Квадратичная форма

В математике квадратичная форма — это многочлен , все члены которого имеют степень два (« форма » — другое название однородного многочлена ). Например,

4x^{2}+2xy-3y^{2}

является квадратичной формой от переменных $x$ и $y$ . Коэффициенты обычно принадлежат фиксированному полю K $,$ такому как действительные или комплексные числа, и говорят о квадратичной форме над $K.$ Если $K = R$ и квадратичная форма равна нулю только тогда, когда все переменные одновременно равны нулю, то это определенная квадратичная форма ; в противном случае это изотропная квадратичная форма .

Квадратичные формы занимают центральное место в различных разделах математики, включая теорию чисел , линейную алгебру , теорию групп ( ортогональные группы ), дифференциальную геометрию ( риманова метрика , вторая фундаментальная форма ) , дифференциальную топологию ( формы пересечения четырёхмногообразий ), Теория Ли ( форма Киллинга ) и статистика (где показатель многомерного нормального распределения с нулевым средним имеет квадратичную форму ) $-\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x}$

Квадратные формы не следует путать с квадратным уравнением , которое имеет только одну переменную и включает члены степени два или меньше. Квадратичная форма — это один из случаев более общего понятия однородных многочленов .

Введение

Квадратичные формы — это однородные квадратичные многочлены от $n$ переменных. В случаях одной, двух и трех переменных они называются унарными , бинарными и троичными и имеют следующий явный вид:

{\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&& {\textrm {(unary)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^ {2}&&{\textrm {(двоичный)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\ textrm {(тройной)}}\end{aligned}}

где $a$ ,..., $f$ — коэффициенты . ^[1]

Теория квадратичных форм и методы, используемые при их изучении, во многом зависят от природы коэффициентов, которые могут быть действительными или комплексными числами , рациональными числами или целыми числами . В линейной алгебре , аналитической геометрии и в большинстве приложений квадратичных форм коэффициенты являются действительными или комплексными числами. В алгебраической теории квадратичных форм коэффициенты являются элементами некоторого поля . В арифметической теории квадратичных форм коэффициенты принадлежат фиксированному коммутативному кольцу , часто это целые числа $Z$ или $p$ -адические целые числа $Z p$ . ^[2] Бинарные квадратичные формы широко изучались в теории чисел , в частности, в теории квадратичных полей , цепных дробей и модулярных форм . Теория целых квадратичных форм от $п$ переменных имеет важные приложения к алгебраической топологии .

Используя однородные координаты , ненулевая квадратичная форма от $n$ переменных определяет $(n -2)$ -мерную квадрику в $(n -1)$ -мерном проективном пространстве . Это основная конструкция проективной геометрии . Таким образом, можно визуализировать трехмерные действительные квадратичные формы как конические сечения . Примером может служить трехмерное евклидово пространство и квадрат евклидовой нормы , выражающий расстояние между точкой с координатами $(x, y, z)$ и началом координат:

q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\| ^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Близкое понятие с геометрическим подтекстом — это квадратичное пространство , которое представляет собой пару $(V, q)$ , где $V$ — векторное пространство над полем $K$ , а $q : V \to K$ — квадратичная форма на V. См. § Определения ниже для определения квадратичной формы в векторном пространстве.

История

Изучение квадратичных форм, в частности вопрос о том, может ли данное целое число быть значением квадратичной формы над целыми числами, насчитывает много столетий. Одним из таких случаев является теорема Ферма о суммах двух квадратов , которая определяет, когда целое число может быть выражено в форме $x 2 + y 2$ , где $x$ , $y$ — целые числа. Эта проблема связана с проблемой поиска пифагорейских троек , появившейся во втором тысячелетии до нашей эры. ^[3]

В 628 году индийский математик Брахмагупта написал «Брахмаспхутасиддханту» , включающую, среди прочего, исследование уравнений вида $x 2 - ny 2 = c$ . Он рассмотрел то, что сейчас называется уравнением Пелла , $x 2 - ny 2 = 1$ , и нашел метод его решения. ^[4] В Европе эту проблему изучали Брункер , Эйлер и Лагранж .

