Конфокальные конические срезы

Конические срезы с одинаковыми фокусами

Карандаши софокусных эллипсов и гипербол.

В геометрии два конических сечения называются софокусными, если они имеют одинаковые фокусы .

Поскольку эллипсы и гиперболы имеют два фокуса, существуют софокальные эллипсы , софокальные гиперболы и софокальные смеси эллипсов и гипербол. В смеси софокальных эллипсов и гипербол любой эллипс пересекает любую гиперболу ортогонально (под прямым углом).

Параболы имеют только один фокус, поэтому по соглашению конфокальные параболы имеют один и тот же фокус и одну и ту же ось симметрии. Следовательно, любая точка, не лежащая на оси симметрии, лежит на двух софокусных параболах, пересекающихся ортогонально (см. ниже).

Круг представляет собой эллипс , оба фокуса которого совпадают в центре. Круги, имеющие один и тот же фокус, называются концентрическими кругами , и они ортогонально пересекают любую линию, проходящую через этот центр.

Формальное распространение понятия софокусных коник на поверхности приводит к софокусным квадрикам .

Конфокальные эллипсы и гиперболы

Любая гипербола или (некруглый) эллипс имеет два фокуса, и любая пара различных точек на евклидовой плоскости и любая третья точка, не лежащая на соединяющей их линии, однозначно определяют эллипс и гиперболу с общими фокусами и пересекающимися ортогонально в точке (см. Эллипс § Определение как место точек и Гипербола § Как место точек .) ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$ ${\displaystyle P.}$

Таким образом, фокусы определяют два пучка софокальных эллипсов и гипербол. ${\displaystyle F_{1},\,F_{2}}$

По теореме о главной оси плоскость допускает декартову систему координат с началом в средней точке между фокусами и ее осями, совмещенными с осями софокусных эллипсов и гипербол. Если – линейный эксцентриситет (половина расстояния между и ), то в этой системе координат ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0).}$

Пучок софокусных эллипсов и гипербол задается выбором линейного эксцентриситета c ( координата x одного фокуса) и может быть параметризован большой полуосью a ( координата x пересечения определенной коники в пучке и ось X ). Когда 0 < a < c, коника является гиперболой; когда c < a, коника является эллипсом.

Каждый эллипс или гипербола на карандаше представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1}$

с большой полуосью в качестве параметра. Если большая полуось меньше линейного эксцентриситета ( ), уравнение определяет гиперболу, а если большая полуось больше линейного эксцентриситета ( ), оно определяет эллипс. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0<a<c}$ ${\displaystyle a>c}$

Другое распространенное представление определяет пучок эллипсов и гипербол, конфокальных с данным эллипсом большой полуоси и малой полуоси (так что ), каждая коника генерируется выбором параметра ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0<b<a}$ ${\displaystyle \lambda \colon }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1,}$

Если коника является эллипсом . Если коника является гиперболой . Ибо решений нет. Общими фокусами каждой коники в карандаше являются точки. Это представление естественным образом обобщается на более высокие измерения (см. § Софокальные квадрики). ${\displaystyle -\infty <\lambda <b^{2},}$ ${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2},}$ ${\displaystyle a^{2}<\lambda }$ ${\textstyle {\bigl (}{\pm }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0{\bigr )}.}$

Предельные кривые

При приближении параметра к значению снизу предел пучка софокусных эллипсов вырождается в отрезок между фокусами на оси x (бесконечно плоский эллипс). При приближении сверху предел пучка софокальных гипербол вырождается до относительного дополнения этого отрезка относительно оси x ; то есть к двум лучам с концами в фокусах, направленными наружу вдоль оси x (бесконечно плоская гипербола). Эти две предельные кривые имеют два общих фокуса. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$

Это свойство проявляется аналогично в трехмерном случае, что приводит к определению фокальных кривых софокусных квадрик. См. § Конфокальные квадрики ниже.

Двойная ортогональная система

Наглядное доказательство того, что софокусные эллипсы и гиперболы пересекаются ортогонально, поскольку каждый из них обладает «свойством отражения».

Рассматривая пучки софокусных эллипсов и гипербол (см. свинцовую диаграмму), из геометрических свойств нормали и касательной в точке (нормаль эллипса и тангенс гиперболы делят пополам угол между прямыми, ведущими к фокусам). Любой эллипс карандаша пересекает любую гиперболу ортогонально (см. схему).

Такое расположение, при котором каждая кривая в пучке непересекающихся кривых ортогонально пересекает каждую кривую в другом пучке непересекающихся кривых, иногда называют ортогональной сетью . Ортогональная сеть эллипсов и гипербол является основой эллиптической системы координат .

