «обруч» или «кольцо». ^[1] Происхождение слов «цирк» и «круг » тесно связано.

История

Круглые наскальные рисунки в округе Санта-Барбара, Калифорния

Круги на старинном арабском астрономическом рисунке.

Доисторические люди делали каменные и деревянные круги , а круглые элементы часто встречаются в петроглифах и наскальных рисунках . ^[2] Дискообразные доисторические артефакты включают небесный диск Небры и нефритовые диски, называемые Би .

Египетский папирус Ринда , датируемый 1700 г. до н.э., дает метод нахождения площади круга. Результат соответствует ⁠256/81⁠ (3,16049...) как приблизительное значение числа π . ^[3]

В третьей книге «Начал» Евклида рассматриваются свойства окружностей. Евклид дает следующее определение окружности:

Круг — это плоская фигура, ограниченная одной кривой линией, причем все прямые, проведенные из некоторой точки внутри нее к ограничивающей линии, равны. Ограничивающая линия называется ее окружностью, а точка — ее центром.

—  Евклид , Книга I , Элементы ^{[4] : ​​4}

В « Седьмом письме» Платона дается подробное определение и объяснение круга. Платон объясняет идеальный круг и то, чем он отличается от любого рисунка, слов, определения или объяснения. Ранняя наука , в частности геометрия , астрология и астрономия , была связана с божественным для большинства средневековых ученых , и многие верили, что в кругах есть что-то изначально «божественное» или «совершенное». ^{[5] [6]}

В 1880 году нашей эры Фердинанд фон Линдеманн доказал, что число π является трансцендентным , доказав, что тысячелетняя задача квадратуры круга не может быть решена с помощью линейки и циркуля. ^[7]

С появлением абстрактного искусства в начале 20 века геометрические объекты стали самостоятельным художественным предметом. Василий Кандинский, в частности, часто использовал круги как элемент своих композиций. ^{[8] [9]}

Символизм и религиозное использование

Компас в этой рукописи 13-го века является символом Божьего акта Творения . Обратите внимание также на круглую форму нимба .

Со времен самых ранних известных цивилизаций, таких как ассирийцы и древние египтяне, цивилизации в долине Инда и вдоль реки Хуанхэ в Китае, а также западные цивилизации Древней Греции и Рима в период классической античности, круг использовался прямо или косвенно в изобразительном искусстве для передачи послания художника и выражения определенных идей. Однако различия в мировоззрении (верованиях и культуре) оказали большое влияние на восприятие художников. В то время как некоторые подчеркивали периметр круга, чтобы продемонстрировать свое демократическое проявление, другие сосредоточились на его центре, чтобы символизировать концепцию космического единства. В мистических доктринах круг в основном символизирует бесконечную и циклическую природу бытия, но в религиозных традициях он представляет небесные тела и божественных духов.

Круг символизирует множество священных и духовных концепций, включая единство, бесконечность, целостность, вселенную, божественность, равновесие, стабильность и совершенство и т. д. Такие концепции передавались в культурах по всему миру посредством использования символов, например, компаса, нимба, vesica piscis и его производных (рыба, глаз, нимб, мандорла и т. д.), уроборос, колесо Дхармы , радуга, мандалы, розовые окна и т. д. ^[10] Магические круги являются частью некоторых традиций западного эзотеризма .

Аналитические результаты

Окружность

Отношение длины окружности к ее диаметру равно π (пи), иррациональной константе, приблизительно равной 3,141592654. Отношение длины окружности к ее радиусу равно 2 π . ^[a] Таким образом, окружность C связана с радиусом r и диаметром d соотношением: $${\displaystyle C=2\pi r=\pi d.}$$

Огороженная территория

Площадь, ограниченная кругом = π × площадь закрашенного квадрата

Как доказал Архимед в своей работе «Измерение круга» , площадь, ограниченная кругом, равна площади треугольника, основание которого имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга ^[11] , что равно π, умноженному на квадрат радиуса: $${\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r^{2}.}$$

Эквивалентно, обозначим диаметр как d , то есть приблизительно 79% описанного квадрата (сторона которого имеет длину d ). $${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},}$$

Окружность — это плоская кривая, охватывающая максимальную площадь для данной длины дуги. Это связывает окружность с задачей вариационного исчисления, а именно с изопериметрическим неравенством .