В 1801 Гаусс опубликовал «Disquisitiones Arithmeticae» , большая часть которых была посвящена полной теории бинарных квадратичных форм над целыми числами . С тех пор концепция была обобщена, а связи с полями квадратичных чисел , модулярной группой и другими областями математики получили дальнейшее объяснение.

Связанная симметричная матрица

Любая матрица $A размера$ $n \times n$ определяет квадратичную форму $q$ $A$ от $n$ переменных по формуле

q_{A}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij} {x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} ,

А знак равно (а ij)

Пример

Рассмотрим случай квадратичных форм от трех переменных $x, y, z$ . Матрица $А$ имеет вид

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.

Приведенная выше формула дает

q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h) yz.

Итак, две разные матрицы определяют одну и ту же квадратичную форму тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые элементы на диагонали и одинаковые значения сумм $b + d$ , $c + g$ и $f + h$ . В частности, квадратичная форма $q A$ определяется единственной симметричной матрицей

A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.

Это обобщается на любое количество переменных следующим образом.

Общий случай

Учитывая квадратичную форму $q A$ , определенную матрицей $A = (a ij)$ , матрица

B=\left({\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}\right)

,

q A.

Итак, над действительными числами (и, шире, над полем характеристики , отличной от двух) существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами и определяющими их симметричными матрицами .

Действительные квадратичные формы

Фундаментальной проблемой является классификация вещественных квадратичных форм при линейной замене переменных .

Якоби доказал, что для каждой вещественной квадратичной формы существует ортогональная диагонализация ; то есть ортогональная замена переменных , которая переводит квадратичную форму в « диагональную форму » .

\lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},

диагональной

λ 1, λ 2, ..., λ n

точностью до^[5]

Если замена переменных задается обратимой матрицей , которая не обязательно ортогональна, можно предположить, что все коэффициенты $λ i$ равны 0, 1 или -1. Закон инерции Сильвестра гласит, что числа 1 и -1 являются инвариантами квадратичной формы в том смысле, что любая другая диагонализация будет содержать одинаковое количество каждого из них. Сигнатурой квадратичной формы является тройка ( $n 0, n +, n -),$ где $n 0$ — количество нулей, а $n \pm$ — количество ±1. Закон инерции Сильвестра показывает, что это вполне определенная величина, привязанная к квадратичной форме.

Особенно важен случай, когда все $λ i$ имеют один и тот же знак: в этом случае квадратичная форма называется положительно определенной (все 1) или отрицательно определенной (все −1). Если ни один из членов не равен 0, то форма называетсяневырожденный ; сюда входят положительно определенная, отрицательно определенная иизотропная квадратичная форма(смесь 1 и -1); эквивалентно, невырожденная квадратичная форма — это форма, связанная с которой симметричная форма являетсяневырожденной билинейной формой. Действительное векторное пространство с неопределенной невырожденной квадратичной формой индекса $($ $p, q) ($ обозначающее $p1s$ и $q$ −1s) часто обозначается как $Rp, q$ , особенно в физической теориипространства-времени.

Дискриминант квадратичной формы , точнее класс определителя представляющей матрицы в $K /(K \times) 2$ (с точностью до ненулевых квадратов), также может быть определен, и для вещественной квадратичной формы является более грубым инвариантом, чем сигнатура , принимая только «положительные, нулевые или отрицательные значения». Ноль соответствует вырожденной форме, а для невырожденной формы это четность числа отрицательных коэффициентов $(-1) n -$ .

Ниже эти результаты переформулированы по-другому.

