Парабола

Плоская кривая: коническое сечение

Часть параболы (синяя) с различными особенностями (другие цвета). Полная парабола не имеет конечных точек. В этой ориентации она простирается бесконечно влево, вправо и вверх.

Парабола является членом семейства конических сечений .

В математике парабола — это плоская кривая , которая является зеркально-симметричной и имеет приблизительно U-образную форму. Она соответствует нескольким внешне различным математическим описаниям, которые, как можно доказать, определяют одни и те же кривые.

Одно описание параболы включает точку ( фокус ) и линию ( директрису ). Фокус не лежит на директрисе. Парабола — это геометрическое место точек в этой плоскости, которые равноудалены от директрисы и фокуса. Другое описание параболы — это коническое сечение , созданное пересечением прямой круговой конической поверхности и плоскости , параллельной другой плоскости, которая касается конической поверхности. ^[a]

График квадратичной функции ( при ) представляет собой параболу с осью, параллельной оси Y. Обратно , каждая такая парабола является графиком квадратичной функции. ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

Линия, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус (то есть линия, которая разделяет параболу посередине), называется «осью симметрии». Точка, где парабола пересекает свою ось симметрии, называется « вершиной » и является точкой, где парабола наиболее резко изогнута. Расстояние между вершиной и фокусом, измеренное вдоль оси симметрии, является «фокусным расстоянием». « Прямая прямая » — это хорда параболы, которая параллельна директрисе и проходит через фокус. Параболы могут быть открыты вверх, вниз, влево, вправо или в каком-либо другом произвольном направлении. Любую параболу можно переместить и изменить масштаб, чтобы она точно соответствовала любой другой параболе, то есть все параболы геометрически подобны .

Параболы обладают тем свойством, что если они сделаны из материала, который отражает свет , то свет, который движется параллельно оси симметрии параболы и падает на ее вогнутую сторону, отражается в ее фокус, независимо от того, где на параболе происходит отражение. И наоборот, свет, который исходит от точечного источника в фокусе, отражается в параллельный (« коллимированный ») луч, оставляя параболу параллельной оси симметрии. Те же эффекты происходят со звуком и другими волнами . Это отражательное свойство является основой многих практических применений парабол.

Парабола имеет множество важных применений: от параболической антенны или параболического микрофона до автомобильных фар- рефлекторов и проектирования баллистических ракет . Она часто используется в физике , технике и многих других областях.

История

Параболический компас, разработанный Леонардо да Винчи

Самая ранняя известная работа по коническим сечениям была написана Менехмом в IV веке до н. э. Он открыл способ решения задачи удвоения куба с помощью парабол. (Решение, однако, не удовлетворяет требованиям построения с помощью циркуля и линейки .) Площадь, ограниченная параболой и отрезком прямой, так называемым «отрезком параболы», была вычислена Архимедом методом исчерпывания в III веке до н. э. в его «Квадратуре параболы» . Название «парабола» произошло от Аполлония , который открыл многие свойства конических сечений. Оно означает «приложение», ссылаясь на концепцию «приложения площадей», которая имеет связь с этой кривой, как доказал Аполлоний. ^[1] Свойство фокуса–директрисы параболы и других конических сечений принадлежит Паппу .

Галилей показал, что траектория снаряда следует параболе, что является следствием равномерного ускорения под действием силы тяжести.

Идея о том, что параболический рефлектор может создавать изображение, была хорошо известна еще до изобретения рефлекторного телескопа . ^[2] Конструкции предлагались в начале и середине 17 века многими математиками , включая Рене Декарта , Марена Мерсенна , ^[3] и Джеймса Грегори . ^[4] Когда Исаак Ньютон построил первый рефлекторный телескоп в 1668 году, он отказался от параболического зеркала из-за сложности его изготовления, выбрав сферическое зеркало . Параболические зеркала используются в большинстве современных рефлекторных телескопов, а также в спутниковых антеннах и радиолокационных приемниках. ^[5]

Определение как геометрическое место точек

Параболу можно геометрически определить как множество точек ( геометрическое место точек ) на евклидовой плоскости:

Парабола — это множество точек, такое, что для любой точки множества расстояние до фиксированной точки , фокуса , равно расстоянию до фиксированной линии , директрисы : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF|}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |Pl|}$ ${\displaystyle l}$ $${\displaystyle \{P:|PF|=|Pl|\}.}$$

Середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, называется вершиной , а прямая — осью симметрии параболы. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle FV}$

В декартовой системе координат

Ось симметрии параллельнауось

Парабола с осью, параллельной оси Y ; p - полуширокая прямая кишка

Если ввести декартовы координаты , такие что и директриса имеет уравнение , то для точки из уравнения получим . Решение для дает ${\displaystyle F=(0,f),\ f>0,}$ ${\displaystyle y=-f}$ ${\displaystyle P=(x,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=|Pl|^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}x^{2}.}$$

Эта парабола имеет U-образную форму ( отверстие направлено вверх ).

Горизонтальная хорда, проходящая через фокус (см. рисунок в начале раздела), называется latus rectum ; одна ее половина — это полуlatus rectum . latus rectum параллелен директрисе. Полуlatus rectum обозначается буквой . Из рисунка следует ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p=2f.}$$

Latus rectum определяется аналогично для двух других конических фигур – эллипса и гиперболы. Latus rectum – это линия, проведенная через фокус конического сечения параллельно директрисе и заканчивающаяся в обоих направлениях кривой. Для любого случая – радиус соприкасающейся окружности в вершине. Для параболы semi-latus rectum – это расстояние фокуса от директрисы. Используя параметр , уравнение параболы можно переписать как ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle x^{2}=2py.}$$

В более общем случае, если вершина — это , фокус — это , а директриса — это , то получается уравнение ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$ ${\displaystyle y=v_{2}-f}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}$$

Замечания :

1. В случае параболы отверстие направлено вниз. ${\displaystyle f<0}$
2. Предположение о том, что ось параллельна оси y, позволяет рассматривать параболу как график многочлена степени 2, и наоборот: график произвольного многочлена степени 2 является параболой (см. следующий раздел).
3. Если поменять местами и , то получим уравнения вида . Эти параболы выходят влево (если ) или вправо (если ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}=2px}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle p>0}$

Общая позиция

Парабола: общее положение

Если фокус равен , а директриса , то получается уравнение ${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$ ${\displaystyle ax+by+c=0}$ $${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}$$

(левая часть уравнения использует нормальную форму Гессе для расчета расстояния ). ${\displaystyle |Pl|}$

Параметрическое уравнение параболы общего положения см. в § Как аффинный образ единичной параболы.

Неявное уравнение параболы определяется неприводимым многочленом второй степени: таким, что или, что то же самое, таким, что является квадратом линейного многочлена . $${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$$ ${\displaystyle b^{2}-4ac=0,}$ ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

Как график функции

Параболы ${\displaystyle y=ax^{2}}$

В предыдущем разделе показано, что любую параболу с началом координат в качестве вершины и осью Y в качестве оси симметрии можно рассматривать как график функции $${\displaystyle f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.}$$

Для параболы имеют раскрытие вверх, а для раскрываются вниз (см. рисунок). Из приведенного выше сечения получаем: ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$

• Основное внимание уделяется , ${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{4a}}\right)}$
• фокусное расстояние , полуширокая прямая кишка , ${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• вершина - это , ${\displaystyle (0,0)}$
• директриса имеет уравнение , ${\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}$
• касательная в точке имеет уравнение . ${\displaystyle (x_{0},ax_{0}^{2})}$ ${\displaystyle y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}}$

Для параболы есть единичная парабола с уравнением . Ее фокус — прямая полуширота , а директриса имеет уравнение . ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4}}}$

Общая функция степени 2 — это Дополнение квадрата дает уравнение параболы с $${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c~~{\text{ with }}~~a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0.}$$ $${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},}$$

• ось (параллельно оси Y ), ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$
• фокусное расстояние , полуширокая прямая кишка , ${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• вершина ,​ ${\displaystyle V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$
• фокус ,​ ${\displaystyle F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)}$
• директриса ,​ ${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}}$
• точка параболы, пересекающая ось y , имеет координаты , ${\displaystyle (0,c)}$
• касательная в точке на оси Y имеет уравнение . ${\displaystyle y=bx+c}$

Подобие единичной параболе

Если параболу равномерно масштабировать с коэффициентом 2, то получится парабола ${\displaystyle \color {blue}{y=2x^{2}}}$ ${\displaystyle \color {red}{y=x^{2}}}$

Два объекта на евклидовой плоскости подобны, если один из них может быть преобразован в другой посредством подобия , то есть произвольной композиции жестких движений ( перемещений и вращений ) и равномерных масштабирований .

