Масштабная инвариантность

Характеристики, которые не изменяются, если масштабы длины или энергии умножаются на общий коэффициент.

Винеровский процесс масштабно-инвариантен.

В физике , математике и статистике масштабная инвариантность — это свойство объектов или законов, которые не изменяются, если масштабы длины, энергии или других переменных умножаются на общий коэффициент, и, таким образом, представляют собой универсальность .

Технический термин для этого преобразования — расширение (также известное как расширение ). Дилатации могут составлять часть более крупной конформной симметрии .

• В математике масштабная инвариантность обычно относится к инвариантности отдельных функций или кривых . Близко связанное понятие — самоподобие , когда функция или кривая инвариантны относительно дискретного подмножества расширений. Распределения вероятностей случайных процессов также могут проявлять такого рода масштабную инвариантность или самоподобие.
• В классической теории поля масштабная инвариантность чаще всего применяется к инвариантности всей теории относительно расширений. Такие теории обычно описывают классические физические процессы без характерного масштаба длины.
• В квантовой теории поля масштабная инвариантность имеет интерпретацию с точки зрения физики элементарных частиц . В масштабно-инвариантной теории сила взаимодействия частиц не зависит от энергии участвующих частиц.
• В статистической механике особенностью фазовых переходов является масштабная инвариантность . Ключевое наблюдение заключается в том, что вблизи фазового перехода или критической точки флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому для описания этих явлений следует искать явно масштабно-инвариантную теорию. Такие теории являются масштабно-инвариантными статистическими теориями поля и формально очень похожи на масштабно-инвариантные квантовые теории поля.
• Универсальность — это наблюдение, что самые разные микроскопические системы могут демонстрировать одинаковое поведение при фазовом переходе. Таким образом, фазовые переходы во многих различных системах могут быть описаны одной и той же основной масштабно-инвариантной теорией.
• В общем, безразмерные величины масштабно-инвариантны. Аналогичным понятием в статистике являются стандартизированные моменты , которые являются масштабно-инвариантной статистикой переменной, а нестандартизованные моменты - нет.

Масштабно-инвариантные кривые и самоподобие

В математике можно рассмотреть масштабные свойства функции или кривой f ( x ) при изменении масштаба переменной x . То есть нас интересует форма f ( λx ) для некоторого масштабного коэффициента λ , который можно принять за изменение масштаба длины или размера. Требование, чтобы f ( x ) было инвариантным при всех изменениях масштаба, обычно считается равным

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)}$

для некоторого выбора показателя Δ и для всех расширений λ . Это эквивалентно тому, что f   является однородной функцией степени Δ.

Примерами масштабно-инвариантных функций являются мономы , для которых ∆ = n , в этом очевидно ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x)~.}$

Примером масштабно-инвариантной кривой является логарифмическая спираль , разновидность кривой, которая часто встречается в природе. В полярных координатах ( r , θ ) спираль можно записать как

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)~.}$

С учетом вращения кривой она инвариантна при всех изменениях масштаба λ ; то есть θ ( λr ) идентично повернутой версии θ ( r ) .

Проективная геометрия

Идея масштабной инвариантности монома обобщается в более высоких измерениях до идеи однородного многочлена и, в более общем плане, до однородной функции . Однородные функции — естественные обитатели проективного пространства , а однородные многочлены изучаются как проективные многообразия в проективной геометрии . Проективная геометрия — особенно богатая область математики; в своей наиболее абстрактной форме — геометрии схем — она связана с различными темами теории струн .

Фракталы

Кривая Коха самоподобна . _

Иногда говорят, что фракталы масштабно-инвариантны, хотя точнее следует сказать, что они самоподобны . Фрактал равен самому себе, как правило, только для дискретного набора значений λ , и даже тогда, возможно, придется применить сдвиг и вращение, чтобы сопоставить фрактал с самим собой.

Так, например, кривая Коха масштабируется с ∆ = 1 , но масштабирование справедливо только для значений λ = 1/3 ⁿ для целого числа n . Кроме того, кривая Коха масштабируется не только в начале координат, но и, в определенном смысле, «везде»: ее миниатюрные копии можно найти на всем протяжении кривой.

Некоторые фракталы могут иметь одновременное действие нескольких коэффициентов масштабирования; такое масштабирование изучается с помощью мультифрактального анализа .

Периодические внешние и внутренние лучи являются инвариантными кривыми.

Масштабная инвариантность в случайных процессах

Если P ( f ) — средняя ожидаемая мощность на частоте f , то шум масштабируется как

${\displaystyle P(f)=\lambda ^{-\Delta }P(\lambda f)}$

с Δ = 0 для белого шума , Δ = -1 для розового шума и Δ = -2 для броуновского шума (и, в более общем плане, броуновского движения ).

Точнее, масштабирование в стохастических системах касается вероятности выбора конкретной конфигурации из множества всех возможных случайных конфигураций. Эта вероятность определяется распределением вероятностей .

Примерами масштабно-инвариантных распределений являются распределение Парето и распределение Зипфиана .

Масштабно-инвариантные распределения Твиди

Распределения Твиди — это частный случай моделей экспоненциальной дисперсии , класса статистических моделей, используемых для описания распределений ошибок для обобщенной линейной модели и характеризующихся замыканием при аддитивной и репродуктивной свертке, а также при масштабном преобразовании. ^[1] К ним относятся ряд распространенных распределений: нормальное распределение , распределение Пуассона и гамма-распределение , а также более необычные распределения, такие как составное гамма-распределение Пуассона, положительные стабильные распределения и чрезвычайно стабильные распределения. Вследствие присущей им масштабной инвариантности случайные переменные Твиди Y демонстрируют дисперсию var( Y ), что означает степенной закон E( Y ):

${\displaystyle {\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}}$,

где a и p — положительные константы. Этот закон отклонения от средней степени известен в физической литературе как масштабирование флуктуаций ^[2] , а в литературе по экологии — как закон Тейлора . ^[3]

Случайные последовательности, управляемые распределениями Твиди и оцениваемые методом расширения интервалов, демонстрируют двуусловную связь между дисперсией среднего степенного закона и автокорреляцией степенного закона . Теорема Винера-Хинчина далее подразумевает, что для любой последовательности, которая демонстрирует отклонение от среднего степенного закона в этих условиях, также будет проявляться шум 1/f . ^[4]

Теорема о сходимости Твиди дает гипотетическое объяснение широкого проявления флуктуационного масштабирования и шума 1/f . ^[5] По сути, это требует, чтобы любая модель экспоненциальной дисперсии, которая асимптотически демонстрирует отклонение от среднего степенного закона, должна была выражать функцию дисперсии , которая входит в область притяжения модели Твиди. Почти все функции распределения с конечными производящими функциями кумулянта квалифицируются как модели экспоненциальной дисперсии, и большинство моделей экспоненциальной дисперсии проявляют функции дисперсии этой формы. Следовательно, многие распределения вероятностей имеют функции дисперсии, которые выражают это асимптотическое поведение , и распределения Твиди становятся фокусами сходимости для широкого диапазона типов данных. ^[4]

Подобно тому, как центральная предельная теорема требует, чтобы определенные виды случайных величин имели в качестве фокуса сходимости распределение Гаусса и выражали белый шум , теорема сходимости Твиди требует, чтобы определенные негауссовы случайные величины выражали шум 1/f и масштабирование флуктуаций. ^[4]

Космология

В физической космологии спектр мощности пространственного распределения космического микроволнового фона близок к масштабно-инвариантной функции. Хотя в математике это означает, что спектр представляет собой степенной закон, в космологии термин «масштабно-инвариантный» указывает на то, что амплитуда P ( k ) первичных флуктуаций как функция волнового числа k приблизительно постоянна, т.е. плоский спектр. Эта модель согласуется с предположением о космической инфляции .

Масштабная инвариантность в классической теории поля

Классическая теория поля в общих чертах описывается полем или набором полей φ , которые зависят от координат x . Допустимые конфигурации поля затем определяются путем решения дифференциальных уравнений для φ , и эти уравнения известны как уравнения поля .

Чтобы теория была масштабно-инвариантной, ее уравнения поля должны быть инвариантны относительно изменения масштаба координат в сочетании с некоторым указанным изменением масштаба полей:

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x~,}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\varphi ~.}$

Параметр ∆ известен как масштабная размерность поля, и его значение зависит от рассматриваемой теории. Масштабная инвариантность обычно сохраняется при условии, что в теории не появляется масштаб фиксированной длины. И наоборот, наличие шкалы фиксированной длины указывает на то, что теория не является масштабно-инвариантной.

Следствием масштабной инвариантности является то, что, получив решение масштабно-инвариантного уравнения поля, мы можем автоматически найти другие решения, соответствующим образом изменив масштаб как координат, так и полей. Говоря техническим языком, при наличии решения φ ( x ) всегда есть другие решения вида

${\displaystyle \lambda ^{\Delta }\varphi (\lambda x).}$

Масштабная инвариантность конфигураций полей

Чтобы конкретная конфигурация поля φ ( x ) была масштабно-инвариантной, мы требуем, чтобы

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)}$

где Δ – это опять же масштабная размерность поля.

Отметим, что это условие является достаточно ограничительным. В общем, решения даже масштабно-инвариантных уравнений поля не будут масштабно-инвариантными, и в таких случаях говорят, что симметрия спонтанно нарушена .

Классический электромагнетизм

Примером масштабно-инвариантной классической теории поля является электромагнетизм без зарядов и токов. Поля — это электрические и магнитные поля E ( x , t ) и B ( x , t ), а их уравнения поля — уравнения Максвелла .

В отсутствие зарядов и токов эти уравнения поля принимают форму волновых уравнений.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\[6pt]\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

где с — скорость света.

Эти уравнения поля инвариантны относительно преобразования

${\displaystyle {\begin{aligned}x\rightarrow \lambda x,\\[6pt]t\rightarrow \lambda t.\end{aligned}}}$

Более того, для данных решений уравнений Максвелла E ( x , t ) и B ( x , t ) E ( λ x , λt ) и B ( λ x , λt ) также являются решениями.

Безмассовая скалярная теория поля

Другим примером масштабно-инвариантной классической теории поля является безмассовое скалярное поле (обратите внимание, что название « скаляр» не связано с масштабной инвариантностью). Скалярное поле φ ( x , t ) является функцией набора пространственных переменных x и временной переменной t .

Рассмотрим сначала линейную теорию. Как и приведенные выше уравнения электромагнитного поля, уравнение движения этой теории также является волновым уравнением:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,}$

и инвариантен относительно преобразования

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

Название «безмассовый» относится к отсутствию члена в уравнении поля. Такой член часто называют «массовым», и он нарушает инвариантность при вышеуказанном преобразовании. В релятивистских теориях поля масштаб массы m физически эквивалентен масштабу фиксированной длины через ${\displaystyle \propto m^{2}\varphi }$

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{mc}},}$

поэтому неудивительно, что теория массивного скалярного поля не является масштабно-инвариантной.

φ ⁴ теория

Все уравнения поля в приведенных выше примерах линейны по полям, а это означает, что масштабная размерность Δ не так важна. Однако обычно требуется, чтобы действие скалярного поля было безразмерным, и это фиксирует масштабную размерность φ . В частности,

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}},}$

где D — совокупное количество пространственных и временных измерений.

Учитывая эту масштабную размерность для φ , существуют определенные нелинейные модификации безмассовой скалярной теории поля, которые также являются масштабно-инвариантными. Одним из примеров является безмассовая теория φ 4 для D  = 4. Уравнение поля имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi +g\varphi ^{3}=0.}$

(Обратите внимание, что название φ ⁴ происходит от формы лагранжиана , который содержит четвертую степень φ .)

Когда D  = 4 (например, три пространственных измерения и одно временное измерение), размерность масштабирования скалярного поля равна Δ = 1. Тогда уравнение поля инвариантно относительно преобразования

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t,}$

${\displaystyle \varphi (x)\rightarrow \lambda ^{-1}\varphi (x).}$

Ключевым моментом является то, что параметр g должен быть безразмерным, иначе в теорию вводится фиксированный масштаб длины: для теории φ ⁴ это имеет место только в случае D  = 4. Обратите внимание, что при этих преобразованиях аргумент функции φ равен без изменений.

Масштабная инвариантность в квантовой теории поля

Масштабная зависимость квантовой теории поля (КТП) характеризуется тем, как ее параметры связи зависят от энергетического масштаба данного физического процесса. Эта энергетическая зависимость описывается ренормгруппой и кодируется в бета-функциях теории.

Чтобы КТП была масштабно-инвариантной, ее параметры связи должны быть независимыми от масштаба энергии, о чем свидетельствует исчезновение бета-функций теории. Такие теории также известны как неподвижные точки соответствующего потока ренормгруппы. ^[6]

Квантовая электродинамика

Простым примером масштабно-инвариантной КТП является квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц. Эта теория фактически не имеет параметров связи (поскольку фотоны безмассовы и невзаимодействуют) и, следовательно, масштабно-инвариантна, как и классическая теория.

Однако в природе электромагнитное поле связано с заряженными частицами, такими как электроны . КТП, описывающая взаимодействия фотонов и заряженных частиц, представляет собой квантовую электродинамику (КЭД), и эта теория не является масштабно-инвариантной. Мы можем видеть это из бета-функции QED . Это говорит нам о том, что электрический заряд (который в теории является параметром связи) увеличивается с увеличением энергии. Следовательно, хотя квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц является масштабно-инвариантным, КЭД не является масштабно-инвариантным.

Безмассовая скалярная теория поля

Свободная, безмассовая квантованная скалярная теория поля не имеет параметров связи. Поэтому, как и классическая версия, она масштабно-инвариантна. На языке ренормгруппы эта теория известна как гауссова неподвижная точка .

Однако, хотя классическая безмассовая теория φ ⁴ масштабно-инвариантна в D  = 4, квантованная версия не является масштабно-инвариантной. Мы можем видеть это из бета-функции параметра связи g .

Несмотря на то, что квантованная безмассовая φ ⁴ не является масштабно-инвариантной, существуют масштабно-инвариантные квантовые скалярные теории поля, отличные от гауссовой неподвижной точки. Одним из примеров является фиксированная точка Вильсона-Фишера (см. ниже).

Конформная теория поля

Масштабно-инвариантные КТП почти всегда инвариантны относительно полной конформной симметрии , и изучением таких КТП является конформная теория поля (КТП). Операторы в CFT имеют четко определенную масштабную размерность , аналогичную масштабной размерности ∆ классического поля, обсуждавшегося выше. Однако масштабные размерности операторов в CFT обычно отличаются от масштабных размерностей полей в соответствующей классической теории. Дополнительные вклады, появляющиеся в CFT, известны как аномальные размерности масштабирования .

Масштабные и конформные аномалии

Приведенный выше пример теории φ ⁴ демонстрирует, что параметры связи квантовой теории поля могут зависеть от масштаба, даже если соответствующая классическая теория поля масштабно-инвариантна (или конформно-инвариантна). В этом случае классическая масштабная (или конформная) инвариантность называется аномальной . Классическая масштабно-инвариантная теория поля, в которой масштабная инвариантность нарушается квантовыми эффектами, обеспечивает объяснение почти экспоненциального расширения ранней Вселенной, называемого космической инфляцией , при условии, что эту теорию можно изучать с помощью теории возмущений . ^[7]

Фазовые переходы

В статистической механике , когда система претерпевает фазовый переход , ее колебания описываются масштабно-инвариантной статистической теорией поля . Для системы, находящейся в равновесии (т.е. независимой от времени) в D пространственных измерениях, соответствующая статистическая теория поля формально аналогична D -мерной CFT. Размерности масштабирования в таких задачах обычно называют критическими показателями , и в принципе можно вычислить эти показатели в соответствующей CFT.

Модель Изинга

Примером, связывающим воедино многие идеи этой статьи, является фазовый переход модели Изинга — простой модели ферромагнитных веществ. Это модель статистической механики, которая также имеет описание в терминах конформной теории поля. Система состоит из массива узлов решетки, образующих D -мерную периодическую решетку. С каждым узлом решетки связан магнитный момент или спин , и этот спин может принимать значение +1 или -1. (Эти состояния также называются вверх и вниз соответственно.)

Ключевым моментом является то, что модель Изинга имеет спин-спиновое взаимодействие, что делает энергетически выгодным выравнивание двух соседних спинов. С другой стороны, тепловые флуктуации обычно вносят хаотичность в выравнивание спинов. Говорят, что при некоторой критической температуре T _c возникает спонтанное намагничивание . Это означает, что ниже T _c спин-спиновое взаимодействие начнет доминировать, и произойдет некоторое суммарное выравнивание спинов в одном из двух направлений.

Примером физических величин, которые хотелось бы вычислить при этой критической температуре, является корреляция между спинами, разделенными расстоянием r . Это имеет общее поведение:

${\displaystyle G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},}$

для некоторого конкретного значения , которое является примером критического показателя. ${\displaystyle \eta }$

Описание ЦФТ

Колебания при температуре T _c масштабно-инвариантны, поэтому ожидается, что модель Изинга при этом фазовом переходе будет описываться масштабно-инвариантной статистической теорией поля. Фактически, эта теория представляет собой фиксированную точку Вильсона-Фишера , особую масштабно-инвариантную скалярную теорию поля .

В этом контексте G ( r ) понимается как корреляционная функция скалярных полей,

${\displaystyle \langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.}$

Теперь мы можем объединить ряд уже увиденных идей.

Из вышеизложенного видно, что критический показатель η для этого фазового перехода также является аномальной размерностью . Это связано с тем, что классическая размерность скалярного поля

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}}$

модифицируется, чтобы стать

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2+\eta }{2}},}$

где D — число измерений решетки модели Изинга.

Таким образом, это аномальное измерение в конформной теории поля совпадает с частным критическим показателем фазового перехода модели Изинга.

Обратите внимание , что для размерности D ≡ 4− ε η можно вычислить приближенно, используя эпсилон-разложение , и можно найти, что

${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon ^{2}}{54}}+O(\epsilon ^{3})}$.

В физически интересном случае трех пространственных измерений ε = 1, и поэтому это разложение не является строго надежным. Однако полуколичественный прогноз состоит в том, что η численно мало в трех измерениях.

С другой стороны, в двумерном случае модель Изинга точно разрешима. В частности, это эквивалентно одной из минимальных моделей , семейству хорошо понятных CFT, и можно точно вычислить η (и другие критические показатели)

${\displaystyle \eta _{_{D=2}}={\frac {1}{4}}}$.

Эволюция Шрамма – Лёвнера

Аномальные размеры в некоторых двумерных CFT могут быть связаны с типичными фрактальными размерностями случайных блужданий, где случайные блуждания определяются посредством эволюции Шрамма – Лёвнера (SLE). Как мы видели выше, КТМ описывают физику фазовых переходов, и поэтому с этими фрактальными размерностями можно связать критические показатели некоторых фазовых переходов. Примеры включают 2 - мерную критическую модель Изинга и более общую 2 - мерную критическую модель Поттса . Связь других 2 -d CFT с SLE является активной областью исследований.

Универсальность

Явление, известное как универсальность , наблюдается во многих физических системах. Он выражает идею о том, что разные микроскопические физики могут привести к одному и тому же масштабному поведению при фазовом переходе. Канонический пример универсальности включает следующие две системы:

• Фазовый переход модели Изинга , описанный выше.
• Переход жидкость - пар в классических жидкостях .

Хотя микроскопическая физика этих двух систем совершенно различна, их критические показатели оказываются одинаковыми. Более того, эти показатели можно вычислить, используя ту же статистическую теорию поля. Ключевое наблюдение заключается в том, что при фазовом переходе или критической точке флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому для описания этих явлений следует искать масштабно-инвариантную статистическую теорию поля. В некотором смысле универсальность — это наблюдение того, что таких масштабно-инвариантных теорий относительно немного.

Совокупность различных микроскопических теорий, описываемых одной и той же масштабно-инвариантной теорией, известна как класс универсальности . Другими примерами систем, принадлежащих к классу универсальности, являются:

• Лавины в грудах песка. Вероятность схода лавины находится в степенной зависимости от размера лавины, и лавины возникают во всех масштабах размеров.
• Частота сбоев в сети Интернет в зависимости от размера и продолжительности.
• Частота цитирования журнальных статей, рассматриваемая в сети всех цитирований среди всех статей, как функция количества цитирований в данной статье. ^{[ нужна цитата ]}
• Образование и распространение трещин и разрывов в различных материалах: от стали до камня и бумаги. Изменения направления надрыва или шероховатости изломанной поверхности находятся в степенной зависимости от масштаба размеров.
• Электрический пробой диэлектриков , напоминающий трещины и разрывы .
• Просачивание жидкостей через неупорядоченные среды, например нефть через трещины горных пород или воду через фильтровальную бумагу, например, в хроматографии . Степенное масштабирование связывает скорость потока с распределением трещин.
• Диффузия молекул в растворе и явление диффузионно - ограниченной агрегации .
• Распределение горных пород разного размера в агрегатной смеси, подвергающейся встряхиванию (под действием силы тяжести на породы).

Ключевое наблюдение заключается в том, что поведение всех этих различных систем напоминает фазовый переход и что для их описания можно применять язык статистической механики и масштабно-инвариантной статистической теории поля .

Другие примеры масштабной инвариантности

Механика ньютоновской жидкости без приложенных сил

При определенных обстоятельствах механика жидкости представляет собой масштабно-инвариантную классическую теорию поля. Полями являются скорость потока жидкости , плотность жидкости , и давление жидкости . Эти поля должны удовлетворять как уравнению Навье–Стокса, так и уравнению неразрывности . Для ньютоновской жидкости они принимают соответствующие формы ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)}$$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0}$

где динамическая вязкость . ${\displaystyle \mu }$

Чтобы вывести масштабную инвариантность этих уравнений, мы задаем уравнение состояния , связывающее давление жидкости с плотностью жидкости. Уравнение состояния зависит от типа жидкости и условий, которым она подвергается. Например, мы рассматриваем изотермический идеальный газ , который удовлетворяет условию

${\displaystyle P=c_{s}^{2}\rho ,}$

где - скорость звука в жидкости. Учитывая это уравнение состояния, Навье–Стокса и уравнение неразрывности инвариантны относительно преобразований ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{2}t,}$

${\displaystyle \rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u} .}$

Учитывая решения и , мы автоматически имеем это и тоже являемся решениями. ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$ ${\displaystyle \lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$

Скрытая масштабная инвариантность в жидкостях и твердых телах.

Некоторые модели, изучаемые с помощью компьютерного моделирования молекулярной динамики , включая модели парного потенциала Леннарда-Джонса и Юкавы , имеют функцию потенциальной энергии , которая в хорошем приближении подчиняется критерию «скрытой масштабной инвариантности» ^[8] ${\displaystyle U(\mathbf {R} )}$

$${\displaystyle U(\mathbf {R} _{\rm {a}})<U(\mathbf {R} _{\rm {b}})\,\Rightarrow \,U(\lambda \mathbf {R} _{\rm {a}})<U(\lambda \mathbf {R} _{\rm {b}}).}$$

Здесь и – полные пространственные координаты двух конфигураций одинаковой плотности, а – параметр, который равномерно масштабирует конфигурации до разной плотности. Скрытая масштабная инвариантность означает, что порядок конфигураций одной плотности в соответствии с их потенциальной энергией сохраняется, если они равномерно масштабируются до другой плотности. Строго говоря, это применимо только к системам с однородной по Эйлеру функцией потенциальной энергии, например к системам частиц, взаимодействующих с парными потенциалами по обратно-степенному закону. Когда для большинства конфигураций подразумевается скрытая масштабная инвариантность, это подразумевает существование линий на термодинамической фазовой диаграмме , так называемых «изоморфов», вдоль которых структура и динамика в приведенных единицах инвариантны с хорошим приближением. ^[9] Считается, что большинство металлов и систем со связями Ван-дер-Ваальса подчиняются этой приблизительной симметрии в жидкой и твердой фазах, тогда как системы с сильными направленными связями, такие как системы с ковалентными или водородными связями, этого не делают; ионные и диполярные системы составляют промежуточный класс. ^[10] Большинство систем не подчиняются скрытой масштабной инвариантности в газовой фазе. Поскольку изоморф — это линия постоянной избыточной энтропии, существование изоморфов в значительной степени объясняет масштабирование избыточной энтропии, открытое Розенфельдом в 1977 году, и почему это применимо также к смесям, замкнутым системам, молекулярным системам и т. д. ^{[11] [12 ] ] [13]} ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {a}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {b}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Компьютерное зрение

В компьютерном зрении и биологическом зрении масштабные преобразования возникают из-за отображения перспективных изображений и из-за того, что объекты в мире имеют разные физические размеры. В этих областях инвариантность масштаба относится к локальным дескрипторам изображения или визуальным представлениям данных изображения, которые остаются неизменными при изменении локального масштаба в области изображения. ^[14] Обнаружение локальных максимумов по масштабам нормализованных производных ответов обеспечивает общую основу для получения масштабной инвариантности на основе данных изображения. ^{[15] [16]} Примеры приложений включают обнаружение капель , обнаружение углов , обнаружение гребней и распознавание объектов с помощью масштабно-инвариантного преобразования признаков .

Смотрите также

• Обратноквадратичный потенциал
• Сила закона
• Безмасштабная сеть

Рекомендации

1. Йоргенсен, Б. (1997). Теория моделей дисперсии . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 978-0412997112.
2. Эйслер, З.; Бартос, И.; Кертеш, Дж. (2008). «Масштабирование флуктуаций в сложных системах: закон Тейлора и не только». Адв Физ . 57 (1): 89–142. arXiv : 0708.2053 . Бибкод : 2008AdPhy..57...89E. дои : 10.1080/00018730801893043. S2CID  119608542.
3. Кендал, Вашингтон; Йоргенсен, Б. (2011). «Степенной закон Тейлора и масштабирование флуктуаций, объясненные сходимостью, подобной центральному пределу». Физ. Преподобный Е. 83 (6): 066115. Бибкод : 2011PhRvE..83f6115K. doi : 10.1103/PhysRevE.83.066115. ПМИД  21797449.
4. Кендал, штат Вашингтон; Йоргенсен, Б. (2011). «Сходимость Твиди: математическая основа степенного закона Тейлора, шума 1/f и мультифрактальности» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 84 (6): 066120. Бибкод : 2011PhRvE..84f6120K. doi : 10.1103/PhysRevE.84.066120. ПМИД  22304168.
5. Йоргенсен, Б.; Мартинес-младший; Цао, М. (1994). «Асимптотическое поведение функции дисперсии». Сканирование J Статистика . 21 (3): 223–243. JSTOR  4616314.
6. Дж. Зинн-Джастин (2010) Статья в Scholarpedia «Критические явления: теоретический подход поля».
7. Сальвио, Струмия (17 марта 2014 г.). «Агравитация». JHEP . 2014 (6): 080. arXiv : 1403.4226 . Бибкод : 2014JHEP...06..080S. doi : 10.1007/JHEP06(2014)080. S2CID  256010671.
8. Шредер, Томас Б.; Дайр, Йеппе К. (28 ноября 2014 г.). «Простота конденсированного состояния по своей сути: общее определение простой системы Роскилле». Журнал химической физики . 141 (20): 204502. arXiv : 1406.2216 . Бибкод : 2014JChPh.141t4502S. дои : 10.1063/1.4901215. ISSN  0021-9606. PMID  25429949. S2CID  35114811.
9. Гнан, Николетта; Шредер, Томас Б.; Педерсен, Ульф Р.; Бейли, Николас П.; Дайр, Йеппе К. (21 декабря 2009 г.). «Корреляции давления и энергии в жидкостях. IV. «Изоморфы» в фазовых диаграммах жидкости». Журнал химической физики . 131 (23): 234504. arXiv : 0905.3497 . Бибкод : 2009JChPh.131w4504G. дои : 10.1063/1.3265957. ISSN  0021-9606. PMID  20025332. S2CID  118572520.
10. Дайр, Йеппе К. (28 августа 2014 г.). «Скрытая масштабная инвариантность в конденсированном состоянии» . Журнал физической химии Б. 118 (34): 10007–10024. дои : 10.1021/jp501852b. ISSN  1520-6106. ПМИД  25011702.
11. Розенфельд, Яаков (1 июня 1977 г.). «Связь между транспортными коэффициентами и внутренней энтропией простых систем» . Физический обзор А. 15 (6): 2545–2549. Бибкод : 1977PhRvA..15.2545R. doi : 10.1103/PhysRevA.15.2545. ISSN  0556-2791.
12. Дайр, Йеппе К. (07 декабря 2018 г.). «Перспектива: масштабирование избыточной энтропии». Журнал химической физики . 149 (21): 210901. Бибкод : 2018JChPh.149u0901D. дои : 10.1063/1.5055064 . ISSN  0021-9606. PMID  30525736. S2CID  56147930.
13. Белл, Ян Х. (05 марта 2019 г.). «Исследование связи между остаточной энтропией и вязкостью молекулярных жидкостей и модельными потенциалами». Труды Национальной академии наук . 116 (10): 4070–4079. arXiv : 1809.05682 . Бибкод : 2019PNAS..116.4070B. дои : 10.1073/pnas.1815943116 . ISSN  0027-8424. ПМК 6410835 . ПМИД  30770449. 
14. Линдеберг, Т. (2013) Инвариантность зрительных операций на уровне рецептивных полей, PLoS ONE 8 (7): e66990.
15. Линдеберг, Тони (1998). «Обнаружение признаков с автоматическим выбором масштаба». Международный журнал компьютерного зрения . 30 (2): 79–116. дои : 10.1023/А: 1008045108935. S2CID  723210.
16. Т. Линдеберг (2014) «Выбор масштаба», Компьютерное зрение: Справочное руководство, (К. Икеучи, редактор), Springer, страницы 701-713.

дальнейшее чтение

• Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления . Издательство Оксфордского университета.Обширное обсуждение масштабной инвариантности в квантовых и статистических теориях поля, приложений к критическим явлениям, эпсилон-разложению и смежных тем.
• ДиФранческо, П.; Матье, П.; Сенешаль, Д. (1997). Конформная теория поля . Спрингер-Верлаг.
• Муссардо, Г. (2010). Статистическая теория поля. Введение в точно решаемые модели статистической физики . Издательство Оксфордского университета.