stringtranslate.com

Тесселяция

Тесселяция или замощение — это покрытие поверхности , часто плоскости , одной или несколькими геометрическими фигурами , называемыми плитками , без наложений и зазоров. В математике тесселяция может быть обобщена на более высокие измерения и различные геометрии.

Периодическая мозаика имеет повторяющийся узор. Некоторые специальные виды включают регулярные мозаики с правильными многоугольными плитками одинаковой формы и полурегулярные мозаики с правильными плитками более чем одной формы и с каждым углом, расположенным одинаково. Узоры, образованные периодическими мозаиками, можно разделить на 17 групп обоев . Мозаика, в которой отсутствует повторяющийся узор, называется «непериодической». Апериодическая мозаика использует небольшой набор форм плиток, которые не могут образовывать повторяющийся узор ( апериодический набор протоплиток ). Тесселяция пространства , также известная как заполнение пространства или соты, может быть определена в геометрии более высоких измерений.

Настоящая физическая мозаика — это мозаика, сделанная из таких материалов, как цементированные керамические квадраты или шестиугольники. Такие мозаики могут быть декоративными узорами или иметь такие функции, как обеспечение прочного и водостойкого покрытия для пола , пола или стен. Исторически мозаики использовались в Древнем Риме и в исламском искусстве , например, в марокканской архитектуре и декоративной геометрической мозаике дворца Альгамбра . В двадцатом веке работы М. К. Эшера часто использовали мозаики, как в обычной евклидовой геометрии , так и в гиперболической геометрии , для художественного эффекта. Иногда мозаики используются для декоративного эффекта в стеганом шитье . Мозаики образуют класс узоров в природе , например, в массивах шестиугольных ячеек, обнаруженных в сотах .

История

Храмовая мозаика из древнего шумерского города Урук IV (3400–3100 гг. до н. э.), демонстрирующая мозаичный рисунок из цветных плиток.

Мозаика использовалась шумерами ( около 4000 г. до н.э.) при украшении стен зданий узорами из глиняной плитки. [1]

Декоративные мозаичные плитки, сделанные из небольших квадратных блоков, называемых тессерами, широко использовались в классической античности [2] , иногда отображая геометрические узоры. [3] [4]

В 1619 году Иоганн Кеплер провел раннее документированное исследование мозаик. Он писал о правильных и полуправильных мозаиках в своих Harmonices Mundi ; он был, возможно, первым, кто исследовал и объяснил шестиугольные структуры сот и снежинок . [5] [6] [7]

Римская геометрическая мозаика

Примерно двести лет спустя, в 1891 году, русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что каждая периодическая мозаика плоскости имеет одну из семнадцати различных групп изометрий. [8] [9] Работа Федорова ознаменовала неофициальное начало математического изучения мозаик. Другие выдающиеся авторы включают Алексея Васильевича Шубникова и Николая Белова в их книге «Цветная симметрия» (1964), [10] и Генриха Хееша и Отто Кинцле (1963). [11]

Этимология

На латыни тесселла — это небольшой кубический кусок глины , камня или стекла , используемый для изготовления мозаики. [12] Слово «тесселла» означает «маленький квадрат» (от tessera , квадрат, который, в свою очередь, происходит от греческого слова τέσσερα — четыре ). Оно соответствует повседневному термину плитка , который относится к применению мозаики, часто сделанной из глазурованной глины.

Обзор

Ромботригексагональная плитка : плиточный пол в Археологическом музее Севильи , Испания, с использованием квадратных, треугольных и шестиугольных прототипов плитки.

Тесселяция в двух измерениях, также называемая плоской мозаикой, является разделом геометрии, который изучает, как фигуры, известные как плитки , могут быть расположены так, чтобы заполнить плоскость без каких-либо зазоров, в соответствии с заданным набором правил. Эти правила могут быть разными. Обычные из них заключаются в том, что между плитками не должно быть зазоров, и что ни один угол одной плитки не может лежать вдоль края другой. [13] Тесселяции, созданные с помощью перевязанной кирпичной кладки, не подчиняются этому правилу. Среди тех, которые подчиняются, правильная тесселяция имеет как идентичные [a] правильные плитки , так и идентичные правильные углы или вершины, имеющие одинаковый угол между соседними ребрами для каждой плитки. [14] Есть только три фигуры, которые могут образовывать такие правильные тесселяции: равносторонний треугольник , квадрат и правильный шестиугольник . Любую из этих трех фигур можно дублировать бесконечно, чтобы заполнить плоскость без зазоров. [6]

Возможны многие другие типы мозаики при различных ограничениях. Например, существует восемь типов полурегулярной мозаики, созданных с использованием более чем одного вида правильных многоугольников, но при этом имеющих одинаковое расположение многоугольников в каждом углу. [15] Нерегулярные мозаики также могут быть созданы из других форм, таких как пятиугольники , полимино и фактически почти из любого вида геометрической фигуры. Художник М. К. Эшер известен тем, что создает мозаики с нерегулярными переплетенными плитками, имеющими форму животных и других природных объектов. [16] Если для плиток разной формы выбрать подходящие контрастные цвета, то образуются поразительные узоры, которые можно использовать для украшения физических поверхностей, таких как церковные полы. [17]

Изысканная и красочная мозаика из глазурованных плиток в стиле зулляйдж в Альгамбре в Испании, которая привлекла внимание М. К. Эшера.

