Двойственность (математика)

Общее понятие и действие в математике

В математике двойственность переводит понятия, теоремы или математические структуры в другие понятия, теоремы или структуры взаимно однозначным образом, часто (но не всегда ) посредством операции инволюции : если двойственное к A есть B , то двойственным к B является A. Такие инволюции иногда имеют неподвижные точки , так что двойственное к А есть само А. Например, теорема Дезарга самодвойственна в этом смысле относительно стандартной двойственности в проективной геометрии .

В математическом контексте двойственность имеет множество значений. ^[1] Ее описывают как «очень распространенную и важную концепцию в (современной) математике» ^[2] и «важную общую тему, которая имеет проявления почти во всех областях математики». ^[3]

Многие математические двойственности между объектами двух типов соответствуют спариванию билинейных функций объекта одного типа и другого объекта второго типа с некоторым семейством скаляров. Например, двойственность линейной алгебры таким образом соответствует билинейным отображениям пар векторных пространств в скаляры, двойственность между распределениями и соответствующими пробными функциями соответствует спариванию, в котором распределение интегрируется с пробной функцией, а двойственность Пуанкаре соответствует аналогичным образом. к числу пересечений , рассматриваемому как спаривание между подмногообразиями данного многообразия. ^[4]

С точки зрения теории категорий , двойственность также можно рассматривать как функтор , по крайней мере, в области векторных пространств. Этот функтор сопоставляет каждому пространству свое двойственное пространство, а конструкция обратного образа сопоставляет каждой стрелке f : V → W ее двойственное f ^∗ : W ^∗ → V ^∗ .

Вводные примеры

По словам Майкла Атьи ,

Двойственность в математике — это не теорема, а «принцип». ^[5]

Следующий список примеров показывает общие черты многих дуальностей, но также указывает на то, что точное значение дуальности может варьироваться от случая к случаю.

Дополнение подмножества

Простая, возможно, самая простая двойственность возникает при рассмотрении подмножеств фиксированного множества S. К любому подмножеству A ⊆ S дополнение Ac [ 6 ] состоит ^{из всех} тех элементов из S , которые не содержатся в A . Это снова подмножество S . Прием комплемента обладает следующими свойствами:

• Применение ^его дважды возвращает исходный набор, т.е. ( Ac ) ^c = A. Об этом говорят, говоря, что операция взятия дополнения является инволюцией .
• Включение множеств A ⊆ B превращается во включение в противоположном направлении B ^c ⊆ Ac ^.
• Учитывая два подмножества A и B из S , A содержится в Bc тогда и только тогда, ^когда B содержится ^в Ac .

Эта двойственность проявляется в топологии как двойственность между открытым и замкнутым подмножествами некоторого фиксированного топологического пространства X : подмножество U пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение в X открыто. По этой причине многие теоремы о замкнутых множествах двойственны теоремам об открытых множествах. Например, любое объединение открытых множеств открыто, поэтому двойственно любое пересечение закрытых множеств закрыто. Внутренность множества — это самое большое открытое множество, содержащееся в нем, а замыкание множества — это наименьшее закрытое множество, содержащее его. В силу двойственности дополнение внутренности любого множества U равно замыканию дополнения к U .

Двойной конус

Множество C (синий) и его двойной конус C ^* (красный).

Двойственность геометрии обеспечивается за счет конструкции двойного конуса . Учитывая набор точек на плоскости (или, в более общем смысле, точек в ), двойственный конус определяется как набор, состоящий из тех точек, которые удовлетворяют ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$

$${\displaystyle x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}\geq 0}$$

^[7] ${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{**}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

• Двойное применение операции возвращает возможно больший набор: for all содержится в . (Для некоторых , а именно конусов, они фактически равны.) ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{**}}$ ${\displaystyle C}$

Два других свойства сохраняются без изменений:

• По-прежнему верно, что включение превращается во включение в противоположном направлении ( ). ${\displaystyle C\subseteq D}$ ${\displaystyle D^{*}\subseteq C^{*}}$
• Учитывая два подмножества и плоскости, содержится в тогда и только тогда, когда содержится в . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D^{*}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{*}}$

Двойное векторное пространство

Очень важный пример двойственности возникает в линейной алгебре , когда любому векторному пространству V сопоставляется его двойственное векторное пространство V ^* . Его элементами являются линейные функционалы , где K — поле , над которым определено V. Три свойства двойственного конуса переносятся на этот тип двойственности путем замены подмножеств векторным пространством и включения таких подмножеств линейными отображениями. То есть: ${\displaystyle \varphi :V\to K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• Двойное применение операции взятия двойственного векторного пространства дает другое векторное пространство V ^** . Всегда существует отображение V → V ^** . Для некоторых V , а именно конечномерных векторных пространств , это отображение является изоморфизмом .
• Линейное отображение V → W порождает отображение в противоположном направлении ( W ^* → V ^* ).
• Учитывая два векторных пространства V и W , отображения из V в W ^* соответствуют отображениям из W в V ^* .

