В абстрактной алгебре конечная группа — это группа , базовое множество которой конечно . Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число сохраняющих структуру преобразований. Важными примерами конечных групп являются циклические группы и группы перестановок .
Изучение конечных групп было неотъемлемой частью теории групп с момента ее возникновения в 19 веке. Одной из основных областей изучения была классификация: классификация конечных простых групп (групп без нетривиальной нормальной подгруппы ) была завершена в 2004 году.
В течение двадцатого века математики очень глубоко исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно локальную теорию конечных групп и теорию разрешимых и нильпотентных групп . [1] [2] В результате была получена полная классификация конечных простых групп , что означает, что теперь известны все те простые группы, из которых можно построить все конечные группы.
Во второй половине двадцатого века такие математики, как Шевалле и Стейнберг, также расширили наше понимание конечных аналогов классических групп и других родственных групп. Одним из таких семейств групп является семейство общих линейных групп над конечными полями .
Конечные группы часто встречаются при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают только конечное число сохраняющих структуру преобразований. Теория групп Ли , которую можно рассматривать как имеющую дело с « непрерывной симметрией », находится под сильным влиянием связанных групп Вейля . Это конечные группы, порожденные отражениями, которые действуют на конечномерное евклидово пространство . Свойства конечных групп могут, таким образом, играть роль в таких предметах, как теоретическая физика и химия . [3]
Симметрическая группа S n на конечном наборе из n символов — это группа , элементами которой являются все перестановки n символов , а групповая операция — это композиция таких перестановок, которые рассматриваются как биективные функции из набора символов в себя. [4] Поскольку существует n ! ( n факториал ) возможных перестановок набора из n символов, то отсюда следует, что порядок (число элементов) симметрической группы S n равен n !.
Циклическая группа Z n — это группа, все элементы которой являются степенями определенного элемента a, где a n = a 0 = e , тождество. Типичная реализация этой группы — комплексные корни n-й степени из единицы . Отправка a в примитивный корень из единицы дает изоморфизм между ними. Это можно сделать с любой конечной циклической группой.
Абелева группа , также называемая коммутативной группой , — это группа , в которой результат применения групповой операции к двум элементам группы не зависит от их порядка (аксиома коммутативности ). Они названы в честь Нильса Хенрика Абеля . [5]
Произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп порядка простой степени, и эти порядки определяются однозначно, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть описана непосредственно в терминах этих инвариантов. Теория была впервые разработана в статье 1879 года Георга Фробениуса и Людвига Штикельбергера , а затем была упрощена и обобщена до конечно порожденных модулей над областью главных идеалов, образуя важную главу линейной алгебры .
Группа типа Ли — это группа, тесно связанная с группой G ( k ) рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы G со значениями в поле k . Конечные группы типа Ли дают большую часть неабелевых конечных простых групп . Частные случаи включают классические группы , группы Шевалле , группы Стейнберга и группы Сузуки–Ри.
Конечные группы типа Ли были одними из первых групп, которые рассматривались в математике, после циклических , симметрических и знакопеременных групп, с проективными специальными линейными группами над простыми конечными полями, PSL(2, p ), построенными Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп типа Ли началось с теоремы Камиля Жордана о том, что проективная специальная линейная группа PSL(2, q ) является простой для q ≠ 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важное бесконечное семейство PSL( n , q ) конечных простых групп . Другие классические группы изучались Леонардом Диксоном в начале 20-го века. В 1950-х годах Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k , что привело к построению того, что сейчас называется группами Шевалле . Более того, как и в случае компактных простых групп Ли, соответствующие группы оказались почти простыми как абстрактные группы ( теорема простоты Титса ). Хотя с 19 века было известно, что существуют и другие конечные простые группы (например, группы Матье ), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы могут быть объяснены соответствующими расширениями конструкции Шевалле вместе с циклическими и знакопеременными группами. Более того, исключения, спорадические группы , разделяют многие свойства с конечными группами типа Ли и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Титса.
