Линия (геометрия)

Прямая фигура с нулевой шириной и глубиной.

Красная линия возле начала координат двумерной декартовой системы координат.

В геометрии прямая линия , обычно сокращенно , представляет собой бесконечно длинный объект без ширины, глубины или кривизны , идеализацию таких физических объектов, как линейка , натянутая струна или луч света . Линии — это пространства первого измерения , которые могут быть встроены в пространства второго, третьего или более высокого измерения. Слово линия в повседневной жизни может также относиться к отрезку линии , который является частью линии, ограниченной двумя точками (ее конечными точками ).

« Элементы » Евклида определяют прямую линию как «длину без ширины», которая «равномерно лежит относительно точек на себе», и вводят несколько постулатов как основные недоказуемые свойства, на которых основывается остальная геометрия. Евклидова линия и евклидова геометрия — термины, введенные во избежание путаницы с обобщениями, введенными с конца 19 века, такими как неевклидова , проективная и аффинная геометрия .

Характеристики

В греческой дедуктивной геометрии « Начал » Евклида общая линия (теперь называемая кривой ) определяется как «длина без ширины», а прямая линия (теперь называемая отрезком линии ) определяется как линия, «которая лежит равномерно с точками на себе». ^{[1] : 291} Эти определения апеллируют к физическому опыту читателей, опираясь на термины, которые сами по себе не определены, и на определения никогда не ссылаются явно в остальной части текста. В современной геометрии линия обычно либо рассматривается как примитивное понятие со свойствами , заданными аксиомами ^{[1] :95} , либо определяется как набор точек, подчиняющихся линейным отношениям, например, когда действительные числа считаются примитивными, а геометрия устанавливается аналитически в числовых координатах .

В аксиоматической формулировке евклидовой геометрии, такой как формулировка Гильберта (современные математики добавили к первоначальным аксиомам Евклида, чтобы заполнить воспринимаемые логические пробелы), ^{[1] : 108} утверждается, что линия обладает определенными свойствами, которые связывают ее с другими линиями и точками . Например, для любых двух различных точек существует уникальная линия, содержащая их, и любые две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке. ^{[1] : 300} В двух измерениях (т. е. на евклидовой плоскости ) две прямые, которые не пересекаются, называются параллельными . В более высоких измерениях две линии, которые не пересекаются, параллельны, если они содержатся в плоскости , или перекошены, если это не так.

На евклидовой плоскости линию можно представить как границу между двумя областями. ^{[2] : 104} Любой набор конечного числа прямых разбивает плоскость на выпуклые многоугольники (возможно, неограниченные); этот раздел известен как расположение линий .

В высших измерениях

В трехмерном пространстве уравнение первой степени с переменными x , y и z определяет плоскость, поэтому два таких уравнения, при условии, что плоскости, которые они порождают, не параллельны, определяют линию, которая является пересечением плоскостей. В более общем смысле, в n -мерном пространстве n -1 уравнений первой степени в n координатных переменных определяют линию при подходящих условиях.

В более общем евклидовом пространстве Rn ( ^и аналогично в любом другом аффинном пространстве ) прямая L, проходящая через две разные точки a и b , является подмножеством

$${\displaystyle L=\left\{(1-t)\,a+tb\mid t\in \mathbb {R} \right\}.}$$

линииatbtbaab

Коллинеарные точки

Три точки называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Три точки обычно определяют плоскость , но в случае трех коллинеарных точек этого не происходит.

В аффинных координатах , в n -мерном пространстве точки X = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ), Y = ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) и Z = ( z ₁ , z ₂ , ..., z _n ) коллинеарны, если матрица

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{n}\end{bmatrix}}}$$

рангnопределитель

Эквивалентно для трех точек на плоскости, точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда наклон между одной парой точек равен наклону между любой другой парой точек (в этом случае наклон между оставшейся парой точек будет равен другим наклонам). . В более широком смысле, k точек на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда любые ( k –1) пары точек имеют одинаковые попарные наклоны.

В евклидовой геометрии евклидово расстояние d ( a , b ) между двумя точками a и b может использоваться для выражения коллинеарности между тремя точками следующим образом: ^{[3] [4]}

Точки a , b и c лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда d ( x , a ) = d ( c , a ) и d ( x , b ) = d ( c , b ) влечет x = c .

Однако существуют другие понятия расстояния (например, манхэттенское расстояние ), для которых это свойство неверно.