Особенностью этой двойственности является то, что V и V ^* изоморфны некоторым объектам, а именно конечномерным векторным пространствам. Однако в некотором смысле это удачное совпадение, поскольку для обеспечения такого изоморфизма требуется определенный выбор, например выбор базиса V . Это также верно в случае, если V является гильбертовым пространством , согласно теореме о представлении Рисса .

Теория Галуа

Во всех дуальностях, обсуждавшихся ранее, двойник объекта того же типа, что и сам объект. Например, двойственное векторному пространству снова является векторным пространством. Многие утверждения о дуальности не относятся к этому типу. Вместо этого такая двойственность обнаруживает тесную связь между объектами, казалось бы, разной природы. Одним из примеров такой более общей двойственности является теория Галуа . Для фиксированного расширения Галуа K / F можно связать группу Галуа Gal( K / E ) с любым промежуточным полем E (т. е. F ⊆ E ⊆ K ). Эта группа является подгруппой группы Галуа G = Gal( K / F ) . Обратно, для любой такой подгруппы H ⊆ G существует фиксированное поле K ^H , состоящее из элементов, фиксированных элементами из H .

По сравнению с вышеизложенным, эта двойственность имеет следующие особенности:

• Расширение F ⊆ F ′ промежуточных полей приводит к включению групп Галуа в обратном направлении: Gal( K / F ′) ⊆ Gal( K / F ) .
• Сопоставление Gal( K / E ) с E и K ^H с H является обратным по отношению друг к другу. Таково содержание основной теоремы теории Галуа .

Двойственности, изменяющие порядок

Диаграмма Хассе набора степеней {1,2,3,4} , частично упорядоченного по ⊂ . Двойное ЧУУ, т. е. упорядочение по ⊃ , получается переворачиванием диаграммы вверх дном. Зеленые узлы образуют верхний набор и нижний набор в исходном и двойственном порядке соответственно.

Учитывая частично упорядоченное множество P = ( X , ≤) (сокращение от частично упорядоченного набора; т. е. множество, в котором есть понятие упорядочения, но в котором два элемента не обязательно могут быть размещены в порядке относительно друг друга), двойственное частично упорядоченное множество P ^d = ( X , ≥) содержит то же основное множество, но с обратным отношением . Знакомые примеры двойных частичных заказов включают:

• отношения подмножества и надмножества ⊂ и ⊃ на любом наборе множеств, например подмножествах фиксированного множества S . Это порождает первый пример двойственности, упомянутый выше.
• отношения деления и кратности целых чисел .
• отношения потомок и предок на множестве людей .

Преобразование двойственности — это инволютивный антиавтоморфизм f частично упорядоченного множества S , то есть инволюция f  : S → S , меняющая порядок . ^{[8] [9]} В некоторых важных случаях эти простые свойства определяют преобразование однозначно с точностью до некоторых простых симметрий. Например, если f1 , f2 — два преобразования двойственности, _{то их} композиция является порядковым автоморфизмом S ; таким образом, любые два преобразования двойственности различаются только порядковым автоморфизмом. Например, все автоморфизмы порядка степенного множества S = 2 ^R индуцируются перестановками R .

Понятие, определенное для частичного порядка P , будет соответствовать двойственному понятию на двойственном частично упорядоченном множестве P ^d . Например, минимальный элемент P будет максимальным элементом Pd : минимальность и максимальность — двойственные понятия в теории порядка ^. Другими парами двойственных понятий являются верхняя и нижняя границы , нижние множества и верхние множества , идеалы и фильтры .

В топологии открытые множества и закрытые множества — это двойственные понятия: дополнение открытого множества является замкнутым, и наоборот. В теории матроидов семейство множеств, дополняющих независимые множества данного матроида, сами образуют другой матроид, называемый двойственным матроидом .

Двойственности, меняющие измерения

Характеристики куба и его двойного октаэдра соответствуют один к одному с обратными размерами.