Теперь это убеждение стало теоремой – классификацией конечных простых групп . Изучение списка конечных простых групп показывает, что группы типа Ли над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических групп, знакопеременных групп, группы Титса и 26 спорадических простых групп .
Для любой конечной группы G порядок (число элементов) каждой подгруппы H группы G делит порядок G. Теорема названа в честь Жозефа- Луи Лагранжа .
Это обеспечивает частичное обращение теоремы Лагранжа, дающей информацию о том, сколько подгрупп заданного порядка содержится в G.
Теорема Кэли , названная в честь Артура Кэли , утверждает, что каждая группа G изоморфна подгруппе симметрической группы , действующей на G. [ 6 ] Это можно понимать как пример группового действия G на элементы G. [7 ]
Теорема Бернсайда в теории групп утверждает, что если G — конечная группа порядка p a q b , где p и q — простые числа , а a и b — неотрицательные целые числа , то G разрешима . Следовательно, каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся по крайней мере на три различных простых числа.
Теорема Фейта–Томпсона , или теорема нечетного порядка , утверждает, что каждая конечная группа нечетного порядка разрешима . Она была доказана Уолтером Фейтом и Джоном Григгсом Томпсоном (1962, 1963)
Классификация конечных простых групп — это теорема, утверждающая, что каждая конечная простая группа принадлежит одному из следующих семейств:
Конечные простые группы можно рассматривать как основные строительные блоки всех конечных групп, в некотором смысле напоминающие то, как простые числа являются основными строительными блоками натуральных чисел . Теорема Жордана–Гёльдера является более точным способом сформулировать этот факт о конечных группах. Однако существенное отличие по отношению к случаю целочисленной факторизации состоит в том, что такие «строительные блоки» не обязательно определяют группу однозначно, поскольку может быть много неизоморфных групп с одинаковым композиционным рядом или, другими словами, проблема расширения не имеет единственного решения.
Доказательство теоремы состоит из десятков тысяч страниц в нескольких сотнях журнальных статей, написанных примерно 100 авторами и опубликованных в основном в период с 1955 по 2004 год. Горенштейн (ум. 1992), Лайонс и Соломон постепенно публикуют упрощенную и переработанную версию доказательства.
Если задано положительное целое число n , то совсем не рутинным делом является определение количества типов изоморфизма групп порядка n . Каждая группа простого порядка является циклической , поскольку теорема Лагранжа подразумевает, что циклическая подгруппа, порожденная любым из ее нетождественных элементов, является всей группой. Если n является квадратом простого числа, то существует ровно два возможных типа изоморфизма группы порядка n , оба из которых абелевы. Если n является более высокой степенью простого числа, то результаты Грэма Хигмана и Чарльза Симса дают асимптотически верные оценки для количества типов изоморфизма групп порядка n , и это количество растет очень быстро с увеличением степени.
В зависимости от разложения на простые множители n некоторые ограничения могут быть наложены на структуру групп порядка n , как следствие, например, таких результатов, как теоремы Силова . Например, каждая группа порядка pq является циклической, когда q < p — простые числа, причем p − 1 не делится на q . Необходимое и достаточное условие см. в разделе циклическое число .
Если n не содержит квадратов , то любая группа порядка n разрешима. Теорема Бернсайда , доказанная с использованием групповых характеров , утверждает, что любая группа порядка n разрешима, когда n делится менее чем на три различных простых числа, т. е. если n = p a q b , где p и q — простые числа, а a и b — неотрицательные целые числа. По теореме Фейта–Томпсона , которая имеет длинное и сложное доказательство, любая группа порядка n разрешима, когда n нечетно.
Для любого положительного целого числа n большинство групп порядка n разрешимы . Убедиться в этом для любого конкретного порядка обычно несложно (например, с точностью до изоморфизма существует одна неразрешимая группа и 12 разрешимых групп порядка 60), но доказательство этого для всех порядков использует классификацию конечных простых групп . Для любого положительного целого числа n существует не более двух простых групп порядка n , и существует бесконечно много положительных целых чисел n, для которых существуют две неизоморфные простые группы порядка n .