Парабола с вершиной может быть преобразована переносом в параболу с началом координат в качестве вершины. Подходящее вращение вокруг начала координат может затем преобразовать параболу в параболу, имеющую ось y в качестве оси симметрии. Следовательно, парабола может быть преобразована жестким движением в параболу с уравнением . Такая парабола затем может быть преобразована равномерным масштабированием в единичную параболу с уравнением . Таким образом, любая парабола может быть отображена в единичную параболу с помощью подобия. ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle (x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle y=ax^{2},\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x,y)\to (ax,ay)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$

Для установления этого результата можно также использовать синтетический подход с использованием подобных треугольников. [ 7 ^]

Общий результат состоит в том, что два конических сечения (обязательно одного и того же типа) подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый эксцентриситет. ^[6] Следовательно, только окружности (все с эксцентриситетом 0) обладают этим свойством вместе с параболами (все с эксцентриситетом 1), тогда как общие эллипсы и гиперболы им не обладают.

Существуют и другие простые аффинные преобразования, которые отображают параболу на единичную параболу, например . Но это отображение не является подобием, а лишь показывает, что все параболы аффинно эквивалентны (см. § Как аффинный образ единичной параболы). ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)}$

Как специальное коническое сечение

Пучок коник с общей вершиной

Пучок конических сечений с осью x в качестве оси симметрии, одной вершиной в начале координат ( 0, 0) и той же прямой полушириной можно представить уравнением с эксцентриситетом . ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,}$$ ${\displaystyle e}$

• Поскольку коника — это окружность (соприкасающаяся окружность карандаша), ${\displaystyle e=0}$
• для эллипса ,​ ${\displaystyle 0<e<1}$
• для параболы с уравнением ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle y^{2}=2px,}$
• для гиперболы (см. рисунок). ${\displaystyle e>1}$

В полярных координатах

Карандаш из коник с общим фокусом

Если p > 0 , то парабола с уравнением (раскрывающимся вправо) имеет полярное представление , где . ${\displaystyle y^{2}=2px}$ $${\displaystyle r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}$$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi }$

Его вершина — , а фокус — . ${\displaystyle V=(0,0)}$ ${\displaystyle F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)}$

Если сместить начало координат в фокус, то есть , то получим уравнение ${\displaystyle F=(0,0)}$ $${\displaystyle r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.}$$

Замечание 1: Обращение этой полярной формы показывает , что парабола является инверсией кардиоиды .

Замечание 2: Вторая полярная форма является частным случаем пучка коник с фокусом (см. рисунок): ( — эксцентриситет). ${\displaystyle F=(0,0)}$ $${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}}$$ ${\displaystyle e}$

Коническое сечение и квадратная форма

Диаграмма, описание и определения

Конус с поперечными сечениями

Диаграмма представляет собой конус с осью AV . Точка A является его вершиной . Наклонное сечение конуса, показанное розовым цветом, наклонено от оси на тот же угол θ , что и сторона конуса. Согласно определению параболы как конического сечения, граница этого розового сечения EPD является параболой.

Поперечное сечение, перпендикулярное оси конуса, проходит через вершину P параболы. Это поперечное сечение является круглым, но кажется эллиптическим, если смотреть на него под углом, как показано на рисунке. Его центр — V, а PK — диаметр. Мы будем называть его радиус  r .

Другое перпендикулярное к оси, круговое поперечное сечение конуса находится дальше от вершины A, чем только что описанное. Оно имеет хорду DE , которая соединяет точки пересечения параболы с окружностью. Другая хорда BC является серединным перпендикуляром DE и, следовательно, диаметром окружности. Эти две хорды и ось симметрии параболы PM пересекаются в точке M.

Все отмеченные точки, кроме D и E, копланарны . Они находятся в плоскости симметрии всей фигуры. Это включает точку F, которая не упомянута выше. Она определяется и обсуждается ниже, в § Положение фокуса.

Обозначим длину DM и EM как x , а длину PM как  y .

Вывод квадратного уравнения

Длины BM и CM составляют:

• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}=2y\cos \theta }$ (треугольник BPM равнобедренный , потому что ${\displaystyle {\overline {PM}}\parallel {\overline {AC}}\implies \angle PMB=\angle ACB=\angle ABC}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {CM} }}=2r}$ (PMCK — параллелограмм ).

Используя теорему о пересекающихся хордах на хордах BC и DE , получаем $${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.}$$

Замена: $${\displaystyle 4ry\cos \theta =x^{2}.}$$

Перестановка: $${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4r\cos \theta }}.}$$

Для любого заданного конуса и параболы r и θ являются константами, но x и y являются переменными, которые зависят от произвольной высоты, на которой сделано горизонтальное сечение BECD. Это последнее уравнение показывает связь между этими переменными. Их можно интерпретировать как декартовы координаты точек D и E в системе на розовой плоскости с P в качестве ее начала. Поскольку x в уравнении возведен в квадрат, тот факт, что D и E находятся по разные стороны от оси y, не важен. Если горизонтальное сечение движется вверх или вниз, к вершине конуса или от нее, D и E движутся вдоль параболы, всегда сохраняя связь между x и y, показанную в уравнении. Таким образом, параболическая кривая является геометрическим местом точек, где уравнение удовлетворяется, что делает ее декартовым графиком квадратичной функции в уравнении.

Фокусное расстояние

В предыдущем разделе доказано, что если парабола имеет вершину в начале координат и направлена ​​в положительном направлении оси y , то ее уравнение имеет вид y = ⁠х ²/4 ф⁠ , где f — фокусное расстояние. ^[b] Сравнение этого с последним уравнением выше показывает, что фокусное расстояние параболы в конусе равно r sin θ .

Положение фокуса

На схеме выше точка V является основанием перпендикуляра из вершины параболы к оси конуса. Точка F является основанием перпендикуляра из точки V к плоскости параболы. ^[c] По симметрии F находится на оси симметрии параболы. Угол VPF является дополнительным к θ , а угол PVF является дополнительным к углу VPF, поэтому угол PVF является θ . Поскольку длина PV равна r , расстояние F от вершины параболы равно r sin θ . Выше показано, что это расстояние равно фокусному расстоянию параболы, которое является расстоянием от вершины до фокуса. Таким образом, фокус и точка F одинаково удалены от вершины вдоль одной и той же линии, что подразумевает, что они являются одной и той же точкой. Следовательно, точка F, определенная выше, является фокусом параболы .

Это обсуждение началось с определения параболы как конического сечения, но теперь оно привело к описанию как графика квадратичной функции. Это показывает, что эти два описания эквивалентны. Они оба определяют кривые совершенно одинаковой формы.