Существует множество различных, но взаимосвязанных двойственностей, в которых геометрические или топологические объекты соответствуют другим объектам того же типа, но с инверсией размеров характеристик объектов. Классическим примером этого является двойственность Платоновых тел , в которой куб и октаэдр образуют двойственную пару, додекаэдр и икосаэдр образуют двойственную пару, а тетраэдр самодуален. Двойственный многогранник любого из этих многогранников может быть образован как выпуклая оболочка центральных точек каждой грани основного многогранника, поэтому вершины двойственного многогранника соответствуют один к одному с гранями основного. Аналогично, каждое ребро двойственного соответствует ребру простого, а каждая грань двойственного соответствует вершине простого. Эти соответствия сохраняют инцидентность: если две части основного многогранника касаются друг друга, то же касается и соответствующих двух частей двойственного многогранника . В более общем смысле, используя концепцию полярного возвратно-поступательного движения , любой выпуклый многогранник или, в более общем смысле, любой выпуклый многогранник соответствует двойственному многограннику или двойственному многограннику, с i -мерным признаком n -мерного многогранника, соответствующим ( n - i - 1) -мерная особенность двойственного многогранника. Сохраняющая инцидентность природа двойственности отражается в том факте, что решетки граней простых и двойственных многогранников или многогранников сами по себе являются теоретико-порядковыми двойственными. Двойственность многогранников и теоретико-порядковая двойственность являются инволюциями : двойственный многогранник двойственного многогранника любого многогранника является исходным многогранником, а двукратное обращение всех отношений порядка возвращает к исходному порядку. Выбор другого центра полярности приводит к геометрически различным двойственным многогранникам, но все они имеют одинаковую комбинаторную структуру.

Плоский граф выделен синим цветом, а его двойственный график — красным.

Из любого трехмерного многогранника можно составить планарный граф — граф его вершин и ребер. Двойственный многогранник имеет двойственный граф — граф с одной вершиной для каждой грани многогранника и с одним ребром для каждых двух соседних граней. Та же самая концепция двойственности плоского графа может быть обобщена на графы, нарисованные на плоскости, но не исходящие из трехмерного многогранника, или, в более общем смысле, на вложения графов на поверхностях более высокого рода: можно нарисовать двойственный граф, поместив одна вершина внутри каждой области, ограниченной циклом ребер во вложении, и рисование ребра, соединяющего любые две области, имеющие общее граничное ребро. Важный пример этого типа взят из вычислительной геометрии : двойственность для любого конечного набора S точек на плоскости между триангуляцией Делоне S и диаграммой Вороного S. Как и в случае с двойственными многогранниками и двойственными многогранниками, двойственность графов на поверхностях представляет собой инволюцию, обращающую размерность: каждая вершина в простом внедренном графе соответствует области двойственного вложения, каждое ребро в простом графе пересекается ребром в двойственном графе. , и каждая область основного соответствует вершине двойственного. Двойственный граф зависит от того, как вложен основной граф: разные планарные вложения одного графа могут привести к разным двойственным графам. Дуальность матроида — это алгебраическое расширение двойственности планарного графа в том смысле, что двойственный матроид графического матроида планарного графа изоморфен графическому матроиду двойственного графа.

В теории оптимизации также встречается своего рода геометрическая двойственность , но не та, которая меняет местами измерения. Линейная программа может быть задана системой действительных переменных (координатами точки в евклидовом пространстве ), системой линейных ограничений (определяющих, что точка лежит в полупространстве ; пересечение этих полупространств представляет собой выпуклый многогранник, допустимый область программы) и линейная функция (что оптимизировать). Каждая линейная программа имеет двойственную задачу с одним и тем же оптимальным решением, но переменные в двойственной задаче соответствуют ограничениям в основной задаче и наоборот. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Двойственность в логике и теории множеств

В логике функции или отношения A и B считаются двойственными, если A (¬x ) = ¬B ( x ) , где ¬ — логическое отрицание . Основная двойственность этого типа — это двойственность кванторов ∃ и ∀ в классической логике. Они двойственны, потому что ∃ x .¬ P ( x ) и ¬∀ x . P ( x ) эквивалентны для всех предикатов P в классической логике: если существует x , для которого P не выполняется, то неверно, что P выполняется для всех x (но обратное не выполняется конструктивно). Из этой фундаментальной логической двойственности вытекают еще несколько:

• Говорят, что формула выполнима в определенной модели, если ее свободным переменным присвоены значения , которые делают ее истинной; оно действительно , если каждое присвоение его свободным переменным делает его истинным. Выполнимость и обоснованность двойственны, поскольку недействительными являются именно те формулы, отрицания которых выполнимы, а невыполнимыми являются те формулы, отрицания которых действительны. Это можно рассматривать как частный случай предыдущего пункта, когда квантификаторы варьируются в зависимости от интерпретации.
• В классической логике операторы ∧ и ∨ двойственны в этом смысле, поскольку (¬ x ∧ ¬ y ) и ¬( x ∨ y ) эквивалентны. Это означает, что для каждой теоремы классической логики существует эквивалентная двойственная теорема. Законы де Моргана являются примерами. В более общем смысле, ∧ (¬ x _i ) = ¬ ∨ x _i . Левая часть истинна тогда и только тогда, когда ∀ i .¬ x _i , а правая часть тогда и только тогда, когда ¬∃ i . х _я .
• В модальной логике □ p означает , что предложение p «необходимо» истинно, а ◊ p , что p «возможно» истинно. Большинство интерпретаций модальной логики приписывают этим двум операторам двойное значение. Например, в семантике Крипке « p возможно истинно» означает «существует некоторый мир W такой, что p истинно в W », тогда как « p обязательно истинно» означает «для всех миров W p истинно в W ». Тогда двойственность □ и ◊ следует из аналогичной двойственности ∀ и ∃ . Другие двойственные модальные операторы ведут себя аналогично. Например, во временной логике есть операторы, обозначающие «будет истинно в какой-то момент в будущем» и «будет истинно в любое время в будущем», которые также являются двойственными.

Из этого следуют другие аналогичные двойственности:

• Теоретико-множественное объединение и пересечение двойственны относительно оператора дополнения множества ⋅ ^C . То есть A ^C ∩ B ^C = ( A ∪ B ) ^C и, в более общем смысле, ∩ A^С
  _αзнак равно ( ∪ А _α ) ^C . Это следует из двойственности ∀ и ∃ : элемент x является членом ∩ A^С
  _αтогда и только тогда, когда ∀ α .¬ x ∈ A _α , и является членом ( ∪ A _α ) ^C тогда и только тогда, когда ¬∃ α . Икс ∈ А _α .

Двойные объекты

Группу двойственностей можно описать, наделив для любого математического объекта X множество морфизмов Hom ( X , D ) в некоторый фиксированный объект D со структурой , аналогичной структуре X. Иногда это называют внутренним Hom . В общем, это дает истинную двойственность только для конкретного выбора D , и в этом случае X ^* = Hom ( X , D ) называется двойственным к X. Всегда существует отображение X в бидуальное , то есть двойственное двойственному.

$${\displaystyle X\to X^{**}:=(X^{*})^{*}=\operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (X,D),D).}$$

x ∈ Xf  : X → DHom( X , D )f ( x )X

Еще раз о двойственных векторных пространствах

Построение двойственного векторного пространства

$${\displaystyle V^{*}=\operatorname {Hom} (V,K)}$$

линейных отображенийV → V ^**размерность V

Изоморфизмы V и V ^∗ и пространства внутреннего произведения

Векторное пространство V изоморфно V ^∗ в точности, если V конечномерно. В этом случае такой изоморфизм эквивалентен невырожденной билинейной форме

$${\displaystyle \varphi :V\times V\to K}$$

Vпространством внутреннего продуктаKдействительныхкомплексных чиселположительно определеннаяримановой геометриисчитаетсяпространством,римановыми метрикамизвезда Ходжаалгебрыnk -формы( n - k )уравнений Максвелламагнитногоэлектрического полей

Двойственность в проективной геометрии

Полный четырехугольник , конфигурация из четырех точек и шести линий на проективной плоскости (слева), и его двойственная конфигурация, полный четырехугольник, с четырьмя линиями и шестью точками (справа).

В некоторых проективных плоскостях можно найти геометрические преобразования , которые отображают каждую точку проективной плоскости в линию, а каждую линию проективной плоскости в точку способом, сохраняющим инцидентность. ^[10] Для таких плоскостей возникает общий принцип двойственности в проективных плоскостях : для любой теоремы в такой плоской проективной геометрии замена повсюду терминов «точка» и «линия» приводит к новой, столь же действительной теореме. ^[11] Простой пример: утверждение «две точки определяют уникальную линию, линия, проходящая через эти точки» имеет двойственное утверждение: «две линии определяют уникальную точку, точку пересечения этих двух линий». Дополнительные примеры см. в разделе Двойственные теоремы .