Пусть $q$ — квадратичная форма, определенная в $n$ -мерном вещественном векторном пространстве. Пусть $A$ — матрица квадратичной формы $q$ в данном базисе. Это означает, что $A$ — симметричная матрица размера $n \times n$ такая, что

q(v)=x^{\mathsf {T}}Ax,

v

x

обратимую матрицу

S размера

n \times n

A

B

A\to B=S^{\mathsf {T}}AS.

Любую симметричную матрицу $A$ можно преобразовать в диагональную матрицу.

B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}

S

B

S

B

n 0

n +

n -

A.

n +

n -

положительнымотрицательным индексами инерции

A

q

Квадратичная форма $q$ является положительно определенной, если $q (v) > 0$ (аналогично, отрицательно определенной, если $q (v) < 0$ ) для каждого ненулевого вектора $v$ . ^[6] Когда $q (v)$ принимает как положительные, так и отрицательные значения, $q$ является изотропной квадратичной формой . Теоремы Якоби и Сильвестра показывают, что любую положительно определенную квадратичную форму от $n$ переменных можно привести к сумме $n$ квадратов подходящим обратимым линейным преобразованием: геометрически существует только одна положительно определенная вещественная квадратичная форма каждого измерения. Его группа изометрий представляет собой компактную ортогональную группу $O(n)$ . Это контрастирует со случаем изотропных форм, когда соответствующая группа, неопределенная ортогональная группа $O(p, q)$ , некомпактна. Кроме того, группы изометрий $Q$ и $- Q$ одни и те же ( $O(p, q) \approx O(q, p))$ , но ассоциированные алгебры Клиффорда (и, следовательно, группы булавок ) различны.

Определения

Квадратичная форма над полем $K$ — это отображение $q : V \to K$ из конечномерного $K$ -векторного пространства в $K$ такое, что $q (av) = a 2 q (v)$ для всех $a \in K$ , $v \in V$ и функция $q (ты + v) - q (ты) - q (v)$ билинейна.

Более конкретно, $n$ -арная квадратичная форма над полем $K$ — это однородный многочлен степени 2 от $n$ переменных с коэффициентами из $K$ :

q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.

Эту формулу можно переписать с использованием матриц: пусть $x$ будет вектор-столбцом с компонентами $x 1$ , ..., $x n$ и $A = (a ij)$ будет матрицей размера $n \times n$ над $K$ , элементы которой являются коэффициентами $q$ . Затем

q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.

Вектор $v = (x 1, ..., x n)$ является нулевым вектором, если $q (v) = 0$ .

Две $n$ -арные квадратичные формы $φ$ и $ψ$ над $K$ эквивалентны , если существует неособое линейное преобразование $C \in GL (n, K)$ такое, что

\psi (x)=\varphi (Cx).

Пусть характеристика K отличается от 2. $[7] Матрицу коэффициентов A для q$ $можно заменить симметричной матрицей ( A + AT$ ⁾ / $2$ той $же$ квадратичной формы $,$ $поэтому$ $с$ $самого$ $начала$ можно предположить, что $A$ является симметричным. При этом симметричная матрица $A$ однозначно определяется соответствующей квадратичной формой. При эквивалентности $C$ симметричная матрица $A$ функции $φ$ и симметричная матрица $B$ функции $ψ$ связаны следующим образом:

B=C^{\mathsf {T}}AC.

Соответствующая билинейная форма квадратичной формы $q$ определяется формулой

b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.

Таким образом, $b q$ — симметричная билинейная форма над $K$ с матрицей $A.$ Обратно, любая симметричная билинейная форма $b$ определяет квадратичную форму

q(x)=b(x,x),

n

Квадратичное пространство

Для данного $n$ -мерного векторного пространства $V$ над полем $K$ квадратичная форма на $V$ — это функция $Q : V \to K$ , которая обладает следующим свойством: для некоторого базиса функция $q$ , отображающая координаты $v \in V$ в $Q (v)$ — квадратичная форма. В частности, если $V = Kn$ со стандартным базисом $,$ то

q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{for}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.

