Гиперболоид

В геометрии гиперболоид вращения , иногда называемый круговым гиперболоидом , представляет собой поверхность , образованную вращением гиперболы вокруг одной из ее главных осей . Гиперболоид — это поверхность, полученная из гиперболоида вращения путем его деформации с помощью направленного масштабирования или , в более общем смысле, аффинного преобразования .

Гиперболоид — это квадрика , то есть поверхность , определяемая как множество нулей многочлена второй степени от трёх переменных. Среди квадратичных поверхностей гиперболоид характеризуется тем, что не является конусом или цилиндром , имеет центр симметрии и пересекает множество плоскостей в гиперболы. Гиперболоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии и три попарно перпендикулярные плоскости симметрии .

Учитывая гиперболоид, можно выбрать декартову систему координат так, чтобы гиперболоид определялся одним из следующих уравнений:

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}} - {z^{2} \over c^{2}}=-1 .

асимптотичен

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.

Гиперболоид вращения существует тогда и только тогда , когда в противном случае оси определены однозначно ( с точностью до замены осей x и осей y ). $a^{2}=b^{2}.$

Существует два вида гиперболоидов. В первом случае ( $+1$ в правой части уравнения): однополостный гиперболоид , также называемый гиперболическим гиперболоидом . Это связная поверхность , имеющая в каждой точке отрицательную гауссову кривизну . Это означает, что вблизи каждой точки пересечение гиперболоида и его касательной плоскости в этой точке состоит из двух ветвей кривой, имеющих различные касательные в этой точке. В случае однополостного гиперболоида эти ветви кривых представляют собой линии , и, таким образом, однополостный гиперболоид представляет собой двулинейчатую поверхность.

Во втором случае ( $-1$ в правой части уравнения): двухполостный гиперболоид , также называемый эллиптическим гиперболоидом . Поверхность имеет две связные компоненты и положительную гауссову кривизну в каждой точке. Поверхность выпукла в том смысле, что касательная плоскость в каждой точке пересекает поверхность только в этой точке.

Параметрические представления

Декартовы координаты для гиперболоидов могут быть определены аналогично сферическим координатам , сохраняя угол азимута $θ \in [0, 2 π)$ , но изменяя наклон $v$ на гиперболические тригонометрические функции :

Одноповерхностный гиперболоид: $v \in (-\infty, \infty)$

{\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}

Двухповерхностный гиперболоид: $v \in [0, \infty)$

{\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}

гиперболоид одного листа: генерация вращающейся гиперболой (вверху) и линией (внизу: красного или синего цвета)

однолистный гиперболоид: плоские сечения

Следующее параметрическое представление включает в себя гиперболоиды из одного листа, двух листов и их общий граничный конус, каждый из которых имеет ось - в качестве оси симметрии: $z$

\mathbf {x} (s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)

Ибо получается однолистный гиперболоид: $d>0$
Для гиперболоида из двух листов и $d<0$
Для двойного конуса. $d=0$

Можно получить параметрическое представление гиперболоида с другой осью координат в качестве оси симметрии, переставив положение члена на соответствующий компонент в приведенном выше уравнении. $cs$

Обобщенные уравнения

В более общем смысле, произвольно ориентированный гиперболоид с центром в $v$ определяется уравнением

(\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1,

A

матрица

x

v

векторы

Собственные векторы A определяют главные направления гиперболоида, а $собственные$ значения A являются обратными квадратам полуосей: , и . Однополостный гиперболоид имеет два положительных собственных значения и одно отрицательное собственное значение. Двухполостный гиперболоид имеет одно положительное собственное значение и два отрицательных собственных значения. ${1/a^{2}}$ ${1/b^{2}}$ ${1/c^{2}}$

Характеристики

Гиперболоид одного листа

Линии на поверхности

Однолистный гиперболоид содержит два пучка линий. Это двулинейчатая поверхность .