Концептуальное объяснение этого явления в некоторых плоскостях (особенно в плоскостях поля) предлагает двойственное векторное пространство. Фактически, точки проективной плоскости соответствуют одномерным субвекторным пространствам ^[12] , а прямые на проективной плоскости соответствуют субвекторным пространствам размерности 2. Двойственность в таких проективных геометриях возникает из-за приписывания одномерному подпространству состоящего из тех линейных отображений , которые удовлетворяют . Как следствие формулы размерности линейной алгебры это пространство двумерно, т. е. соответствует прямой на проективной плоскости, ассоциированной с . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(V)=0}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$

(Положительно определенная) билинейная форма

$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}}$$

ортогональномудвойственности в проективной геометрии ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left\{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rangle =0{\text{ for all }}v\in V\right\}}$

Топологические векторные пространства и гильбертовы пространства

В области топологических векторных пространств существует аналогичная конструкция, заменяющая двойственное векторное пространство топологическим двойственным векторным пространством. Существует несколько представлений о топологическом дуальном пространстве, и каждое из них порождает определенное понятие двойственности. Топологическое векторное пространство , канонически изоморфное своему бидуальному пространству, называется рефлексивным пространством : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$

$${\displaystyle X\cong X''.}$$

Примеры:

• Как и в конечномерном случае, в каждом гильбертовом пространстве H его скалярное произведение ⟨⋅, ⋅⟩ определяет отображение
  $${\displaystyle H\to H^{*},v\mapsto (w\mapsto \langle w,v\rangle ),}$$
  которая является биекцией согласно теореме о представлении Рисса . Как следствие, каждое гильбертово пространство является рефлексивным банаховым пространством .
• Двойственным нормированным пространством L p -пространства является L ^q , где 1/ p + 1/ q = 1 при условии, что 1 ≤ p < ∞ , но двойственное пространство к L ^∞ больше, чем L 1 ^. Следовательно, L ¹ не является рефлексивным.
• Распределения представляют собой линейные функционалы на соответствующих пространствах функций. Они являются важным техническим средством в теории уравнений в частных производных (УЧП): вместо непосредственного решения УЧП может быть проще сначала решить УЧП в «слабом смысле», т. е. найти распределение, которое удовлетворяет УЧП и , во-вторых, чтобы показать, что решение на самом деле должно быть функцией. ^[13] Все стандартные пространства распределений — , , — являются рефлексивными локально выпуклыми пространствами. ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)'}$

Дальнейшие двойные объекты

Двойственная решетка решетки L задается формулой ^[ необходимы ^{пояснения ]}

$${\displaystyle \operatorname {Hom} (L,\mathbf {Z} ),}$$

торических многообразий^[15] Двойственная Понтрягинутопологическая группа G

$${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,S^{1}),}$$

групповые гомоморфизмы

Двойные категории

Противоположная категория и присоединенные функторы

В другой группе дуальностей объекты одной теории переводятся в объекты другой теории, а отображения между объектами первой теории переводятся в морфизмы второй теории, но с обратным направлением. На языке теории категорий это представляет собой контравариантный функтор между двумя категориями C и D :

Ф : С → Д

что для любых двух объектов X и Y из C дает карту

Хом _C ( Икс , Y ) → Хом _D ( F ( Y ), F ( Икс ))

Этот функтор может быть или не быть эквивалентностью категорий . Существуют различные ситуации, когда такой функтор является эквивалентностью между противоположной категорией C ^op категории C и D . Используя двойственность этого типа, каждое утверждение первой теории можно перевести в «двойственное» утверждение второй теории, где направление всех стрелок должно быть изменено на противоположное. ^[16] Следовательно, любая двойственность между категориями C и D формально аналогична эквивалентности между C и D ^op ( C ^op и D ). Однако во многих случаях противоположные категории не имеют собственного значения, что делает двойственность дополнительным, отдельным понятием. ^[17]

Категория, эквивалентная своей двойственной, называется самодвойственной . Примером самодвойственной категории является категория гильбертовых пространств . ^[18]

Многие теоретико-категорные понятия существуют парами в том смысле, что они соответствуют друг другу при рассмотрении противоположной категории. Например, декартовы произведения Y ₁ × Y ₂ и непересекающиеся объединения множеств Y ₁ ⊔ Y ₂ двойственны друг другу в том смысле, что

Хом ( Икс , Y ₁ × Y ₂ ) знак равно Хом ( Икс , Y ₁ ) × Хом ( Икс , Y ₂ )

и

Хом ( Y ₁ ⊔ Y ₂ , Икс ) знак равно Хом ( Y ₁ , Икс ) × Хом ( Y ₂ , Икс )

для любого множества X. Это частный случай более общего явления двойственности, при котором пределы в категории C соответствуют копределам в противоположной ^{категории} Cop ; Дальнейшими конкретными примерами этого являются эпиморфизмы и мономорфизмы , в частности фактор-модули (или группы и т. д.) и подмодули , прямые произведения и прямые суммы (также называемые копродукциями , чтобы подчеркнуть аспект двойственности). Поэтому в некоторых случаях доказательства некоторых утверждений можно сократить вдвое, используя такое явление двойственности. Дальнейшими понятиями, связанными с такой категориальной двойственностью, являются проективные и инъективные модули в гомологической алгебре , ^[19] расслоения и корасслоения в топологии и, в более общем плане, модельные категории . ^[20]