Альтернативное доказательство с использованием сфер Данделина

Парабола (красная): вид сбоку и вид сверху на конус со сферой Данделена

Альтернативное доказательство можно сделать с использованием сфер Данделена . Оно работает без вычислений и использует только элементарные геометрические соображения (см. вывод ниже).

Пересечение прямого конуса плоскостью , наклон которой к вертикали равен образующей ( прямой, проходящей через вершину и точку на поверхности конуса) конуса, представляет собой параболу (красная кривая на рисунке). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}}$

Эта образующая является единственной образующей конуса, которая параллельна плоскости . В противном случае, если есть две образующие, параллельные пересекающейся плоскости, кривая пересечения будет гиперболой ( или вырожденной гиперболой , если две образующие лежат в пересекающейся плоскости). Если нет образующей, параллельной пересекающейся плоскости, кривая пересечения будет эллипсом или окружностью ( или точкой ). ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$

Пусть плоскость — это плоскость, содержащая вертикальную ось конуса и линию . Наклон плоскости от вертикали такой же, как и линия , что означает, что при взгляде сбоку (то есть плоскость перпендикулярна плоскости ), . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$

Для доказательства свойства директрисы параболы (см. § Определение как геометрического места точек выше) используется сфера Данделина , которая является сферой, касающейся конуса по окружности и плоскости в точке . Плоскость, содержащая окружность, пересекается с плоскостью по линии . В системе, состоящей из плоскости , сферы Данделина и конуса, существует зеркальная симметрия ( плоскость симметрии — ). ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sigma }$

Так как плоскость, содержащая окружность , перпендикулярна плоскости , и , то их линия пересечения также должна быть перпендикулярна плоскости . Так как прямая лежит в плоскости , . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi \perp \sigma }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle l\perp m_{0}}$

Оказывается, это фокус параболы , а это директриса параболы. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$

1. Пусть — произвольная точка кривой пересечения. ${\displaystyle P}$
2. Образующая конуса, содержащая окружность , пересекает ее в точке . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$
3. Отрезки и касательны к сфере и, следовательно, имеют одинаковую длину. ${\displaystyle {\overline {PF}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ${\displaystyle d}$
4. Образующая пересекает окружность в точке . Отрезки и касательны к сфере и, следовательно, имеют одинаковую длину. ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {ZD}}}$ ${\displaystyle {\overline {ZA}}}$ ${\displaystyle d}$
5. Пусть прямая будет прямой, параллельной точке и проходящей через нее . Поскольку , а точка лежит в плоскости , прямая должна лежать в плоскости . Поскольку , мы это также знаем. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}\perp l}$ ${\displaystyle q\perp l}$
6. Пусть точка является основанием перпендикуляра из точки на прямую , то есть является отрезком прямой , и, следовательно , . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}}$
7. Из теоремы о перехвате и мы знаем, что . Поскольку , мы знаем, что , а это значит, что расстояние от до фокуса равно расстоянию от до директрисы . ${\displaystyle {\overline {ZD}}={\overline {ZA}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PF}}}$ ${\displaystyle {\overline {PF}}={\overline {PB}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l}$

Доказательство отражающей способности

Отражательное свойство параболы

Отражательное свойство гласит, что если парабола может отражать свет, то свет, который входит в нее, перемещаясь параллельно оси симметрии, отражается по направлению к фокусу. Это вытекает из геометрической оптики , основанной на предположении, что свет распространяется лучами.

Рассмотрим параболу y = x ^2. Поскольку все параболы подобны, этот простой случай представляет все остальные.

Конструкция и определения

Точка E — произвольная точка параболы. Фокус — F, вершина — A (начало координат), а прямая FA — ось симметрии. Прямая EC параллельна оси симметрии, пересекает ось x в точке D и пересекает директрису в точке C. Точка B — середина отрезка FC .

Вычеты

Вершина A равноудалена от фокуса F и от директрисы. Поскольку C лежит на директрисе, координаты y точек F и C равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. B — середина FC . Ее координата x вдвое меньше, чем у D, то есть x /2 . Наклон линии BE равен частному длин ED и BD , что равно ⁠х ²/х /2⁠ = 2 x . Но 2 x также является наклоном (первой производной) параболы в точке E. Следовательно, линия BE является касательной к параболе в точке E.

Расстояния EF и EC равны, поскольку E находится на параболе, F — фокус, а C — на директрисе. Следовательно, поскольку B является средней точкой FC , треугольники △FEB и △CEB конгруэнтны (три стороны), что подразумевает, что углы, обозначенные α , конгруэнтны. (Угол над E вертикально противоположен углу ∠BEC.) Это означает, что луч света, который входит в параболу и достигает E, перемещаясь параллельно оси симметрии, будет отражаться линией BE, так что он будет перемещаться вдоль линии EF , как показано красным на диаграмме (предполагая, что линии могут каким-то образом отражать свет). Поскольку BE является касательной к параболе в точке E, то же самое отражение будет сделано бесконечно малой дугой параболы в точке E. Следовательно, свет, который входит в параболу и достигает E, перемещаясь параллельно оси симметрии параболы, отражается параболой к ее фокусу.

Этот вывод об отраженном свете применим ко всем точкам параболы, как показано на левой стороне диаграммы. Это отражательное свойство.

Другие последствия

Существуют и другие теоремы, которые можно просто вывести из приведенного выше рассуждения.

Свойство касательной бисекции

Приведенное выше доказательство и сопроводительная диаграмма показывают, что касательная BE делит пополам угол ∠FEC. Другими словами, касательная к параболе в любой точке делит пополам угол между прямыми, соединяющими точку с фокусом и перпендикулярно директрисе.

Пересечение касательной и перпендикуляра из фокуса

Перпендикулярно от фокуса к касательной

Так как треугольники △FBE и △CBE конгруэнтны, FB перпендикулярна касательной BE . Так как B лежит на оси x , которая является касательной к параболе в ее вершине, то отсюда следует, что точка пересечения между любой касательной к параболе и перпендикуляром из фокуса к этой касательной лежит на прямой, которая касается параболы в ее вершине. См. анимированную диаграмму ^[8] и педальную кривую .

Отражение света, падающего на выпуклую сторону

Если свет распространяется вдоль линии CE , он движется параллельно оси симметрии и падает на выпуклую сторону параболы в точке E. Из приведенной выше диаграммы ясно, что этот свет будет отражаться непосредственно от фокуса вдоль продолжения отрезка FE .

Альтернативные доказательства

Парабола и касательная

Приведенные выше доказательства свойств отражательной и касательной бисекции используют линию исчисления. Здесь представлено геометрическое доказательство.

На этой диаграмме F является фокусом параболы, а T и U лежат на ее директрисе. P является произвольной точкой на параболе. PT перпендикулярна директрисе, а прямая MP делит угол ∠FPT пополам. Q является другой точкой на параболе, причем QU перпендикулярна директрисе. Мы знаем, что FP  =  PT и FQ  =  QU . Очевидно, QT  >  QU , поэтому QT  >  FQ . Все точки на биссектрисе MP равноудалены от F и T, но Q ближе к F, чем к T. Это означает, что Q находится слева от MP , то есть по ту же сторону от него, что и фокус. То же самое было бы верно, если бы Q располагалось в любом другом месте параболы (кроме точки P), поэтому вся парабола, за исключением точки P, находится на фокусной стороне MP . Следовательно, MP является касательной к параболе в точке P. Поскольку она делит угол ∠FPT пополам, это доказывает свойство касательной делить пополам.

Логику последнего абзаца можно применить для модификации приведенного выше доказательства отражательного свойства. Это эффективно доказывает, что линия BE является касательной к параболе в точке E, если углы α равны. Отражательное свойство следует из того, что было показано ранее.

