В абстрактной алгебре теория групп изучает алгебраические структуры , известные как группы . Понятие группы является центральным для абстрактной алгебры: другие известные алгебраические структуры, такие как кольца , поля и векторные пространства , можно рассматривать как группы, наделенные дополнительными операциями и аксиомами . Группы повторяются во всей математике, и методы теории групп оказали влияние на многие части алгебры. Линейные алгебраические группы и группы Ли — это две ветви теории групп, которые претерпели прогресс и стали самостоятельными предметными областями.
Различные физические системы, такие как кристаллы и атом водорода , а также три из четырех известных фундаментальных сил во Вселенной, могут быть смоделированы группами симметрии . Таким образом, теория групп и тесно связанная с ней теория представлений имеют множество важных приложений в физике , химии и материаловедении . Теория групп также играет центральную роль в криптографии с открытым ключом .
Ранняя история теории групп датируется 19 веком. Одним из важнейших математических достижений 20 века [1] была совместная работа, занявшая более 10 000 журнальных страниц и в основном опубликованная между 1960 и 2004 годами, которая завершилась полной классификацией конечных простых групп .
Теория групп имеет три основных исторических источника: теория чисел , теория алгебраических уравнений и геометрия . Теоретико-числовое направление было начато Леонардом Эйлером и развито работами Гаусса по модулярной арифметике и аддитивным и мультипликативным группам, связанным с квадратичными полями . Ранние результаты о группах перестановок были получены Лагранжем , Руффини и Абелем в их поисках общих решений полиномиальных уравнений высокой степени. Эварист Галуа ввел термин «группа» и установил связь, теперь известную как теория Галуа , между зарождающейся теорией групп и теорией полей . В геометрии группы впервые стали важны в проективной геометрии , а затем и в неевклидовой геометрии . Эрлангенская программа Феликса Клейна провозгласила теорию групп организующим принципом геометрии.
Галуа в 1830-х годах первым применил группы для определения разрешимости полиномиальных уравнений . Артур Кэли и Огюстен Луи Коши продвинули эти исследования дальше, создав теорию групп перестановок. Второй исторический источник групп проистекает из геометрических ситуаций. В попытке разобраться с возможными геометриями (такими как евклидова , гиперболическая или проективная геометрия ) с помощью теории групп Феликс Клейн инициировал Эрлангенскую программу . Софус Ли в 1884 году начал использовать группы (теперь называемые группами Ли ), связанные с аналитическими задачами. В-третьих, группы, сначала неявно, а затем явно, использовались в алгебраической теории чисел .
Различный объем этих ранних источников привел к различным представлениям о группах. Теория групп была унифицирована, начиная примерно с 1880 года. С тех пор влияние теории групп постоянно росло, что привело к рождению абстрактной алгебры в начале 20-го века, теории представлений и многих других влиятельных спин-офф областей. Классификация конечных простых групп представляет собой обширный объем работ середины 20-го века, классифицирующих все конечные простые группы .
Диапазон рассматриваемых групп постепенно расширялся от конечных групп перестановок и частных примеров матричных групп до абстрактных групп, которые могут быть заданы посредством представления с помощью генераторов и соотношений .
Первым классом групп, подвергшихся систематическому изучению, были группы перестановок . Для любого множества X и набора G биекций X в себя (известных как перестановки ), замкнутого относительно композиций и обратных, G является группой, действующей на X. Если X состоит из n элементов, а G состоит из всех перестановок, G является симметрической группой S n ; в общем случае любая группа перестановок G является подгруппой симметрической группы X. Ранняя конструкция Кэли представляла любую группу как группу перестановок, действующую на себя ( X = G ) посредством левого регулярного представления .
Во многих случаях структуру группы перестановок можно изучать, используя свойства ее действия на соответствующем множестве. Например, таким образом доказывается, что при n ≥ 5 знакопеременная группа A n является простой , т.е. не допускает собственных нормальных подгрупп . Этот факт играет ключевую роль в невозможности решения общего алгебраического уравнения степени n ≥ 5 в радикалах .
