stringtranslate.com

Множество (математика)

Набор многоугольников на диаграмме Эйлера
Этот набор идентичен изображенному выше, поскольку оба состоят из одних и тех же элементов.

В математике множество это совокупность различных [1] вещей; [2] [3] [4] эти вещи называются элементами или членами множества и обычно являются математическими объектами любого вида: числами, символами, точками в пространстве, линиями, другими геометрическими фигурами, переменными или даже другими множествами. [5] Множество может иметь конечное число элементов или быть бесконечным множеством . Существует уникальное множество без элементов, называемое пустым множеством ; множество с одним элементом называется синглтоном .

Множества однозначно характеризуются своими элементами; это означает, что два множества, которые имеют в точности одинаковые элементы, равны (они являются одним и тем же множеством). [6] Это свойство называется экстенсиональностью . В частности, это подразумевает, что существует только одно пустое множество.

Множества повсеместно встречаются в современной математике. Действительно, теория множеств , а точнее теория множеств Цермело–Френкеля , была стандартным способом предоставления строгих основ для всех разделов математики с первой половины 20-го века. [5]

Определение и обозначения

В математических текстах множества обычно обозначаются заглавными буквами [7] [5] курсивом , например, A , B , C. [8] Множество также может называться коллекцией или семейством , особенно когда его элементы сами являются множествами.

Нотация списка

Нотация списка или перечисления определяет множество путем перечисления его элементов в фигурных скобках , разделенных запятыми: [9] [10] [11] [12]

А = {4, 2, 1, 3}
B = {синий, белый, красный} .

Эта нотация была введена Эрнстом Цермело в 1908 году . [13] В наборе имеет значение только то, входит ли в него каждый элемент или нет, поэтому порядок элементов в нотации списка не имеет значения (в отличие от последовательности , кортежа или перестановки набора порядок членов имеет значение). Например, {2, 4, 6} и {4, 6, 4, 2} представляют один и тот же набор. [14] [8] [15]

Для наборов со многими элементами, особенно тех, которые следуют неявному шаблону, список членов может быть сокращен с помощью многоточия « ... ». [16] [17] Например, набор из первой тысячи положительных целых чисел может быть указан в нотации списка как

{1, 2, 3, ..., 1000} .

Бесконечные множества в нотации ростера

Бесконечное множество — это множество с бесконечным числом элементов. Если шаблон его элементов очевиден, бесконечное множество может быть задано в нотации ростера, с многоточием, помещенным в конце списка или на обоих концах, чтобы указать, что список продолжается вечно. Например, множество неотрицательных целых чисел — это

{0, 1, 2, 3, 4, ...} ,

и множество всех целых чисел равно

{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} .

Семантическое определение

Другой способ определения множества — это использование правила для определения его элементов:

Пусть A — множество, членами которого являются первые четыре положительных целых числа .
Пусть B — набор цветов французского флага .

Такое определение называется семантическим описанием . [18] [19]

Нотация конструктора множеств

Нотация конструктора множеств определяет множество как выборку из большего множества, определяемую условием для элементов. [19] [20] [21] Например, множество F можно определить следующим образом:

В этой нотации вертикальная черта «|» означает «такой, что», и описание можно интерпретировать как « F — это множество всех чисел n таких, что n — целое число в диапазоне от 0 до 19 включительно». Некоторые авторы используют двоеточие « :» вместо вертикальной черты. [22]

Классификация методов определения

Философия использует специальные термины для классификации типов определений:

Членство

Если B — множество, а x — элемент B , то это записывается в сокращении как xB , что также можно прочитать как « x принадлежит B » или « x находится в B ». [23] Утверждение « y не является элементом B » записывается как yB , что также можно прочитать как « y не находится в B ». [24] [25]

Например, относительно множеств A = {1, 2, 3, 4} , B = {синий, белый, красный} и F = { n | n — целое число, и 0 ≤ n ≤ 19} ,

4 ∈ A и 12 ∈ F ; и
20 ∉ F и зеленый ∉ B .