Более формально, замощение или плитка — это покрытие евклидовой плоскости счетным числом замкнутых множеств, называемых плитками , таким образом, что плитки пересекаются только на своих границах . Эти плитки могут быть многоугольниками или любыми другими формами. [b] Многие замощения образованы из конечного числа протоплиток , в которых все плитки в замощении конгруэнтны заданным протоплиткам. Если геометрическая фигура может быть использована в качестве протоплитки для создания замощения, говорят, что фигура замощает или замощает плоскость . Критерий Конвея — это достаточный, но не необходимый набор правил для решения, замощает ли заданная фигура плоскость периодически без отражений: некоторые плитки не удовлетворяют критерию, но все равно замощают плоскость. [19] Общего правила для определения того, может ли заданная фигура замощать плоскость или нет, не найдено, что означает, что существует много нерешенных проблем, касающихся замощений. [18]

Математически, мозаики могут быть расширены на пространства , отличные от евклидовой плоскости. [6] Швейцарский геометр Людвиг Шлефли был пионером в этом, определив полисхемы , которые математики в настоящее время называют многогранниками . Это аналоги многоугольников и многогранников в пространствах с большим количеством измерений. Он также определил обозначение символа Шлефли , чтобы упростить описание многогранников. Например, символ Шлефли для равностороннего треугольника — {3}, а для квадрата — {4}. [20] Обозначение Шлефли позволяет компактно описывать мозаики. Например, мозаика правильных шестиугольников имеет три шестисторонних многоугольника в каждой вершине, поэтому ее символ Шлефли — {6,3}. [21]

Существуют также другие методы описания многоугольных мозаик. Когда мозаика сделана из правильных многоугольников, наиболее распространенной нотацией является конфигурация вершин , которая является просто списком количества сторон многоугольников вокруг вершины. Квадратная мозаика имеет конфигурацию вершин 4.4.4.4 или 4 4 . Мозаика правильных шестиугольников обозначается 6.6.6 или 6 3 . [18]

В математике

Введение в тесселяции

Математики используют некоторые технические термины при обсуждении мозаик. Ребро — это пересечение двух граничащих плиток; часто это прямая линия. Вершина — это точка пересечения трех или более граничащих плиток. Используя эти термины, изогональная или вершинно-транзитивная мозаика — это мозаика, в которой каждая вершина идентична; то есть расположение многоугольников вокруг каждой вершины одинаково. [18] Фундаментальная область — это форма, такая как прямоугольник, которая повторяется для формирования мозаики. [22] Например, правильная мозаика плоскости с квадратами имеет встречу четырех квадратов в каждой вершине . [18]

Стороны многоугольников не обязательно идентичны краям плиток. Мозаика «край-к-краю» — это любая многоугольная мозаика, в которой смежные плитки имеют только одну общую сторону, т. е. ни одна плитка не имеет частичную сторону или более одной стороны с любой другой плиткой. В мозаике «край-к-краю» стороны многоугольников и края плиток одинаковы. Знакомая нам мозаика «кирпичная стена» не имеет «край-к-краю», потому что длинная сторона каждого прямоугольного кирпича является общей с двумя граничащими кирпичами. [18]

Нормальная мозаика — это мозаика, в которой каждая плитка топологически эквивалентна диску , пересечение любых двух плиток является связным множеством или пустым множеством , и все плитки равномерно ограничены . Это означает, что для всех плиток во всей мозаике можно использовать один описывающий радиус и один вписывающий радиус; условие запрещает плитки, которые являются патологически длинными или тонкими. [23]

Пример мозаики, не соединенной ребром к ребру: 15-я выпуклая моноэдральная пятиугольная мозаика , открытая в 2015 году.

Моноэдральная мозаика — это мозаика, в которой все плитки конгруэнтны ; она имеет только одну протоплитку. Особенно интересным типом моноэдральной мозаики является спиральная моноэдральная мозаика. Первая спиральная моноэдральная мозаика была открыта Хайнцем Водербергом в 1936 году; мозаика Водерберга имеет единичную плитку, которая является невыпуклым девятиугольником . [1] Мозаика Хиршхорна , опубликованная Майклом Д. Хиршхорном и Д. К. Хантом в 1985 году, представляет собой пятиугольную мозаику, использующую неправильные пятиугольники: правильные пятиугольники не могут замостить евклидову плоскость как внутренний угол правильного пятиугольника, ⁠3π​/5⁠ , не является делителем 2π . [ 24] [25]

Изоэдральная мозаика — это особый вариант моноэдральной мозаики, в которой все плитки принадлежат к одному и тому же классу транзитивности, то есть все плитки являются преобразованиями одной и той же протоплитки относительно группы симметрии мозаики. [23] Если протоплитка допускает мозаику, но ни одна такая мозаика не является изоэдральной, то протоплитка называется неизоэдральной и образует неизоэдральные мозаики .

Регулярная мозаика — это высокосимметричная мозаика , состоящая из правильных многоугольников , имеющих одинаковую форму. Существует всего три правильных мозаики: те, что состоят из равносторонних треугольников , квадратов или правильных шестиугольников . Все три мозаики являются изогональными и моноэдральными. [26]

Пифагорова мозаика не является мозаикой от края до края.

Полуправильная (или архимедова) мозаика использует более одного типа правильных многоугольников в изогональном расположении. Существует восемь полуправильных мозаик (или девять, если зеркальная пара мозаик считается за две). [27] Их можно описать по конфигурации их вершин ; например, полуправильная мозаика, использующая квадраты и правильные восьмиугольники, имеет конфигурацию вершин 4,8 2 (каждая вершина имеет один квадрат и два восьмиугольника). [28] Возможны многие мозаики не от края к краю евклидовой плоскости, включая семейство пифагорейских мозаик , мозаик, которые используют два (параметризованных) размера квадрата, каждый квадрат касается четырех квадратов другого размера. [29] Реберная мозаика — это мозаика, в которой каждая плитка может быть отражена относительно края, чтобы занять положение соседней плитки, например, в массиве равносторонних или равнобедренных треугольников. [30]

Группы обоев

Это мозаичное, моноэдральное уличное покрытие использует изогнутые формы вместо многоугольников. Оно относится к группе обоев p3.