Конструкция штифта и струны

Парабола: конструкция из булавочной струны

Определение параболы по ее фокусу и директрисе можно использовать для ее рисования с помощью булавок и нитей: ^[9]

1. Выберите фокус и директрису параболы. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$
2. Возьмите треугольник или угольник и приготовьте веревку длиной (см. рисунок). ${\displaystyle |AB|}$
3. Прикрепите один конец веревки к вершине треугольника, а другой — к фокусу . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$
4. Расположите треугольник так, чтобы вторая сторона прямого угла могла свободно скользить вдоль директрисы.
5. Возьмите ручку и крепко прижмите веревку к треугольнику.
6. При перемещении треугольника вдоль директрисы ручка рисует дугу параболы, поскольку (см. определение параболы). ${\displaystyle |PF|=|PB|}$

Свойства, связанные с теоремой Паскаля

Параболу можно рассматривать как аффинную часть невырожденной проективной коники с точкой на линии бесконечности , которая является касательной в . 5-, 4- и 3-точечные вырождения теоремы Паскаля являются свойствами коники, имеющими дело по крайней мере с одной касательной. Если рассматривать эту касательную как линию на бесконечности, а ее точку касания как точку на бесконечности оси y , то для параболы получаются три утверждения. ${\displaystyle Y_{\infty }}$ ${\displaystyle g_{\infty }}$ ${\displaystyle Y_{\infty }}$

Следующие свойства параболы имеют дело только с терминами соединять , пересекать , параллельно , которые являются инвариантами подобий . Таким образом, достаточно доказать любое свойство для единичной параболы с уравнением . ${\displaystyle y=x^{2}}$

4-очковая собственность

4-точечное свойство параболы

Любую параболу можно описать в подходящей системе координат уравнением . ${\displaystyle y=ax^{2}}$

Пусть — четыре точки параболы , и пересечение секущей с прямой и пусть — пересечение секущей с прямой (см. рисунок). Тогда секущая параллельна прямой . (Прямые и параллельны оси параболы.) ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{4}}$ ${\displaystyle x=x_{2},}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}P_{3}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}P_{4}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Доказательство: простой расчет для единичной параболы . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Применение: Свойство параболы иметь четыре точки можно использовать для построения точки , при этом заданы и . ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$

Замечание: свойство параболы иметь четыре точки является аффинной версией свойства вырождения параболы по пяти точкам теоремы Паскаля.

свойство 3-точки–1-касательная

свойство 3-точки–1-касательная

Пусть — три точки параболы с уравнением и пересечение секущей с прямой и пересечение секущей с прямой (см. рисунок). Тогда касательная в точке параллельна прямой . (Прямые и параллельны оси параболы.) ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{0}P_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{0}P_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Доказательство: можно выполнить для единичной параболы . Короткий расчет показывает: линия имеет наклон , который является наклоном касательной в точке . ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle 2x_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

Применение: Свойство параболы «3 точки-1 касательная» можно использовать для построения касательной в точке , при этом даны . ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{0}}$

Замечание: свойство параболы касаться одной точки по трем точкам является аффинной версией свойства вырождения по четырем точкам теоремы Паскаля.

свойство 2-точки–2-касательных

свойство 2-точки–2-касательных

Пусть — две точки параболы с уравнением , и пересечение касательной в точке с прямой , и пересечение касательной в точке с прямой (см. рисунок). Тогда секущая параллельна прямой . (Прямые и параллельны оси параболы.) ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Доказательство: прямое вычисление для единичной параболы . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Применение: Свойство «2 точки – 2 касательные» можно использовать для построения касательной параболы в точке , если заданы и касательная в . ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

Замечание 1: Свойство параболы «2 точки – 2 касательные» является аффинной версией трехточечного вырождения теоремы Паскаля.

Замечание 2: Свойство «2 точки – 2 касательные» не следует путать со следующим свойством параболы, которое также имеет дело с 2 точками и 2 касательными, но не связано с теоремой Паскаля.

Направление оси

Построение направления оси

Вышеприведенные утверждения предполагают знание направления оси параболы, чтобы построить точки . Следующее свойство определяет точки только по двум заданным точкам и их касательным, и результатом является то, что линия параллельна оси параболы. ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$

Позволять

1. ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$— две точки параболы , а — их касательные; ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
2. ${\displaystyle Q_{1}}$быть пересечением касательных , ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
3. ${\displaystyle Q_{2}}$быть пересечением параллельной прямой, проходящей через нее , с параллельной прямой, проходящей через нее (см. рисунок). ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

Тогда линия параллельна оси параболы и имеет уравнение ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2.}$

Доказательство: можно провести (подобно свойствам выше) для единичной параболы . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Применение: Это свойство можно использовать для определения направления оси параболы, если даны две точки и их касательные. Альтернативный способ — определение середин двух параллельных хорд, см. раздел о параллельных хордах.

Замечание: Это свойство является аффинной версией теоремы о двух перспективных треугольниках невырожденной коники. ^[10]

поколение Штайнера

Парабола

Генерация параболы Штейнера

Штейнер установил следующую процедуру построения невырожденной коники (см. Коника Штейнера ):

Даны два пучка прямых в двух точках (все прямые содержат и соответственно) и проективное, но не перспективное отображение на , то точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение. ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Эту процедуру можно использовать для простого построения точек на параболе : ${\displaystyle y=ax^{2}}$

• Рассмотрим карандаш в вершине и набор линий , параллельных оси Y. ${\displaystyle S(0,0)}$ ${\displaystyle \Pi _{y}}$
  1. Пусть — точка на параболе, и , . ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle A=(0,y_{0})}$ ${\displaystyle B=(x_{0},0)}$
  2. Отрезок прямой делится на n равноотстоящих отрезков, и это деление проецируется (в направлении ) на отрезок прямой (см. рисунок). Эта проекция приводит к проективному отображению карандаша на карандаш . ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Pi _{y}}$
  3. Пересечение прямой и i -й параллели оси Y является точкой параболы. ${\displaystyle SB_{i}}$

Доказательство: простой расчет.

Примечание: Генерация Штейнера также доступна для эллипсов и гипербол .

Двойная парабола

Двойная парабола и кривая Безье степени 2 (справа: точка кривой и точки деления для параметра ) ${\displaystyle Q_{0},Q_{1}}$ ${\displaystyle t=0.4}$

Двойственная парабола состоит из набора касательных обычной параболы.

Генерацию Штейнера для конического сечения можно применить к построению двойственного конического сечения, изменив значения точек и линий:

Пусть даны два множества точек на двух прямых и проективное, но не перспективное отображение между этими множествами точек, тогда соединяющие прямые соответствующих точек образуют невырожденную двойственную конику. ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle \pi }$

Чтобы сгенерировать элементы двойной параболы, нужно начать с

1. три точки не на одной линии, ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$
2. делит каждую часть линии на равноотстоящие друг от друга сегменты и добавляет числа, как показано на рисунке. ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle n}$
3. Тогда прямые являются касательными параболы, следовательно, элементами двойственной параболы. ${\displaystyle P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc }$
4. Парабола представляет собой кривую Безье степени 2 с контрольными точками . ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$

Доказательство является следствием алгоритма де Кастельжау для кривой Безье степени 2 .