Пустой набор

Пустой набор ( или нулевой набор ) — это уникальный набор, не имеющий членов. Он обозначается , , { }, [26] [27] ϕ , [28] или ϕ . [29]

Синглтон-множества

Синглтонный набор — это набор, содержащий ровно один элемент; такой набор также можно назвать единичным набором . [6] Любой такой набор можно записать как { x }, где x — элемент. Набор { x } и элемент x означают разные вещи; Халмош [30] проводит аналогию, что коробка, содержащая шляпу, — это не то же самое, что шляпа.

Подмножества

Если каждый элемент множества A также находится в B , то A описывается как подмножество B , или содержится в B , что записывается как AB , [31] или BA . [32] Последнее обозначение можно читать как B содержит A , B включает A , или B является надмножеством A . Связь между множествами, установленная с помощью ⊆ , называется включением или контейнментом . Два множества равны, если они содержат друг друга: AB и BA эквивалентны A = B . [20]

Если A является подмножеством B , но A не равно B , то A называется собственным подмножеством B. Это можно записать как AB. Аналогично, B A означает , что B является собственным надмножеством A , т. е . B содержит A и не равно A.

Третья пара операторов ⊂ и ⊃ используется по-разному разными авторами: некоторые авторы используют AB и BA , чтобы обозначить, что A является любым подмножеством B (и не обязательно собственным подмножеством) [33] [24] , в то время как другие оставляют AB и BA для случаев, когда A является собственным подмножеством B. [31]

Примеры:

Пустое множество является подмножеством каждого множества, [26] а каждое множество является подмножеством самого себя: [33]

Диаграммы Эйлера и Венна

A является подмножеством B.
B является надмножеством A.

Диаграмма Эйлера — это графическое представление набора множеств; каждое множество изображается как плоская область, заключенная в петлю, с ее элементами внутри. Если A является подмножеством B , то область, представляющая A, полностью находится внутри области, представляющей B. Если два множества не имеют общих элементов, области не перекрываются.

Диаграмма Венна , напротив, является графическим представлением n множеств, в котором n петель делят плоскость на 2 n зон таким образом, что для каждого способа выбора некоторых из n множеств (возможно, всех или ни одного) существует зона для элементов, которые принадлежат всем выбранным множествам и ни одному из других. Например, если множествами являются A , B и C , должна быть зона для элементов, которые находятся внутри A и C и снаружи B (даже если таких элементов не существует).

Специальные наборы чисел в математике

Натуральные числа содержатся в целых числах , которые содержатся в рациональных числах , которые содержатся в действительных числах , которые содержатся в комплексных числах.

Существуют множества, имеющие такое математическое значение и к которым математики обращаются так часто, что для их идентификации появились специальные названия и условные обозначения.

Многие из этих важных наборов представлены в математических текстах с использованием жирного шрифта (например, ) или шрифта Blackboard bold (например, ). [34] К ним относятся

Каждый из перечисленных выше наборов чисел имеет бесконечное число элементов. Каждый из них является подмножеством наборов, перечисленных ниже.

Множества положительных или отрицательных чисел иногда обозначаются надстрочными знаками плюс и минус соответственно. Например, представляет множество положительных рациональных чисел.

Функции

Функция (или отображение ) из множества A в множество B — это правило, которое назначает каждому «входному» элементу A «выходной», который является элементом B ; более формально, функция — это особый вид отношения , который связывает каждый элемент A ровно с одним элементом B. Функция называется

Инъективная функция называется инъекцией , сюръективная функция называется сюръекцией , а биективная функция называется биекцией или взаимно-однозначным соответствием .

Мощность

Мощность множества S , обозначаемая | S | , — это количество членов S. [ 35] Например, если B = {синий, белый, красный} , то | B | = 3. Повторяющиеся члены в записи состава не учитываются, [36] [37] поэтому | {синий, белый, красный, синий, белый} | = 3 тоже.

Более формально, два множества имеют одинаковую мощность, если между ними существует биекция.

Мощность пустого множества равна нулю. [38]

Бесконечные множества и бесконечная мощность

Список элементов некоторых множеств бесконечен, или бесконечен . Например, множество натуральных чисел бесконечно. [20] Фактически, все специальные множества чисел, упомянутые в разделе выше, бесконечны. Бесконечные множества имеют бесконечную мощность .