В геометриях, где понятие прямой является примитивным понятием , как это может иметь место в некоторых синтетических геометриях , необходимы другие методы определения коллинеарности.

Типы

Касательная к кривой. Красная линия проходит по касательной к кривой в точке, отмеченной красной точкой.

В некотором смысле, ^[а] все линии в евклидовой геометрии равны, в том смысле, что без координат их невозможно отличить друг от друга. Однако линии могут играть особую роль по отношению к другим объектам геометрии и подразделяться на типы в соответствии с этим соотношением. Например, относительно коники ( круга , эллипса , параболы или гиперболы ) линии могут быть:

• касательные линии , которые касаются коники в одной точке;
• секущие линии , которые пересекают конику в двух точках и проходят через ее внутреннюю часть; ^[5]
• внешние линии, не пересекающие конику ни в одной точке евклидовой плоскости; или
• директриса , расстояние которой от точки помогает установить , находится ли точка на конике.
• координатная линия , линейный координатный размер

В контексте определения параллелизма в евклидовой геометрии трансверсаль — это линия, пересекающая две другие линии, которые могут быть или не быть параллельны друг другу.

Для более общих алгебраических кривых линии также могут быть:

• i -секущие линии, пересекающие кривую в i точках, считая без кратности, или
• асимптоты , к которым кривая приближается сколь угодно близко, не касаясь ее. ^[6]

По отношению к треугольникам имеем:

• линия Эйлера ,
• линии Симсона и
• центральные линии .

Для выпуклого четырехугольника с не более чем двумя параллельными сторонами линия Ньютона — это линия, соединяющая середины двух диагоналей . ^[7]

Для шестиугольника с вершинами, лежащими на конике, у нас есть линия Паскаля , а в особом случае, когда коника представляет собой пару прямых, у нас есть линия Паппуса .

Параллельные прямые – это линии в одной плоскости, которые никогда не пересекаются. Пересекающиеся линии имеют одну общую точку. Совпадающие прямые совпадают друг с другом — каждая точка, находящаяся на одной из них, находится и на другой.

Перпендикулярные линии – это линии, пересекающиеся под прямым углом . ^[8]

В трехмерном пространстве косые линии — это линии, которые не лежат в одной плоскости и, следовательно, не пересекаются друг с другом.

В аксиоматических системах

Понятие линии часто рассматривается в геометрии как примитивное понятие в аксиоматических системах ^{[1] :95,} что означает, что оно не определяется другими понятиями. ^[9] В тех ситуациях, когда линия является определенным понятием, как в координатной геометрии , некоторые другие фундаментальные идеи принимаются в качестве примитивов. Когда концепция линии является примитивной, свойства линий определяются аксиомами , которым они должны удовлетворять.

В неаксиоматической или упрощенной аксиоматической трактовке геометрии концепция примитивного понятия может быть слишком абстрактной, чтобы с ней можно было иметь дело. В этом случае можно дать описание или мысленный образ примитивного понятия, дать основу для построения понятия, на которой формально будут базироваться (невысказанные) аксиомы. Некоторые авторы могут называть описания этого типа определениями в этом неформальном стиле изложения. Это неверные определения, и их нельзя использовать в формальных доказательствах утверждений. «Определение» линии в «Началах» Евклида попадает в эту категорию. ^{[1] :95} Даже в случае, когда рассматривается конкретная геометрия (например, евклидова геометрия ), среди авторов нет общепринятого согласия относительно того, каким должно быть неформальное описание линии, когда предмет не рассматривается формально.

Определение

Линейное уравнение

Линейные графики линейных уравнений на декартовой плоскости

Линии в декартовой плоскости или, в более общем плане, в аффинных координатах характеризуются линейными уравнениями. Точнее, каждая линия (включая вертикальные линии) представляет собой набор всех точек, координаты которых ( x , y ) удовлетворяют линейному уравнению; то есть, ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L=\{(x,y)\mid ax+by=c\},}$$

abcдействительные числакоэффициентамиabb

Далее можно предположить либо c = 1 , либо c = 0 , разделив все на c , если оно не равно нулю.

Существует много вариантов написания уравнения прямой, которые можно преобразовать из одного в другое с помощью алгебраических манипуляций. Вышеупомянутую форму иногда называют стандартной формой . Если постоянный член поставить слева, уравнение примет вид

$${\displaystyle ax+by-c=0,}$$

общей формой

Эти формы обычно называются по типу информации (данных) о строке, которая необходима для записи формы. Некоторые из важных данных линии — это ее наклон, точка пересечения по оси X , известные точки на линии и точка пересечения по оси Y.