Радиан

Если окружность радиуса r имеет центр в вершине угла , и этот угол пересекает дугу окружности с длиной дуги s , то радианная мера 𝜃 угла равна отношению длины дуги к радиусу : $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}.}$$

Говорят, что дуга окружности стягивает угол, известный как центральный угол , в центре окружности. Угол, стягиваемый полной окружностью в ее центре, является полным углом , который измеряется 2π радиан , 360 градусов или один оборот .

Используя радианы, формула для длины дуги s дуги окружности радиуса r , стягивающей центральный угол величиной 𝜃, выглядит следующим образом: $${\displaystyle s=\theta r,}$$

а формула для площади A кругового сектора радиусом r и с центральным углом меры 𝜃 имеет вид $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\theta r^{2}.}$$

В частном случае 𝜃 = 2 π эти формулы дают длину окружности полного круга и площадь полного диска соответственно.

Уравнения

Декартовы координаты

Окружность радиуса r  = 1, центр ( a ,  b ) = (1,2, −0,5)

Уравнение окружности

В декартовой системе координат x – y окружность с координатами центра ( a , b ) и радиусом r представляет собой множество всех точек ( x , y ) таких, что $${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.}$$

Это уравнение , известное как уравнение окружности , следует из теоремы Пифагора, примененной к любой точке окружности: как показано на соседней диаграмме, радиус является гипотенузой прямоугольного треугольника, другие стороны которого имеют длину | x − a | и | y − b |. Если центр окружности находится в начале координат (0, 0), то уравнение упрощается до $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$$

Одна координата как функция другой

Верхняя полуокружность с радиусом 1 и центром (0, 0) и ее производная.

Окружность радиуса ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ с центром в ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ в плоскости ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ – ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ можно разбить на две полуокружности, каждая из которых является графиком функции , ⁠ ⁠ ${\displaystyle y_{+}(x)}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle y_{-}(x)}$ , соответственно: для значений ⁠ ⁠ в диапазоне от ⁠ ⁠ до ⁠ ⁠ . $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{+}(x)=y_{0}+{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}}},\\[5mu]y_{-}(x)=y_{0}-{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}-r}$ ${\displaystyle x_{0}+r}$

Параметрическая форма

Уравнение можно записать в параметрической форме с использованием тригонометрических функций синуса и косинуса как, где t — параметрическая переменная в диапазоне от 0 до 2π , геометрически интерпретируемая как угол , который луч из точки ( a ,  b ) в точку ( x ,  y ) образует с положительной осью x  . $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r\,\cos t,\\y&=b+r\,\sin t,\end{aligned}}}$$

Альтернативная параметризация круга: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\y&=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$$

В этой параметризации отношение t к r можно геометрически интерпретировать как стереографическую проекцию прямой, проходящей через центр параллельно оси x  (см. Замена касательной половинного угла ). Однако эта параметризация работает только в том случае, если t простирается не только через все действительные числа, но и до точки на бесконечности; в противном случае самая левая точка окружности будет опущена.

3-х очковая форма

Уравнение окружности, определяемое тремя точками, не лежащими на одной прямой, получается путем преобразования трехточечной формы уравнения окружности : ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$ $${\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Однородная форма

В однородных координатах каждое коническое сечение с уравнением окружности имеет вид $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.}$$

Можно доказать, что коническое сечение является окружностью в точности тогда, когда оно содержит (при продолжении до комплексной проективной плоскости ) точки I (1: i : 0) и J (1: − i : 0). Эти точки называются бесконечно удаленными круговыми точками .

Полярные координаты

В полярных координатах уравнение окружности имеет вид $${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},}$$

где a — радиус окружности, — полярные координаты общей точки на окружности, а — полярные координаты центра окружности (т. е. r ₀ — расстояние от начала координат до центра окружности, а φ — угол против часовой стрелки от положительной оси x  до линии, соединяющей начало координат с центром окружности). Для окружности с центром в начале координат, т. е. r ₀ = 0 , это сводится к r = a . Когда r ₀ = a , или когда начало координат лежит на окружности, уравнение становится ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle (r_{0},\phi )}$ $${\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).}$$

В общем случае уравнение можно решить относительно r , получив : Без знака ± уравнение в некоторых случаях описывало бы только половину окружности. $${\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.}$$