Если гиперболоид имеет уравнение , то прямые ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$

g_{\alpha }^{\pm }:\mathbf {x} (t)={\begin{pmatrix}a\cos \alpha \\b\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\sin \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \

В случае, если гиперболоид является поверхностью вращения и может быть создан путем вращения одной из двух линий или , которые наклонены к оси вращения (см. рисунок). Это свойство называется теоремой Рена . ^[1] Более распространенным способом создания однолистного гиперболоида вращения является вращение гиперболы вокруг своей малой полуоси (см. рисунок; вращение гиперболы вокруг другой оси дает двухполостную гиперболу вращения). $a=b$ $g_{0}^{+}$ $g_{0}^{-}$

Однополостный гиперболоид проективно эквивалентен гиперболическому параболоиду .

Плоские сечения

Для простоты рассматриваются плоские сечения единичного гиперболоида с уравнением . Поскольку гиперболоид общего положения является аффинным образом единичного гиперболоида, результат применим и к общему случаю. $\ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$

Плоскость с наклоном меньше 1 (1 — наклон прямых на гиперболоиде) пересекается по эллипсу , $H_{1}$
Плоскость с наклоном, равным 1, содержащая начало координат, пересекается по паре параллельных прямых , $H_{1}$
Плоскость с наклоном, равным 1, не содержащая начала координат, пересекается по параболе , $H_{1}$
Касательная плоскость пересекается по паре пересекающихся прямых , $H_{1}$
Некасательная плоскость с наклоном больше 1 пересекается в гиперболе . ^[2] $H_{1}$

Очевидно, что любой однополостный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).

Гиперболоид из двух листов

гиперболоид двух листов: генерация вращением гиперболы

гиперболоид двух листов: плоские сечения

Двухлистный гиперболоид не содержит прямых. Рассмотрение плоских сечений можно вести для единичного двухлистового гиперболоида с уравнением

H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1.

гиперболы

Плоскость с наклоном меньше 1 (1 — наклон асимптот порождающей гиперболы) пересекается либо по эллипсу , либо в точке , либо не пересекается вообще. $H_{2}$
Плоскость с наклоном, равным 1, содержащая начало координат (середину гиперболоида), не пересекается , $H_{2}$
Плоскость с наклоном, равным 1, не содержащая начало координат, пересекается по параболе , $H_{2}$
Плоскость с наклоном больше 1 пересекается по гиперболе . ^[3] $H_{2}$

Очевидно, что любой двухполостный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).

Примечание. Двухлистный гиперболоид проективно эквивалентен сфере.

Другие объекты недвижимости

Симметрии

Гиперболоиды с уравнениями

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1

точки, симметричные началу координат,
симметричны координатным плоскостям и
вращательно-симметрично оси z и симметрично любой плоскости, содержащей ось z, в случае (гиперболоида вращения). $a=b$

Кривизна

В то время как гауссова кривизна однополостного гиперболоида отрицательна, двухполостного гиперболоида положительна. Двухлистный гиперболоид с другой подходящей метрикой, несмотря на свою положительную кривизну, также может быть использован в качестве модели гиперболической геометрии.

В более чем трёх измерениях

Воображаемые гиперболоиды часто встречаются в математике высших измерений. Например, в псевдоевклидовом пространстве используется квадратичная форма :

q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.

c

константа

\lbrace x\ :\ q(x)=c\rbrace

гиперболоидом

c = 0

В качестве примера рассмотрим следующий отрывок: ^[4]

... векторы скорости всегда лежат на поверхности, которую Минковский называет четырехмерным гиперболоидом, поскольку, выраженное в терминах чисто вещественных координат $(y 1, ..., y 4)$ , ее уравнение равно $y 21 + й 22 + й 23 - й 24 = -1$ , аналог гиперболоида $y 21 + й 22 - й 23 = -1$ трехмерного пространства. ^[6]

Однако термин «квазисфера» также используется в этом контексте, поскольку сфера и гиперболоид имеют некоторую общность (см. § Связь со сферой ниже).