Мозаики с трансляционной симметрией в двух независимых направлениях можно классифицировать по группам обоев , которых существует 17. [31] Утверждалось, что все семнадцать из этих групп представлены во дворце Альгамбра в Гранаде , Испания . Хотя это оспаривается, [32] разнообразие и изысканность мозаик Альгамбры заинтересовали современных исследователей. [33] Из трех правильных мозаик две находятся в группе обоев p6m , а одна — в p4m . Мозаики в 2-D с трансляционной симметрией только в одном направлении можно классифицировать по семи группам фризов, описывающим возможные узоры фризов . [34] Орбифолдная нотация может использоваться для описания групп обоев евклидовой плоскости. [35]

Апериодичные мозаики

Мозаика Пенроуза с несколькими симметриями, но без периодических повторений.

Мозаики Пенроуза , которые используют две разные четырехугольные протоплитки, являются самым известным примером плиток, которые принудительно создают непериодические узоры. Они принадлежат к общему классу апериодических мозаик , которые используют плитки, которые не могут периодически тесселироваться. Рекурсивный процесс замещения мозаики является методом генерации апериодических мозаик. Один класс, который может быть сгенерирован таким образом, — это рептильные плитки ; эти мозаики обладают неожиданными самовоспроизводящимися свойствами. [36] Мозаики Pinwheel являются непериодическими, использующими конструкцию рептильных плиток; плитки появляются в бесконечном количестве ориентаций. [37] Можно подумать, что непериодический узор будет полностью лишен симметрии, но это не так. Апериодические мозаики, хотя и лишены трансляционной симметрии , имеют симметрии других типов, посредством бесконечного повторения любого ограниченного участка мозаики и в определенных конечных группах вращений или отражений этих участков. [38] Правило подстановки, например, которое можно использовать для создания узоров Пенроуза с использованием сборок плиток, называемых ромбами, иллюстрирует симметрию масштабирования. [39] Слово Фибоначчи можно использовать для построения апериодической плитки и для изучения квазикристаллов , которые являются структурами с апериодическим порядком. [40]

Набор из 13 плиток Вана , которые заполняют плоскость только апериодически.

Плитки Вана — это квадраты, окрашенные с каждой стороны и размещенные таким образом, что примыкающие края соседних плиток имеют одинаковый цвет; поэтому их иногда называют домино Вана . Подходящий набор домино Вана может замостить плоскость, но только апериодически. Это известно, потому что любая машина Тьюринга может быть представлена ​​как набор домино Вана, которые замостит плоскость тогда и только тогда, когда машина Тьюринга не останавливается. Поскольку проблема остановки неразрешима, проблема определения того, может ли набор домино Вана замостить плоскость, также неразрешима. [41] [42] [43] [44] [45]

Случайная мозаика Труше

Плитка Трюше — это квадратная плитка, украшенная узорами, поэтому она не имеет вращательной симметрии ; в 1704 году Себастьен Трюше использовал квадратную плитку, разделенную на два треугольника контрастных цветов. Они могут замостить плоскость как периодически, так и случайным образом. [46] [47]

Плитка Эйнштейна — это отдельная форма, которая заставляет апериодическую мозаику. Первая такая плитка, названная «шляпой», была обнаружена в 2023 году Дэвидом Смитом, математиком-любителем. [48] [49] Открытие находится на рассмотрении специалистов и, после подтверждения, будет признано решением давней математической проблемы . [50]

Тесселяции и цвет

Для того чтобы цвета этой мозаики образовали узор, повторяя этот прямоугольник как основную область , требуется не менее семи цветов; в более общем случае требуется не менее четырех цветов .

Иногда цвет плитки понимается как часть мозаики; в других случаях произвольные цвета могут быть применены позже. При обсуждении мозаики, которая отображается в цветах, чтобы избежать двусмысленности, нужно указать, являются ли цвета частью мозаики или просто частью ее иллюстрации. Это влияет на то, считаются ли плитки с одинаковой формой, но разного цвета, идентичными, что, в свою очередь, влияет на вопросы симметрии. Теорема о четырех цветах гласит, что для каждой мозаики нормальной евклидовой плоскости с набором из четырех доступных цветов каждая плитка может быть окрашена в один цвет так, что никакие плитки одинакового цвета не будут встречаться на кривой положительной длины. Раскраска, гарантированная теоремой о четырех цветах, обычно не учитывает симметрии мозаики. Чтобы создать раскраску, которая учитывает, необходимо рассматривать цвета как часть мозаики. Здесь может потребоваться до семи цветов, как показано на изображении слева. [51]

Тесселяции с полигонами

Наряду с различными мозаиками из правильных многоугольников изучались также мозаики из других многоугольников.

Любой треугольник или четырехугольник (даже невыпуклый ) можно использовать в качестве протоплитки для формирования моноэдральной мозаики, часто более чем одним способом. Копии произвольного четырехугольника могут образовывать мозаику с трансляционной симметрией и 2-кратной вращательной симметрией с центрами в серединах всех сторон. Для асимметричного четырехугольника эта мозаика принадлежит группе обоев p2 . В качестве фундаментальной области мы имеем четырехугольник. Эквивалентно, мы можем построить параллелограмм, стягиваемый минимальным набором векторов трансляции, начиная с центра вращения. Мы можем разделить его на одну диагональ и взять одну половину (треугольник) в качестве фундаментальной области. Такой треугольник имеет ту же площадь, что и четырехугольник, и может быть построен из него путем вырезания и вставки. [52]

Тесселяция с использованием невыпуклых 12-сторонних полигонов в форме Техаса

Если допускается только одна форма плитки, то существуют мозаики с выпуклыми N -угольниками для N , равного 3, 4, 5 и 6. Для N = 5 см . Пятиугольная мозаика , для N = 6 см . Шестиугольная мозаика , для N = 7 см . Семиугольная мозаика и для N = 8 см . Восьмиугольная мозаика .