Уравнение линии, проходящей через две разные точки , можно записать как ${\displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1})}$

$${\displaystyle (y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0}).}$$

x ₀ ≠ x ₁

$${\displaystyle y=(x-x_{0})\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}}$$

$${\displaystyle y=x\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\,.}$$

двух измеренияхформе наклона-пересечения

$${\displaystyle y=mx+b}$$

• m — наклон или градиент линии.
• b — точка пересечения линии по оси Y.
• x - независимая переменная функции y знак равно f ( x ) .

Наклон линии, проходящей через точки и , определяется выражением и можно записать уравнение этой линии . ${\displaystyle A(x_{a},y_{a})}$ ${\displaystyle B(x_{b},y_{b})}$ ${\displaystyle x_{a}\neq x_{b}}$ ${\displaystyle m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})}$ ${\displaystyle y=m(x-x_{a})+y_{a}}$

Обратите внимание: линии в трех измерениях также можно описать как одновременные решения двух линейных уравнений .

$${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0}$$

$${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0}$$

а ${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})}$ ${\displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2})}$ ${\displaystyle a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}}$ ${\displaystyle t=0}$

Параметрическое уравнение

Параметрические уравнения также используются для задания линий, особенно в трехмерных и более измерениях , поскольку линии более чем в двух измерениях не могут быть описаны одним линейным уравнением.

В трех измерениях линии часто описываются параметрическими уравнениями:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$

• x , y и z — все функции независимой переменной t , которая варьируется в пределах действительных чисел.
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) — любая точка на прямой.
• a , b и c связаны с наклоном линии, так что вектор направления ( a , b , c ) параллелен линии.

Параметрические уравнения для линий в более высоких измерениях аналогичны тем, что они основаны на задании одной точки на линии и вектора направления.

Гессенская нормальная форма

Расстояние от начала координат O до линии E, рассчитанное с помощью нормальной формы Гессе. Вектор нормали показан красным, линия — зеленым, точка O — синим.

Нормальная форма (также называемая нормальной формой Гессе ^[10] в честь немецкого математика Людвига Отто Гессе ) основана на нормальном сегменте для данной прямой, который определяется как отрезок, проведенный из начала координат , перпендикулярный прямой. . Этот сегмент соединяет начало координат с ближайшей к началу точки точкой линии. Нормальная форма уравнения прямой на плоскости имеет вид:

$${\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,}$$

xp ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle ax+by=c}$

$${\displaystyle {\frac {c}{|c|}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$$

В отличие от форм пересечения наклона и пересечения, эта форма может представлять любую линию, но также требует указания только двух конечных параметров и p . Если p > 0 , то определяется однозначно по модулю 2 π . С другой стороны, если линия проходит через начало координат ( c = p = 0 ), c ​​/| с | член для вычисления и , и отсюда следует, что он определен только по модулю π . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sin \varphi }$ ${\displaystyle \cos \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Другие представления

Векторы

Векторное уравнение линии, проходящей через точки A и B, имеет вид (где λ — скаляр ). ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB} }$

Если a — вектор OA , а b — вектор OB , то уравнение прямой можно записать: . ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )}$

Луч, начинающийся в точке A , описывается пределом λ. Один луч получается, если λ ≥ 0, а противоположный луч исходит из λ ≤ 0.

Полярные координаты

Линия в полярных координатах, не проходящая через начало координат, с записанным выше общим параметрическим уравнением

В декартовой плоскости полярные координаты ( r , θ ) связаны с декартовыми координатами параметрическими уравнениями: ^[11]

$${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$$

В полярных координатах уравнение прямой, не проходящей через начало координат — точку с координатами (0, 0) , — можно записать

$${\displaystyle r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},}$$

r > 0pлинии,x ${\displaystyle \varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.}$ ${\displaystyle \varphi }$

Может оказаться полезным выразить уравнение через угол между осью X и прямой. В этом случае уравнение принимает вид ${\displaystyle \alpha =\varphi +\pi /2}$

$${\displaystyle r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha )}},}$$

r > 0 ${\displaystyle 0<\theta <\alpha +\pi .}$

Эти уравнения можно вывести из нормальной формы линейного уравнения, задав , а затем применив тождество угловой разности для синуса или косинуса. ${\displaystyle x=r\cos \theta ,}$ ${\displaystyle y=r\sin \theta ,}$

Эти уравнения также можно доказать геометрически , применив определения синуса и косинуса прямоугольного треугольника к прямоугольному треугольнику , у которого точка прямой и начало координат являются вершинами, а линия и ее перпендикуляр, проходящий через начало координат, являются сторонами.