Комплексная плоскость

В комплексной плоскости окружность с центром в точке c и радиусом r имеет уравнение $${\displaystyle |z-c|=r.}$$

В параметрической форме это можно записать как $${\displaystyle z=re^{it}+c.}$$

Слегка обобщенное уравнение $${\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}$$

для действительных p , q и комплексных g иногда называют обобщенной окружностью . Это становится приведенным выше уравнением для окружности с , поскольку . Не все обобщенные окружности на самом деле являются окружностями: обобщенная окружность является либо (истинной) окружностью, либо прямой . ${\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}$ ${\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}$

Касательные линии

Касательная линия, проходящая через точку P на окружности, перпендикулярна диаметру, проходящему через P. Если P = ( x ₁ , y ₁ ) и окружность имеет центр ( a , b ) и радиус r , то касательная линия перпендикулярна линии из ( a , b ) в ( x ₁ , y ₁ ), поэтому она имеет вид ( x ₁ − a ) x + ( y ₁ – b ) y = c . Оценка в ( x ₁ , y ₁ ) определяет значение c , и результатом является то, что уравнение касательной имеет вид или $${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$$ $${\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.}$$

Если y ₁ ≠ b , то наклон этой линии равен $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$$

Это также можно найти с помощью неявного дифференцирования .

Когда центр окружности находится в начале координат, то уравнение касательной принимает вид , а ее наклон равен $${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$$

Характеристики

• Круг — это фигура с наибольшей площадью при заданной длине периметра (см. Изопериметрическое неравенство ).
• Окружность — это высокосимметричная фигура: каждая линия, проходящая через центр, образует линию симметрии отражения , и она имеет вращательную симметрию вокруг центра для каждого угла. Ее группа симметрии — ортогональная группа O(2, R ). Группа вращений сама по себе — это группа окружности T .
• Все круги подобны . ^[12]
  • Длина окружности и радиус круга пропорциональны .
  • Площадь , ограниченная этим контуром, и квадрат его радиуса пропорциональны.
  • Константы пропорциональности равны 2π и π соответственно .
• Окружность с центром в начале координат и радиусом 1 называется единичной окружностью .
  • Если рассматривать его как большой круг единичной сферы , он становится римановым кругом .
• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. В декартовых координатах можно дать явные формулы для координат центра окружности и радиуса через координаты трех заданных точек. См. описанная окружность .

Аккорд

• Хорды ​​равноудалены от центра окружности тогда и только тогда, когда они равны по длине.
• Перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности; эквивалентные утверждения, вытекающие из единственности перпендикуляра к хорде, следующие:
  • Перпендикулярная линия из центра окружности делит хорду пополам.
  • Отрезок прямой, проходящий через центр и делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
• Если центральный угол и вписанный угол окружности опираются на одну и ту же хорду и лежат по одну сторону от хорды, то центральный угол в два раза больше вписанного угла.
• Если два угла вписаны в одну и ту же хорду и лежат по одну сторону от хорды, то они равны.
• Если два угла вписаны в одну и ту же хорду и лежат по разные стороны от хорды, то они являются дополнительными .
  • Для вписанного четырехугольника внешний угол равен противолежащему внутреннему углу.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом (см. теорему Фалеса ).
• Диаметр — самая длинная хорда окружности.
  • Среди всех окружностей, имеющих общую хорду AB, окружность с минимальным радиусом — это окружность с диаметром AB.
• Если пересечение любых двух хорд делит одну хорду на длины a и b , а другую — на длины c и d , то ab = cd .
• Если пересечение любых двух перпендикулярных хорд делит одну хорду на длины a и b , а другую — на длины c и d , то a ² + b ² + c ² + d ² равно квадрату диаметра. ^[13]
• Сумма квадратов длин любых двух хорд, пересекающихся под прямым углом в данной точке, такая же, как и сумма квадратов длин любых двух других перпендикулярных хорд, пересекающихся в той же точке, и определяется как 8 r ² − 4 p ² , где r — радиус окружности, а p — расстояние от центральной точки до точки пересечения. ^[14]
• Расстояние от точки окружности до данной хорды, умноженное на диаметр окружности, равно произведению расстояний от точки до концов хорды. ^{[15] : стр.71}