В случае невыпуклых многоугольников ограничений по количеству сторон гораздо меньше, даже если допускается только одна форма.

Полимино — это примеры плиток, которые либо выпуклые, либо невыпуклые, для которых можно использовать различные комбинации, вращения и отражения для заполнения плоскости. Результаты по заполнения плоскости полимино см. в разделе Полимино § Использование полимино .

Мозаики Вороного

Мозаика Вороного , в которой ячейки всегда являются выпуклыми многоугольниками.

Мозаики Вороного или Дирихле — это мозаики, где каждая плитка определяется как множество точек, ближайших к одной из точек в дискретном наборе определяющих точек. (Подумайте о географических регионах, где каждый регион определяется как все точки, ближайшие к данному городу или почтовому отделению.) [53] [54] Ячейка Вороного для каждой определяющей точки — это выпуклый многоугольник. Триангуляция Делоне — это мозаика, которая является двойственным графом мозаики Вороного. Триангуляции Делоне полезны в численном моделировании, отчасти потому, что среди всех возможных триангуляций определяющих точек триангуляции Делоне максимизируют минимум углов, образованных ребрами. [55] Мозаики Вороного со случайно расположенными точками можно использовать для построения случайных мозаик плоскости. [56]

Тесселяции в более высоких измерениях

Мозаичное трехмерное (3-D) пространство: ромбический додекаэдр — одно из тел, которые можно сложить так, чтобы они точно заполняли пространство .

Тесселяцию можно распространить на три измерения. Некоторые многогранники можно сложить в регулярный кристаллический узор , чтобы заполнить (или замостить) трехмерное пространство, включая куб (единственный платонов многогранник, который делает это), ромбический додекаэдр , усеченный октаэдр , треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы и другие. [57] Любой многогранник , который соответствует этому критерию, называется плезиоэдром и может иметь от 4 до 38 граней. [58] Природные ромбические додекаэдры встречаются в виде кристаллов андрадита (разновидность граната ) и флюорита . [59] [60]

Иллюстрация бипризмы Шмитта–Конвея, также называемой плиткой Шмитта–Конвея–Данцера

Мозаики в трех или более измерениях называются сотами . В трех измерениях есть только одни правильные соты, которые имеют восемь кубов в каждой вершине многогранника. Аналогично, в трех измерениях есть только одни квазиправильные [c] соты, которые имеют восемь тетраэдров и шесть октаэдров в каждой вершине многогранника. Однако существует много возможных полуправильных сот в трех измерениях. [61] Однородные соты можно построить с помощью построения Витхоффа . [62]

Бипризма Шмитта-Конвея — выпуклый многогранник, обладающий свойством замощения пространства только апериодически. [63]

Треугольник Шварца — это сферический треугольник , который можно использовать для заполнения сферы . [64]

Замощения в неевклидовых геометриях

Ромботригептагональная мозаика в гиперболической плоскости, показанная в проекции модели диска Пуанкаре
Правильные {3,5,3} икосаэдрические соты , одни из четырех правильных компактных сот в гиперболическом 3-пространстве.

Можно делать мозаику в неевклидовых геометриях, таких как гиперболическая геометрия . Однородная мозаика в гиперболической плоскости (которая может быть регулярной, квазирегулярной или полурегулярной) — это заполнение гиперболической плоскости от края до края правильными многоугольниками в качестве граней ; они являются вершинно-транзитивными ( транзитивными на своих вершинах ) и изогональными (существует изометрия , отображающая любую вершину на любую другую). [65] [66]

Однородные соты в гиперболическом пространстве — это однородная мозаика однородных многогранных ячеек . В трехмерном (3-D) гиперболическом пространстве существует девять семейств групп Кокстера компактных выпуклых однородных сот , сгенерированных как конструкции Вайтхоффа и представленных перестановками колец диаграмм Кокстера для каждого семейства. [67 ]

В искусстве

Римская мозаичная напольная панель из камня, плитки и стекла с виллы близ Антиохии в Римской Сирии. II в. н.э.

В архитектуре мозаика использовалась для создания декоративных мотивов с древних времен. Мозаичные плитки часто имели геометрические узоры. [4] Более поздние цивилизации также использовали более крупные плитки, как простые, так и индивидуально украшенные. Некоторые из самых декоративных были мавританскими настенными плитками исламской архитектуры , с использованием плиток Girih и Zellige в таких зданиях, как Альгамбра [68] и Ла-Мескита . [69]

Мозаики часто появлялись в графическом искусстве М. К. Эшера ; он был вдохновлен мавританским использованием симметрии в таких местах, как Альгамбра, когда он посетил Испанию в 1936 году. [70] Эшер сделал четыре рисунка « Предела круга » мозаик, которые используют гиперболическую геометрию. [71] [72] Для своей гравюры на дереве «Пределы круга IV» (1960) Эшер подготовил карандашный и чернильный этюд, показывающий требуемую геометрию. [73] Эшер объяснил, что «Ни один компонент всех серий, которые из бесконечного далека поднимаются, как ракеты, перпендикулярно пределу и в конце концов теряются в нем, никогда не достигает граничной линии». [74]