Конфокальные параболы

Параболой называется предельная кривая пучка эллипсов с общей вершиной и одним общим фокусом, так как другой фокус отодвинут на бесконечность вправо, а также предельная кривая пучка гипербол с общей вершиной и одним общим фокусом. , поскольку другой фокус перемещается на бесконечность влево.

Парабола имеет только один фокус и может рассматриваться как предельная кривая набора эллипсов (или набора гипербол), где один фокус и одна вершина остаются фиксированными, а второй фокус перемещается на бесконечность . Если это преобразование выполняется на каждой конике в ортогональной сети софокусных эллипсов и гипербол, пределом является ортогональная сеть софокусных парабол, обращенных в противоположные стороны.

Каждая парабола с фокусом в начале координат и осью x в качестве оси симметрии является геометрическим местом точек, удовлетворяющих уравнению

${\displaystyle y^{2}=2xp+p^{2},}$

при некотором значении параметра где – полурасширенная прямая кишка. Если то парабола открывается вправо , а если парабола открывается влево . Точка – это вершина параболы. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |p|}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle {\bigl (}{-}{\tfrac {1}{2}}p,0{\bigr )}}$

Карандаш конфокальных парабол

Из определения параболы для любой точки, не лежащей на оси x , существует уникальная парабола с фокусом в начале координат, открывающаяся вправо, и уникальная парабола с фокусом в начале координат, открывающаяся влево, пересекающаяся ортогонально в точке. . (Параболы ортогональны по той же причине, что и софокальные эллипсы и гиперболы: параболы обладают отражающим свойством .) ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Аналогично софокусным эллипсам и гиперболам, плоскость может быть покрыта ортогональной сетью парабол, которую можно использовать для параболической системы координат .

Сеть софокусных парабол можно рассматривать как изображение сети линий, параллельных осям координат и содержащихся в правой половине комплексной плоскости конформным отображением (см. Внешние ссылки). ${\displaystyle w=z^{2}}$

Концентрические круги и пересекающиеся линии

Круг – это эллипс с двумя совпадающими фокусами. Предел гипербол при сближении фокусов вырождается : пара пересекающихся прямых.

Если ортогональную сеть эллипсов и гипербол преобразовать путем объединения двух фокусов, результатом станет ортогональная сеть концентрических кругов и линий, проходящих через центр круга. Они являются основой полярной системы координат . ^[1]

Предел пучка эллипсов, имеющих один и тот же центр и оси и проходящих через данную точку, вырождается в пару линий, параллельных большой оси, поскольку два фокуса перемещаются в бесконечность в противоположных направлениях. Аналогично предел аналогичного пучка гипербол вырождается в пару прямых, перпендикулярных большой оси. Таким образом, прямоугольная сетка, состоящая из ортогональных пучков параллельных прямых, представляет собой своего рода сеть вырожденных софокусных коник. Такая ортогональная сеть является основой декартовой системы координат.

Теорема Грейвса

Построение конфокальных эллипсов

В 1850 году ирландский епископ Чарльз Грейвс доказал и опубликовал следующий метод построения софокусных эллипсов с помощью веревки: ^[2]

Если окружить данный эллипс E замкнутой нитью, длина которой превышает длину окружности данного эллипса, и нарисовать кривую, аналогичную конструкции эллипса садовником (см. диаграмму), то получится эллипс, конфокальный E.

Доказательство этой теоремы использует эллиптические интегралы и содержится в книге Клейна. Отто Штауде распространил этот метод на построение софокальных эллипсоидов (см. книгу Клейна).

Если эллипс E схлопывается в отрезок линии , получается небольшая вариация метода садовника, рисующего эллипс с фокусами . ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

Конфокальные квадрики

Конфокальные квадрики: (красный), (синий), (фиолетовый)
${\displaystyle a=1,\;b=0.8,\;c=0.6,\ }$
${\displaystyle \lambda _{1}=0.1}$ ${\displaystyle \ \lambda _{2}=0.5}$ ${\displaystyle \lambda _{3}=0.8}$

Типы в зависимости от ${\displaystyle \lambda }$

Две квадратичные поверхности называются софокусными, если они имеют одни и те же оси и если их пересечения с каждой плоскостью симметрии являются софокусными кониками. Аналогично коникам, невырожденные пучки софокусных квадрик бывают двух типов: трехосные эллипсоиды , однолистные гиперболоиды и двухлистные гиперболоиды; и эллиптические параболоиды , гиперболические параболоиды и эллиптические параболоиды, открывающиеся в противоположном направлении.