Некоторые бесконечные мощности больше других. Возможно, одним из самых важных результатов теории множеств является то, что множество действительных чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных чисел. [39] Множества с мощностью, меньшей или равной мощности, называются счетными множествами ; это либо конечные множества, либо счетно бесконечные множества (множества той же мощности, что и ); некоторые авторы используют «счетный» в значении «счетно бесконечный». Множества с мощностью, строго большей, чем мощность, называются несчетными множествами .

Однако можно показать, что мощность прямой линии (т. е. количество точек на линии) такая же, как мощность любого сегмента этой линии, всей плоскости и, конечно, любого конечномерного евклидова пространства . [40]

Гипотеза континуума

Гипотеза континуума, сформулированная Георгом Кантором в 1878 году, представляет собой утверждение о том, что не существует множества с мощностью строго между мощностью натуральных чисел и мощностью прямой линии. [41] В 1963 году Пол Коэн доказал, что гипотеза континуума не зависит от системы аксиом ZFC, состоящей из теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора . [42] (ZFC является наиболее широко изученной версией аксиоматической теории множеств.)

Силовые наборы

Множество мощности множества S — это множество всех подмножеств S. [ 20] Пустое множество и само S являются элементами множества мощности S , поскольку оба они являются подмножествами S. Например, множество мощности {1, 2, 3} — это {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} . Множество мощности множества S обычно записывается как P ( S ) или 2 S . [20] [43] [8]

Если S имеет n элементов, то P ( S ) имеет 2 n элементов. [44] Например, {1, 2, 3} имеет три элемента, а его множество мощности имеет 2 3 = 8 элементов, как показано выше.

Если S бесконечно (исчислимо или неисчислимо ) , то P ( S ) неисчислимо. Более того, множество мощности всегда строго «больше» исходного множества в том смысле, что любая попытка соединить элементы S с элементами P ( S ) оставит некоторые элементы P ( S ) неспаренными. (Никогда не существует биекции из S на P ( S ) .) [45]

Разделы

Разделение множества S — это множество непустых подмножеств S , такое, что каждый элемент x в S находится ровно в одном из этих подмножеств. То есть подмножества попарно не пересекаются (то есть любые два множества разбиения не содержат общих элементов), а объединение всех подмножеств разбиения равно S. [ 46] [47]

Основные операции

Дополнение к букве A в букве U

Предположим, что универсальное множество U (множество , содержащее все обсуждаемые элементы) зафиксировано, и что A является подмножеством U.

Объединение A и B обозначается AB
Пересечение A и B обозначается AB
Разность множеств A \ B
Симметричная разность А и В

Даны любые два множества A и B ,

Примеры:

Операции выше удовлетворяют многим тождествам. Например, один из законов Де Моргана гласит, что ( AB )′ = A ′ ∩ B (то есть элементы вне объединения A и B — это элементы, которые находятся вне A и вне B ).

Мощность A × B равна произведению мощностей A и B. Это элементарный факт, когда A и B конечны. Когда один или оба бесконечны, определено умножение кардинальных чисел, чтобы сделать это верным.

Множество элементов любого множества становится булевым кольцом с симметричной разностью как сложением колец и пересечением как умножением колец.

Приложения

Множества повсеместно встречаются в современной математике. Например, структуры в абстрактной алгебре , такие как группы , поля и кольца , являются множествами, замкнутыми относительно одной или нескольких операций.

Одно из основных приложений наивной теории множеств — построение отношений . Отношение из области A в область B является подмножеством декартова произведения A × B. Например, рассматривая множество S = {камень, бумага, ножницы} фигур в одноименной игре , отношение «бьет» из S в S — это множество B = {(ножницы, бумага), (бумага, камень), (камень, ножницы)} ; таким образом, x бьет y в игре, если пара ( x , y ) является членом B . Другим примером является множество F всех пар ( x , x 2 ) , где x является действительным числом. Это отношение является подмножеством R × R , потому что множество всех квадратов является подмножеством множества всех действительных чисел. Поскольку для каждого x в R , одна и только одна пара ( x ,...) находится в F , оно называется функцией . В функциональной нотации это соотношение можно записать как F ( x ) = x 2 .