Два функтора F : C → D и G : D → C сопряжены , если для всех объектов c в C и d в D

Hom _D (F( c ), d ) ≅ Hom _C ( c , G ( d )) ,

естественным образом. Собственно, соответствие пределов и копределов является примером сопряженных, поскольку имеется присоединение

колим: C ^I ↔ C : Δ

между функтором копредела, который присваивает любой диаграмме в C , индексированной некоторой категорией I, ее копредел, и диагональным функтором, который отображает любой объект c из C в постоянную диаграмму, которая имеет c во всех местах. Двойственно,

Δ: C ↔ C ^I : lim .

Пространства и функции

Двойственность Гельфанда — это двойственность между коммутативными С*-алгебрами А и компактными хаусдорфовыми пространствами X. То же самое: она сопоставляет X пространство непрерывных функций (которые обращаются в нуль на бесконечности) от X до C — комплексных чисел. И наоборот, пространство X можно восстановить из A как спектр A . Двойственность как Гельфанда, так и Понтрягина может быть выведена в значительной степени формальным, теоретико-категорным способом. ^[21]

Подобным же образом в алгебраической геометрии существует двойственность между коммутативными кольцами и аффинными схемами : каждому коммутативному кольцу A соответствует аффинный спектр Spec A. _{И наоборот, учитывая} аффинную схему S , можно получить обратно кольцо, взяв глобальные сечения структурного пучка OS . Кроме того, гомоморфизмы колец находятся во взаимно однозначном соответствии с морфизмами аффинных схем, тем самым имеет место эквивалентность

(Коммутативные кольца) ^op ≅ (аффинные схемы) ^[22]

Аффинные схемы являются локальными строительными блоками схем . Таким образом, предыдущий результат говорит о том, что локальная теория схем — это то же самое, что и коммутативная алгебра , изучение коммутативных колец.

Некоммутативная геометрия черпает вдохновение из двойственности Гельфанда и изучает некоммутативные C*-алгебры, как если бы они были функциями в некотором воображаемом пространстве. Дуальность Таннаки–Крейна является некоммутативным аналогом двойственности Понтрягина. ^[23]

Связи Галуа

В ряде ситуаций две двойственные друг другу категории на самом деле возникают из частично упорядоченных множеств, т. е. существует некое представление о том, что один объект «меньше», чем другой. Двойственность, которая соблюдает рассматриваемый порядок, известна как связь Галуа . Примером может служить стандартная двойственность в теории Галуа, упомянутая во введении: большее расширение поля соответствует — при отображении, которое ставит в соответствие любому расширению L ⊃ K (внутри некоторого фиксированного большего поля Ω) группу Галуа Gal (Ω/ L ) — меньшая группа. ^[24]

Совокупность всех открытых подмножеств топологического пространства X образует полную алгебру Гейтинга . Существует двойственность, известная как двойственность Камня , соединяющая трезвые пространства и пространственные места .

• Теорема Биркгофа о представлении , связывающая дистрибутивные решетки и частичные порядки

Двойственность Понтрягина

Двойственность Понтрягина дает двойственность в категории локально компактных абелевых групп : для любой такой группы G группа характеров

χ( грамм ) знак равно Ном ( грамм , S ¹ )

заданные непрерывными групповыми гомоморфизмами из G в группу окружностей S1 ^, могут быть наделены компактно-открытой топологией . Двойственность Понтрягина утверждает, что группа характеров снова является локально компактной абелевой и что

G ≅ χ(χ( G )). ^[25]

Более того, дискретные группы соответствуют компактным абелевым группам ; конечные группы соответствуют конечным группам. С одной стороны, Понтрягин — частный случай гельфандовской двойственности. С другой стороны, это концептуальная причина анализа Фурье , см. ниже.

Аналитическая двойственность

В анализе задачи часто решают путем перехода к двойственному описанию функций и операторов.

Преобразование Фурье переключается между функциями в векторном пространстве и его двойственном пространстве:

$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx,}$$

$${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .}$$

fL ² -функцией, скажем ^,RRNсверткифункциональных пространствахRRN ^иRe ^{−2 πixξ}квантово-механических ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle f(-x)={\widehat {\widehat {f}}}(x)}$

• Преобразование Лапласа аналогично преобразованию Фурье и заменяет операторы умножения на многочлены линейными дифференциальными операторами с постоянным коэффициентом .
• Преобразование Лежандра — важная аналитическая двойственность, которая переключает скорости в лагранжевой механике и импульсы в гамильтоновой механике .

