Набор — это математическая модель совокупности различных [1] вещей ; [2] [3] [4] набор содержит элементы или члены , которые могут быть математическими объектами любого типа: числами, символами, точками в пространстве, линиями, другими геометрическими фигурами, переменными или даже другими наборами. [5] Множество без элементов является пустым множеством ; набор с одним элементом является синглтоном . Множество может иметь конечное число элементов или быть бесконечным .
Наборы уникально характеризуются своими элементами; это означает, что два множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны (это один и тот же набор). [6] Это свойство называется экстенсиональностью . В частности, это означает, что существует только одно пустое множество.
Множества широко распространены в современной математике. Действительно, теория множеств , а точнее теория множеств Цермело-Френкеля , была стандартным способом обеспечения строгих основ для всех областей математики с первой половины 20-го века. [5]
В математических текстах множества обычно обозначаются заглавными буквами [7] [5] курсивом , например A , B , C. [8] Набор также можно называть коллекцией или семейством , особенно если его элементы сами являются наборами.
Обозначение реестра или перечисления определяет набор путем перечисления его элементов в фигурных скобках , разделенных запятыми: [9] [10] [11] [12]
Эта нотация была введена Эрнстом Цермело в 1908 году. [13] В множестве все, что имеет значение, это то, находится ли в нем каждый элемент или нет, поэтому порядок элементов в реестровой нотации не имеет значения (напротив, в последовательности кортеж или перестановка набора, порядок терминов имеет значение). Например, {2, 4, 6} и {4, 6, 4, 2} представляют один и тот же набор. [14] [8] [15]
Для наборов со многими элементами, особенно тех, которые следуют неявному шаблону, список членов можно сократить с помощью многоточия ' ... ' . [16] [17] Например, набор из первой тысячи положительных целых чисел может быть указан в записи реестра как
Бесконечное множество — это множество с бесконечным списком элементов. Чтобы описать бесконечное множество в записи списка, в конце списка или на обоих концах ставится многоточие, чтобы указать, что список продолжается вечно. Например, набор неотрицательных целых чисел равен
и набор всех целых чисел равен
Другой способ определить набор — использовать правило для определения элементов:
Такое определение называется семантическим описанием . [18] [19]
Обозначение построителя множеств определяет набор как выборку из большего набора, определяемого условием элементов. [19] [20] [21] Например, набор F можно определить следующим образом:
В этом обозначении вертикальная черта "|" означает «такой, что», а описание можно интерпретировать как « F — множество всех чисел n таких, что n — целое число в диапазоне от 0 до 19 включительно». Некоторые авторы вместо вертикальной черты используют двоеточие «:». [22]
Философия использует конкретные термины для классификации типов определений:
Если B — множество, а x — элемент B , это сокращенно записывается как x ∈ B , что также можно прочитать как « x принадлежит B » или « x находится в B ». [23] Утверждение « y не является элементом B » записывается как y ∉ B , что также можно прочитать как « y не является элементом B ». [24] [25]
Например, относительно множеств A = {1, 2, 3, 4} , B = {blue, white, red} и F = { n | n — целое число и 0 ≤ n ≤ 19} ,
Пустой набор (или нулевой набор ) — это уникальный набор, не имеющий членов. Его обозначают ∅ , , { }, [26] [27] φ , [28] или φ . [29]
Одноэлементный набор — это набор, состоящий ровно из одного элемента; такой набор также можно назвать единичным набором . [6] Любой такой набор можно записать как { x }, где x — элемент. Набор { x } и элемент x означают разные вещи; Халмос [30] проводит аналогию: коробка со шляпой — это не то же самое, что шляпа.
Если каждый элемент множества A также находится в B , то A описывается как подмножество B или содержащееся в B , записывая A ⊆ B , [31] или B ⊇ A . [32] Последнее обозначение может читаться как B содержит A , B включает A или B является надмножеством A . Отношения между множествами, установленные ⊆ , называются включением или включением . Два множества равны, если они содержат друг друга: A ⊆ B и B ⊆ A эквивалентно A = B . [20]
Если A является подмножеством B , но A не равно B , то A называется собственным подмножеством B. Это можно записать A ⊊ B . Аналогично, B ⊋ A означает, что B является собственным надмножеством A , т. е . B содержит A и не равно A.