Следующий важный класс групп задается матричными группами или линейными группами . Здесь G — множество, состоящее из обратимых матриц заданного порядка n над полем K , замкнутое относительно произведений и обратных. Такая группа действует на n -мерное векторное пространство K n линейными преобразованиями . Это действие делает матричные группы концептуально похожими на группы перестановок, и геометрия действия может быть полезно использована для установления свойств группы G .
Группы перестановок и матричные группы являются частными случаями групп преобразований : группы, которые действуют на определенном пространстве X, сохраняя его внутреннюю структуру. В случае групп перестановок X является множеством; для матричных групп X является векторным пространством . Понятие группы преобразований тесно связано с понятием группы симметрии : группы преобразований часто состоят из всех преобразований, которые сохраняют определенную структуру.
Теория групп преобразований образует мост, соединяющий теорию групп с дифференциальной геометрией . Длинная линия исследований, начинающаяся с Ли и Клейна , рассматривает действия групп на многообразиях посредством гомеоморфизмов или диффеоморфизмов . Сами группы могут быть дискретными или непрерывными .
Большинство групп, рассмотренных на первом этапе развития теории групп, были «конкретными», реализованными через числа, перестановки или матрицы. Только в конце девятнадцатого века начала закрепляться идея абстрактной группы , где «абстрактный» означает, что природа элементов игнорируется таким образом, что две изоморфные группы рассматриваются как одна и та же группа. Типичным способом задания абстрактной группы является представление с помощью генераторов и отношений ,
Значительным источником абстрактных групп является построение фактор-группы , или фактор-группы , G / H , группы G по нормальной подгруппе H. Группы классов полей алгебраических чисел были одними из самых ранних примеров фактор-групп, представляющих большой интерес в теории чисел . Если группа G является группой перестановок на множестве X , фактор-группа G / H больше не действует на X ; но идея абстрактной группы позволяет не беспокоиться об этом несоответствии.
Изменение перспективы с конкретных на абстрактные группы делает естественным рассмотрение свойств групп, которые не зависят от конкретной реализации, или на современном языке, инвариантных относительно изоморфизма , а также классов групп с заданным таким свойством: конечные группы , периодические группы , простые группы , разрешимые группы и т. д. Вместо того чтобы исследовать свойства отдельной группы, стремятся установить результаты, которые применимы к целому классу групп. Новая парадигма имела первостепенное значение для развития математики: она предвосхитила создание абстрактной алгебры в работах Гильберта , Эмиля Артина , Эмми Нётер и математиков их школы. [ необходима цитата ]
Важное развитие понятия группы происходит, если G наделяется дополнительной структурой, в частности, топологического пространства , дифференцируемого многообразия или алгебраического многообразия . Если групповые операции m (умножение) и i (инверсия),
совместимы с этой структурой, то есть являются непрерывными , гладкими или регулярными (в смысле алгебраической геометрии) отображениями, то G является топологической группой , группой Ли или алгебраической группой . [2]
Наличие дополнительной структуры связывает эти типы групп с другими математическими дисциплинами и означает, что для их изучения доступно больше инструментов. Топологические группы образуют естественную область для абстрактного гармонического анализа , тогда как группы Ли (часто реализуемые как группы преобразований) являются оплотом дифференциальной геометрии и теории унитарных представлений . Некоторые вопросы классификации, которые не могут быть решены в общем случае, могут быть рассмотрены и решены для специальных подклассов групп. Таким образом, компактные связные группы Ли были полностью классифицированы. Существует плодотворная связь между бесконечными абстрактными группами и топологическими группами: всякий раз, когда группа Γ может быть реализована как решетка в топологической группе G , геометрия и анализ, относящиеся к G, дают важные результаты о Γ . Сравнительно недавнее направление в теории конечных групп использует их связи с компактными топологическими группами ( проконечными группами ): например, одна p -адическая аналитическая группа G имеет семейство факторов, которые являются конечными p -группами различных порядков, и свойства G переходят в свойства ее конечных факторов.