Вписанные углы и форма трех точек

Вписанные углы параболы

Парабола с уравнением однозначно определяется тремя точками с различными координатами x . Обычная процедура определения коэффициентов заключается в подстановке координат точек в уравнение. Результатом является линейная система из трех уравнений, которая может быть решена , например, методом исключения Гаусса или правилом Крамера . Альтернативный способ использует теорему о вписанном угле для парабол. ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c}$

В дальнейшем угол между двумя прямыми будет измеряться разностью наклонов прямой относительно директрисы параболы. То есть, для параболы уравнения угол между двумя прямыми уравнения измеряется как ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$ ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}-m_{2}.}$

Аналогично теореме о вписанном угле для окружностей, справедлива теорема о вписанном угле для парабол : ^{[11] [12]}

Четыре точки с разными координатами x (см. рисунок) находятся на параболе с уравнением тогда и только тогда, когда углы при и имеют одинаковую меру, как определено выше. То есть, ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$

(Доказательство: простой расчет: если точки находятся на параболе, можно перенести координаты так, чтобы получилось уравнение , тогда имеем , если точки находятся на параболе.) ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}}$

Следствием этого является то, что уравнение (в ) параболы, определяемой тремя точками с различными координатами x , имеет вид (если две координаты x равны, то не существует параболы с директрисой, параллельной оси x , которая проходит через точки). Умножая на знаменатели, зависящие от одного, получаем более стандартную форму ${\displaystyle {\color {green}x},{\color {red}y}}$ ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,}$ $${\displaystyle {\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$ ${\displaystyle {\color {green}x},}$ $${\displaystyle (x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.}$$

Полюс–полярное отношение

Парабола: полюсно-полярная связь

В подходящей системе координат любую параболу можно описать уравнением . Уравнение касательной в точке имеет вид Получаем функцию на множестве точек параболы на множестве касательных. ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}}$ $${\displaystyle y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.}$$ $${\displaystyle (x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}}$$

Очевидно, что эту функцию можно распространить на множество всех точек до биекции между точками и прямыми с уравнениями . Обратное отображение имеет вид Это отношение называется отношением полюс–поляра параболы , где точка является полюсом , а соответствующая прямая — ее полярой . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\text{line }}y=mx+d~~\rightarrow ~~{\text{point }}({\tfrac {m}{2a}},-d).}$$

Расчетным путем проверяются следующие свойства полюсно-полярной связи параболы:

• Для точки (полюса) параболы полярой является касательная в этой точке (см. рисунок: ). ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• Для полюса вне параболы точки пересечения его поляры с параболой являются точками касания двух проходящих касательных (см. рисунок: ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\ p_{2}}$
• Для точки внутри параболы поляра не имеет общих точек с параболой (см. рисунок: и ). ${\displaystyle P_{3},\ p_{3}}$ ${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$
• Точка пересечения двух полярных линий (например, ) является полюсом соединительной линии их полюсов (в примере: ). ${\displaystyle p_{3},p_{4}}$ ${\displaystyle P_{3},P_{4}}$
• Фокус и директриса параболы представляют собой пару полюс–поляра.

Замечание: Полюсно-полярные соотношения существуют также для эллипсов и гипербол.

Свойства касательной

Два касательных свойства, связанных с latus rectum

Пусть линия симметрии пересекает параболу в точке Q, и обозначим фокус как точку F, а его расстояние от точки Q как f . Пусть перпендикуляр к линии симметрии, проходящий через фокус, пересекает параболу в точке T. Тогда (1) расстояние от F до T равно 2 f , и (2) касательная к параболе в точке T пересекает линию симметрии под углом 45°. ^{[13] : 26}

Перпендикулярные касательные пересекаются по директрисе

Ортоптическое свойство

Если две касательные к параболе перпендикулярны друг другу, то они пересекаются по директрисе. И наоборот, две касательные, пересекающиеся по директрисе, перпендикулярны. Другими словами, в любой точке директрисы вся парабола образует прямой угол.

Теорема Ламберта

Пусть три касательные к параболе образуют треугольник. Тогда теорема Ламберта утверждает, что фокус параболы лежит на описанной окружности треугольника. ^{[14] [8] : Следствие 20}

Обратная теорема Цукермана к теореме Ламберта гласит, что если даны три прямые, ограничивающие треугольник, и две из них касаются параболы, фокус которой лежит на описанной окружности треугольника, то третья прямая также касается параболы. ^[15]

Факты, связанные с хордами и дугами

Фокусное расстояние, рассчитанное по параметрам хорды

Предположим, что хорда пересекает параболу перпендикулярно ее оси симметрии. Пусть длина хорды между точками пересечения параболы будет c , а расстояние от вершины параболы до хорды, измеренное вдоль оси симметрии, будет d . Фокусное расстояние, f , параболы определяется как $${\displaystyle f={\frac {c^{2}}{16d}}.}$$

Доказательство

Предположим, что используется система декартовых координат, так что вершина параболы находится в начале координат, а ось симметрии — ось y . Парабола направлена ​​вверх. В другом месте этой статьи показано, что уравнение параболы имеет вид 4 fy = x ² , где f — фокусное расстояние. На положительном конце хорды x = ⁠с/2⁠ и y = d . Поскольку эта точка находится на параболе, эти координаты должны удовлетворять уравнению выше. Поэтому, подставляя,. Отсюда,. ${\displaystyle 4fd=\left({\tfrac {c}{2}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle f={\tfrac {c^{2}}{16d}}}$

Площадь, заключенная между параболой и хордой

Парабола (пурпурная) и линия (нижняя светло-голубая), включая хорду (синюю). Область, заключенная между ними, розовая. Сама хорда заканчивается в точках, где линия пересекает параболу.

Площадь, заключенная между параболой и хордой (см. рисунок), составляет две трети площади параллелограмма, который ее окружает. Одна сторона параллелограмма — хорда, а противоположная сторона — касательная к параболе. ^{[16] [17]} Наклон других параллельных сторон не имеет значения для площади. Часто, как здесь, они рисуются параллельно оси симметрии параболы, но это произвольно.

Теорема, эквивалентная этой, но отличающаяся в деталях, была выведена Архимедом в 3 веке до н. э. Он использовал площади треугольников, а не параллелограмма. ^[d] См. Квадратура параболы .

Если хорда имеет длину b и перпендикулярна оси симметрии параболы, и если перпендикулярное расстояние от вершины параболы до хорды равно h , то параллелограмм является прямоугольником со сторонами b и h . Площадь A параболического сегмента, ограниченного параболой и хордой, равна, следовательно, $${\displaystyle A={\frac {2}{3}}bh.}$$

Эту формулу можно сравнить с площадью треугольника: ⁠1/2⁠ бх .

В общем случае, замкнутую площадь можно рассчитать следующим образом. Сначала найдите точку на параболе, где ее наклон равен наклону хорды. Это можно сделать с помощью исчисления или с помощью линии, параллельной оси симметрии параболы и проходящей через середину хорды. Искомая точка находится там, где эта линия пересекает параболу. ^[e] Затем, используя формулу, приведенную в разделе Расстояние от точки до прямой , вычислите перпендикулярное расстояние от этой точки до хорды. Умножьте это на длину хорды, чтобы получить площадь параллелограмма, затем на 2/3, чтобы получить искомую замкнутую площадь.

Следствие относительно средних и конечных точек хорд

Средние точки параллельных хорд

Следствием вышеизложенного обсуждения является то, что если парабола имеет несколько параллельных хорд, их середины лежат на линии, параллельной оси симметрии. Если касательные к параболе проведены через конечные точки любой из этих хорд, то две касательные пересекаются на этой же линии, параллельной оси симметрии (см. Направление оси параболы). ^[f]

Длина дуги

Если точка X расположена на параболе с фокусным расстоянием f , и если p — перпендикулярное расстояние от X до оси симметрии параболы, то длины дуг параболы, которые заканчиваются в точке X, можно вычислить из f и p следующим образом, предполагая, что все они выражены в одних и тех же единицах. ^[g] $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}}$$

Эта величина s представляет собой длину дуги между X и вершиной параболы.

Длина дуги между точкой X и симметрично противоположной точкой на другой стороне параболы равна 2 с .

