Последовательное пространство

Топологическое пространство характеризуется последовательностями

В топологии и смежных областях математики последовательное пространство — это топологическое пространство , топология которого может быть полностью охарактеризована его сходящимися/расходящимися последовательностями. Их можно рассматривать как пространства, удовлетворяющие очень слабой аксиоме счетности , и все пространства, поддающиеся первой счетности (особенно метрические пространства ), являются последовательными.

В любом топологическом пространстве, если сходящаяся последовательность содержится в замкнутом множестве , то предел этой последовательности также должен содержаться в . Множества с этим свойством известны как последовательно замкнутые . Последовательные пространства — это именно те топологические пространства, для которых последовательно замкнутые множества фактически замкнуты. (Эти определения также можно перефразировать в терминах последовательно открытых множеств; см. ниже.) Иными словами, любую топологию можно описать в терминах сетей (также известных как последовательности Мура–Смита), но эти последовательности могут быть «слишком длинными» (индексированными слишком большим порядковым числом), чтобы сжать их в последовательность. Последовательные пространства — это те топологические пространства, для которых сетей счетной длины (т. е. последовательностей) достаточно для описания топологии. ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C}$

Любая топология может быть уточнена (т.е. сделана более тонкой) до последовательной топологии, называемой последовательным корефлектированием ${\displaystyle X.}$

Связанные концепции пространств Фреше–Урысона , T -секвенциальных пространств и -секвенциальных пространств также определяются в терминах того, как топология пространства взаимодействует с последовательностями, но имеют несколько отличающиеся свойства. ${\displaystyle N}$

Последовательные пространства и -последовательные пространства были введены С. П. Франклином . ^[1] ${\displaystyle N}$

История

Хотя пространства, удовлетворяющие таким свойствам, неявно изучались в течение нескольких лет, первое формальное определение принадлежит С. П. Франклину в 1965 году. Франклин хотел определить «классы топологических пространств, которые могут быть полностью определены знанием их сходящихся последовательностей», и начал с исследования пространств с первой счетностью , для которых уже было известно, что последовательностей достаточно. Затем Франклин пришел к современному определению, абстрагируя необходимые свойства пространств с первой счетностью.

Предварительные определения

Пусть будет множеством и пусть будет последовательностью в ; то есть семейством элементов из , индексированных натуральными числами . В этой статье означает, что каждый элемент в последовательности является элементом из и, если является отображением, то Для любого индекса хвост из , начинающийся с , является последовательностью Последовательность в конечном итоге находится в , если некоторый хвост из удовлетворяет ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}}$$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.}$

Пусть будет топологией на и последовательность в ней. Последовательность сходится к точке, записанной (когда контекст позволяет, ), если для каждой окрестности в конечном итоге находится в тогда называется предельной точкой ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Функция между топологическими пространствами является последовательно непрерывной, если подразумевает ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle f(x_{\bullet })\to f(x).}$

Последовательное закрытие/внутреннее

Пусть будет топологическим пространством и пусть будет подмножеством. Топологическое замыкание (соотв. топологическая внутренность ) в обозначается как (соотв. ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$

Последовательное замыкание в — это множество , которое определяет отображение, оператор последовательного замыкания , на множестве мощности При необходимости для ясности это множество также можно записать или Всегда имеет место, но обратное может не сработать. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ $${\displaystyle \operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{there exists a sequence }}s_{\bullet }\subseteq S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x\right\}}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$

Последовательная внутренняя часть in представляет собой множество (топологическое пространство, снова обозначенное нижним индексом, если необходимо). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ $${\displaystyle \operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{whenever }}x_{\bullet }\subseteq X{\text{ and }}x_{\bullet }\to s,{\text{ then }}x_{\bullet }{\text{ is eventually in }}S\}}$$

Последовательное замыкание и внутренность удовлетворяют многим замечательным свойствам топологического замыкания и внутренности: для всех подмножеств ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)}$и ; ${\displaystyle \operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)}$
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset }$и ; ${\displaystyle \operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset }$
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)}$; и
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

То есть, последовательное замыкание является оператором предзамыкания . В отличие от топологического замыкания, последовательное замыкание не является идемпотентным : последнее включение может быть строгим. Таким образом, последовательное замыкание не является оператором замыкания ( Куратовского ) .