Трехосный эллипсоид с полуосями определяет пучок софокусных квадрик. Каждая квадрика, порожденная параметром, представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению: ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle a>b>c>0,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1.}$

Если , то квадрика является эллипсоидом ; если (на схеме: синий), то это однолистный гиперболоид ; если это гиперболоид из двух листов . Ибо решений нет. ${\displaystyle \lambda <c^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}<\lambda }$

Фокальные кривые

Фокальные коники (эллипс, гипербола, черный)

${\displaystyle c^{2}=0.36,\ b^{2}=0.64,\quad }$вверху: (эллипсоид, красный), (1s гиперб., синий), (1s гиперб., синий), (2s гиперб., фиолетовый) внизу: Ограничительные поверхности между типами ${\displaystyle \lambda =}$
${\displaystyle 0.3575}$ ${\displaystyle \ 0.3625}$
${\displaystyle 0.638}$ ${\displaystyle \ 0.642}$

Ограничьте поверхности для : ${\displaystyle \lambda \to c^{2}}$

При приближении параметра к значению снизу предельный эллипсоид является бесконечно плоским, или точнее представляет собой площадь x - y -плоскости , состоящую из эллипса ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c^{2}}$

${\displaystyle E:{\frac {x^{2}}{a^{2}-c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-c^{2}}}=1}$

и его двустворчатый салон (на схеме: внизу слева, красный).

При приближении сверху предельный гиперболоид одного листа бесконечно плоский, точнее — это площадь x — y -плоскости, состоящая из того же эллипса и его дважды покрытой внешней стороны (на схеме: внизу, слева, синего цвета) . ). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle E}$

Обе предельные поверхности имеют общие точки эллипса. ${\displaystyle E}$

Ограничьте поверхности для : ${\displaystyle \lambda \to b^{2}}$

Аналогично, при приближении сверху и снизу соответствующие предельные гиперболоиды (на диаграмме: нижний, правый, синий и фиолетовый) имеют гиперболу ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b^{2}}$

${\displaystyle H:\ {\frac {x^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1}$

в общем.

Фокальные кривые:

Фокусами эллипса являются вершины гиперболы и наоборот. Так и представляют собой пару фокусных коник . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$

Реверс: Поскольку любая квадрика пучка софокусных квадрик, определяемая , может быть построена методом булавок и ниток (см. эллипсоид ), фокальные коники играют роль бесконечного множества фокусов и называются фокальными кривыми пучка софокусных квадрик. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle E,H}$

Тройная ортогональная система

Аналогично случаю конфокальных эллипсов/гипербол,

Любая точка с лежит ровно на одной поверхности любого из трёх типов софокусных квадрик. ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0}$

Три квадрики, проходящие через точку, пересекаются там ортогонально (см. внешнюю ссылку). ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

Пример функции ${\displaystyle f(\lambda )}$

Доказательство существования и единственности трёх квадрик через точку:
Для точки с пусть будет . Эта функция имеет три вертикальные асимптоты и в любом из интервалов является непрерывной и монотонно возрастающей функцией . Из поведения функции вблизи ее вертикальных асимптот и из одного вывода (см. диаграмму): Функция имеет ровно 3 нуля с ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1}$ ${\displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;(a^{2},\infty )}$ ${\displaystyle \lambda \to \pm \infty }$
${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle {\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\lambda _{3}}<a^{2}\ .}$

Доказательство ортогональности поверхностей: Используя пучки функций с параметром, софокусные квадрики можно описать выражением . Для любых двух пересекающихся квадрик с одной попадает в общую точку
${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)=1}$ ${\displaystyle F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle 0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb }$

${\displaystyle \ =(\lambda _{i}-\lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .}$

Из этого уравнения получаем скалярное произведение градиентов в общей точке

${\displaystyle \operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,}$

что доказывает ортогональность.

Эллипсоид с линиями кривизны как кривыми пересечения с софокусными гиперболоидами
${\displaystyle a=1,\;b=0.8,\;c=0.6}$

Применения:
В соответствии с теоремой Дюпена о тройных ортогональных системах поверхностей кривая пересечения любых двух софокусных квадрик представляет собой линию кривизны . Аналогично плоским эллиптическим координатам существуют эллипсоидные координаты .

В физике конфокальные эллипсоиды представляют собой эквипотенциальные поверхности заряженного эллипсоида. ^[6]

Теорема Айвори

Теорема Айвори

Теорема Айвори (или лемма Айвори ), ^[7] названная в честь шотландского математика и астронома Джеймса Айвори (1765–1842), представляет собой утверждение о диагоналях сетчатого прямоугольника , четырехугольника, образованного ортогональными кривыми:

Для любого сетчатого прямоугольника, образованного двумя софокусными эллипсами и двумя софокусными гиперболами с одинаковыми фокусами, диагонали имеют одинаковую длину (см. схему).