Тангенс

• Прямая, проведенная перпендикулярно радиусу через конечную точку радиуса, лежащую на окружности, является касательной к окружности.
• Прямая, проведенная перпендикулярно касательной через точку касания с окружностью, проходит через центр окружности.
• Из любой точки вне окружности к ней всегда можно провести две касательные, и эти касательные будут иметь одинаковую длину.
• Если касательная в точке A и касательная в точке B пересекаются во внешней точке P , то, обозначив центр через O , углы ∠ BOA и ∠ BPA являются дополнительными.
• Если AD касается окружности в точке A и если AQ является хордой окружности, то ∠ DAQ = ⁠1/2⁠ дуга( AQ ) .

Теоремы

Теорема секущей–секущей

• Теорема о хордах утверждает, что если две хорды, CD и EB , пересекаются в точке A , то AC × AD = AB × AE .
• Если две секущие, AE и AD , также пересекают окружность в точках B и C соответственно, то AC × AD = AB × AE (следствие теоремы о хорде).
• Касательную можно считать предельным случаем секущей, концы которой совпадают. Если касательная из внешней точки A пересекает окружность в точке F , а секущая из внешней точки A пересекает окружность в точках C и D соответственно, то AF ² = AC × AD (теорема о касательной–секущей).
• Угол между хордой и касательной в одной из ее конечных точек равен половине угла, опирающегося на центр окружности, на противоположной стороне хорды (угол касательной хорды).
• Если угол, образуемый хордой в центре, равен 90 ° , то ℓ = r √2 , где ℓ — длина хорды, а r — радиус окружности.
• Если в окружность вписаны две секущие, как показано справа, то величина угла A равна половине разности величин замкнутых дуг ( и ). То есть, , где O — центр окружности (теорема секущей). ${\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}$ ${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$ ${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$

Вписанные углы

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол (примерами являются синий и зеленый углы на рисунке) составляет ровно половину соответствующего центрального угла (красного). Следовательно, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (розовый), равны. Углы, опирающиеся на дугу (коричневый), являются дополнительными. В частности, каждый вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом (так как центральный угол равен 180°).

Стрелец

Стрелка — вертикальный сегмент.

Сагитта (также известная как версина ) — это отрезок прямой , проведенный перпендикулярно хорде между ее серединой и дугой окружности.

Зная длину хорды y и длину сагиттальной линии x , можно использовать теорему Пифагора для вычисления радиуса единственной окружности, которая будет описана вокруг двух линий: $${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

Другое доказательство этого результата, которое опирается только на два свойства хорды, приведенные выше, заключается в следующем. Даны хорда длиной y и сагитта длиной x , поскольку стрела пересекает середину хорды, мы знаем, что она является частью диаметра окружности. Поскольку диаметр в два раза больше радиуса, «недостающая» часть диаметра составляет ( 2 r − x ) по длине. Используя тот факт, что одна часть одной хорды, умноженная на другую часть, равна тому же произведению, взятому вдоль хорды, пересекающей первую хорду, мы находим, что ( 2 r − x ) x = ( y / 2) ² . Решая относительно r , мы находим требуемый результат.

Построение с помощью циркуля и линейки

Существует множество конструкций с помощью циркуля и линейки, в результате которых получаются окружности.

Самая простая и базовая конструкция — это конструкция, в которой заданы центр окружности и точка на окружности. Поместите неподвижную ножку циркуля в центральную точку, подвижную ножку — в точку на окружности и вращайте циркуль.

Конструкция с заданным диаметром

• Постройте середину М диаметра.
• Постройте окружность с центром М, проходящей через один из концов диаметра (она также пройдет через другой конец).

Постройте окружность через точки A, B и C, найдя перпендикуляры к серединам (красные) сторон треугольника (синие). Для нахождения центра нужны только две из трех биссектрис.

Построение через три неколлинеарные точки

• Назовите точки P , Q и R ,
• Постройте серединный перпендикуляр отрезка PQ .
• Постройте серединный перпендикуляр отрезка PR .
• Обозначим точку пересечения этих двух серединных перпендикуляров буквой M. (Они встречаются, потому что точки не лежат на одной прямой ).
• Постройте окружность с центром M, проходящей через одну из точек P , Q или R (она также пройдет через две другие точки).