Последовательно закрытые и открытые множества

Множество последовательно замкнуто, если ; эквивалентно, для всех и таких, что мы должны иметь ^{[примечание 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {scl} (S)}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x,}$ ${\displaystyle x\in S.}$

Множество определяется как последовательно открытое, если его дополнение последовательно замкнуто. Эквивалентные условия включают: ${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle S=\operatorname {sint} (S)}$или
• Для всех и таких, что в конечном итоге оказывается в (то есть существует некоторое целое число, такое что хвост ). ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}s,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S}$

Множество является последовательной окрестностью точки , если оно содержит в своей последовательной внутренней части; последовательные окрестности не обязательно должны быть последовательно открытыми (см. § T- и N-последовательные пространства ниже). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$

Подмножество может быть последовательно открытым, но не открытым. Аналогично, возможно существование последовательно замкнутого подмножества, которое не является замкнутым. ${\displaystyle X}$

Последовательные пространства и корефлексия

Как обсуждалось выше, последовательное замыкание не является в общем случае идемпотентным, и, следовательно, не является оператором замыкания топологии. Можно получить идемпотентное последовательное замыкание с помощью трансфинитной итерации : для последующего ординала определить (как обычно) и для предельного ординала определить Этот процесс дает ординально-индексированную возрастающую последовательность множеств; как оказывается, эта последовательность всегда стабилизируется по индексу ( первый несчетный ординал ). Наоборот, последовательный порядок является минимальным ординалом, при котором для любого выбора из вышеуказанной последовательности будет стабилизироваться. ^[2] ${\displaystyle \alpha +1,}$ $${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))}$$ ${\displaystyle \alpha ,}$ $${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}}$$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S,}$

Трансфинитное последовательное замыкание является конечным множеством в указанной выше последовательности: Оператор идемпотентен и, таким образом, является оператором замыкания . В частности, он определяет топологию, последовательное корефлексионное. В последовательном корефлексионном каждое последовательно-замкнутое множество замкнуто (и каждое последовательно-открытое множество открыто). ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).}$ ${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}}$

Последовательные пробелы

Топологическое пространство является последовательным , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,\tau )}$

• ${\displaystyle \tau }$является его собственным последовательным корефлексом. ^[4]
• Каждое последовательно открытое подмножество открыто. ${\displaystyle X}$
• Каждое последовательно замкнутое подмножество замкнуто. ${\displaystyle X}$
• Для любого подмножества , которое не замкнуто в , существует некоторое ^{[примечание 2]} и последовательность в , которая сходится к ^[5] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} (S)\setminus S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$
• (Универсальное свойство) Для каждого топологического пространства отображение непрерывно тогда и только тогда , когда оно последовательно непрерывно (если то ). ^[6] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$
• ${\displaystyle X}$является частным пространства с первой аксиомой счетности.
• ${\displaystyle X}$является частным метрического пространства.

Если взять и в качестве тождественного отображения на в универсальном свойстве, то класс последовательных пространств состоит именно из тех пространств, топологическая структура которых определяется сходящимися последовательностями. Если две топологии согласуются на сходящихся последовательностях, то они обязательно имеют одно и то же последовательное корефлексионное отображение. Более того, функция из является последовательно непрерывной тогда и только тогда, когда она непрерывна на последовательном корефлексионном отображении (то есть, когда предварительно составлена ​​с ). ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Т- иН-последовательные пробелы

T - секвенциальное пространство — это топологическое пространство с последовательным порядком 1, что эквивалентно любому из следующих условий: ^[1]