Гомологии и когомологии

Теоремы, показывающие, что некоторые интересующие объекты являются двойственными пространствами (в смысле линейной алгебры) других интересующих объектов, часто называют двойственностями . Многие из этих двойственностей задаются билинейным спариванием двух K -векторных пространств.

А ⊗ Б → К .

Следовательно , для совершенных спариваний существует изоморфизм A двойственному к B .

Двойственность Пуанкаре

Двойственность Пуанкаре гладкого компактного комплексного многообразия X задается спариванием сингулярных когомологий с C -коэффициентами (эквивалентно пучковыми когомологиями постоянного пучка C )

ЧАС ^я (X) ⊗ ЧАС ^{2 п - я} (X) → C ,

где n — (комплексная) размерность X. ^[26] Двойственность Пуанкаре также может быть выражена как отношение сингулярных гомологий и когомологий де Рама , утверждая, что отображение

${\displaystyle (\gamma ,\omega )\mapsto \int _{\gamma }\omega }$

(интегрирование дифференциальной k -формы по 2 n − k -(вещественному) -мерному циклу) является идеальным спариванием.

Двойственность Пуанкаре также меняет местами измерения; это соответствует тому факту, что если топологическое многообразие представлено как клеточный комплекс , то двойственный комплекс (многомерное обобщение двойственного плоского графа) представляет то же самое многообразие. В двойственности Пуанкаре этот гомеоморфизм отражается в изоморфизме k -й группы гомологий и ( n  −  k )-й группы когомологий .

Двойственность в алгебраической и арифметической геометрии.

Та же модель двойственности справедлива для гладкого проективного многообразия над сепарабельно замкнутым полем , вместо этого используются l-адические когомологии с Q _ℓ -коэффициентами. ^[27] Это далее обобщается на возможные сингулярные многообразия , используя вместо этого когомологии пересечения , двойственность, называемую двойственностью Вердье . ^[28] Двойственность Серра или когерентная двойственность аналогичны приведенным выше утверждениям, но вместо этого применяются к когомологиям когерентных пучков . ^[29]

Оказывается, с ростом уровня общности для понимания этих теорем полезно или необходимо все больше технических знаний: современная формулировка этих дуальностей может быть сделана с использованием производных категорий и определенных функторов прямых и обратных образов пучков (по отношению к классическая аналитическая топология на многообразиях для двойственности Пуанкаре, l-адических пучков и этальной топологии во втором случае и относительно когерентных пучков для когерентной двойственности).

Еще одна группа подобных утверждений двойственности встречается в арифметике : этальные когомологии конечных , локальных и глобальных полей (также известные как когомологии Галуа , поскольку этальные когомологии над полем эквивалентны групповым когомологиям (абсолютной) группы Галуа поля) признать похожие пары. Например , абсолютная группа Галуа G ( F _q ) конечного поля изоморфна , проконечному пополнению Z , целым числам. Следовательно, идеальное спаривание (для любого G -модуля M ) ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}}$

ЧАС ^п ( грамм , M ) × ЧАС ^{1− п} ( грамм , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z ^[30]

является прямым следствием двойственности Понтрягина конечных групп. Для локальных и глобальных полей существуют аналогичные утверждения ( локальная двойственность и глобальная двойственность или двойственность Пуату-Тейта ). ^[31]

Смотрите также

• Сопряженный функтор
• Автономная категория
• Выпуклое тело и полярное тело.
• Двойное абелевое многообразие
• Двойной базис
• Двойной (теория категорий)
• Двойной код
• Двойственность (электротехника)
• Двойственность (оптимизация)
• Дуализирующий модуль
• Дуализирующая связка
• Двойная решетка
• Двойная норма
• Двойственные числа , некоторая ассоциативная алгебра ; термин «двойной» здесь является синонимом слова « двойной» и не имеет отношения к понятиям, данным выше.
• Двойная система
• Кошульская двойственность
• Ленглендс двойной
• Линейное программирование # Двойственность
• Список дуальностей
• Двойственность Матлиса
• Двойственность Петри
• Двойственность Понтрягина
• S-двойственность
• Т-двойственность , Зеркальная симметрия