Круг Аполлония

Определение окружности Аполлонием: d ₁ / d ₂ постоянная

Аполлоний Пергский показал, что окружность можно также определить как множество точек на плоскости, имеющих постоянное отношение (отличное от 1) расстояний до двух фиксированных фокусов, A и B. ^{[16] [17]} ( Множество точек, в которых расстояния равны, является перпендикуляром, проведенным к отрезку AB , прямой.) Иногда говорят, что эта окружность нарисована относительно двух точек.

Доказательство состоит из двух частей. Во-первых, нужно доказать, что при наличии двух фокусов A и B и отношения расстояний любая точка P, удовлетворяющая отношению расстояний, должна попадать на определенную окружность. Пусть C — другая точка, также удовлетворяющая отношению и лежащая на отрезке AB . По теореме о биссектрисе угла отрезок PC будет делить пополам внутренний угол APB , поскольку отрезки подобны: $${\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}$$

Аналогично, отрезок PD, проходящий через некоторую точку D на продолжении AB , делит пополам соответствующий внешний угол BPQ , где Q находится на продолжении AP . Поскольку сумма внутреннего и внешнего углов составляет 180 градусов, угол CPD равен ровно 90 градусам; то есть является прямым углом. Множество точек P , таких что угол CPD является прямым углом, образует окружность, диаметр которой — CD .

Во-вторых, см. ^{[18] : 15} для доказательства того, что каждая точка на указанной окружности удовлетворяет данному соотношению.

Кросс-соотношения

Тесно связанное свойство окружностей включает геометрию поперечных отношений точек на комплексной плоскости. Если A , B и C такие, как указано выше, то окружность Аполлония для этих трех точек представляет собой набор точек P, для которых абсолютное значение поперечных отношений равно единице: $${\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.}$$

Другими словами, P является точкой на окружности Аполлония тогда и только тогда, когда двойное отношение [ A , B ; C , P ] лежит на единичной окружности в комплексной плоскости.

Обобщенные круги

Если C — середина отрезка AB , то совокупность точек P, удовлетворяющих условию Аполлония, представляет собой не окружность, а прямую. $${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$

Таким образом, если A , B и C — это различные точки на плоскости, то геометрическое место точек P, удовлетворяющих приведенному выше уравнению, называется «обобщенной окружностью». Это может быть как истинная окружность, так и линия. В этом смысле линия — это обобщенная окружность бесконечного радиуса.

Надпись или обводка вокруг других фигур

В каждый треугольник можно вписать уникальную окружность, называемую вписанной окружностью , так, чтобы она касалась каждой из трех сторон треугольника. ^[19]

Около каждого треугольника можно описать уникальную окружность, называемую описанной окружностью, так, чтобы она проходила через каждую из трех вершин треугольника . ^[20]

Касательный многоугольник , такой как касательный четырёхугольник , — это любой выпуклый многоугольник , в который можно вписать окружность , касательную к каждой стороне многоугольника. ^[21] Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник является касательным многоугольником.

Циклический многоугольник — это любой выпуклый многоугольник, вокруг которого можно описать окружность , проходящую через каждую вершину. Хорошо изученным примером является циклический четырехугольник. Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник является циклическим многоугольником. Многоугольник, который является как циклическим, так и касательным, называется бицентрическим многоугольником .

Гипоциклоида — это кривая , вписанная в заданную окружность путем описания фиксированной точки на меньшей окружности, которая катится внутри данной окружности и касается ее.

Предельный случай других цифр

Круг можно рассматривать как предельный случай различных других фигур:

• Ряд правильных многоугольников с n сторонами имеет окружность в качестве своего предела, когда n стремится к бесконечности. Этот факт был применен Архимедом для аппроксимации π .
• Декартов овал — это множество точек, такое, что взвешенная сумма расстояний от любой из его точек до двух фиксированных точек (фокусов) является константой. Эллипс — это случай, в котором веса равны. Круг — это эллипс с эксцентриситетом, равным нулю, что означает, что два фокуса совпадают друг с другом как центр круга. Круг — это также другой частный случай декартова овала, в котором один из весов равен нулю.
• Суперэллипс имеет уравнение вида для положительных a , b и n . Суперкруг имеет b = a . Окружность является частным случаем суперкруга, в котором n = 2 . ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$
• Овал Кассини — это набор точек, такой, что произведение расстояний от любой из его точек до двух фиксированных точек является константой. Когда две фиксированные точки совпадают, получается окружность.
• Кривая постоянной ширины — это фигура, ширина которой, определяемая как перпендикулярное расстояние между двумя различными параллельными линиями, каждая из которых пересекает ее границу в одной точке, является одинаковой независимо от направления этих двух параллельных линий. Простейшим примером такого типа фигуры является окружность.