• Последовательное замыкание (или внутренность) каждого подмножества последовательно замкнуто (соответственно, открыто). ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {scl} }$или идемпотентны. ${\displaystyle \operatorname {sint} }$
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$или ${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• Любую последовательную окрестность можно сжать до последовательно-открытого множества, содержащего ; формально последовательно-открытые окрестности являются базисом для последовательных окрестностей. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$
• Для любого и любой последовательной окрестности существует последовательная окрестность такая , что для каждого множество является последовательной окрестностью ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m.}$

Быть T -секвенциальным пространством несравнимо с быть последовательным пространством; существуют последовательные пространства, которые не являются T -секвенциальными и наоборот. Однако топологическое пространство называется -секвенциальным (или соседне-секвенциальным ), если оно является как последовательным, так и T -секвенциальным. Эквивалентным условием является то, что каждая последовательная окрестность содержит открытую (классическую) окрестность. ^[1] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle N}$

Каждое пространство с первой счетностью (и, таким образом, каждое метризуемое пространство ) является -секвенциальным. Существуют топологические векторные пространства , которые являются секвенциальными, но не -секвенциальными (и, таким образом, не T -секвенциальными). ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Пространства Фреше–Урысона

Топологическое пространство называется пространством Фреше–Урысона, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,\tau )}$

• ${\displaystyle X}$наследственно последовательно; то есть каждое топологическое подпространство последовательно.
• Для каждого подмножества ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S=\operatorname {cl} _{X}S.}$
• Для любого подмножества , которое не замкнуто в , и для каждого существует последовательность в , которая сходится к ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

Пространства Фреше–Урысона иногда также называют «пространствами Фреше», но их не следует путать ни с пространствами Фреше в функциональном анализе , ни с условием T 1 .

Примеры и достаточные условия

Каждый CW-комплекс является последовательным, поскольку его можно рассматривать как фактор метрического пространства.

Простой спектр коммутативного нётерова кольца с топологией Зарисского является секвенциальным. ^[7]

Возьмите действительную прямую и определите множество целых чисел в точке. Как частное метрического пространства, результат является последовательным, но он не является первым счетным. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Каждое пространство со счетом первой степени является пространством Фреше–Урысона, а каждое пространство Фреше–Урысона является секвенциальным. Таким образом, каждое метризуемое или псевдометризуемое пространство — в частности, каждое пространство со счетом второй степени , метрическое пространство или дискретное пространство  — является секвенциальным.

Пусть — набор отображений из пространств Фреше–Урысона в Тогда конечная топология , индуцирующая на , является последовательной. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

Хаусдорфово топологическое векторное пространство является последовательным тогда и только тогда, когда не существует строго более тонкой топологии с теми же сходящимися последовательностями. ^{[8] [9]}

Пространства, которые являются последовательными, но не являются пространствами Фреше-Урысона

Пространство Шварца и пространство гладких функций , как обсуждалось в статье о распределениях , являются широко используемыми последовательными пространствами. ^{[10] [11]} ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

В более общем случае каждое бесконечномерное пространство Монтеля DF является последовательным, но не является пространством Фреше–Урысона .

Пространство Аренса является последовательным, а не Фреше-Урысона. ^{[12] [13]}

Непримеры (пробелы, которые не являются последовательными)

Простейшее пространство, которое не является последовательным, — это косчетная топология на несчетном множестве. Каждая сходящаяся последовательность в таком пространстве в конечном счете постоянна; следовательно, каждое множество является последовательно открытым. Но косчетная топология не является дискретной . (Можно было бы назвать топологию «последовательно дискретной».) ^[14]

Пусть обозначает пространство -гладких тестовых функций с его канонической топологией, а обозначим пространство распределений, сильное сопряженное пространство к ; ни одно из них не является секвенциальным (и даже не является пространством Асколи). ^{[10] [11]} С другой стороны, и являются пространствами Монтеля ^[15] и в сопряженном пространстве любого пространства Монтеля последовательность непрерывных линейных функционалов сходится в сильно сопряженной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой* топологии (то есть сходится поточечно). ^{[10] [16]} ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Последствия

Каждое последовательное пространство имеет счетную тесноту и компактно порождено .