Примечания

1. Атья 2007, с. 1
2. Кострикин 2001. Эта цитата является первым предложением последнего раздела «Комментарии» в этом одностраничном документе.
3. Гауэрс 2008, с. 187, кол. 1
4. Гауэрс 2008, с. 189, кол. 2
5. Атья 2007, с. 1
6. Дополнение также обозначается как S \ A .
7. Точнее, это наименьший замкнутый выпуклый конус , содержащий . ${\displaystyle C^{**}}$ ${\displaystyle C}$
8. Артштейн-Авидан и Милман, 2007 г.
9. Артштейн-Авидан и Милман, 2008 г.
10. Веблен и Янг 1965.
11. (Веблен и Янг, 1965, глава I, теорема 11)
12. В более общем плане можно рассматривать проективные плоскости над любым полем, например, над комплексными числами, конечными полями или даже телами .
13. См. эллиптическую регулярность .
14. Эдвардс (1965, 8.4.7).
15. Фултон 1993
16. Мак Лейн 1998, гл. II.1.
17. (Лам 1999, §19C)
18. Иржи Адамек; Дж. Росицки (1994). Локально презентабельные и доступные категории. Издательство Кембриджского университета. п. 62. ИСБН 978-0-521-42261-1.
19. Вайбель (1994)
20. Дуайер и Спалиньски (1995)
21. Негрепонтис 1971.
22. Хартсхорн 1966, гл. II.2, особенно. Предложение II.2.3
23. Радостный и улица (1991)
24. См. (Lang 2002, теорема VI.1.1) о конечных расширениях Галуа.
25. (Лумис 1953, стр. 151, раздел 37D)
26. Гриффитс и Харрис 1994, стр. 56
27. Милн 1980, гл. VI.11
28. Иверсен 1986, гл. VII.3, VII.5
29. Хартсхорн 1966, гл. III.7
30. Милн (2006, пример I.1.10)
31. Мазур (1973); Милн (2006)

Рекомендации

Двойственность в целом

• Атья, Майкл (2007). «Конспекты лекций по двойственности в математике и физике Института математики Университета Барселоны (IMUB)» (PDF) .
• Кострикин, А.И. (2001) [1994], «Двойственность», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Гауэрс, Тимоти (2008), «Двойственность III.19», The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 187–190..
• Картье, Пьер (2001), «Безумный рабочий день: от Гротендика до Конна и Концевича. Эволюция понятий пространства и симметрии», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 38 (4): 389–408, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00913-2 , ISSN  0002-9904, MR  1848254(нетехнический обзор некоторых аспектов геометрии, включая дуальность)

Двойственность в алгебраической топологии

• Джеймс К. Беккер и Дэниел Генри Готлиб, История двойственности в алгебраической топологии

Конкретные двойственности

• Артштейн-Авидан, Шири ; Милман, Виталий (2008), «Концепция двойственности проекций мер выпуклых тел», Journal of Functional Analysis , 254 (10): 2648–66, CiteSeerX  10.1.1.417.3470 , doi : 10.1016/j.jfa.2007.11 .008. Также авторский сайт.
• Арштейн-Авидан, Шири; Милман, Виталий (2007), «Характеристика концепции двойственности», Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences , 14 : 42–59, заархивировано из оригинала 24 июля 2011 г. , получено 30 мая 2009 г.. Также авторский сайт.
• Дуайер, Уильям Г .; Спалиньский, Ян (1995), «Гомотопические теории и модельные категории», Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 73–126, MR  1361887.
• Фултон, Уильям (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, МР  1288523
• Хартсхорн, Робин (1966), Остатки и двойственность , Конспект лекций по математике, том. 20, Springer-Verlag , стр. 20–48, ISBN. 978-3-540-34794-1
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157, OCLC  13348052
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, МР  0842190
• Джоял, Андре ; Стрит, Росс (1991), «Введение в дуальность Таннака и квантовые группы» (PDF) , Теория категорий , Конспекты лекций по математике, том. 1488, Springer-Verlag , стр. 413–492, номер документа : 10.1007/BFb0084235, ISBN. 978-3-540-46435-8, МР  1173027
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, том. 189, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-0-387-98428-5, МР  1653294
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 211, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-0-387-95385-4, МР  1878556
• Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, стр. x+190, hdl : 2027/uc1.b4250788
• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2
• Мазур, Барри (1973), «Заметки об этальных когомологиях числовых полей», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 (4): 521–552, doi : 10.24033/asens.1257 , ISSN  0012-9593 , МР  0344254
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7
• Милн, Джеймс С. (2006), Теоремы арифметической двойственности (2-е изд.), Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC, ISBN 978-1-4196-4274-6, МР  2261462
• Негрепонтис, Джоан В. (1971), «Двойственность в анализе с точки зрения троек», Journal of Algebra , 19 (2): 228–253, doi : 10.1016/0021-8693(71)90105-0, ISSN  0021-8693, МР  0280571
• Веблен, Освальд ; Янг, Джон Уэсли (1965), Проективная геометрия. Том. 1, 2 , Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., MR  0179666
• Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55987-4, МР  1269324
• Эдвардс, Р.Э. (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.