Третья пара операторов ⊂ и ⊃ используется разными авторами по-разному: некоторые авторы используют A ⊂ B и B ⊃ A , подразумевая, что A является любым подмножеством B (и не обязательно собственным подмножеством), [33] [24], в то время как другие зарезервируйте A ⊂ B и B ⊃ A для случаев, когда A является собственным подмножеством B . [31]
Примеры:
Пустое множество является подмножеством каждого множества, [26] , а каждое множество является подмножеством самого себя: [33]
Диаграмма Эйлера — это графическое представление набора множеств; каждый набор изображается как плоская область, заключенная в петлю, с элементами внутри. Если A является подмножеством B , то область, представляющая A, полностью находится внутри области, представляющей B. Если два набора не имеют общих элементов, регионы не перекрываются.
Диаграмма Венна , напротив, представляет собой графическое представление n наборов, в которых n контуров делят плоскость на 2 n зон, так что для каждого способа выбора некоторых из n наборов (возможно, всех или ни одного) существует зона для элементы, принадлежащие всем выбранным наборам и ни одному другому. Например, если наборами являются A , B и C , должна быть зона для элементов, находящихся внутри A и C и снаружи B (даже если такие элементы не существуют).
Существуют множества такой математической важности, к которым математики так часто обращаются, что они получили специальные названия и обозначения для их идентификации.
Многие из этих важных наборов представлены в математических текстах с использованием жирного (например , ) или жирного (например , ) шрифта. [34] К ним относятся
Каждый из приведенных выше наборов чисел имеет бесконечное количество элементов. Каждый из них представляет собой подмножество наборов, перечисленных под ним.
Наборы положительных или отрицательных чисел иногда обозначаются надстрочными знаками плюс и минус соответственно. Например, представляет собой набор положительных рациональных чисел.
Функция (или отображение ) множества A в множество B — это правило, которое присваивает каждому «входному» элементу A «выходной элемент», который является элементом B ; более формально, функция — это особый вид отношения , которое связывает каждый элемент A ровно с одним элементом B. Функция называется
Инъективная функция называется инъекцией , сюръективная функция называется сюръекцией , а биективная функция называется биекцией или взаимно -однозначным соответствием .
Мощность множества S , обозначаемая | С | , число членов S . [35] Например, если B = {синий, белый, красный} , то | Б | = 3 . Повторяющиеся участники в записи реестра не учитываются, [36] [37] поэтому | {синий, белый, красный, синий, белый} | = 3 тоже.
Более формально, два множества имеют одинаковую мощность, если между ними существует биекция.
Мощность пустого множества равна нулю. [38]
Список элементов некоторых множеств бесконечен или бесконечен . Например, множество натуральных чисел бесконечно. [20] Фактически, все специальные наборы чисел, упомянутые в разделе выше, бесконечны. Бесконечные множества имеют бесконечную мощность .
Некоторые бесконечные мощности больше других. Возможно, один из наиболее важных результатов теории множеств заключается в том, что набор действительных чисел имеет большую мощность, чем набор натуральных чисел. [39] Множества с мощностью, меньшей или равной таковой, называются счетными множествами ; это либо конечные множества, либо счетно бесконечные множества (множества той же мощности, что и ); некоторые авторы используют слово «счетный» для обозначения «счетной бесконечности». Множества, мощность которых строго больше, чем у, называются несчетными множествами .
Однако можно показать, что мощность прямой линии (т. е. количество точек на прямой) такая же, как мощность любого отрезка этой линии, всей плоскости и даже любого конечномерного евклидова космос . [40]
Гипотеза континуума, сформулированная Георгом Кантором в 1878 году, представляет собой утверждение о том, что не существует множества с мощностью строго между мощностью натуральных чисел и мощностью прямой линии. [41] В 1963 году Пол Коэн доказал, что гипотеза континуума не зависит от системы аксиом ZFC, состоящей из теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора . [42] (ZFC — наиболее широко изученная версия аксиоматической теории множеств.)
Набор мощности набора S - это набор всех подмножеств S . [20] Пустое множество и само S являются элементами набора мощности S , потому что оба они являются подмножествами S . Например, набор степеней {1, 2, 3} равен {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}} . Набор мощности набора S обычно записывается как P ( S ) или 2 S. [20] [43] [8]
Если S имеет n элементов, то P ( S ) имеет 2 n элементов. [44] Например, {1, 2, 3} состоит из трех элементов, а его набор степеней содержит 2 3 = 8 элементов, как показано выше.
Если S бесконечно (неважно, счетно или несчетно ), то P ( S ) несчетно. Более того, набор степеней всегда строго «больше», чем исходный набор, в том смысле, что любая попытка соединить элементы S с элементами P ( S ) оставит некоторые элементы P ( S ) неспаренными. (Никогда не существует биекции S на P ( S ) .) [ 45]
Раздел множества S — это набор непустых подмножеств S , такой, что каждый элемент x в S находится ровно в одном из этих подмножеств. То есть подмножества попарно не пересекаются (это означает, что любые два множества раздела не содержат общих элементов), а объединение всех подмножеств раздела равно S . [46] [47]
Предположим, что универсальное множество U (множество, содержащее все обсуждаемые элементы) фиксировано и что A является подмножеством U .