Принцип включения и исключения

Принцип включения-исключения для двух конечных множеств гласит, что размер их объединения равен сумме размеров множеств за вычетом размера их пересечения.

Принцип включения-исключения — это метод подсчета элементов в объединении двух конечных множеств с точки зрения размеров двух множеств и их пересечения. Его можно выразить символически как

Более общая форма принципа дает мощность любого конечного объединения конечных множеств:

История

Понятие множества возникло в математике в конце 19 века. [48] Немецкое слово для множества, Menge , было введено Бернардом Больцано в его работе «Парадоксы бесконечности» . [49] [50] [51]

Отрывок с переводом оригинального определения множества Георга Кантора. Немецкое слово Menge для множества здесь переводится как агрегат .

Георг Кантор , один из основателей теории множеств, дал следующее определение в начале своей работы «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» : [52] [1]

Множество — это объединение в единое целое определенных, отдельных объектов нашего восприятия или нашего мышления, которые называются элементами множества.

Бертран Рассел ввел различие между множеством и классом (множество является классом, но некоторые классы, такие как класс всех множеств, не являются множествами; см. парадокс Рассела ): [53]

Когда математики имеют дело с тем, что они называют многообразием, агрегатом, менге , ансамблем или каким-либо эквивалентным названием, обычно, особенно когда число задействованных членов конечно, рассматривают рассматриваемый объект (который фактически является классом) как определенный перечислением его членов и как состоящий, возможно, из одного члена, который в этом случае является классом.

Наивная теория множеств

Главное свойство множества состоит в том, что оно может иметь элементы, также называемые членами . Два множества равны , если они имеют одни и те же элементы. Точнее, множества A и B равны, если каждый элемент A является элементом B , и каждый элемент B является элементом A ; это свойство называется экстенсиональностью множеств . [23] Как следствие, например, {2, 4, 6} и {4, 6, 4, 2} представляют одно и то же множество. В отличие от множеств, мультимножества можно различать по количеству вхождений элемента; например, [2, 4, 6] и [4, 6, 4, 2] представляют разные мультимножества, в то время как [2, 4, 6] и [6, 4, 2] равны. Кортежи можно различать даже по порядку элементов; например, (2, 4, 6) и (6, 4, 2) представляют разные кортежи.

Простая концепция множества оказалась чрезвычайно полезной в математике, но если не накладывать никаких ограничений на способ построения множеств, возникают парадоксы :

Наивная теория множеств определяет множество как любую четко определенную совокупность различных элементов, но проблемы возникают из-за неопределенности термина « четко определенный» .