В течение двадцатого века математики очень глубоко исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно локальную теорию конечных групп и теорию разрешимых и нильпотентных групп . [ требуется ссылка ] В результате была получена полная классификация конечных простых групп , что означает, что теперь известны все те простые группы, из которых можно построить все конечные группы.
Во второй половине двадцатого века математики, такие как Шевалле и Стейнберг, также расширили наше понимание конечных аналогов классических групп и других родственных групп. Одним из таких семейств групп является семейство общих линейных групп над конечными полями . Конечные группы часто встречаются при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число сохраняющих структуру преобразований. Теория групп Ли , которую можно рассматривать как имеющую дело с « непрерывной симметрией », находится под сильным влиянием связанных групп Вейля . Это конечные группы, порожденные отражениями, которые действуют на конечномерном евклидовом пространстве . Таким образом, свойства конечных групп могут играть роль в таких предметах, как теоретическая физика и химия .
Когда говорят, что группа G действует на множестве X, это означает, что каждый элемент G определяет биективное отображение на множестве X способом, совместимым со структурой группы. Когда X имеет больше структуры, полезно ограничить это понятие еще больше: представление G на векторном пространстве V является гомоморфизмом групп :
где GL ( V ) состоит из обратимых линейных преобразований V . Другими словами, каждому элементу группы g сопоставляется автоморфизм ρ ( g ) такой, что ρ ( g ) ∘ ρ ( h ) = ρ ( gh ) для любого h из G .
Это определение можно понимать в двух направлениях, оба из которых порождают совершенно новые области математики. [3] С одной стороны, оно может дать новую информацию о группе G : часто групповая операция в G дана абстрактно, но через ρ она соответствует умножению матриц , что весьма явно. [4] С другой стороны, если задана хорошо понятая группа, действующая на сложный объект, это упрощает изучение рассматриваемого объекта. Например, если G конечна, известно, что V выше разлагается на неприводимые части (см. теорему Машке ). Эти части, в свою очередь, гораздо легче поддаются управлению, чем все V (через лемму Шура ).
При наличии группы G теория представлений затем спрашивает, какие представления G существуют. Существует несколько установок, и используемые методы и полученные результаты довольно различны в каждом случае: теория представлений конечных групп и представления групп Ли являются двумя основными подобластями теории. Совокупность представлений управляется характерами группы . Например, многочлены Фурье можно интерпретировать как характеры U(1) , группы комплексных чисел с абсолютным значением 1 , действующей на L 2 -пространстве периодических функций.
Группа Ли — это группа , которая также является дифференцируемым многообразием , обладающим свойством, что групповые операции совместимы с гладкой структурой . Группы Ли названы в честь Софуса Ли , который заложил основы теории непрерывных групп преобразований . Термин groupes de Lie впервые появился во французском языке в 1893 году в диссертации ученика Ли Артура Тресса, страница 3. [5]
Группы Ли представляют собой наиболее разработанную теорию непрерывной симметрии математических объектов и структур , что делает их незаменимыми инструментами для многих разделов современной математики, а также для современной теоретической физики . Они обеспечивают естественную основу для анализа непрерывных симметрий дифференциальных уравнений ( дифференциальная теория Галуа ), во многом так же, как группы перестановок используются в теории Галуа для анализа дискретных симметрий алгебраических уравнений . Расширение теории Галуа на случай непрерывных групп симметрии было одним из главных мотивов Ли.