Если — непрерывная открытая сюръекция между двумя последовательными хаусдорфовыми пространствами, то множество точек с единственным прообразом замкнуто. (В силу непрерывности замкнут и его прообраз в множестве всех точек, на которых инъективно.) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$

Если — сюръективное отображение (не обязательно непрерывное) на хаусдорфово последовательное пространство и базисы для топологии на , то является открытым отображением тогда и только тогда, когда для каждой базовой окрестности и последовательности в существует подпоследовательность из , которая в конечном итоге находится в  ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle f(B).}$

Категориальные свойства

Полная подкатегория Seq всех последовательных пространств замкнута относительно следующих операций в категории Top топологических пространств:

• Коэффициенты
• Непрерывные закрытые или открытые изображения
• Суммы
• Индуктивные пределы ^{[ спорные – обсудить ]}
• Открытые и закрытые подпространства

Категория Seq не закрывается при следующих операциях в Top :

• Непрерывные изображения
• Подпространства
• Конечные продукты

Поскольку они замкнуты относительно топологических сумм и частных, последовательные пространства образуют корефлективную подкатегорию категории топологических пространств . Фактически, они являются корефлективной оболочкой метризуемых пространств (то есть наименьшим классом топологических пространств, замкнутых относительно сумм и частных и содержащих метризуемые пространства).

Подкатегория Seq является декартовой замкнутой категорией относительно собственного произведения (не Top ) . Экспоненциальные объекты снабжены топологией (сходящейся последовательности)-открытой.

PI Booth и A. Tillotson показали, что Seq является наименьшей декартовой замкнутой подкатегорией Top, содержащей базовые топологические пространства всех метрических пространств , CW-комплексов и дифференцируемых многообразий , и которая замкнута относительно копределов, частных и других «определенных разумных тождеств», которые Норман Стинрод описал как «удобные». ^[17]

Каждое последовательное пространство компактно порождено , и конечные произведения в Seq совпадают с таковыми для компактно порожденных пространств, поскольку произведения в категории компактно порожденных пространств сохраняют факторы метрических пространств.

Смотрите также

• Аксиома счетности  – свойство некоторых математических объектов (обычно в категории), утверждающее существование счетного множества с определенными свойствами. Без такой аксиомы такое множество, вероятно, не существовало бы.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Свойство замкнутого графика  – График карты, замкнутый в пространстве продукта
• Пространство со счетным числом  — топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетную окрестность.
• Пространство Фреше–Урысона  – Свойство топологического пространства
• Карта покрытия последовательности

Примечания

1. Вы не можете одновременно применять этот «тест» к бесконечно большому числу подмножеств (например, вы не можете использовать что-то похожее на аксиому выбора ). Не все последовательные пространства являются пространствами Фреше-Урысона , но только в этих пространствах можно определить замыкание множества без необходимости рассматривать любое множество, отличное от ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
2. Пространство Фреше –Урысона определяется аналогичным условием для всех таких : ${\displaystyle x}$

   Для любого подмножества , которое не замкнуто в для любого, существует последовательность в , которая сходится к ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(S)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