Геометрическое место постоянной суммы

Рассмотрим конечное множество точек на плоскости. Геометрическое место точек, для которых сумма квадратов расстояний до данных точек постоянна, является окружностью, центр которой находится в центроиде данных точек. ^[22] Обобщение для более высоких степеней расстояний получается, если под точками взять вершины правильного многоугольника . ^[23] Геометрическое место точек, для которых сумма -й степени расстояний до вершин данного правильного многоугольника с радиусом описанной окружности постоянна, является окружностью, если центр которой находится в центроиде . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m},\quad {\text{ where }}~m=1,2,\dots ,n-1;}$$ ${\displaystyle P_{n}}$

В случае равностороннего треугольника геометрическими местами постоянных сумм второй и четвертой степеней являются окружности, тогда как для квадрата геометрическими местами являются окружности постоянных сумм второй, четвертой и шестой степеней. Для правильного пятиугольника будет добавлена ​​постоянная сумма восьмых степеней расстояний и т. д.

Квадратура круга

Квадратура круга — задача, предложенная древними геометрами , о построении квадрата с той же площадью, что и заданный круг, используя лишь конечное число шагов с помощью циркуля и линейки .

В 1882 году было доказано, что эта задача невыполнима, как следствие теоремы Линдемана–Вейерштрасса , которая доказывает, что pi ( π ) является трансцендентным числом , а не алгебраическим иррациональным числом ; то есть, оно не является корнем никакого многочлена с рациональными коэффициентами. Несмотря на невозможность, эта тема продолжает представлять интерес для любителей псевдоматематики .

Обобщения

В другихп-нормы

Иллюстрации единичных окружностей (см. также суперэллипс ) в различных p -нормах (каждый вектор от начала координат до единичной окружности имеет длину, равную единице, причем длина вычисляется по формуле длины соответствующего p ).

Определяя окружность как множество точек с фиксированным расстоянием от точки, различные формы могут считаться окружностями при различных определениях расстояния. В p -норме расстояние определяется как В евклидовой геометрии p = 2, что дает знакомое $${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$ $${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.}$$

В геометрии такси p = 1. Круги такси представляют собой квадраты со сторонами, ориентированными под углом 45° к осям координат. В то время как каждая сторона имела бы длину, используя евклидову метрику , где r — радиус круга, ее длина в геометрии такси равна 2 r . Таким образом, длина окружности круга равна 8 r . Таким образом, значение геометрического аналога равно 4 в этой геометрии. Формула для единичной окружности в геометрии такси дана в декартовых и полярных координатах. ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle |x|+|y|=1}$ $${\displaystyle r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}}$$

Окружность радиусом 1 (используя это расстояние) является окрестностью фон Неймана своего центра.

Круг радиуса r для расстояния Чебышева ( метрика L ∞ ) на плоскости также является квадратом со стороной длиной 2 r , параллельной осям координат, поэтому плоское расстояние Чебышева можно рассматривать как эквивалентное путем вращения и масштабирования плоскому расстоянию такси. Однако эта эквивалентность между метриками L ₁ и L _∞ не распространяется на более высокие измерения.

Топологическое определение

Круг — это одномерная гиперсфера (1-сфера).

В топологии окружность не ограничивается геометрическим понятием, а всеми ее ^{гомеоморфизмами} . Две топологические окружности эквивалентны, если одна может быть преобразована в другую посредством деформации R3 на себя (известной как объемлющая изотопия ). ^[24]

Специально названные круги

Смотрите также

• Аффинная сфера
• Апейрогон
• Круглая подгонка
• Расстояние
• Задача Гаусса о круге
• Инверсия в круге
• Пересечение линии и окружности
• Список тем кружка
• Сфера
• Три точки определяют окружность
• Перевод осей

Примечания

1. Также известен как 𝜏 (тау) .