Учитывая любые два множества A и B ,
Примеры:
Вышеописанные операции удовлетворяют многим тождествам. Например, один из законов Де Моргана гласит, что ( A ∪ B )′ = A ′ ∩ B ′ (то есть элементы вне объединения A и B — это элементы, находящиеся вне A и вне B ).
Мощность A × B является произведением мощностей A и B . (Это элементарный факт, когда A и B конечны. Когда одно или оба бесконечны, для того чтобы это было верным, определено умножение кардинальных чисел.)
Набор степеней любого набора становится булевым кольцом с симметричной разницей как сложение кольца и пересечением как умножение кольца.
Множества широко распространены в современной математике. Например, структуры в абстрактной алгебре , такие как группы , поля и кольца , представляют собой множества, замкнутые относительно одной или нескольких операций.
Одним из основных применений наивной теории множеств является построение отношений . Отношение области A к кодомену B является подмножеством декартова произведения A × B . Например, если рассматривать набор S = {камень, бумага, ножницы} фигур в одноименной игре , то отношение «бьется» от S к S — это набор B = {(ножницы, бумага), (бумага, камень ), (камень, ножницы)} ; таким образом , x побеждает y в игре, если пара ( x , y ) является членом B. Другим примером является множество F всех пар ( x , x 2 ) , где x вещественное число. Это отношение является подмножеством R × R , поскольку множество всех квадратов является подмножеством множества всех действительных чисел. Поскольку для каждого x в R одна и только одна пара ( x ,...) находится в F , она называется функцией . В функциональной записи это соотношение можно записать как F ( x ) = x 2 .
Принцип включения-исключения — это метод подсчета элементов в объединении двух конечных множеств с точки зрения размеров двух множеств и их пересечения. Символически это можно выразить как
Более общая форма принципа дает мощность любого конечного объединения конечных множеств:
Понятие множества возникло в математике в конце XIX века. [48] Немецкое слово Menge , обозначающее множество , было придумано Бернардом Больцано в его работе «Парадоксы бесконечности» . [49] [50] [51]
Георг Кантор , один из основателей теории множеств, дал следующее определение в начале своей работы « Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» : [52] [1]
Набор — это совокупность в целое определенных, различных объектов нашего восприятия или нашего мышления, которые называются элементами набора.
Бертран Рассел ввел различие между множеством и классом ( множество — это класс, но некоторые классы, например класс всех множеств, не являются множествами; см. парадокс Рассела ): [53]
Когда математики имеют дело с тем, что они называют многообразием, агрегатом, Менге , ансамблем или каким-либо эквивалентным именем, обычно, особенно когда число задействованных терминов конечно, рассматривать рассматриваемый объект (который на самом деле является классом) как определяется перечислением его терминов и состоит, возможно, из одного термина, которым в данном случае является класс.
Главным свойством множества является то, что оно может иметь элементы, также называемые членами . Два множества равны, если они содержат одинаковые элементы. Точнее, множества A и B равны, если каждый элемент A является элементом B , а каждый элемент B является элементом A ; это свойство называется экстенсиональностью множеств . [23]
Простое понятие множества оказалось чрезвычайно полезным в математике, но возникают парадоксы , если не накладывать никаких ограничений на то, как могут быть построены множества:
Наивная теория множеств определяет множество как любую четко определенную совокупность различных элементов, но проблемы возникают из-за расплывчатости термина «четко определенный» .
В последующих попытках разрешить эти парадоксы со времени первоначальной формулировки наивной теории множеств свойства множеств определялись с помощью аксиом . Аксиоматическая теория множеств принимает понятие множества как примитивное понятие . [54] Цель аксиом — предоставить базовую основу, из которой можно вывести истинность или ложность конкретных математических утверждений (утверждений) о множествах, используя логику первого порядка . Однако, согласно теоремам Гёделя о неполноте , невозможно использовать логику первого порядка, чтобы доказать, что любая такая конкретная аксиоматическая теория множеств свободна от парадоксов. [ нужна цитата ]
Под «агрегатом» (Menge) мы должны понимать любую совокупность в целое (Zusammenfassung zu einem Ganzen) М определенных и отдельных объектов нашей интуиции или нашего мышления.Здесь: стр.85