Одеяло с регулярным мозаичным узором

Мозаичные узоры часто появляются на текстиле, будь то тканые, вышитые или напечатанные. Мозаичные узоры использовались для создания взаимосвязанных мотивов форм заплаток в одеялах . [75] [76]

Тесселяция также является основным жанром в оригами (складывании бумаги), где складки используются для соединения молекул, например, скручивания, вместе в повторяющейся манере. [77]

В производстве

Тесселяция используется в обрабатывающей промышленности для сокращения отходов материала (потерь выхода продукции), например, листового металла , при вырезании форм для таких объектов, как автомобильные двери или банки для напитков . [78]

Тесселяция проявляется в растрескивании тонких пленок , похожем на трещины в грязи [79] [80] – при этом определенная степень самоорганизации наблюдается с использованием микро- и нанотехнологий . [81]

В природе

Соты — это естественная мозаичная структура.

Соты — хорошо известный пример мозаики в природе с их шестиугольными ячейками. [82]

В ботанике термин «мозаичный» описывает клетчатый рисунок, например, на лепестке цветка, коре дерева или фрукте. Цветы , включая рябчик [83] и некоторые виды Colchicum [84] , характеризуются мозаичным рисунком.

Многие узоры в природе образуются трещинами в листах материалов. Эти узоры можно описать с помощью мозаики Гилберта [85] , также известной как случайные сети трещин. [86] Тесселяция Гилберта — это математическая модель образования грязевых трещин , игольчатых кристаллов и подобных структур. Модель, названная в честь Эдгара Гилберта , позволяет трещинам образовываться, начиная с беспорядочного разброса по плоскости; каждая трещина распространяется в двух противоположных направлениях вдоль линии, проходящей через точку инициации, ее наклон выбирается случайным образом, создавая мозаику из неправильных выпуклых многоугольников. [87] Потоки базальтовой лавы часто демонстрируют столбчатую сочлененность в результате сил сжатия , вызывающих трещины по мере остывания лавы. Развивающиеся обширные сети трещин часто производят шестиугольные колонны лавы. Одним из примеров такого массива колонн является Дорога гигантов в Северной Ирландии. [88] Мозаичная мостовая , характерный пример которой найден в Иглхок-Нек на полуострове Тасман в Тасмании , представляет собой редкую осадочную горную породу, где порода расколота на прямоугольные блоки. [89]

Мозаичный узор в цветке безвременника

Другие естественные узоры встречаются в пенах ; они упакованы в соответствии с законами Плато , которые требуют минимальных поверхностей . Такие пены представляют проблему в том, как упаковать ячейки как можно плотнее: в 1887 году лорд Кельвин предложил упаковку, использующую только одно твердое тело, битусеченные кубические соты с очень слегка изогнутыми гранями. В 1993 году Денис Уайр и Роберт Фелан предложили структуру Уайра-Фелана , которая использует меньшую площадь поверхности для разделения ячеек равного объема, чем пена Кельвина. [90]

В головоломках и занимательной математике

Традиционная головоломка -танграм

Тесселяция дала начало многим типам мозаики , от традиционных головоломок (с неровными кусками дерева или картона) [91] и танграма [ 92] до более современных головоломок, которые часто имеют математическую основу. Например, полиромбы и полимино — это фигуры правильных треугольников и квадратов, часто используемые в мозаике. [93] [94] Такие авторы, как Генри Дьюдени и Мартин Гарднер, много использовали тесселяцию в развлекательной математике . Например, Дьюдени изобрел шарнирное рассечение [95] , в то время как Гарднер писал о « реп-плитке », форме, которая может быть разрезана на меньшие копии той же формы. [96] [97] Вдохновленная статьями Гарднера в Scientific American , математик-любитель Марджори Райс нашла четыре новых мозаики с пятиугольниками. [98] [99] Квадратура квадрата — это задача замощения целого квадрата (квадрата, стороны которого имеют целую длину), используя только другие целые квадраты. [100] [101] Расширение — это замощение плоскости квадратами, размеры которых являются натуральными числами без повторений; Джеймс и Фредерик Генле доказали, что это возможно. [102]

Примеры

Смотрите также

Пояснительные сноски

  1. ^ Математический термин для идентичных фигур — «конгруэнтные»; в математике «идентичные» означает, что они представляют собой одну и ту же плитку.
  2. ^ Обычно требуется, чтобы плитки были гомеоморфны (топологически эквивалентны) замкнутому диску , что означает, что причудливые формы с отверстиями, свисающими отрезками или бесконечными областями исключаются. [18]
  3. ^ В данном контексте квазирегулярность означает, что ячейки являются правильными (твердыми телами), а вершинные фигуры — полуправильными.