Ссылки

1. krikos Архивировано 2013-11-06 в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
2. Simek, Jan F.; Cressler, Alan; Herrmann, Nicholas P.; Sherwood, Sarah C. (1 июня 2013 г.). «Священные ландшафты юго-востока США: доисторическое наскальное и пещерное искусство в Теннесси». Antiquity . 87 (336): 430–446. doi :10.1017/S0003598X00049048. ISSN  0003-598X. S2CID  130296519.
3. Хронология от 30000 до н.э. до 500 до н.э. Архивировано 22.03.2008 на Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Получено 03.05.2012.
4. ОЛ  7227282М
5. Артур Кестлер , Лунатики : История изменения человеческого видения Вселенной (1959)
6. Прокл , Шесть книг Прокла, преемника Платона, о теологии Платона Архивировано 23 января 2017 г. в Wayback Machine Перевод Томаса Тейлора (1816) Том 2, Гл. 2, «О Платоне»
7. Квадратура круга Архивировано 24.06.2008 на Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Получено 03.05.2012.
8. "Круги в круге". Музей искусств Филадельфии . Получено 28 декабря 2023 г.
9. Лессо, Рози (15 июня 2022 г.). «Почему Василий Кандинский рисовал круги?». TheCollector . Получено 28 декабря 2023 г.
10. Абдуллахи, Яхья (29 октября 2019 г.). «Круг с Востока на Запад». В Шарнье, Жан-Франсуа (ред.). Лувр Абу-Даби: мировое видение искусства . Риццоли Интернэшнл Пабликейшнз, Инкорпорейтед. ISBN 9782370741004.
11. Кац, Виктор Дж. (1998). История математики / Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. стр. 108. ISBN 978-0-321-01618-8.
12. Ричесон, Дэвид (2015). «Циклическое рассуждение: кто первым доказал, что C, деленное на d, является константой?». The College Mathematics Journal . 46 (3): 162–171. arXiv : 1303.0904 . doi : 10.4169/college.math.j.46.3.162. MR  3413900.
13. Посаментье и Салкинд, Сложные задачи по геометрии , Довер, 2-е издание, 1996: стр. 104–105, № 4–23.
14. College Mathematics Journal 29(4), сентябрь 1998 г., стр. 331, задача 635.
15. Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия , Dover Publ., 2007.
16. Харкнесс, Джеймс (1898). «Введение в теорию аналитических функций». Nature . 59 (1530): 30. Bibcode :1899Natur..59..386B. doi :10.1038/059386a0. S2CID  4030420. Архивировано из оригинала 7 октября 2008 г.
17. Огилви, К. Стэнли , Экскурсии в геометрию , Дувр, 1969, 14–17.
18. Альтшиллер-Корт, Натан, College Geometry , Дувр, 2007 (ориг. 1952).
19. Incircle – из Wolfram MathWorld Архивировано 21.01.2012 на Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26.04.2012). Получено 03.05.2012.
20. Окружность – из Wolfram MathWorld Архивировано 20.01.2012 на Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Получено 03.05.2012.
21. Касательный многоугольник – из Wolfram MathWorld Архивировано 03.09.2013 на Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Получено 03.05.2012.
22. Апостол, Том; Мнацаканян, Мамикон (2003). «Суммы квадратов расстояний в m-пространстве». American Mathematical Monthly . 110 (6): 516–526. doi :10.1080/00029890.2003.11919989. S2CID  12641658.
23. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Communications in Mathematics and Applications . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi :10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 1 ноября 2024 г.). Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 г. Получено 17 мая 2021 г.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
24. Гамелин, Теодор (1999). Введение в топологию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486406806.

Дальнейшее чтение

• Педоу, Дэн (1988). Геометрия: полный курс . Дувр. ISBN 9780486658124.

Внешние ссылки

• «Круг». Энциклопедия математики . Издательство EMS . 2001 [1994].
• Кружок на PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Круг». MathWorld .
• «Интерактивные Java-апплеты». Для изучения свойств и элементарных конструкций, включающих окружности.
• «Интерактивное уравнение стандартной формы окружности». Щелкните и перетащите точки, чтобы увидеть уравнение стандартной формы в действии.
• «Поедание кругов». Cut-the-Knot .