Предыдущие формы не применимы для линии, проходящей через начало координат, но можно записать более простую формулу: полярные координаты точек линии, проходящей через начало координат и образующей угол с осью x , представляют собой пары, такие что ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (r,\theta )}$

$${\displaystyle r\geq 0,\qquad {\text{and}}\quad \theta =\alpha \quad {\text{or}}\quad \theta =\alpha +\pi .}$$

Обобщения евклидовой линии

В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие прямой тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии линия на плоскости часто определяется как набор точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейному уравнению , но в более абстрактной ситуации, такой как геометрия падения , линия может быть независимым объектом, отличным от множество точек, лежащих на нем.

Когда геометрия описывается набором аксиом , понятие линии обычно остается неопределенным (так называемый примитивный объект). Свойства линий затем определяются аксиомами, которые к ним относятся. Одним из преимуществ этого подхода является гибкость, которую он дает пользователям геометрии. Таким образом, в дифференциальной геометрии линию можно интерпретировать как геодезическую (кратчайший путь между точками), а в некоторых проективных геометриях линия представляет собой двумерное векторное пространство (все линейные комбинации двух независимых векторов). Эта гибкость выходит за рамки математики и, например, позволяет физикам рассматривать путь светового луча как линию.

Проективная геометрия

Большой круг делит сферу на два равных полушария, одновременно удовлетворяя свойству «отсутствия кривизны».

Во многих моделях проективной геометрии представление линии редко соответствует понятию «прямой кривой», как оно визуализируется в евклидовой геометрии. В эллиптической геометрии мы видим типичный пример этого. ^{[1] : 108} В сферическом представлении эллиптической геометрии линии представлены большими кругами сферы с обозначенными диаметрально противоположными точками. В другой модели эллиптической геометрии линии представлены евклидовыми плоскостями , проходящими через начало координат. Несмотря на то, что эти представления визуально различны, они удовлетворяют всем свойствам (например, две точки, определяющие уникальную линию), которые делают их подходящими представлениями для линий в этой геометрии.

«Короткость» и «прямолинейность» линии, интерпретируемые как свойство минимизировать расстояние вдоль линии между любыми двумя ее точками (см. неравенство треугольника ), могут быть обобщены и приводят к понятию геодезических в метрических пространствах .

Расширения

Рэй

Луч с концом в точке А и двумя точками В и С справа.

Учитывая прямую и любую точку А на ней, мы можем рассматривать А как разлагающую эту линию на две части. Каждая такая часть называется лучом , а точка А — ее начальной точкой . Его также называют полупрямой, одномерным полупространством . Точка А считается членом луча. ^[b] Интуитивно, луч состоит из тех точек на линии, которые проходят через A и продолжаются бесконечно, начиная с A , только в одном направлении вдоль линии. Однако для того, чтобы использовать это понятие луча в доказательствах, требуется более точное определение.

Учитывая различные точки A и B , они определяют единственный луч с начальной точкой A. Поскольку две точки определяют уникальную линию, этот луч состоит из всех точек между A и B (включая A и B ) и всех точек C на линии, проходящей через A и B , таких, что B находится между A и C. ^[12] Иногда это также выражается как набор всех точек C на линии, определяемой A и B, таких, что A не находится между B и C. ^[13] Точка D на линии, определяемой A и B , но не на луче с начальной точкой A, определенной B , будет определять другой луч с начальной точкой A. По отношению к лучу АВ луч AD называется противоположным лучом .

Таким образом, мы бы сказали, что две разные точки, A и B , определяют линию и разложение этой линии в непересекающееся объединение открытого отрезка ( A ,  B ) и двух лучей, BC и AD (точка D не нарисована). на диаграмме, но находится левее А на линии АВ ). Это не противоположные лучи, поскольку они имеют разные начальные точки.