Ссылки

  1. ^ ab Pickover, Clifford A. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики . Sterling . стр. 372. ISBN 978-1-4027-5796-9.
  2. ^ Данбабин, Кэтрин МД (2006). Мозаики греческого и римского мира . Cambridge University Press. стр. 280.
  3. ^ "The Brantingham Geometric Mosaics". Городской совет Халла. 2008. Получено 26 мая 2015 .
  4. ^ ab Field, Robert (1988). Геометрические узоры из римских мозаик . Тарквиний. ISBN 978-0-906-21263-9.
  5. ↑ Кеплер, Иоганн (1619). Harmonices Mundi [ Гармония миров ].
  6. ^ abc Gullberg 1997, стр. 395.
  7. ^ Стюарт 2001, стр. 13.
  8. ^ Джиджев, Христо; Потконьяк, Миодраг (2012). «Проблемы динамического покрытия в сенсорных сетях» (PDF) . Лос-Аламосская национальная лаборатория . п. 2 . Проверено 6 апреля 2013 г.
  9. ^ Федоров, Ю. (1891). «Симметрия на плоскости». Записки Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества . 2 (на русском языке). 28 : 245–291.
  10. ^ Шубников, Алексей Васильевич; Белов, Николай Васильевич (1964). Цветная симметрия. Макмиллан .
  11. ^ Хиш, Х.; Кинцле, О. (1963). Flächenschluss: System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flächteile (на немецком языке). Спрингер .
  12. ^ "Tessellate". Merriam-Webster Online . Получено 26 мая 2015 г.
  13. ^ Конвей, Р.; Берджил, Х.; Гудман-Штраус, Г. (2008). Симметрии вещей . Питерс.
  14. ^ Коксетер 1973.
  15. ^ Канди и Роллетт (1961). Математические модели (2-е изд.). Оксфорд. С. 61–62.
  16. ↑ Эшер 1974, стр. 11–12, 15–16.
  17. ^ "Базилика Сан-Марко". Раздел: Мозаичный пол . Базилика Сан-Марко . Проверено 26 апреля 2013 г.
  18. ^ abcdef Грюнбаум и Шепард 1987, стр. 59.
  19. ↑ Schattschneider, Doris (сентябрь 1980 г.). «Будет ли это замощением? Попробуйте критерий Конвея!». Mathematics Magazine . Vol. 53, no. 4. pp. 224–233. doi :10.2307/2689617. JSTOR  2689617.
  20. ^ Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники. Метуэн . С. 14, 69, 149. ISBN 978-0-486-61480-9.
  21. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Тесселяция». MathWorld .
  22. ^ Эммер, Мишель; Шатшнайдер, Дорис (8 мая 2007 г.). Наследие MC Эшера: празднование столетия. Берлин Гейдельберг: Springer. п. 325. ИСБН 978-3-540-28849-7.
  23. ^ ab Horne, Clare E. (2000). Геометрическая симметрия в узорах и мозаиках . Woodhead Publishing. стр. 172, 175. ISBN 978-1-85573-492-0.
  24. ↑ Датч, Стивен (29 июля 1999 г.). «Некоторые специальные радиальные и спиральные мозаики». Университет Висконсина. Архивировано из оригинала 4 апреля 2013 г. Получено 6 апреля 2013 г.
  25. ^ Хиршхорн, МД; Хант, ДК (1985). «Равносторонние выпуклые пятиугольники, которые заполняют плоскость». Журнал комбинаторной теории . Серия A. 39 (1): 1–18. doi : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 .
  26. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Регулярные мозаики». MathWorld .
  27. ^ Стюарт 2001, стр. 75.
  28. ^ NRICH (Millennium Maths Project) (1997–2012). «Schläfli Tessellations». Кембриджский университет . Получено 26 апреля 2013 г.
  29. ^ Уэллс, Дэвид (1991). "замощение двух квадратов". Словарь Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Нью-Йорк: Penguin Books. С. 260–261. ISBN 978-0-14-011813-1.
  30. ^ Кирби, Мэтью; Амбл, Рональд (2011). «Тосселирование рёбер и головоломки со складыванием штампов». Mathematics Magazine . 84 (4): 283–89. doi :10.4169/math.mag.84.4.283. S2CID  123579388.
  31. ^ Армстронг, MA (1988). Группы и симметрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-96675-3.
  32. ^ Грюнбаум, Бранко (июнь–июль 2006 г.). «Какие группы симметрии присутствуют в Альгамбре?» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 53 (6): 670–673.
  33. ^ Lu, Peter J.; Steinhardt (23 февраля 2007 г.). «Декагональные и квазикристаллические плитки в средневековой исламской архитектуре». Science . 315 (5815): 1106–10. Bibcode :2007Sci...315.1106L. doi :10.1126/science.1135491. PMID  17322056. S2CID  10374218.
  34. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Frieze Group». Математический мир .
  35. ^ Хасон, Дэниел Х. (1991). «Мутация двумерной симметрии». Принстонский университет. CiteSeerX 10.1.1.30.8536 – через CiteSeerX. 
  36. ↑ Гарднер 1989, стр. 1–18.
  37. ^ Радин, К. (май 1994). «Петля вертушки на плоскости». Annals of Mathematics . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . doi :10.2307/2118575. JSTOR  2118575. 
  38. ^ Остин, Дэвид. «Плитки Пенроуза разговаривают через мили». Американское математическое общество . Получено 29 мая 2015 г.
  39. ^ Harriss, EO "Aperiodic Tiling" (PDF) . Лондонский университет и EPSRC. Архивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 г. . Получено 29 мая 2015 г. .
  40. ^ Dharma-wardana, MWC; MacDonald, AH; Lockwood, DJ; Baribeau, J.-M.; Houghton, DC (1987). «Комбинационное рассеяние в сверхрешетках Фибоначчи». Physical Review Letters . 58 (17): 1761–1765. Bibcode :1987PhRvL..58.1761D. doi :10.1103/physrevlett.58.1761. PMID  10034529.