Аксиоматическая теория множеств

В последующих попытках разрешить эти парадоксы со времени первоначальной формулировки наивной теории множеств свойства множеств определялись аксиомами . Аксиоматическая теория множеств принимает концепцию множества как примитивное понятие . [54] Цель аксиом — предоставить базовую структуру, из которой можно вывести истинность или ложность конкретных математических предложений (утверждений) о множествах, используя логику первого порядка . Однако, согласно теоремам Гёделя о неполноте , невозможно использовать логику первого порядка, чтобы доказать, что любая такая конкретная аксиоматическая теория множеств свободна от парадоксов. [55]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ ab Cantor, Georg; Jourdain, Philip EB (переводчик) (1915). Вклад в обоснование теории трансфинитных чисел . New York Dover Publications (перевод на английский язык, 1954). Под «агрегатом» (Menge) мы должны понимать любое собрание в целое (Zusammenfassung zu einem Ganzen) M определенных и отдельных объектов m нашей интуиции или нашей мысли.Здесь: стр.85
  2. ^ PK Jain; Khalil Ahmad; Om P. Ahuja (1995). Функциональный анализ. New Age International. стр. 1. ISBN 978-81-224-0801-0.
  3. Сэмюэл Голдберг (1 января 1986 г.). Вероятность: Введение. Courier Corporation. стр. 2. ISBN 978-0-486-65252-8.
  4. ^ Томас Х. Кормен; Чарльз Э. Лейзерсон; Рональд Л. Ривест; Клиффорд Стейн (2001). Введение в алгоритмы. МТИ Пресс. п. 1070. ИСБН 978-0-262-03293-3.
  5. ^ abc Halmos 1960, стр. 1.
  6. ^ ab Stoll, Robert (1974). Множества, логика и аксиоматические теории . WH Freeman and Company. стр. 5. ISBN 9780716704577.
  7. ^ Сеймор Липшуц; Марк Липсон (22 июня 1997 г.). Очерк дискретной математики Шаума. МакГроу Хилл Профессионал. п. 1. ISBN 978-0-07-136841-4.
  8. ^ abc "Введение в множества". www.mathsisfun.com . Получено 19 августа 2020 г.
  9. Чарльз Робертс (24 июня 2009 г.). Введение в математические доказательства: переход. CRC Press. стр. 45. ISBN 978-1-4200-6956-3.
  10. ^ Дэвид Джонсон; Дэвид Б. Джонсон; Томас А. Моури (июнь 2004 г.). Конечная математика: практическое применение (версия Docutech). WH Freeman. стр. 220. ISBN 978-0-7167-6297-3.
  11. ^ Игнасио Белло; Антон Кауль; Джек Р. Бриттон (29 января 2013 г.). Темы современной математики. Cengage Learning. стр. 47. ISBN 978-1-133-10742-2.
  12. ^ Сусанна С. Эпп (4 августа 2010 г.). Дискретная математика с приложениями. Cengage Learning. стр. 13. ISBN 978-0-495-39132-6.
  13. ^ А. Канамори, «Пустое множество, синглтон и упорядоченная пара», стр. 278. Бюллетень символической логики, т. 9, № 3 (2003). Доступ 21 августа 2023 г.
  14. ^ Стивен Б. Маурер; Энтони Ралстон (21 января 2005 г.). Дискретная алгоритмическая математика. CRC Press. стр. 11. ISBN 978-1-4398-6375-6.
  15. ^ D. Van Dalen; HC Doets; H. De Swart (9 мая 2014 г.). Sets: Naïve, Axiomatic and Applied: A Basic Compendium with Exercises for Use in Set Theory for Non Logicians, Working and Teaching Mathematics and Students. Elsevier Science. стр. 1. ISBN 978-1-4831-5039-0.
  16. ^ Альфред Баста; Стефан ДеЛонг; Надин Баста (1 января 2013 г.). Математика для информационных технологий. Cengage Learning. стр. 3. ISBN 978-1-285-60843-3.
  17. ^ Лора Брэкен; Эд Миллер (15 февраля 2013 г.). Элементарная алгебра. Cengage Learning. стр. 36. ISBN 978-0-618-95134-5.
  18. Халмош 1960, стр. 4.
  19. ^ abc Frank Ruda (6 октября 2011 г.). Гегелевская чернь: исследование гегелевской философии права. Bloomsbury Publishing. стр. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.
  20. ^ abcde Джон Ф. Лукас (1990). Введение в абстрактную математику. Rowman & Littlefield. стр. 108. ISBN 978-0-912675-73-2.
  21. ^ Weisstein, Eric W. "Set". Wolfram MathWorld . Получено 19 августа 2020 г.
  22. ^ Ральф С. Стейнлаге (1987). Колледжская алгебра. West Publishing Company. ISBN 978-0-314-29531-6.
  23. ^ ab Halmos 1960, стр. 2.