Перпендикулярному расстоянию p можно придать положительный или отрицательный знак, чтобы указать, с какой стороны от оси симметрии X находится точка. Изменение знака p меняет знаки h и s, не меняя их абсолютных значений. Если эти величины имеют знаки, длина дуги между любыми двумя точками параболы всегда отображается разностью их значений s . Вычисление можно упростить, используя свойства логарифмов: $${\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}$$

Это может быть полезно, например, при расчете размера материала, необходимого для изготовления параболического отражателя или параболического желоба .

Этот расчет можно использовать для параболы в любой ориентации. Он не ограничивается ситуацией, когда ось симметрии параллельна оси y .

Геометрическое построение для нахождения площади сектора

S — фокус, а V — главная вершина параболы VG. Проведем VX перпендикулярно SV.

Возьмите любую точку B на VG и опустите перпендикуляр BQ из B в VX. Проведите перпендикуляр ST, пересекающий BQ, при необходимости продолженный в точке T. В точке B проведите перпендикуляр BJ, пересекающий VX в точке J.

Для параболы отрезок VBV, площадь, ограниченная хордой VB и дугой VB, равна ∆VBQ / 3, также . ${\displaystyle BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}}$

Площадь параболического сектора . ${\displaystyle SVB=\triangle SVB+{\frac {\triangle VBQ}{3}}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}}$

Так как треугольники TSB и QBJ подобны, то $${\displaystyle VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.}$$

Следовательно, площадь параболического сектора можно найти по длине VJ, как найдено выше. ${\displaystyle SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}}$

Окружность, проходящая через S, V и B, также проходит через J.

Наоборот, если на параболе VG нужно найти точку B так, чтобы площадь сектора SVB была равна указанному значению, определите точку J на ​​VX и постройте окружность через S, V и J. Поскольку SJ — диаметр, центр окружности находится в ее середине и лежит на перпендикуляре к SV, на расстоянии половины VJ от SV. Искомая точка B находится там, где эта окружность пересекает параболу.

Если тело движется по траектории параболы под действием обратно квадратичной силы, направленной в сторону S, площадь SVB увеличивается с постоянной скоростью по мере движения точки B. Из этого следует, что J движется с постоянной скоростью вдоль VX, пока B движется вдоль параболы.

Если скорость тела в вершине, где оно движется перпендикулярно SV, равна v , то скорость J равна 3 v /4 .

Построение можно просто расширить, включив случай, когда ни один из радиусов не совпадает с осью SV следующим образом. Пусть A — фиксированная точка на VG между V и B, а точка H — пересечение на VX с перпендикуляром к SA в точке A. Из вышесказанного следует, что площадь параболического сектора . ${\displaystyle SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}}$

Наоборот, если требуется найти точку B для конкретной области SAB, найдите точку J из HJ и точку B, как и прежде. По Книге 1, Предложению 16, Следствию 6 Начал Ньютона , скорость тела, движущегося по параболе с силой, направленной к фокусу, обратно пропорциональна квадратному корню радиуса. Если скорость в точке A равна v , то в вершине V она равна , а точка J движется с постоянной скоростью . ${\displaystyle {\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v}$ ${\displaystyle {\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}}$

Вышеприведенная конструкция была разработана Исааком Ньютоном и может быть найдена в первой книге «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» как Предложение 30.

Фокусное расстояние и радиус кривизны в вершине

Фокусное расстояние параболы равно половине радиуса кривизны в ее вершине.

Доказательство

• 
  Изображение перевернуто. AB — ось x . C — начало координат. O — центр. A — ( x , y ) . OA = OC = R . PA = x . CP = y . OP = ( R − y ) . Другие точки и линии для этой цели не имеют значения.
• 
  Радиус кривизны в вершине равен удвоенному фокусному расстоянию. Измерения, показанные на диаграмме выше, указаны в единицах latus rectum, что в четыре раза больше фокусного расстояния.
• 

Рассмотрим точку ( x , y ) на окружности радиуса R с центром в точке (0, R ) . Окружность проходит через начало координат. Если точка находится вблизи начала координат, теорема Пифагора показывает, что $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}}$$

Но если ( x , y ) находится очень близко к началу координат, то, поскольку ось x является касательной к окружности, y очень мал по сравнению с x , поэтому y ² пренебрежимо мал по сравнению с другими членами. Поэтому очень близко к началу координат

Сравните это с параболой

вершина которого находится в начале координат, он открывается вверх и имеет фокусное расстояние f (см. предыдущие разделы этой статьи).

Уравнения (1) и (2) эквивалентны, если R = 2 f . Следовательно, это условие совпадения окружности и параболы в точке начала координат и очень близко к ней. Радиус кривизны в точке начала координат, которая является вершиной параболы, в два раза больше фокусного расстояния.

Следствие

Вогнутое зеркало, представляющее собой небольшой сегмент сферы, ведет себя примерно как параболическое зеркало, фокусируя параллельный свет в точке, расположенной посередине между центром и поверхностью сферы.

Как аффинный образ единичной параболы

Парабола как аффинный образ единичной параболы

Другое определение параболы использует аффинные преобразования :

Любая парабола является аффинным образом единичной параболы с уравнением . ${\displaystyle y=x^{2}}$

Параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где — регулярная матрица ( определитель не равен 0), а — произвольный вектор. Если — векторы-столбцы матрицы , то единичная парабола отображается на параболу , где ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},}$$

• ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$является точкой параболы,
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}}$— касательный вектор в точке , ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$параллельна оси параболы (оси симметрии, проходящей через вершину).

Вершина

В общем случае два вектора не перпендикулярны и не являются вершиной, если только аффинное преобразование не является подобием . ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$

Касательный вектор в точке равен . В вершине касательный вектор ортогонален . Следовательно, параметр вершины является решением уравнения, которое равно , а вершина равна ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,}$$ $${\displaystyle t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},}$$ $${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

Фокусное расстояние и фокус

Фокусное расстояние можно определить с помощью подходящего преобразования параметров (которое не меняет геометрическую форму параболы). Фокусное расстояние равно Следовательно, фокус параболы равен $${\displaystyle f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.}$$ $${\displaystyle F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

Неявное представление

Решая параметрическое представление для по правилу Крамера и используя , получаем неявное представление ${\displaystyle \;t,t^{2}\;}$ ${\displaystyle \;t\cdot t-t^{2}=0\;}$ $${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0.}$$

Парабола в пространстве

Определение параболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной параболы, даже в пространстве, если допустить, что являются векторами в пространстве. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Как квадратичная кривая Безье

Квадратичная кривая Безье и ее контрольные точки

Квадратичная кривая Безье — это кривая, определяемая тремя точками , и , называемыми ее контрольными точками : ${\displaystyle {\vec {c}}(t)}$ ${\displaystyle P_{0}:{\vec {p}}_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}:{\vec {p}}_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}:{\vec {p}}_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\[1ex]&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\[2ex]&=\left({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\right)t^{2}+\left(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1}\right)t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}}$$

Эта кривая является дугой параболы (см. § Как аффинное изображение единичной параболы).

Численное интегрирование

Правило Симпсона: график функции заменяется дугой параболы

В одном из методов численного интегрирования график функции заменяют дугами парабол и интегрируют дуги парабол. Парабола определяется тремя точками. Формула для одной дуги: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).}$$

Этот метод называется правилом Симпсона .

Как плоское сечение квадратного уравнения

Следующие квадрики содержат параболы в качестве плоских сечений:

• эллиптический конус ,
• параболический цилиндр ,
• эллиптический параболоид ,
• гиперболический параболоид,
• однополостный гиперболоид ,
• Двуполостный гиперболоид.