В евклидовой геометрии два луча с общим концом образуют угол . ^[14]

Определение луча зависит от понятия промежуточности точек на линии. Отсюда следует, что лучи существуют только для геометрий, для которых существует это понятие, обычно это евклидова геометрия или аффинная геометрия над упорядоченным полем . С другой стороны, лучи не существуют ни в проективной геометрии , ни в геометрии над неупорядоченным полем, как комплексные числа или любое конечное поле .

Отрезок

Рисование отрезка «АВ» на линии «а»

Сегмент линии — это часть линии, которая ограничена двумя различными конечными точками и содержит каждую точку линии между ее конечными точками. В зависимости от того, как определен сегмент линии, любая из двух конечных точек может быть или не быть частью сегмента линии. Два или более сегментов линии могут иметь некоторые из тех же отношений, что и линии, например быть параллельными, пересекаться или наклоняться, но в отличие от линий они могут не быть ни одним из них, если они копланарны и либо не пересекаются, либо коллинеарны .

Числовая линия

Числовая линия с переменной x слева и y справа. Следовательно, x меньше, чем y.

Точка на числовой прямой соответствует действительному числу и наоборот. ^[15] Обычно целые числа располагаются в строке через равные интервалы: положительные числа располагаются справа, отрицательные — слева. В качестве расширения этой концепции можно провести воображаемую линию , представляющую мнимые числа, перпендикулярно числовой линии в нуле. ^[16] Две линии образуют комплексную плоскость , геометрическое представление набора комплексных чисел .

Смотрите также

• Аффинное преобразование
• Изгиб
• Расстояние между двумя параллельными линиями
• Расстояние от точки до линии
• Заболеваемость (геометрия)
• Отрезок
• Обобщенный круг
• Локус
• Плоскость (геометрия)
• Полилиния

Примечания

1. Технически группа коллинеации действует транзитивно на наборе строк.
2. Иногда мы можем рассматривать луч без начальной точки. Такие лучи называются открытыми лучами, в отличие от типичного луча, который можно было бы назвать закрытым .

Рекомендации

1. Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
2. Фостер, Колин (2010). Ресурсы для преподавания математики, 14-16. Нью-Йорк: Международный паб Continuum. Группа. ISBN 978-1-4411-3724-1. OCLC  747274805.
3. Падоа, Алессандро (1900). Новая система определений для евклидовой геометрии (на французском языке). Международный конгресс математиков .
4. Рассел, Бертран . Принципы математики . п. 410.
5. Проттер, Мюррей Х .; Проттер, Филип Э. (1988), Исчисление с аналитической геометрией, Jones & Bartlett Learning, стр. 62, ISBN 9780867200935.
6. Нунемахер, Джеффри (1999), «Асимптоты, кубические кривые и проективная плоскость», Mathematics Magazine , 72 (3): 183–192, CiteSeerX 10.1.1.502.72 , doi : 10.2307/2690881, JSTOR  2690881 
7. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . МАА. стр. 108–109. ISBN 9780883853481.( онлайн-копия , стр. 108, в Google Книгах )
8. Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , стр. 114, ISBN 978-0030731006, LCCN  69-12075, OCLC  47870
9. Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, стр. 4, ISBN 0-471-18283-4
10. Бошер, Максим (1915), Плоская аналитическая геометрия: с вводными главами по дифференциальному исчислению, Х. Холт, стр. 1915. 44, заархивировано из оригинала 13 мая 2016 г..
11. Торренс, Брюс Ф.; Торренс, Ева А. (29 января 2009 г.). Введение студента в MATHEMATICA: Справочник по предварительному исчислению, исчислению и линейной алгебре . Издательство Кембриджского университета . п. 314. ИСБН 9781139473736.
12. Уайли-младший, CR (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 59, определение 3, ISBN 0-07-072191-2
13. Педо, Дэн (1988), Геометрия: комплексный курс , Минеола, Нью-Йорк: Дувр, стр. 1988. 2, ISBN 0-486-65812-0
14. Сидоров, Л.А. (2001) [1994], «Угол», Математическая энциклопедия , EMS Press
15. Стюарт, Джеймс Б .; Редлин, Лотар; Уотсон, Салим (2008). Колледж алгебры (5-е изд.). Брукс Коул . стр. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
16. Паттерсон, Британская Колумбия (1941), «Инверсивная плоскость», The American Mathematical Monthly , 48 (9): 589–599, doi : 10.2307/2303867, JSTOR  2303867, MR  0006034.

Внешние ссылки

• «Линия (кривая)», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнения прямой при разрезании узла