Гиперболоидные структуры

В построении используются однополостные гиперболоиды, причем конструкции называются гиперболоидными конструкциями . Гиперболоид — это двулинейчатая поверхность ; таким образом, его можно построить из прямых стальных балок, создав прочную конструкцию с меньшими затратами, чем другие методы. Примеры включают градирни , особенно электростанций , и многие другие сооружения .

Галерея однолистных гиперболоидных структур
Маяк Аджиоголь , Украина , 1911 год.
Первая запатентованная в 1916 году градирня Van Iterson компании DSM Emma в Херлене , Нидерланды , 1918 год.
Башня порта Кобе , Япония , 1963 год.
Планетарий Джеймса С. Макдоннелла Научного центра Сент-Луиса , Сент-Луис , штат Миссури , 1963 год.
Диспетчерская вышка международного аэропорта Ньюкасл , Ньюкасл-апон-Тайн , Англия , 1967 год.
Башня электропередачи Ештед , Чехия , 1968 год.
Собор Бразилиа , Бразилия , 1970 год.
Гиперболоидная водонапорная башня с тороидальным резервуаром, Цеханув , Польша , 1972 год.
Рой Томсон Холл , Торонто , Канада , 1982 год.
Градирня THTR-300 для выведенного из эксплуатации ториевого ядерного реактора в Хамм -Юнтропе, Германия , 1983 год.
Мост Корпорейшн -Стрит , Манчестер , Англия , 1999 год.
Смотровая башня Киллесберг, Штутгарт , Германия , 2001 год .
BMW Welt , (BMW World), музей и место проведения мероприятий, Мюнхен , Германия , 2007 г.
Кантонская башня , Китай , 2010 год.
Водонапорная башня Эссар-ле-Руа, Франция .

Отношение к сфере

В 1853 году Уильям Роуэн Гамильтон опубликовал свои «Лекции по кватернионам» , которые включали представление бикватернионов . Следующий отрывок со страницы 673 показывает, как Гамильтон использует алгебру бикватернионов и векторы из кватернионов для создания гиперболоидов из уравнения сферы :

... уравнение единичной сферы $ρ 2 + 1 = 0$ и измените вектор $ρ$ на бивекторную форму , например $σ + τ \sqrt -1$ . Уравнение сферы тогда распадается на систему двух следующих:
$σ 2 - τ 2 + 1 знак равно 0$ , $S . στ = 0$ ;
и предлагает рассматривать $σ$ и $τ$ как два действительных и прямоугольных вектора, таких что
$Т τ знак равно (Т σ 2 - 1 ) 1/2$ .
Отсюда легко сделать вывод, что если мы предположим, что $σ || λ$ , где $λ$ — вектор в данной позиции, новый действительный вектор $σ + τ$ оканчивается на поверхности двулистного и равностороннего гиперболоида ; и что, если, с другой стороны, мы предположим, что $τ || λ$ , то геометрическое место конца вещественного вектора $σ + τ$ будет равносторонним, но однополостным гиперболоидом . Таким образом, изучение этих двух гиперболоидов очень просто связано через бикватернионы с изучением сферы; ...

В этом отрывке $S$ — оператор, задающий скалярную часть кватерниона, а $T$ — «тензор», который теперь называется нормой кватерниона.

Современный взгляд на объединение сферы и гиперболоида использует идею конического сечения как среза квадратичной формы . Вместо конической поверхности требуются конические гиперповерхности в четырехмерном пространстве с точками $p = (w, x, y, z) \in R4$ , определяемыми $квадратичными$ формами . Сначала рассмотрим коническую гиперповерхность

$P=\left\{p\;:\;w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}$ и
$H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,$ что является гиперплоскостью .

Тогда это сфера радиуса $r$ . С другой стороны, коническая гиперповерхность $P\cap H_{r}$

Q=\lbrace p\ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace

утверждает, что это гиперболоид.

Q\cap H_{r}

В теории квадратичных форм единичная квазисфера — это подмножество квадратичного пространства $X$ , состоящее из таких точек $x \in X$ , что квадратичная норма $x$ равна единице. ^[7]