• 
  Эллиптический конус
• 
  Параболический цилиндр
• 
  Эллиптический параболоид
• 
  Гиперболический параболоид
• 
  Однополостный гиперболоид
• 
  Двуполостный гиперболоид

Как трисектриса

Трисекция угла с параболой

Парабола может быть использована в качестве трисектрисы , то есть она позволяет выполнить точную трисекцию произвольного угла с помощью циркуля и линейки. Это не противоречит невозможности трисекции угла только с помощью циркуля и линейки , поскольку использование парабол не допускается классическими правилами для построений с помощью циркуля и линейки.

Чтобы выполнить трисекцию , поместите его катет на ось x так, чтобы вершина находилась в начале системы координат. Система координат также содержит параболу . Единичная окружность с радиусом 1 вокруг начала координат пересекает другую катет угла , и из этой точки пересечения проведите перпендикуляр на ось y . Параллель оси y через середину этого перпендикуляра и касательная к единичной окружности в пересекаются в . Окружность вокруг с радиусом пересекает параболу в точке . Перпендикуляр из на ось x пересекает единичную окружность в точке , и составляет ровно одну треть от . ${\displaystyle \angle AOB}$ ${\displaystyle OB}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle y=2x^{2}}$ ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle OC}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \angle P_{2}OB}$ ${\displaystyle \angle AOB}$

Правильность этой конструкции можно увидеть, показав, что координата x равна . Решение системы уравнений, заданной окружностью вокруг и параболой, приводит к кубическому уравнению . Формула тройного угла затем показывает, что является действительно решением этого кубического уравнения. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0}$ ${\displaystyle \cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$

Эта трисекция восходит к Рене Декарту , который описал ее в своей книге «Геометрия» (1637). ^[18]

Обобщения

Если заменить действительные числа произвольным полем , многие геометрические свойства параболы останутся в силе: ${\displaystyle y=x^{2}}$

1. Прямая пересекается максимум в двух точках.
2. В любой точке линия является касательной. ${\displaystyle (x_{0},x_{0}^{2})}$ ${\displaystyle y=2x_{0}x-x_{0}^{2}}$

Принципиально новые явления возникают, если поле имеет характеристику 2 (то есть ): все касательные параллельны. ${\displaystyle 1+1=0}$

В алгебраической геометрии парабола обобщается рациональными нормальными кривыми , имеющими координаты ( x , x2 , x3 , ..., xn ) ; стандартная парабола — это случай n = 2 , ^а случай n = 3 ^{известен} как скрученная кубическая парабола . Дальнейшее ^{обобщение} дается многообразием Веронезе , когда имеется более одной входной переменной.

В теории квадратичных форм парабола является графиком квадратичной формы x ² (или других масштабирований), в то время как эллиптический параболоид является графиком положительно определенной квадратичной формы x ² + y ² (или масштабирований), а гиперболический параболоид является графиком неопределенной квадратичной формы x ² − y ^2. Обобщения на большее количество переменных дают дополнительные такие объекты.

Кривые y = x ^p для других значений p традиционно называются высшими параболами и изначально рассматривались неявно в форме x ^p = ky ^q для p и q — оба положительных целых чисел, в этой форме они рассматриваются как алгебраические кривые. Они соответствуют явной формуле y = x ^{p / q} для положительной дробной степени x . Отрицательные дробные степени соответствуют неявному уравнению x ^p y ^q = k и традиционно называются высшими гиперболами . Аналитически x также может быть возведен в иррациональную степень (для положительных значений x ); аналитические свойства аналогичны свойствам при возведении x в рациональные степени, но полученная кривая больше не является алгебраической и не может быть проанализирована алгебраической геометрией.

В физическом мире

В природе приближения парабол и параболоидов встречаются во многих разнообразных ситуациях. Наиболее известным примером параболы в истории физики является траектория частицы или тела, движущегося под действием однородного гравитационного поля без сопротивления воздуха (например, мяч, летящий по воздуху, если пренебречь трением воздуха ).

Параболическая траектория снарядов была экспериментально открыта в начале 17 века Галилеем , который проводил эксперименты с шарами, катящимися по наклонным плоскостям. Позднее он также доказал это математически в своей книге «Диалог о двух новых науках» . ^{[19] [h]} Для объектов, протяженных в пространстве, таких как ныряльщик, прыгающий с трамплина, сам объект совершает сложное движение при вращении, но центр масс объекта тем не менее движется по параболе. Как и во всех случаях в физическом мире, траектория всегда является приближением параболы. Наличие сопротивления воздуха, например, всегда искажает форму, хотя на низких скоростях форма является хорошим приближением параболы. На более высоких скоростях, таких как в баллистике, форма сильно искажена и не похожа на параболу.

Другая гипотетическая ситуация, в которой могут возникнуть параболы, согласно теориям физики, описанным в 17-м и 18-м веках сэром Исааком Ньютоном , - это орбиты двух тел , например, путь небольшого планетоида или другого объекта под влиянием гравитации Солнца . Параболические орбиты не встречаются в природе; простые орбиты чаще всего напоминают гиперболы или эллипсы . Параболическая орбита - это вырожденный промежуточный случай между этими двумя типами идеальных орбит. Объект, следующий по параболической орбите, будет двигаться с точной скоростью убегания объекта, вокруг которого он вращается; объекты на эллиптических или гиперболических орбитах движутся со скоростью, меньшей или большей скорости убегания, соответственно. Долгопериодические кометы движутся близко к скорости убегания Солнца, когда они движутся через внутреннюю часть Солнечной системы, поэтому их траектории почти параболические.

Приближения парабол также встречаются в форме основных тросов на простом подвесном мосту . Кривая цепей подвесного моста всегда является промежуточной кривой между параболой и цепной линией , но на практике кривая, как правило, ближе к параболе из-за веса груза (т. е. дороги), который намного больше, чем сами тросы, и в расчетах используется формула полинома второй степени параболы. ^{[20] [21]} Под воздействием равномерной нагрузки (например, горизонтальной подвесной палубы) трос, в противном случае имеющий форму цепной линии, деформируется в сторону параболы (см. Цепная линия § Кривая подвесного моста ). В отличие от неупругой цепи, свободно висящая пружина нулевой ненапряженной длины принимает форму параболы. Тросы подвесного моста в идеале находятся исключительно в состоянии растяжения, не неся других сил, например, изгиба. Аналогично, конструкции параболических арок находятся исключительно в состоянии сжатия.

Параболоиды также возникают в нескольких физических ситуациях. Наиболее известным примером является параболический рефлектор , который представляет собой зеркало или подобное отражающее устройство, которое концентрирует свет или другие формы электромагнитного излучения в общей фокусной точке или, наоборот, коллимирует свет от точечного источника в фокусе в параллельный луч. Принцип параболического рефлектора, возможно, был открыт в 3 веке до нашей эры геометром Архимедом , который, согласно сомнительной легенде, ^[22] построил параболические зеркала для защиты Сиракуз от римского флота, концентрируя солнечные лучи, чтобы поджечь палубы римских кораблей. Этот принцип был применен к телескопам в 17 веке. Сегодня параболоидные рефлекторы можно обычно наблюдать во многих частях мира в микроволновых и спутниковых антеннах приема и передачи.

В параболических микрофонах для фокусировки звука на микрофон используется параболический отражатель, что обеспечивает ему остронаправленную работу.

Параболоиды также наблюдаются на поверхности жидкости, заключенной в контейнер и вращающейся вокруг центральной оси. В этом случае центробежная сила заставляет жидкость подниматься по стенкам контейнера, образуя параболическую поверхность. Это принцип, лежащий в основе телескопа с жидкостным зеркалом .

Летательные аппараты, используемые для создания состояния невесомости в экспериментальных целях, такие как « Рвотная комета » НАСА , в течение коротких периодов времени следуют по вертикальной параболической траектории, чтобы отследить курс объекта в свободном падении , что для большинства целей создает тот же эффект, что и невесомость.