Формулы замены базиса показывают, что свойство быть квадратичной формой не зависит от выбора конкретного базиса в $V$ , хотя квадратичная форма $q$ зависит от выбора базиса.

Конечномерное векторное пространство с квадратичной формой называется квадратичным пространством .

Отображение $Q$ является однородной функцией степени 2, что означает, что оно обладает тем свойством, что для всех $a$ в $K$ и $v$ в $V$ :

Q(av)=a^{2}Q(v).

Когда характеристика $K$ не равна 2, определяется билинейное отображение $B : V \times V \to K$ над $K :$

B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).

B

B (x, y) = B (y, x)

x

y

V

Q

Q (x) = B (x, x)

x

V

Когда характеристика $K$ равна 2, так что 2 не является единицей , все еще можно использовать квадратичную форму для определения симметричной билинейной формы $B'(x, y) = Q (x + y) - Q (x) - Q (у)$ . Однако $Q (x)$ уже нельзя восстановить из этого $B'$ таким же способом, поскольку $B'(x, x) = 0$ для всех $x$ (и, таким образом, является чередующимся). ^[8] Альтернативно, всегда существует билинейная форма $B ″$ (вообще говоря, не единственная и не симметричная) такая, что $B ″(x, x) = Q (x)$ .

Пара $(V, Q)$ , состоящая из конечномерного векторного пространства $V$ над $K$ и квадратичного отображения $Q$ из $V$ в $K$ , называется квадратичным пространством , а $B$ , как определено здесь , является ассоциированной симметричной билинейной формой $Q.$ Понятие квадратичного пространства представляет собой бескоординатную версию понятия квадратичной формы. Иногда $Q$ также называют квадратичной формой.

Два $n$ -мерных квадратичных пространства $(V, Q)$ и $(V', Q')$ изометричны , если существует обратимое линейное преобразование $T : V \to V'$ ( изометрия ) такое, что

Q(v)=Q'(Tv){\text{ for all }}v\in V.

Классы изометрии $n$ -мерных квадратичных пространств над $K$ соответствуют классам эквивалентности $n$ -арных квадратичных форм над $K.$

Обобщение

Пусть $R$ — коммутативное кольцо , $M$ — $R$ - модуль и $b : M \times M \to R —$ $R$ -билинейная форма . ^[9] Отображение $q : M \to R : v \mapsto b (v, v)$ является ассоциированной квадратичной формой b $,$ и $B : M \times M \to R : (u, v) \mapsto q (u + v) - q (ты) - q (v)$ является полярной формой $q$ .

Квадратичная форма $q : M \to R$ может быть охарактеризована следующими эквивалентными способами:

Существует $R$ -билинейная форма $b : M \times M \to R$ такая, что $q (v)$ — ассоциированная квадратичная форма.
$q (av) = a 2 q (v)$ для всех $a \in R$ и $v \in M$ , а полярная форма $q$ $R$ -билинейна.

Связанные понятия

Два элемента $v$ и $w$ из $V$ называются ортогональными, если $B (v, w) = 0$ . Ядро билинейной формы $B$ состоит из элементов , ортогональных каждому элементу $V$ . $Q$ несингулярен , если ядро связанной с ним билинейной формы равно ${0}$ . Если в $V$ существует ненулевое $v$ такое, что $Q$ $($ $v$ $) = 0$ , квадратичная форма $Q$ изотропна , в противном случае она анизотропна . Эта терминология также применима к векторам и подпространствам квадратичного пространства. Если ограничение $Q$ на подпространство $U$ в $V$ тождественно равно нулю, то $U$ вполне сингулярно .

Ортогональная группа неособой квадратичной формы $Q$ — это группа линейных автоморфизмов $V$ , сохраняющих $Q$ : то есть группа изометрий $(V, Q)$ в себя.