Группы можно описывать разными способами. Конечные группы можно описывать, записывая групповую таблицу, состоящую из всех возможных умножений g • h . Более компактный способ определения группы — это определение генераторов и отношений , также называемое представлением группы. Для любого набора генераторов F свободная группа , порожденная F , сюръектируется на группу G . Ядро этого отображения называется подгруппой отношений, порожденной некоторым подмножеством D . Представление обычно обозначается как Например, представление группы описывает группу, которая изоморфна Строка, состоящая из символов генератора и их обратных, называется словом .
Комбинаторная теория групп изучает группы с точки зрения генераторов и отношений. [6] Она особенно полезна, когда выполняются предположения о конечности, например, конечно порожденные группы или конечно представленные группы (т.е., кроме того, отношения конечны). Область использует связь графов через их фундаментальные группы . Основная теорема этой области заключается в том, что каждая подгруппа свободной группы свободна.
Существует несколько естественных вопросов, возникающих при задании группы ее представлением. Проблема со словами спрашивает, являются ли два слова фактически одним и тем же элементом группы. Связывая проблему с машинами Тьюринга , можно показать, что в общем случае не существует алгоритма, решающего эту задачу. Другая, как правило, более сложная, алгоритмически неразрешимая проблема — проблема изоморфизма групп , которая спрашивает, являются ли две группы, заданные различными представлениями, на самом деле изоморфными. Например, группа с представлением изоморфна аддитивной группе Z целых чисел, хотя это может быть не сразу очевидно. (Записывая , получаем )
Геометрическая теория групп рассматривает эти проблемы с геометрической точки зрения, либо рассматривая группы как геометрические объекты, либо находя подходящие геометрические объекты, на которые действует группа. [7] Первая идея уточняется с помощью графа Кэли , вершины которого соответствуют элементам группы, а ребра соответствуют правому умножению в группе. При наличии двух элементов строится метрика слова , заданная длиной минимального пути между элементами. Теорема Милнора и Сварца затем гласит, что если задана группа G, действующая разумным образом на метрическом пространстве X , например, компактном многообразии , то G является квазиизометричной ( т.е. выглядит похожей на расстоянии) пространству X.
При наличии структурированного объекта X любого вида симметрия — это отображение объекта на себя, которое сохраняет структуру. Это происходит во многих случаях, например
Аксиомы группы формализуют основные аспекты симметрии . Симметрии образуют группу: они замкнуты , потому что если взять симметрию объекта, а затем применить другую симметрию, результатом все равно будет симметрия. Тождество, сохраняющее объект фиксированным, всегда является симметрией объекта. Существование обратных гарантируется отменой симметрии, а ассоциативность исходит из того факта, что симметрии являются функциями на пространстве, а композиция функций ассоциативна.
Теорема Фрухта гласит, что каждая группа является группой симметрии некоторого графа . Таким образом, каждая абстрактная группа на самом деле является симметрией некоторого явного объекта.
Выражение «сохранение структуры» объекта можно уточнить, работая в категории . Отображения, сохраняющие структуру, являются тогда морфизмами , а группа симметрии — группой автоморфизмов рассматриваемого объекта.
Применений теории групп предостаточно. Почти все структуры в абстрактной алгебре являются частными случаями групп. Кольца , например, можно рассматривать как абелевы группы (соответствующие сложению) вместе со второй операцией (соответствующей умножению). Поэтому аргументы теории групп лежат в основе значительной части теории этих сущностей.
Теория Галуа использует группы для описания симметрий корней многочлена (или, точнее, автоморфизмов алгебр, порожденных этими корнями). Основная теорема теории Галуа обеспечивает связь между алгебраическими расширениями полей и теорией групп. Она дает эффективный критерий разрешимости полиномиальных уравнений в терминах разрешимости соответствующей группы Галуа . Например, S 5 , симметрическая группа из 5 элементов, неразрешима, что подразумевает, что общее уравнение пятой степени не может быть решено радикалами так, как это могут делать уравнения более низкой степени. Теория, являющаяся одним из исторических корней теории групп, до сих пор плодотворно применяется для получения новых результатов в таких областях, как теория полей классов .