Галерея

• 
  Прыгающий мяч, снятый со стробоскопической вспышкой со скоростью 25 кадров в секунду. Мяч становится значительно несферическим после каждого отскока, особенно после первого. Это, наряду с вращением и сопротивлением воздуха , заставляет выметенную кривую немного отклоняться от ожидаемой идеальной параболы.
• 
  Параболические траектории воды в фонтане.
• 
  Путь (красный) кометы Когоутека , проходящей через внутреннюю часть Солнечной системы, показывает ее почти параболическую форму. Синяя орбита — орбита Земли.
• 
  Опорные тросы подвесных мостов следуют кривой, которая занимает промежуточное положение между параболой и цепной линией .
• 
  Мост Радуга через реку Ниагара , соединяющий Канаду (слева) с Соединенными Штатами (справа). Параболическая арка сжимается и несет вес дороги.
• 
  Параболические арки, используемые в архитектуре
• Параболическая форма, образованная вращающейся поверхностью жидкости. Две жидкости разной плотности полностью заполняют узкое пространство между двумя листами прозрачного пластика. Зазор между листами закрыт снизу, по бокам и сверху. Вся конструкция вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр. (См. Вращающаяся печь )
• 
  Солнечная плита с параболическим отражателем
• 
  Параболическая антенна
• 
  Параболический микрофон с оптически прозрачным пластиковым отражателем, используемый на матче американских колледжей по американскому футболу.
• Массив параболических желобов для сбора солнечной энергии
• 
  Прожектор Эдисона , установленный на тележке. Светильник имел параболический отражатель.
• 
  Физик Стивен Хокинг в самолете, летящем по параболической траектории для имитации невесомости

Смотрите также

• Вырожденная коническая
• Купол § Параболоидный купол
• Параболическое уравнение в частных производных
• Квадратное уравнение
• Квадратичная функция
• Универсальная параболическая константа
• Конфокальные конические сечения § Конфокальные параболы

Сноски

1. Тангенциальная плоскость касается конической поверхности только по линии, проходящей через вершину конуса.
2. Как указано выше в лиде, фокусное расстояние параболы — это расстояние между ее вершиной и фокусом.
3. Точка V является центром меньшего кругового сечения конуса. Точка F находится в (розовой) плоскости параболы, а линия VF перпендикулярна плоскости параболы.
4. Архимед доказал, что площадь вложенного параболического сегмента составляет 4/3 площади треугольника, вписанного в вложенный сегмент. Легко показать, что параллелограмм имеет вдвое большую площадь треугольника, поэтому доказательство Архимеда также доказывает теорему с параллелограммом.
5. Этот метод можно легко доказать правильностью с помощью исчисления. Он был также известен и применялся Архимедом, хотя он жил почти за 2000 лет до изобретения исчисления.
6. Доказательство этого предложения можно вывести из доказательства ортоптического свойства, приведенного выше. Там показано, что касательные к параболе y = x ² в точках ( p , p ² ) и ( q , q ² ) пересекаются в точке, координата x которой является средним значением p и q . Таким образом, если между этими двумя точками есть хорда, точка пересечения касательных имеет ту же координату x , что и середина хорды.
7. В этом расчете квадратный корень q должен быть положительным . Величина ln a является натуральным логарифмом a  .
8. Однако эта параболическая форма, как осознал Ньютон, является лишь приближением фактической эллиптической формы траектории и получается путем предположения, что сила тяготения постоянна (не направлена ​​к центру Земли) в интересующей области. Часто эта разница незначительна и приводит к более простой формуле для отслеживания движения.

Ссылки

1. «Можно ли действительно вывести конические формулы из конуса? – Вывод симптома параболы – Математическая ассоциация Америки» . Получено 30 сентября 2016 г.
2. Уилсон, Рэй Н. (2004). Оптика отражающего телескопа: Базовая теория конструкции и ее историческое развитие (2-е изд.). Springer. стр. 3. ISBN 3-540-40106-7.Выдержка из страницы 3.
3. Звездочет , стр. 115.
4. Звездочет , стр. 123, 132.
5. Фицпатрик, Ричард (14 июля 2007 г.). «Сферические зеркала». Электромагнетизм и оптика, лекции . Техасский университет в Остине . Параксиальная оптика . Получено 5 октября 2011 г.
6. Kumpel, PG (1975), «Всегда ли подобные фигуры имеют одинаковую форму?», The Mathematics Teacher , 68 (8): 626–628, doi :10.5951/MT.68.8.0626, ISSN  0025-5769.
7. Шрики, Атара; Дэвид, Хаматал (2011), «Подобие парабол – геометрическая перспектива», Изучение и преподавание математики , 11 : 29–34.
8. Tsukerman, Emmanuel (2013). «О многоугольниках, допускающих линию Симсона как дискретные аналоги парабол» (PDF) . Forum Geometricorum . 13 : 197–208.
9. Франс ван Скутен: Mathematische Oeffeningen , Лейден, 1659, с. 334.
10. Плоская круговая геометрия, введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского, стр. 36.
11. Э. Хартманн, Конспект лекций «Плоская круговая геометрия. Введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского», стр. 72.
12. В. Бенц, Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973).
13. Даунс, Дж. У. (2003). Практические конические сечения . Dover Publishing.^{[ ISBN отсутствует ]}
14. Сондов, Джонатан (2013). «Парбелос, параболический аналог арбелоса». American Mathematical Monthly . 120 (10): 929–935. arXiv : 1210.2279 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. S2CID  33402874.
15. Цукерман, Эммануэль (2014). «Решение проблемы Сондова: синтетическое доказательство свойства касательности парбелоса». American Mathematical Monthly . 121 (5): 438–443. arXiv : 1210.5580 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.121.05.438. S2CID  21141837.
16. "Sovrn Container". Mathwarehouse.com . Получено 2016-09-30 .
17. "Parabola". Mysite.du.edu . Получено 2016-09-30 .
18. Йейтс, Роберт С. (1941). «Проблема трисекции». National Mathematics Magazine . 15 (4): 191–202. doi :10.2307/3028133. JSTOR  3028133.
19. Диалог о двух новых науках (1638) (Движение снарядов: Теорема 1).
20. Трояно, Леонардо Фернандес (2003). Мостостроение: глобальная перспектива. Томас Телфорд. п. 536. ИСБН 0-7277-3215-3.
21. Дрюри, Чарльз Стюарт (1832). Воспоминания о подвесных мостах. Оксфордский университет. С. 159.
22. Middleton, WE Knowles (декабрь 1961 г.). «Архимед, Кирхер, Бюффон и горящие зеркала». Isis . 52 (4). Опубликовано: Издательством Чикагского университета от имени Общества истории науки: 533–543. doi : 10.1086/349498. JSTOR  228646. S2CID  145385010.

Дальнейшее чтение

• Локвуд, Э. Х. (1961). Книга кривых . Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• «Парабола», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Парабола». Математический мир .
• Интерактивный фокус параболы-перетаскивания, просмотр оси симметрии, директрисы, стандартной и вершинной форм
• Треугольник Архимеда и квадратура параболы на cut-the-knot
• Две касательные к параболе в точке разрезания узла
• Парабола как огибающая прямых линий в точке разрезания узла
• Параболическое зеркало в Cut-the-Knot
• Три касательные к параболе в точке разрезания узла
• Фокальные свойства параболы в точке разрезания узла
• Парабола как конверт II в cut-the-knot
• Подобие параболы в Dynamic Geometry Sketches, интерактивный динамический геометрический эскиз.
• Франс ван Скутен: Mathematische Oeffeningen, 1659 г.