  41. ^ Ван, Хао (1961). «Доказательство теорем с помощью распознавания образов — II». Bell System Technical Journal . 40 (1): 1–41. doi :10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x.
  42. ↑ Ван, Хао (ноябрь 1965 г.). «Игры, логика и компьютеры». Scientific American . С. 98–106.
  43. ^ Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества . 66 (66): 72. doi :10.1090/memo/0066.
  44. ^ Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность для разбиений плоскости». Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–209. Bibcode :1971InMat..12..177R. doi :10.1007/bf01418780. MR  0297572. S2CID  14259496.
  45. ^ Кулик, Карел II (1996). «Апериодический набор из 13 плиток Вана». Дискретная математика . 160 (1–3): 245–251. doi : 10.1016/S0012-365X(96)00118-5 . MR  1417576.
  46. ^ Браун, Кэмерон (2008). «Кривые и поверхности Труше». Компьютеры и графика . 32 (2): 268–281. doi :10.1016/j.cag.2007.10.001.
  47. ^ Смит, Сирил Стэнли (1987). «Мозаичные узоры Себастьяна Труше и топология структурной иерархии». Леонардо . 20 (4): 373–385. doi :10.2307/1578535. JSTOR  1578535. S2CID  192944820.
  48. ^ Коновер, Эмили (24 марта 2023 г.). «Математики наконец-то обнаружили неуловимую плитку „Эйнштейна“». Science News . Получено 25 марта 2023 г.с изображением узора
  49. ^ Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (март 2023 г.). «Апериодическая моноплитка». arXiv:2303.10798
  50. ^ Робертс, Сойбхан, Неуловимый «Эйнштейн» решает давнюю математическую проблему , New York Times, 28 марта 2023 г., с изображением узора
  51. ^ "Проблема четырех красок", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  52. ^ Джонс, Оуэн (1910) [1856]. Грамматика орнамента (фолио-ред.). Бернард Куоритч .
  53. ^ Ауренхаммер, Франц (1991). «Диаграммы Вороного – обзор фундаментальной геометрической структуры данных». ACM Computing Surveys . 23 (3): 345–405. doi :10.1145/116873.116880. S2CID  4613674.
  54. ^ Окабэ, Ацуюки; Бутс, Барри; Сугихара, Кокичи; Чиу, Сунг Нок (2000). Пространственные мозаики – концепции и приложения диаграмм Вороного (2-е изд.). John Wiley. ISBN 978-0-471-98635-5.
  55. ^ Джордж, Пол Луи; Боручаки, Хоуман (1998). Триангуляция Делоне и построение сеток: применение к конечным элементам . Hermes . стр. 34–35. ISBN 978-2-86601-692-0.
  56. ^ Моллер, Йеспер (1994). Лекции по случайным мозаикам Вороного. Springer. ISBN 978-1-4612-2652-9.
  57. ^ Грюнбаум, Бранко (1994). «Однородные мозаики 3-пространства». Геомбинаторика . 4 (2): 49–56.
  58. ^ Энгель, Питер (1981). «Über Wirkungsbereichsteilungen von kubischer Symmetrie». Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometry, Kristallphysik, Kristallchemie . 154 (3–4): 199–215. Бибкод : 1981ZK....154..199E. дои :10.1524/zkri.1981.154.3-4.199. МР  0598811..
  59. ^ Oldershaw, Cally (2003). Firefly Guide to Gems . Firefly Books. стр. 107. ISBN 978-1-55297-814-6.
  60. ^ Киркалди, Дж. Ф. (1968). Минералы и горные породы в цвете (2-е изд.). Блэндфорд. С. 138–139.
  61. ^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Шерк, Ф. Артур; Канадское математическое общество (1995). Калейдоскопы: избранные сочинения Х. С. М. Коксетера . John Wiley & Sons. стр. 3 и везде. ISBN 978-0-471-01003-6.
  62. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Конструкция Витхоффа». MathWorld .
  63. ^ Сенешаль, Марджори (26 сентября 1996 г.). Квазикристаллы и геометрия . Архив CUP. стр. 209. ISBN 978-0-521-57541-6.
  64. ^ Шварц, HA (1873). «Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen Hypergeometrische Reihe eine алгебраической функции ihres vierten Elementes darstellt». Журнал для королевы и математики . 1873 (75): 292–335. дои : 10.1515/crll.1873.75.292 . ISSN  0075-4102. S2CID  121698536.
  65. ^ Маргенштерн, Морис (4 января 2011 г.). «Координаты для новой треугольной мозаики гиперболической плоскости». arXiv : 1101.0530 [cs.FL].
  66. ^ Задник, Гашпер. «Tiling the Hyperbolic Plane with Regular Polygons» (Мозаика гиперболической плоскости правильными многоугольниками). Wolfram . Получено 27 мая 2015 г.
  67. ^ Coxeter, HSM (1999). "Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве". Красота геометрии: Двенадцать эссе . Dover Publications . стр. 212–213. ISBN 978-0-486-40919-1.
  68. ^ "Математика в искусстве и архитектуре". Национальный университет Сингапура . Получено 17 мая 2015 г.
  69. ^ Уиттакер, Эндрю (2008). Speak the Culture: Spain. Thorogood Publishing. стр. 153. ISBN 978-1-85418-605-8.
  70. ↑ Эшер 1974, стр. 5, 17.
  71. ^ Gersten, SM "Introduction to Hyperbolic and Automatic Groups" (PDF) . University of Utah . Получено 27 мая 2015 г. Рисунок 1 является частью мозаики евклидовой плоскости, которую мы представляем себе продолженной во всех направлениях, а рисунок 2 [Circle Limit IV] является прекрасной мозаикой модели единичного диска Пуанкаре гиперболической плоскости белыми плитками, представляющими ангелов, и черными плитками, представляющими дьяволов. Важной особенностью второго является то, что все белые плитки взаимно конгруэнтны, как и все черные плитки; конечно, это не верно для евклидовой метрики, но справедливо для метрики Пуанкаре