Если квадратичное пространство $(A, Q)$ имеет произведение так, что $A$ является алгеброй над полем и удовлетворяет условиям

\forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),

композиционная алгебра

Эквивалентность форм

Любая квадратичная форма $q$ от $n$ переменных над полем характеристики, не равной 2, эквивалентна диагональной форме

q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.

Такую диагональную форму часто обозначают $⟨ a 1, ..., an ⟩ .$ Таким образом, классификацию всех квадратичных форм с точностью до эквивалентности можно свести к случаю диагональных форм.

Геометрический смысл

Используя декартовы координаты в трех измерениях, пусть $x = (x, y, z) T$ и пусть $A$ будет симметричной матрицей 3х3. Тогда геометрическая природа множества решений уравнения $x T A x + b T x = 1$ зависит от собственных значений матрицы $A$ .

Если все собственные значения A не равны нулю, то множество решений представляет $собой$ эллипсоид или гиперболоид . ^{[ нужна цитация ]} Если все собственные значения положительны, то это эллипсоид; если все собственные значения отрицательны, то это мнимый эллипсоид (получаем уравнение эллипсоида, но с мнимыми радиусами); если некоторые собственные значения положительны, а некоторые отрицательны, то это гиперболоид.

Если существуют одно или несколько собственных значений $λ i = 0$ , то форма зависит от соответствующего $b i$ . Если соответствующий $b i \neq 0$ , то множество решений представляет собой параболоид (эллиптический или гиперболический); если соответствующее $b i = 0$ , то размерность $i$ вырождается и не играет роли, а геометрический смысл будет определяться другими собственными значениями и другими компонентами $b$ . Когда множество решений представляет собой параболоид, то, является ли оно эллиптическим или гиперболическим, определяется тем, имеют ли все остальные ненулевые собственные значения одного и того же знака: если они есть, то оно эллиптическое; в противном случае оно является гиперболическим.

Целые квадратичные формы

Квадратичные формы над кольцом целых чисел называются целыми квадратичными формами , тогда как соответствующие модули являются квадратичными решетками (иногда просто решетками ). Они играют важную роль в теории чисел и топологии .

Целочисленная квадратичная форма имеет целые коэффициенты, например $x 2 + xy + y 2$ ; эквивалентно, если решетка $Λ$ в векторном пространстве $V$ (над полем с характеристикой 0, например $Q$ или $R$ ), квадратичная форма $Q$ является целой относительно $Λ$ тогда и только тогда, когда она целочисленна на $Λ$ , что означает $Q (Икс, y) \in Z$ , если $Икс, y \in Λ$ .

Это текущее использование термина; в прошлом его иногда использовали по-другому, как подробно описано ниже.

Историческое использование

Исторически существовала некоторая путаница и разногласия по поводу того, должно ли понятие целой квадратичной формы означать:

двойки в: квадратичная форма, связанная с симметричной матрицей с целыми коэффициентами
двойки: многочлен с целыми коэффициентами (поэтому соответствующая симметричная матрица может иметь полуцелые коэффициенты вне диагонали)

Эти дебаты возникли из-за путаницы квадратичных форм (представленных полиномами) и симметричных билинейных форм (представленных матрицами), а «двойка» теперь является общепринятым соглашением; Вместо этого «двойки в» - это теория целочисленных симметричных билинейных форм (целочисленных симметричных матриц).

В «двойках» двоичные квадратичные формы имеют вид $ax 2 + 2 bxy + cy 2$ , представленный симметричной матрицей.

{\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}

ГауссDisquisitiones Arithmeticae

В «двойке» двоичные квадратичные формы имеют вид $ax 2 + bxy + cy 2$ , представленный симметричной матрицей.

{\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.

Несколько точек зрения означают, что двойка была принята в качестве стандартного соглашения. К ним относятся:

лучшее понимание 2-адической теории квадратичных форм, «локального» источника трудностей;
решеточная точка зрения, которая в целом была принята экспертами по арифметике квадратичных форм в 1950-е годы ;
актуальные потребности в целой теории квадратичных форм в топологии для теории пересечений ;
группа Ли и аспекты алгебраической группы .

