В геометрии звездчатый многоугольник — это разновидность невыпуклого многоугольника . Правильные звездчатые многоугольники глубоко изучены; хотя звездчатые многоугольники, как правило, не были формально определены, некоторые примечательные из них могут возникнуть в результате операций усечения обычных простых или звездчатых многоугольников.
Бранко Грюнбаум определил два основных варианта использования этой терминологии Иоганном Кеплером : одно соответствует правильным звездчатым многоугольникам с пересекающимися краями , которые не образуют новых вершин, а другое — изотоксальным вогнутым простым многоугольникам . [1]
Полиграммы включают в себя многоугольники, такие как пентаграмма , а также сложные фигуры, такие как гексаграмма .
Одно из определений звездчатого многоугольника , используемое в черепашьей графике , — это многоугольник, имеющий q ≥ 2 поворотов ( q называется числом поворотов или плотностью ), как в спиролатералах . [2]
Имена звездчатых многоугольников сочетают в себе цифровой префикс , например пента- , с греческим суффиксом -грамма (в данном случае образующим слово пентаграмма ). Префиксом обычно является греческий кардинал , но существуют синонимы, использующие другие префиксы. Например, девятиконечный многоугольник или эннеаграмма также известна как нонаграмма , используя порядковый номер нона от латинского языка . [ нужна цитата ] Суффикс -gram происходит от γραμμή ( grammḗ ), что означает линию. [3] Название «звездный многоугольник» отражает сходство этих форм с дифракционными пиками реальных звезд.
Правильный звездчатый многоугольник — это самопересекающийся равносторонний и равноугольный многоугольник .
Правильный звездчатый многоугольник обозначается символом Шлефли { p / q }, где p (количество вершин) и q ( плотность ) относительно простые (у них нет общих множителей) и где q ≥ 2. Плотность многоугольника также можно назвать числом поворота : суммой углов поворота всех вершин, деленной на 360°.
Группа симметрии { p / q } — это группа диэдра Dp порядка 2 p , независимая от q .
Правильные звездные многоугольники впервые систематически изучались Томасом Брэдуордином , а затем Иоганном Кеплером . [4]
Правильные звездчатые многоугольники можно создать, соединив одну вершину правильного p -стороннего простого многоугольника с другой вершиной, несмежной с первой, и продолжая процесс до тех пор, пока исходная вершина не будет достигнута снова. [5] Альтернативно, для целых чисел p и q его можно рассматривать как построенное путем соединения каждой q -й точки из p точек, регулярно расположенных в круговом расположении. [6] Например, в правильном пятиугольнике пятиконечную звезду можно получить, проведя линию от 1-й к 3-й вершине, от 3-й к 5-й вершине, от 5-й к 2-й вершине, от 2-й вершины. в 4-ю вершину и с 4-й в 1-ю вершину.
Если q ≥ p /2, то построение { p / q } приведет к тому же многоугольнику, что и { p /( p − q )}; соединение каждой третьей вершины пятиугольника даст тот же результат, что и соединение каждой второй вершины. Однако вершины будут достигнуты в противоположном направлении, что имеет значение, когда ретроградные многоугольники включаются в многомерные многогранники. Например, антипризма , образованная из прямой пентаграммы {5/2}, приводит к пентаграммной антипризме ; аналогичная конструкция из ретроградной «перекрещенной пентаграммы» {5/3} приводит к пентаграммной скрещенной антипризме . Другой пример — тетрагемигексаэдр , который можно рассматривать как «скрещенный треугольник» {3/2} куплоида .
Если p и q не являются взаимно простыми, получится вырожденный многоугольник с совпадающими вершинами и ребрами. Например, {6/2} будет выглядеть как треугольник, но его можно будет пометить двумя наборами вершин: 1–3 и 4–6. Его следует рассматривать не как два перекрывающихся треугольника, а как одинарный уникурсальный шестиугольник с двойной обмоткой. [7] [8]
В качестве альтернативы правильный звездчатый многоугольник также может быть получен как последовательность звездочек выпуклого правильного многоугольника с сердцевиной . Конструкции на основе звездчатости также позволяют получать правильные многоугольные соединения в тех случаях, когда плотность q и количество вершин p не являются взаимно простыми. Однако при построении звездчатых многоугольников из звездчатости, если q > p /2, линии вместо этого будут бесконечно расходиться, а если q = p /2, линии будут параллельны, причем оба не приводят к дальнейшему пересечению в евклидовом пространстве. Однако возможно построить несколько таких многоугольников в сферическом пространстве, аналогично моногону и дигону ; такие многоугольники, по-видимому, еще не изучены подробно.
Когда из правильного звездчатого n -угольника удаляются пересекающиеся отрезки , полученная фигура перестает быть правильной, а может рассматриваться как изотоксальный вогнутый простой 2n - угольник с чередующимися вершинами двух разных радиусов. Бранко Грюнбаум в книге «Мозаика и узоры» представляет такую звезду, которая соответствует контуру регулярной полиграммы { n / d } как | n / d |, или, в более общем смысле, { n 𝛼 }, который обозначает изотоксальный вогнутый или выпуклый простой 2 n -угольник с внешним внутренним углом 𝛼.
Эти многоугольники часто встречаются в узорах мозаики. Параметрический угол 𝛼 (в градусах или радианах) можно выбрать так, чтобы он соответствовал внутренним углам соседних многоугольников в шаблоне тесселяции. В своей работе 1619 года «Harmonices Mundi » среди периодических мозаик Иоганн Кеплер включает непериодические мозаики, например, с тремя правильными пятиугольниками и одним правильным звездным пятиугольником, расположенным вокруг определенных вершин, 5.5.5.5/2, и родственными современным мозаикам Пенроуза . [9]
Внутреннюю часть звездчатого многоугольника можно рассматривать по-разному. Три таких обращения проиллюстрированы пентаграммой. Бранко Грюнбаум и Джеффри Шепард рассматривают два из них: как правильные звездчатые n -угольники и как изотоксальные вогнутые простые 2n - угольники. [9]
Эти три метода лечения:
При вычислении площади многоугольника каждый из этих подходов дает разный результат.
Звездные многоугольники занимают видное место в искусстве и культуре. Такие многоугольники могут быть правильными , а могут и не быть , но они всегда очень симметричны . Примеры включают в себя: