Модель Рэмси – Касса – Купманса

Неоклассическая экономическая модель

Модель Рэмси–Касса–Купманса , или модель роста Рэмси , является неоклассической моделью экономического роста, основанной в первую очередь на работе Фрэнка П. Рэмси , ^[1] со значительными расширениями Дэвида Касса и Тьяллинга Купманса . ^{[2] [3]} Модель Рэмси–Касса–Купманса отличается от модели Солоу–Свана тем, что выбор потребления явно микрообоснован в определенный момент времени и, таким образом, эндогенизирует норму сбережений . В результате, в отличие от модели Солоу–Свана, норма сбережений может не быть постоянной при переходе к долгосрочному устойчивому состоянию . Другим следствием модели является то, что результат является оптимальным по Парето или эффективным по Парето . ^{[примечание 1]}

Первоначально Рэмси изложил модель как проблему социального планировщика по максимизации уровней потребления в течение последовательных поколений. ^[4] Только позже модель была принята Кассом и Купмансом как описание децентрализованной динамической экономики с репрезентативным агентом . Модель Рэмси–Касса–Купманса нацелена только на объяснение долгосрочного экономического роста, а не колебаний делового цикла, и не включает в себя какие-либо источники нарушений, такие как несовершенство рынка, неоднородность среди домохозяйств или экзогенные шоки . Поэтому последующие исследователи расширили модель, допустив шоки государственных закупок, изменения в занятости и другие источники нарушений, что известно как теория реального делового цикла .

Математическое описание

Настройка модели

В обычной установке время непрерывно, начинаясь, для простоты, в и продолжаясь вечно. По предположению, единственными производительными факторами являются капитал и труд , оба должны быть неотрицательными. Предполагается, что рабочая сила, которая составляет все население, растет с постоянной скоростью , т. е. , подразумевая, что при начальном уровне в . Наконец, пусть обозначает совокупное производство, а обозначает совокупное потребление. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\dot {L}}={\tfrac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}=nL}$ ${\displaystyle L=L_{0}e^{nt}}$ ${\displaystyle L_{0}>0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$

Переменные, которые модель Рэмси–Касса–Купманса в конечном итоге стремится описать , это потребление на душу населения (или, точнее, на труд ), а также так называемая интенсивность капитала . Это достигается путем первого соединения накопления капитала , записанного в нотации Ньютона , с потреблением , описывающим компромисс между потреблением и инвестициями. Более конкретно, поскольку существующий основной капитал уменьшается по норме амортизации (предполагаемой постоянной), требуются инвестиции в объем производства текущего периода . Таким образом, ${\displaystyle c={\frac {C}{L}}}$ ${\displaystyle k={\frac {K}{L}}}$ ${\displaystyle {\dot {K}}={\tfrac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {\dot {K}}=Y-\delta K-cL}$$

Связь между производственными факторами и совокупным выпуском описывается совокупной производственной функцией , . Обычным выбором является производственная функция Кобба–Дугласа , но, как правило, допустима любая производственная функция, удовлетворяющая условиям Инады . Важно, однако, что требуется, чтобы была однородной степени 1 , что экономически подразумевает постоянную отдачу от масштаба . При таком предположении мы можем повторно выразить совокупный выпуск в расчете на душу населения . Например, если мы используем производственную функцию Кобба–Дугласа с , то . ${\displaystyle Y=F(K,L)}$ ${\displaystyle F(K,L)=AK^{1-\alpha }L^{\alpha }}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(K,L)=L\cdot F\left({\frac {K}{L}},1\right)=L\cdot f(k)}$$ ${\displaystyle A=1,\alpha =0.5}$ ${\displaystyle f(k)=k^{0.5}}$

Чтобы получить первое ключевое уравнение модели Рэмси–Касса–Купманса, динамическое уравнение для основного капитала должно быть выражено в терминах на душу населения . Отмечая правило частного для , мы имеем ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\tfrac {K}{L}}\right)}$

${\displaystyle {\dot {k}}=f(k)-(n+\delta )k-c}$

нелинейное дифференциальное уравнение, родственное модели Солоу–Свана .

Максимизация благосостояния

Если мы игнорируем проблему распределения потребления, то норма полезности является функцией совокупного потребления. То есть, . Чтобы избежать проблемы бесконечности, мы экспоненциально дисконтируем будущую полезность по ставке дисконтирования . Высокая отражает высокое нетерпение . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=U(C,t)}$ ${\displaystyle \rho \in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \rho }$

Задача социального планировщика — максимизировать функцию общественного благосостояния . ${\displaystyle U_{0}=\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}U(C,t)\,\mathrm {d} t}$

Предположим, что экономика населена идентичными бессмертными индивидуумами с неизменными функциями полезности ( репрезентативный агент ), так что общая полезность равна: Предполагается, что функция полезности строго возрастает (т.е. нет точки блаженства ) и вогнута относительно , ​​причем , ^{[примечание 2]} где — предельная полезность потребления . ${\displaystyle u(c)}$ $${\displaystyle U(C,t)=Lu(c)=L_{0}e^{nt}u(c)}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u_{c}=\infty }$ ${\displaystyle u_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial c}}}$

Таким образом, перед нами проблема социального планировщика:

${\displaystyle \max _{c}\int _{0}^{\infty }e^{-(\rho -n)t}u(c)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\text{subject to}}\quad c=f(k)-(n+\delta )k-{\dot {k}}}$

где задан начальный ненулевой капитал . ${\displaystyle k(0)=k_{0}>0}$

Чтобы гарантировать, что интеграл определён правильно, мы применяем . ${\displaystyle \rho >n}$

Решение

Решение, обычно находимое с помощью функции Гамильтона , ^{[примечание 3] [примечание 4]} представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее оптимальную эволюцию потребления,

${\displaystyle {\dot {c}}=\sigma (c)\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\cdot c}$

Правило Кейнса -Рэмси . ^[5]

Термин , где — предельный продукт капитала , отражает предельную доходность чистых инвестиций с учетом амортизации капитала и дисконтирования по времени. ${\displaystyle f_{k}(k)-\delta -\rho }$ ${\displaystyle f_{k}=\partial _{k}f}$

Вот эластичность межвременного замещения , определяемая как Она формально эквивалентна обратной величине относительного неприятия риска . Количество отражает кривизну функции полезности и указывает, насколько репрезентативный агент желает сгладить потребление с течением времени. Если у агента высокое относительное непринятие риска, то у него низкий EIS, и, таким образом, он будет более склонен сглаживать потребление с течением времени. ${\displaystyle \sigma (c)}$ $${\displaystyle \sigma (c)=-{\frac {u_{c}(c)}{c\cdot u_{cc}(c)}}=-{\frac {d\ln c}{d\ln(u'(c))}}}$$

Часто предполагается, что строго монотонно возрастает и вогнута, таким образом . В частности, если полезность логарифмическая, то она постоянна: Мы можем переписать правило Рамсея как , где мы интерпретируем как «скорость задержки потребления», потому что если она высока, то это означает, что агент потребляет намного меньше сейчас по сравнению с более поздним, что по сути и есть отложенное потребление. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ $${\displaystyle u(c)=u_{0}\ln c\implies \sigma (c)=1}$$ $${\displaystyle \underbrace {{\frac {d}{dt}}\ln c} _{\text{consumption delay rate}}=\underbrace {\sigma (c)} _{{\text{EIS at current consumption level}}\quad }\underbrace {[f_{k}(k)-\delta -\rho ]} _{\text{marginal return on net investment}}}$$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\ln c}$

Графический анализ в фазовом пространстве

Фазовая диаграмма модели Рэмси для случая , и . ${\displaystyle f(k)=k^{0.5}}$ ${\displaystyle n,\delta ,\rho ,\sigma =1,1,1.1,1}$

Фазовый график (или фазовая диаграмма) модели Рамсея. Синяя линия представляет собой динамическую регулировочную (или седловую) траекторию экономики, в которой все ограничения, присутствующие в модели, удовлетворены. Это устойчивая траектория динамической системы. Красные линии представляют динамические траектории, которые исключаются условием трансверсальности.

Два связанных дифференциальных уравнения для и образуют динамическую систему Рамсея–Касса–Купманса . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {k}}=f(k)-(n+\delta )k-c\\{\dot {c}}=\sigma (c)\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\cdot c\end{cases}}}$

Устойчивое состояние системы находится путем установки и равным нулю. Существует три решения: ${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$ ${\displaystyle {\dot {k}}}$ ${\displaystyle {\dot {c}}}$

${\displaystyle f_{k}\left(k^{\ast }\right)=\delta +\rho \quad {\text{and}}\quad c^{\ast }=f\left(k^{\ast }\right)-(n+\delta )k^{\ast }}$

${\displaystyle (0,0)}$

${\displaystyle f(k^{*})=(n+\delta )k^{*}{\text{ with }}k^{*}>0,c^{*}=0}$

Первое — единственное решение внутри верхнего квадранта. Это седловая точка (как показано ниже). Второе — отталкивающая точка. Третье — вырожденное устойчивое равновесие.

По умолчанию подразумевается первое решение, хотя важно отслеживать и два других решения.

Любая оптимальная траектория должна следовать динамической системе. Однако, поскольку переменная является управляющей переменной, при каждой интенсивности капитала , чтобы найти ее соответствующую оптимальную траекторию, нам все еще нужно найти ее начальную норму потребления . Как оказывается, оптимальная траектория является единственной, которая сходится к внутренней точке равновесия. Любая другая траектория либо сходится к всесберегающему равновесию с , либо расходится к , что означает, что экономика расходует весь свой капитал за конечное время. Обе достигают более низкой общей полезности, чем траектория к внутренней точке равновесия. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c(0)}$ ${\displaystyle k^{*}>0,c^{*}=0}$ ${\displaystyle k\to 0,c\to \infty }$

Качественное утверждение об устойчивости решения требует линеаризации полиномом Тейлора первого порядка. ${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {k}}\\{\dot {c}}\end{bmatrix}}\approx \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast }){\begin{bmatrix}(k-k^{\ast })\\(c-c^{\ast })\end{bmatrix}}}$

где матрица Якоби оценивается в устойчивом состоянии, ^{[примечание 5]} задается формулой ${\displaystyle \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle \mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)={\begin{bmatrix}\rho -n&-1\\{\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }&0\end{bmatrix}}}$

который имеет определитель, так как , является положительным по предположению, и поскольку является вогнутым (условие Инады). Поскольку определитель равен произведению собственных значений , собственные значения должны быть действительными и противоположными по знаку. ^[6] ${\displaystyle \left|\mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)\right|={\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }<0}$ ${\displaystyle c^{*}>0}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f_{kk}<0}$ ${\displaystyle f}$

Следовательно, по теореме об устойчивом многообразии равновесие является седловой точкой и существует единственный устойчивый рукав, или «седловой путь», который сходится к равновесию, обозначенному синей кривой на фазовой диаграмме.

Система называется «устойчивой седловой траекторией», поскольку все неустойчивые траектории исключаются условием «отсутствия схемы Понци »: ^[7]

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }k\cdot e^{-\int _{0}^{t}\left(f_{k}-n-\delta \right)\mathrm {d} s}\geq 0}$

подразумевая, что текущая стоимость основного капитала не может быть отрицательной. ^{[примечание 6]}

История

Спир и Янг пересматривают историю оптимального роста в 1950-х и 1960-х годах, ^[8] уделяя особое внимание правдивости заявленной одновременной и независимой разработки работы Касса «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала» (опубликованной в 1965 году в Review of Economic Studies ) и работы Тьяллинг Купмана «О концепции оптимального экономического роста» (опубликованной в Study Week on the Econometric Approach to Development Planning, 1965, Рим: Папская академия наук).

За всю свою жизнь ни Касс, ни Купманс никогда не предполагали, что их результаты, характеризующие оптимальный рост в модели роста с одним сектором и непрерывным временем, были чем-то иным, кроме как «одновременными и независимыми». То, что вопрос приоритета когда-либо стал предметом обсуждения, было обусловлено только тем фактом, что в опубликованной версии работы Купманса он процитировал главу из диссертации Касса, которая позже стала статьей RES . В своей статье Купманс в сноске утверждает, что Касс независимо получил условия, похожие на те, что находит Купманс, и что Касс также рассматривает предельный случай, когда ставка дисконтирования стремится к нулю в своей статье. Со своей стороны, Касс отмечает, что «после того, как была завершена первоначальная версия этой статьи, нашему вниманию попал очень похожий анализ Купманса. Мы опираемся на его результаты при обсуждении предельного случая, когда эффективная социальная ставка дисконтирования стремится к нулю». В интервью, которое Касс дал журналу Macroeconomic Dynamics , он приписывает Купмансу указание на предыдущую работу Фрэнка Рэмси, утверждая, что ему было стыдно не знать о ней, но не говорит ничего, что могло бы развеять основное утверждение о том, что его работа и работа Купманса на самом деле были независимыми.

Спир и Янг оспаривают эту историю, основываясь на ранее упущенной рабочей версии статьи Купманса, ^[9] которая была основой для часто цитируемой презентации Купманса на конференции, проведенной Папской академией наук в октябре 1963 года. ^[10] В этой статье обсуждения Коулза есть ошибка. Купманс утверждает в своем основном результате, что уравнения Эйлера являются как необходимыми, так и достаточными для характеристики оптимальных траекторий в модели, поскольку любые решения уравнений Эйлера, которые не сходятся к оптимальному стационарному состоянию, достигли бы либо нулевой границы потребления, либо нулевого капитала за конечное время. Эта ошибка, по-видимому, была представлена ​​на Ватиканской конференции, хотя во время ее представления Купмансом ни один из участников не прокомментировал проблему. Это можно сделать, поскольку обсуждение после каждой презентации статьи на Ватиканской конференции дословно сохраняется в томе конференции.

В обсуждении тома Ватикана после презентации статьи Эдмона Малинво эта проблема действительно возникает из-за явного включения Малинво так называемого «условия трансверсальности» (которое Малинво называет Условием I) в свою статью. В конце презентации Купманс спрашивает Малинво, не является ли Условие I просто гарантией того, что решения уравнений Эйлера, которые не сходятся к оптимальному стационарному состоянию, достигнут границы за конечное время. Малинво отвечает, что это не так, и предлагает Купмансу рассмотреть пример с функциями логарифмической полезности и производственными функциями Кобба-Дугласа.

На этом этапе Купманс, очевидно, осознает наличие у него проблемы, но, основываясь на запутанном приложении к более поздней версии статьи, подготовленной после Ватиканской конференции, он, по-видимому, не может решить, как справиться с вопросом, поднятым в Условии I Маленво.

Из интервью с Кассом в журнале Macroeconomic Dynamics становится ясно, что Купманс встречался с научным руководителем Касса, Хирофуми Удзавой , на зимних заседаниях Эконометрического общества в январе 1964 года, где Удзава сообщил ему, что его студент [Касс] уже решил эту проблему. Удзава, должно быть, затем предоставил Купмансу копию главы диссертации Касса, которую он, по-видимому, послал под видом Технического отчета IMSSS, на который Купманс ссылался в опубликованной версии своей статьи. Слово «под видом» здесь уместно, потому что номер TR, указанный в цитате Купманса, указал бы дату выпуска отчета на начало 1950-х годов, чего явно не было.

В опубликованной версии статьи Купманса он вводит новое условие Альфа в дополнение к уравнениям Эйлера, утверждая, что единственной допустимой траекторией среди тех, которые удовлетворяют уравнениям Эйлера, является та, которая сходится к оптимальному стационарному равновесию модели. Этот результат выведен в статье Касса посредством наложения условия трансверсальности, которое Касс вывел из соответствующих разделов книги Льва Понтрягина . ^[11] Спир и Янг предполагают, что Купманс выбрал этот путь, потому что не хотел показаться «заимствовавшим» технологию трансверсальности Малинво или Касса.

На основании этого и других исследований вклада Малинво в 1950-х годах, в частности его интуитивного понимания важности условия трансверсальности, Спир и Янг предполагают, что неоклассическую модель роста лучше было бы назвать моделью Рэмси–Малинво–Касса, а не устоявшимся почетным наименованием Рэмси–Касса–Купманса.

Примечания

1. Этот результат обусловлен не только эндогенностью нормы сбережений, но и бесконечным характером горизонта планирования агентов в модели; он не выполняется в других моделях с эндогенными нормами сбережений, но с более сложной межпоколенческой динамикой, например, в моделях перекрывающихся поколений Самуэльсона или Даймонда .
2. Предположение, которое на самом деле имеет решающее значение для анализа. Если , то для низких значений оптимальное значение равно 0 и, следовательно, если достаточно низко, существует начальный интервал времени, где даже если , см. Nævdal, E. (2019). "New Insights From The Canonical Ramsey–Cass–Koopmans Growth Model". Macroeconomic Dynamics . 25 (6): 1569–1577. doi :10.1017/S1365100519000786. S2CID  214268940. ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u_{c}=\infty }$ ${\displaystyle u_{c}(0)<\infty }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k(0)}$ ${\displaystyle {\dot {c}}=0}$ ${\displaystyle f_{k}-\delta -\rho >0}$
3. Гамильтониан для задачи Рэмси–Касса–Купманса имеет вид

   ${\displaystyle H=e^{-\rho t}u(c)+\mu \left[f(k)-(n+\delta )k-c\right]}$

   где — переменная costate, обычно экономически интерпретируемая как теневая цена . Поскольку конечное значение является свободным, но не может быть отрицательным, требуется условие трансверсальности , аналогичное условию «дополнительной нежесткости» Каруша–Куна–Таккера . Из условий первого порядка для максимизации гамильтониана можно вывести уравнение движения для потребления, см. Ferguson, Brian S.; Lim, GC (1998). Введение в динамические экономические модели. Manchester University Press. стр. 174–175. ISBN ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mu \cdot k=0}$ 978-0-7190-4997-2, или Гандольфо, Джанкарло (1996). Экономическая динамика (3-е изд.). Берлин: Springer. стр. 381–384. ISBN 978-3-540-60988-9.
4. Эту задачу можно решить также с помощью классических методов вариационного исчисления , см. Hadley, G.; Kemp, MC (1971). Variational Methods in Economics. New York: Elsevier. pp. 50–71. ISBN 978-0-444-10097-9.
5. Матрица Якоби системы Рамсея–Касса–Купманса имеет вид

   ${\displaystyle \mathbf {J} \left(k,c\right)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial k}}&{\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial c}}\\{\frac {\partial {\dot {c}}}{\partial k}}&{\frac {\partial {\dot {c}}}{\partial c}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f_{k}(k)-(n+\delta )&-1\\{\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c&{\frac {1}{\sigma }}\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\end{bmatrix}}}$

   См. Афонсо, Оскар; Васконселос, Пауло Б. (2016). Вычислительная экономика: краткое введение. Нью-Йорк: Routledge. стр. 163. ISBN 978-1-138-85965-4.
6. Можно показать, что условие «никакой схемы Понци» следует из условия трансверсальности гамильтониана, см. Barro, Robert J. ; Sala-i-Martin, Xavier (2004). Economic Growth (Второе изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 91–92. ISBN 978-0-262-02553-9.

Ссылки

1. Рэмси, Фрэнк П. (1928). «Математическая теория сбережений». Economic Journal . 38 (152): 543–559. doi :10.2307/2224098. JSTOR  2224098.
2. Касс, Дэвид (1965). «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала». Обзор экономических исследований . 32 (3): 233–240. doi :10.2307/2295827. JSTOR  2295827.
3. Купманс, TC (1965). «О концепции оптимального экономического роста». Экономический подход к планированию развития . Чикаго: Rand McNally. С. 225–287.
4. Коллард, Дэвид А. (2011). «Рэмси, сбережения и поколения». Поколения экономистов . Лондон: Routledge. С. 256–273. ISBN 978-0-415-56541-7.
5. Бланшар, Оливье Жан; Фишер, Стэнли (1989). Лекции по макроэкономике. Кембридж: MIT Press. С. 41–43. ISBN 978-0-262-02283-5.
6. Бивис, Брайан; Доббс, Ян (1990). Теория оптимизации и устойчивости для экономического анализа. Нью-Йорк: Cambridge University Press. стр. 157. ISBN 978-0-521-33605-5.
7. Роу, Терри Л.; Смит, Родни Б. В.; Саракоглу, Д. Сирин (2009). Многосекторные модели роста: теория и применение. Нью-Йорк: Springer. стр. 48. ISBN 978-0-387-77358-2.
8. Спир, С. Э.; Янг, В. (2014). «Оптимальные сбережения и оптимальный рост: связь Касса–Малинво–Купманса». Макроэкономическая динамика . 18 (1): 215–243. doi :10.1017/S1365100513000291. S2CID  1340808.
9. Купманс, Тьяллинг (декабрь 1963 г.). «О концепции оптимального экономического роста» (PDF) . Дискуссионный документ Фонда Коулза 163 .
10. Маккензи, Лайонел (2002). «Некоторые ранние конференции по теории роста». В Битрос, Джордж; Катсулакос, Яннис (ред.). Очерки по экономической теории, росту и рынкам труда . Челтнем: Эдвард Элгар. стр. 3–18. ISBN 978-1-84064-739-6.
11. Понтрягин, Лев; Болтянский, Владимир; Гамкрелидзе, Реваз; Мищенко, Евгений (1962). Математическая теория оптимальных процессов . Нью-Йорк: John Wiley.

Дальнейшее чтение

• Асемоглу, Дарон (2009). «Неоклассическая модель роста». Введение в современный экономический рост . Принстон: Princeton University Press. стр. 287–326. ISBN 978-0-691-13292-1.
• Барро, Роберт Дж.; Сала -и-Мартин, Ксавье (2004). «Модели роста с оптимизацией потребителей». Экономический рост (второе изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 85–142. ISBN 978-0-262-02553-9.
• Бенасси, Жан-Паскаль (2011). «Модель Рамсея». Макроэкономическая теория . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 145–160. ISBN 978-0-19-538771-1.
• Бланшар, Оливье Жан ; Фишер, Стэнли (1989). «Потребление и инвестиции: базовые модели с бесконечным горизонтом». Лекции по макроэкономике . Кембридж: MIT Press. стр. 37–89. ISBN 978-0-262-02283-5.
• Мяо, Цзяньцзюнь (2014). «Неоклассические модели роста». Экономическая динамика в дискретном времени . Кембридж: MIT Press. С. 353–364. ISBN 978-0-262-02761-8.
• Новалес, Альфонсо; Фернандес, Эстер; Руис, Хесус (2009). «Оптимальный рост: непрерывный анализ времени». Экономический рост: теория и численные методы решения . Берлин: Springer. С. 101–154. ISBN 978-3-540-68665-1.
• Ромер, Дэвид (2011). «Модели бесконечного горизонта и перекрывающихся поколений». Advanced Macroeconomics (четвертое изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 49–77. ISBN 978-0-07-351137-5.

Внешние ссылки

• Обсуждение оригинальной статьи Рэмси Орацио Аттанасио на YouTube