Универсальные квадратичные формы

Целочисленную квадратичную форму, образ которой состоит из всех натуральных чисел, иногда называют универсальной . Теорема Лагранжа о четырех квадратах показывает, что $w 2 + x 2 + y 2 + z 2$ является универсальным. Рамануджан обобщил это $aw 2 + bx 2 + cy 2 + dz 2$ и нашел 54 мультимножества ${a, b, c, d}$ , каждое из которых может генерировать все положительные целые числа, а именно:

${1, 1, 1, d}, 1 \leq d \leq 7$
${1, 1, 2, d}, 2 \leq d \leq 14$
${1, 1, 3, d}, 3 \leq d \leq 6$
${1, 2, 2, d}, 2 \leq d \leq 7$
${1, 2, 3, d}, 3 \leq d \leq 10$
${1, 2, 4, d}, 4 \leq d \leq 14$
${1, 2, 5, d}, 6 \leq d \leq 10$

Существуют также формы, образ которых состоит только из целых положительных чисел, кроме одного. Например, ${1, 2, 5, 5}$ имеет 15 в качестве исключения. Недавно теоремы 15 и 290 полностью охарактеризовали универсальные целочисленные квадратичные формы: если все коэффициенты являются целыми числами, то она представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда она представляет все целые числа до 290; если у него есть целая матрица, он представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда он представляет все целые числа до 15.

Смотрите также

Примечания

^ Традиция, восходящая к Гауссу , требует использования явно четных коэффициентов для произведений различных переменных, то есть $2 b$ вместо $b$ в двоичных формах и $2 b$ , $2 d$ , $2 f$ вместо $b$ , $d$ , $f$ в тройных формах. Оба соглашения встречаются в литературе.
^ вдали от 2 , т. е. если 2 обратима в кольце, квадратичные формы эквивалентны симметричным билинейным формам (по поляризационным тождествам ), но в 2 это разные понятия; это различие особенно важно для квадратичных форм целых чисел.
^ Вавилонский Пифагор
^ Биография Брахмагупты
^ Максим Бошер (совместно с EPR DuVal) (1907) Введение в высшую алгебру , § 45 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов через HathiTrust
^ Если выполняется нестрогое неравенство (с ≥ или ≤), то квадратичная форма $q$ называется полуопределенной.
^ Теория квадратичных форм над полем характеристики 2 имеет важные различия, и многие определения и теоремы должны быть изменены.
^ Эта знакопеременная форма, связанная с квадратичной формой в характеристике 2, представляет интерес, связанный с инвариантом Арфа - Ирвинг Каплански (1974), Линейная алгебра и геометрия , с. 27.
^ Билинейная форма, с которой связана квадратичная форма, не ограничивается симметричностью, что имеет значение, когда 2 не является единицей в $R$ .

дальнейшее чтение

Кассельс, JWS (1978). Рациональные квадратичные формы . Монографии Лондонского математического общества. Том. 13. Академическая пресса . ISBN 0-12-163260-1. Збл 0395.10029.
Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Кембриджские трактаты по математике. Том. 106. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40475-4. Збл 0785.11021.
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1095-2. МР 2104929. Збл 1068.11023.
Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-06009-Х. Збл 0292.10016.
О'Мира, ОТ (1973). Введение в квадратичные формы . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 117. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-66564-1. Збл 0259.10018.
Пфистер, Альбрехт (1995). Квадратичные формы с приложениями к алгебраической геометрии и топологии . Серия конспектов лекций Лондонского математического общества. Том. 217. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46755-1. Збл 0847.11014.

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с квадратичными формами .

А.В.Малышев (2001) [1994], «Квадратичная форма», Математическая энциклопедия , EMS Press
А.В.Малышев (2001) [1994], «Бинарная квадратичная форма», Математическая энциклопедия , EMS Press