Алгебраическая топология — еще одна область, которая в значительной степени связывает группы с объектами, интересующими теорию. Там группы используются для описания определенных инвариантов топологических пространств . Они называются «инвариантами», потому что они определены таким образом, что они не изменяются, если пространство подвергается некоторой деформации . Например, фундаментальная группа «подсчитывает», сколько путей в пространстве существенно различны. Гипотеза Пуанкаре , доказанная в 2002/2003 годах Григорием Перельманом , является выдающимся применением этой идеи. Однако влияние не является однонаправленным. Например, алгебраическая топология использует пространства Эйленберга–Маклейна , которые являются пространствами с предписанными гомотопическими группами . Аналогично алгебраическая K-теория в некотором роде опирается на классификацию пространств групп. Наконец, название подгруппы кручения бесконечной группы показывает наследие топологии в теории групп.
Алгебраическая геометрия также использует теорию групп во многих отношениях. Абелевы многообразия были введены выше. Наличие групповой операции дает дополнительную информацию, которая делает эти многообразия особенно доступными. Они также часто служат проверкой новых гипотез. (Например, гипотеза Ходжа (в определенных случаях).) Одномерный случай, а именно эллиптические кривые, изучается особенно подробно. Они как теоретически, так и практически интригуют. [8] В другом направлении, торические многообразия являются алгебраическими многообразиями, на которые действует тор . Тороидальные вложения недавно привели к прогрессу в алгебраической геометрии , в частности, разрешению особенностей . [9]
Алгебраическая теория чисел использует группы для некоторых важных приложений. Например, формула произведения Эйлера ,
фиксирует тот факт , что любое целое число разлагается единственным образом на простые числа . Несостоятельность этого утверждения для более общих колец приводит к появлению групп классов и регулярных простых чисел , которые фигурируют в трактовке Куммером Великой теоремы Ферма .
Анализ на группах Ли и некоторых других группах называется гармоническим анализом . Меры Хаара , то есть интегралы, инвариантные относительно переноса в группе Ли, используются для распознавания образов и других методов обработки изображений . [10]
В комбинаторике понятие группы перестановок и понятие группового действия часто используются для упрощения подсчета множества объектов; см., в частности, лемму Бернсайда .
Наличие 12- периодичности в квинтовом круге дает применение элементарной теории групп в теории музыкальных множеств . Трансформационная теория моделирует музыкальные преобразования как элементы математической группы.
В физике группы важны, поскольку они описывают симметрии, которым, по-видимому, подчиняются законы физики. Согласно теореме Нётер , каждая непрерывная симметрия физической системы соответствует закону сохранения системы. Физики очень интересуются представлениями групп, особенно групп Ли, поскольку эти представления часто указывают путь к «возможным» физическим теориям. Примерами использования групп в физике являются Стандартная модель , калибровочная теория , группа Лоренца и группа Пуанкаре .
Теория групп может быть использована для разрешения неполноты статистических интерпретаций механики, разработанных Уиллардом Гиббсом , касающихся суммирования бесконечного числа вероятностей для получения осмысленного решения. [11]
В химии и материаловедении точечные группы используются для классификации правильных многогранников и симметрии молекул , а пространственные группы — для классификации кристаллических структур . Назначенные группы затем могут использоваться для определения физических свойств (таких как химическая полярность и хиральность ), спектроскопических свойств (особенно полезных для спектроскопии Рамана , инфракрасной спектроскопии , спектроскопии кругового дихроизма, спектроскопии магнитного кругового дихроизма, УФ/видимой спектроскопии и флуоресцентной спектроскопии) и для построения молекулярных орбиталей .