  24. ^ ab Marek Capinski; Peter E. Kopp (2004). Мера, интеграл и вероятность. Springer Science & Business Media. стр. 2. ISBN 978-1-85233-781-0.
  25. ^ "Set Symbols". www.mathsisfun.com . Получено 2020-08-19 .
  26. ^ ab Halmos 1960, стр. 8.
  27. ^ KT Leung; Doris Lai-chue Chen (1 июля 1992 г.). Элементарная теория множеств, часть I/II. Hong Kong University Press. стр. 27. ISBN 978-962-209-026-2.
  28. ^ Аггарвал, МЛ (2021). "1. Множества". Понимание математики ISC, класс XI . Том 1. Arya Publications (Avichal Publishing Company). стр. A=3.
  29. ^ Сурендра Нат, Де (январь 2015 г.). «Наборы и функции модуля 1: 1. Теория множеств». Чхая Ганит (Экадаш Шрени) . Scholar Books Pvt. ООО с. 5.
  30. ^ Халмош 1960, раздел 2.
  31. ^ ab Феликс Хаусдорф (2005). Теория множеств. Американское математическое общество. стр. 30. ISBN 978-0-8218-3835-8.
  32. ^ Питер Комнинос (6 апреля 2010 г.). Математические и компьютерные методы программирования для компьютерной графики. Springer Science & Business Media. стр. 7. ISBN 978-1-84628-292-8.
  33. ^ ab Halmos 1960, стр. 3.
  34. ^ abcdef Джордж Турлакис (13 февраля 2003 г.). Лекции по логике и теории множеств: Том 2, Теория множеств. Cambridge University Press. стр. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.
  35. ^ Яннис Н. Мошовакис (1994). Заметки о теории множеств. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-94180-4.
  36. ^ Артур Чарльз Флек (2001). Формальные модели вычислений: предельные пределы вычислений. World Scientific. стр. 3. ISBN 978-981-02-4500-9.
  37. ^ Уильям Джонстон (25 сентября 2015 г.). Интеграл Лебега для студентов. Математическая ассоциация Америки. стр. 7. ISBN 978-1-939512-07-9.
  38. ^ Карл Дж. Смит (7 января 2008 г.). Математика: ее сила и полезность. Cengage Learning. стр. 401. ISBN 978-0-495-38913-2.
  39. ^ Джон Стиллвелл (16 октября 2013 г.). Действительные числа: Введение в теорию множеств и анализ. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-01577-4.
  40. ^ Дэвид Толл (11 апреля 2006 г.). Продвинутое математическое мышление. Springer Science & Business Media. стр. 211. ISBN 978-0-306-47203-9.
  41. ^ Кантор, Георг (1878). «Эйн Бейтраг зур Маннигфальтигкеитслехре». Журнал для королевы и математики . 1878 (84): 242–258. doi : 10.1515/crll.1878.84.242 (неактивен 19 сентября 2024 г.).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)
  42. ^ Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073 /pnas.50.6.1143 . JSTOR  71858. PMC 221287. PMID  16578557. 
  43. Халмош 1960, стр. 19.
  44. Халмош 1960, стр. 20.
  45. ^ Эдвард Б. Бергер; Майкл Старбёрд (18 августа 2004 г.). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению. Springer Science & Business Media. стр. 183. ISBN 978-1-931914-41-3.
  46. ^ Туфик Мансур (27 июля 2012 г.). Комбинаторика разбиений множеств. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6333-6.
  47. Халмош 1960, стр. 28.
  48. Хосе Феррейрос (16 августа 2007 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике. Биркхойзер Базель. ISBN 978-3-7643-8349-7.
  49. ^ Стив Расс (9 декабря 2004 г.). Математические труды Бернарда Больцано. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151370-1.
  50. ^ Уильям Эвальд; Уильям Брэгг Эвальд (1996). От Канта до Гильберта Том 1: Источниковая книга по основам математики. OUP Oxford. стр. 249. ISBN 978-0-19-850535-8.
  51. ^ Пол Руснок; Ян Себестик (25 апреля 2019 г.). Бернард Больцано: Его жизнь и работа. OUP Oxford. стр. 430. ISBN 978-0-19-255683-7.
  52. ^ Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)». Mathematische Annalen (на немецком языке). 46 (4): 481–512.
  53. Бертран Рассел (1903) Принципы математики , глава VI: Классы
  54. ^ Хосе Феррейрос (1 ноября 2001 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5749-8.
  55. ^ Раатикайнен, Пану (2022). Залта, Эдвард Н. (ред.). «Теоремы Гёделя о неполноте». Стэнфордская энциклопедия философии . Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет . Получено 03.06.2024 .

Ссылки

Внешние ссылки