Точки пересечения эллипса и софокусной гиперболы:
Пусть – эллипс с фокусами и уравнением ${\displaystyle E(a)}$ ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c>0\ }$

и софокальная гипербола с уравнением ${\displaystyle H(u)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad c>u\ .}$

Вычисляя точки пересечения и получаем четыре точки: ${\displaystyle E(a)}$ ${\displaystyle H(u)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {au}{c}},\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}\right)}$

Диагонали сетки-прямоугольника:
Для упрощения расчета пусть без ограничения общности (любая другая конфокальная сеть может быть получена равномерным масштабированием) и среди четырех пересечений эллипса и гиперболы выберем те, которые находятся в положительном квадранте (другие комбинации знаков дают тот же результат после аналогичного расчета). ${\displaystyle c=1}$

Пусть – два софокусных эллипса и две софокусные гиперболы с одинаковыми фокусами. Диагонали четырех точек сетчатого прямоугольника, состоящего из точек ${\displaystyle E(a_{1}),E(a_{2})}$ ${\displaystyle H(u_{1}),H(u_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{11}&=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right),&P_{22}&=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),\\[5mu]P_{12}&=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right),&P_{21}&=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

являются:

${\displaystyle {\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\left({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}\\[5mu]&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

Последнее выражение инвариантно относительно обмена . Именно этот обмен приводит к . Следовательно ${\displaystyle u_{1}\leftrightarrow u_{2}}$ ${\displaystyle |P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}}$ ${\displaystyle |P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|}$

Доказательство утверждения для конфокальных парабол представляет собой простой расчет.

Айвори даже доказал трёхмерную версию своей теоремы (С. Блашке, стр. 111):

Для трехмерного прямоугольного кубоида , образованного софокусными квадриками, диагонали, соединяющие противоположные точки, имеют одинаковую длину.

Смотрите также

• Аполлонические круги
• Фокалоид

Рекомендации

1. Гильберт и Кон-Фоссен 1952, с. 6.
2. Феликс Кляйн: Vorlesungen über Höhere Geometrie , Sringer-Verlag, Берлин, 1926, S.32.
3. Стауде, О.: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides . Математика. Анна. 20, 147–184 (1882)
4. Штауде, О.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Классы. Математика. Анна. 27, 253–271 (1886).
5. Штауде, О.: Die алгебраические Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Анна. 50, 398 – 428 (1898)
6. Д. Фукс , С. Табачников : Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Берлин/Гейдельберг, 2011 г., ISBN  978-3-642-12959-9 , стр. 480.
7. Айвори использовал это как лемму при доказательстве теоремы о том, что эквипотенциальные поверхности гравитационного поля, внешние по отношению к однородному трехосному эллипсоиду, являются софокусными эллипсоидами.

• Блашке, Вильгельм (1954). «VI. Konfokale Quadriken» [Конфокальные квадрики]. Analytische Geometrie [ Аналитическая геометрия ] (на немецком языке). Базель: Спрингер. стр. 108–132.
• Глезер, Георг; Стачел, Хельмут; Оденал, Борис (2016). «2. Евклидова плоскость». Вселенная Коникс . Спрингер. стр. 11–60. дои : 10.1007/978-3-662-45450-3_2. ISBN 978-3-662-45449-7.См. также «10. Другие геометрии», doi :10.1007/978-3-662-45450-3_10.
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), «§1.4 Нитевая конструкция эллипсоида и конфокальные квадрики» , «Геометрия и воображение» , Челси, стр. 19–25.
• Оденал, Борис; Стачел, Хельмут; Глезер, Георг (2020). «7. Конфокальные квадрики». Вселенная Квадрик . Спрингер. стр. 279–325. дои : 10.1007/978-3-662-61053-4_7. ISBN 978-3-662-61052-7. S2CID  242527367.
• Эрнесто Паскаль : Repertorium der höheren Mathematik. Тойбнер, Лейпциг/Берлин, 1910 г., с. 257.
• А. Робсон: Введение в аналитическую геометрию. Vo. Я, Кембридж, University Press, 1940, с. 157.
• Соммервилл, Дункан Макларен Янг (1934). «XII. Фокусы и фокальные свойства» . Аналитическая геометрия трех измерений . Издательство Кембриджского университета. стр. 224–250.

Внешние ссылки

• Т. Хофманн: Минискрипт Дифференциальной геометрии I, с. 48
• Б. Спрингборн: Kurven und Flächen, 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
• Х. Вальзер: Konforme Abbildungen. п. 8.