Молекулярная симметрия отвечает за многие физические и спектроскопические свойства соединений и предоставляет важную информацию о том, как происходят химические реакции. Чтобы назначить точечную группу для любой данной молекулы, необходимо найти набор операций симметрии, присутствующих на ней. Операция симметрии — это действие, такое как вращение вокруг оси или отражение через плоскость зеркала. Другими словами, это операция, которая перемещает молекулу таким образом, что она становится неотличима от исходной конфигурации. В теории групп оси вращения и плоскости зеркала называются «элементами симметрии». Этими элементами могут быть точка, линия или плоскость, относительно которых выполняется операция симметрии. Операции симметрии молекулы определяют конкретную точечную группу для этой молекулы.
В химии существует пять важных операций симметрии. Это операция тождества ( E) , операция вращения или правильное вращение ( C n ), операция отражения ( σ ), инверсия ( i ) и операция вращения-отражения или неправильное вращение ( S n ). Операция тождества ( E ) заключается в том, чтобы оставить молекулу такой, какая она есть. Это эквивалентно любому числу полных вращений вокруг любой оси. Это симметрия всех молекул, тогда как группа симметрии хиральной молекулы состоит только из операции тождества. Операция тождества является характеристикой каждой молекулы, даже если у нее нет симметрии. Вращение вокруг оси ( C n ) состоит из вращения молекулы вокруг определенной оси на определенный угол. Это вращение на угол 360°/ n , где n — целое число, вокруг оси вращения. Например, если молекула воды вращается на 180° вокруг оси, которая проходит через атом кислорода и между атомами водорода , она находится в той же конфигурации, что и в начале. В этом случае n = 2 , так как применение ее дважды дает операцию тождества. В молекулах с более чем одной осью вращения ось C n с наибольшим значением n является осью вращения высшего порядка или главной осью. Например, в трифториде бора (BF 3 ) осью вращения высшего порядка является C 3 , поэтому главной осью вращения является C 3 .
В операции отражения ( σ ) многие молекулы имеют зеркальные плоскости, хотя они могут быть не очевидны. Операция отражения меняет местами левую и правую, как если бы каждая точка переместилась перпендикулярно через плоскость в положение, точно такое же далекое от плоскости, как и в начале. Когда плоскость перпендикулярна главной оси вращения, она называется σ h (горизонтальной). Другие плоскости, которые содержат главную ось вращения, называются вертикальными ( σ v ) или двугранными ( σ d ).
Инверсия (i ) — более сложная операция. Каждая точка перемещается через центр молекулы в положение, противоположное исходному положению, и так же далеко от центральной точки, как и в начале. Многие молекулы, которые на первый взгляд кажутся имеющими центр инверсии, таковыми не являются; например, метан и другие тетраэдрические молекулы не обладают симметрией инверсии. Чтобы увидеть это, возьмите модель метана с двумя атомами водорода в вертикальной плоскости справа и двумя атомами водорода в горизонтальной плоскости слева. Инверсия приводит к двум атомам водорода в горизонтальной плоскости справа и двум атомам водорода в вертикальной плоскости слева. Поэтому инверсия не является операцией симметрии метана, поскольку ориентация молекулы после операции инверсии отличается от исходной ориентации. И последняя операция — это неправильное вращение или операция отражения вращения ( S n ), требующая вращения на 360°/ n , за которым следует отражение через плоскость, перпендикулярную оси вращения.
Очень большие группы простого порядка, построенные в криптографии на эллиптических кривых, служат для криптографии с открытым ключом . Криптографические методы такого рода извлекают выгоду из гибкости геометрических объектов, отсюда их групповые структуры, вместе со сложной структурой этих групп, которые делают дискретный логарифм очень трудным для вычисления. Один из самых ранних протоколов шифрования, шифр Цезаря , также может быть интерпретирован как (очень простая) групповая операция. Большинство криптографических схем используют группы тем или иным образом. В частности, обмен ключами Диффи–Хеллмана использует конечные циклические группы . Таким образом, термин криптография на основе групп относится в основном к криптографическим протоколам , которые используют бесконечные неабелевы группы, такие как группа кос .
Медиа из Commons
Цитаты из Викицитатника