  72. ^ Лейс, Джос (2015). "Гиперболический Эшер" . Получено 27 мая 2015 г.
  73. ↑ Эшер 1974, стр. 142–143.
  74. ^ Эшер 1974, стр. 16.
  75. ^ Портер, Кристин (2006). Мозаичные одеяла: сенсационные дизайны из переплетенных узоров . F+W Media. стр. 4–8. ISBN 978-0-7153-1941-3.
  76. ^ Бейер, Джинни (1999). Проектирование мозаик: секреты взаимосвязанных узоров . Contemporary Book. стр. Гл. 7. ISBN 978-0-8092-2866-9.
  77. ^ Гьерде, Эрик (2008). Тесселяции оригами . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-1-568-81451-3.
  78. ^ "Сокращение потерь выхода: использование меньшего количества металла для изготовления того же самого". UIT Cambridge. Архивировано из оригинала 29 мая 2015 г. Получено 29 мая 2015 г.
  79. ^ Thouless, MD (1990). «Расстояние между трещинами в хрупких пленках на эластичных подложках». J. Am. Chem. Soc . 73 (7): 2144–2146. doi :10.1111/j.1151-2916.1990.tb05290.x.
  80. ^ Xia, ZC; Hutchinson, JW (2000). «Расположение трещин в тонких пленках». J. Mech. Phys. Solids . 48 (6–7): 1107–1131. Bibcode : 2000JMPSo..48.1107X. doi : 10.1016/S0022-5096(99)00081-2.
  81. ^ Seghir, R.; Arscott, S. (2015). «Управляемое образование трещин в грязи и самоорганизованное растрескивание поверхностей полидиметилсилоксанового эластомера». Sci. Rep . 5 : 14787. Bibcode : 2015NatSR...514787S. doi : 10.1038/srep14787. PMC 4594096. PMID  26437880 . 
  82. ^ Болл, Филипп (2013). «Как соты могут строить себя». Nature . doi :10.1038/nature.2013.13398. S2CID  138195687 . Получено 7 ноября 2014 .
  83. ↑ Краткий Оксфордский словарь английского языка (6-е изд.). Великобритания: Oxford University Press. 2007. С. 3804. ISBN 978-0-19-920687-2.
  84. ^ Перди, Кэти (2007). «Безвременники: самый сокровенный секрет осени». American Gardener (сентябрь/октябрь): 18–22.
  85. ^ Шрайбер, Томаш; Соя, Наталья (2010). «Теория пределов для плоских мозаик Гилберта». arXiv : 1005.0023 [мат.PR].
  86. ^ Грей, NH; Андерсон, JB; Девайн, JD; Квасник, JM (1976). «Топологические свойства случайных сетей трещин». Математическая геология . 8 (6): 617–626. doi :10.1007/BF01031092. S2CID  119949515.
  87. ^ Гилберт, Э. Н. (1967). «Случайные плоские сети и игольчатые кристаллы». В Нобл, Б. (ред.). Приложения бакалаврской математики в инженерии . Нью-Йорк: Macmillan.
  88. ^ Weaire, D. ; Rivier, N. (1984). «Мыло, клетки и статистика: случайные закономерности в двух измерениях». Contemporary Physics . 25 (1): 59–99. Bibcode :1984ConPh..25...59W. doi :10.1080/00107518408210979.
  89. ^ Branagan, DF (1983). Young, RW; Nanson, GC (ред.). Мозаичные мостовые . Аспекты австралийских песчаниковых ландшафтов. Специальная публикация № 1, Геоморфология Австралии и Новой Зеландии. Вуллонгонг, Новый Южный Уэльс: Университет Вуллонгонга . С. 11–20. ISBN 978-0-864-18001-8. OCLC  12650092.
  90. ^ Болл, Филипп (2009). Формы . Oxford University Press . С. 73–76. ISBN 978-0-199-60486-9.
  91. ^ МакАдам, Дэниел. «История пазлов». Американское общество любителей пазлов. Архивировано из оригинала 11 февраля 2014 года . Получено 28 мая 2015 года .
  92. ^ Слокум, Джерри (2001). Дао Танграма . Barnes & Noble. стр. 9. ISBN 978-1-4351-0156-2.
  93. ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Princeton University Press . ISBN 978-0-691-02444-8.
  94. ^ Мартин, Джордж Э. (1991). Полимино: руководство по головоломкам и задачам по укладке плиток . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-501-0.
  95. ^ Фредериксон, Грег Н. (2002). Шарнирные диссекции: качание и скручивание . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81192-7.
  96. ↑ Гарднер, Мартин (май 1963 г.). «О „Повторяющихся плитках“, многоугольниках, которые могут создавать большие и меньшие копии самих себя». Scientific American . Т. 208, №. Май. С. 154–164.
  97. ↑ Гарднер, Мартин (14 декабря 2006 г.). Aha! Двухтомный сборник: Aha! Gotcha Aha! Insight. MAA. стр. 48. ISBN 978-0-88385-551-5.
  98. ^ Сури, Мани (12 октября 2015 г.). «Важность занимательной математики». New York Times .
  99. ^ Шаттшнайдер, Дорис (1978). «Tiling the Plane with Congruent Pentagons» (PDF) . Mathematics Magazine . 51 (1). MAA: 29–44. doi :10.2307/2689644. JSTOR  2689644.
  100. ^ Tutte, WT "Squaring the Square". Squaring.net . Получено 29 мая 2015 г.
  101. ^ Гарднер, Мартин; Тутт, Уильям Т. (ноябрь 1958 г.). «Математические игры». Scientific American .
  102. ^ Хенле, Фредерик В.; Хенле, Джеймс М. (2008). «Квадрирование плоскости» (PDF) . American Mathematical Monthly . 115 (1): 3–12. doi :10.1080/00029890.2008.11920491. JSTOR  27642387. S2CID  26663945. Архивировано из оригинала (PDF) 20 июня 2006 г.

Источники

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Плиточная облицовка».