Цитаты

1. Снайпс, Рэй (1972). «Т-секвенциальные топологические пространства» (PDF) . Фундамента Математика . 77 (2): 95–98. дои : 10.4064/fm-77-2-95-98. ISSN  0016-2736.
2. * Архангельский, А. В.; Франклин, С. П. (1968). «Порядковые инварианты для топологических пространств». Michigan Math. J . 15 (3): 313–320. doi : 10.1307/mmj/1029000034 .
3. Барон, С. (октябрь 1968 г.). «Корефлективная подкатегория последовательных пространств». Канадский математический бюллетень . 11 (4): 603–604. doi : 10.4153/CMB-1968-074-4 . ISSN  0008-4395. S2CID  124685527.
4. "Топология последовательно открытых множеств является последовательной?". Mathematics Stack Exchange .
5. Архангельский, А.В. и Понтрягин Л.С.,  Общая топология I, определение 9 стр.12
6. Барон, С.; Лидер, Соломон (1966). «Решение задачи № 5299». The American Mathematical Monthly . 73 (6): 677–678. doi :10.2307/2314834. ISSN  0002-9890. JSTOR  2314834.
7. "О секвенциальных свойствах нётеровых топологических пространств" (PDF) . 2004 . Получено 30 июля 2023 .
8. Вилански 2013, стр. 224.
9. Дадли, Р. М., О последовательной сходимости - Труды Американского математического общества, том 112, 1964, стр. 483-507
10. Gabrielyan, Saak (2019). «Топологические свойства строгих -пространств и сильных дуалов строгих -пространств Монтеля ». Monatshefte für Mathematik . 189 (1): 91–99. arXiv : 1702.07867 . doi :10.1007/s00605-018-1223-6. ${\displaystyle (LF)}$ ${\displaystyle (LF)}$
11. Т. Шираи, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Япония Акад. 35 (1959), 31–36.
12. Энгелькинг 1989, Пример 1.6.19
13. Ma, Dan (19 августа 2010 г.). «Заметка о пространстве Аренса» . Получено 1 августа 2013 г.
14. математика; Sleziak, Martin (6 декабря 2016 г.). "Пример различных топологий с одинаковыми сходящимися последовательностями". Mathematics Stack Exchange . StackOverflow . Получено 2022-06-27 .
15. "Топологическое векторное пространство". Энциклопедия математики . Получено 6 сентября 2020 г. Это пространство Монтеля, следовательно, паракомпактное, и поэтому нормальное.
16. Тревес 2006, стр. 351–359.
17. Стинрод 1967

Ссылки

• Архангельский А.В. и Понтрягин Л.С., Общая топология I , Springer-Verlag, Нью-Йорк (1990) ISBN 3-540-18178-4 . 
• Архангельский, А. В. (1966). "Отображения и пространства" (PDF) . Математические обзоры . 21 (4): 115–162. Bibcode :1966RuMaS..21..115A. doi :10.1070/RM1966v021n04ABEH004169. ISSN  0036-0279. S2CID  250900871 . Получено 10 февраля 2021 г. .
• Akiz, Hürmet Fulya; Koçak, Lokman (2019). "Sequentially Hausdorff and full sequencely Hausdorff spaces". Факультет коммуникаций, Университет Анкары, Серия A1, Математика и статистика . 68 (2): 1724–1732. doi : 10.31801/cfsuasmas.424418 . ISSN  1303-5991 . Получено 10 февраля 2021 г.
• Бун, Джеймс (1973). «Заметка о мезокомпактных и последовательно мезокомпактных пространствах». Pacific Journal of Mathematics . 44 (1): 69–74. doi : 10.2140/pjm.1973.44.69 . ISSN  0030-8730.
• Бут, Питер; Тиллотсон, Дж. (1980). «Моноидальные замкнутые, декартовы замкнутые и удобные категории топологических пространств». Pacific Journal of Mathematics . 88 (1): 35–53. doi : 10.2140/pjm.1980.88.35 . ISSN  0030-8730 . Получено 10 февраля 2021 г. .
• Энгелькинг, Р., Общая топология , Heldermann, Берлин (1989). Переработанное и дополненное издание.
• Foged, L. (1985). «Характеристика замкнутых образов метрических пространств». Труды Американского математического общества . 95 (3): 487–490. doi : 10.1090/S0002-9939-1985-0806093-3 . ISSN  0002-9939.
• Франклин, С. (1965). «Пространства, в которых достаточно последовательностей» (PDF) . Фундамента Математика . 57 (1): 107–115. дои : 10.4064/fm-57-1-107-115 . ISSN  0016-2736.
• Франклин, С. (1967). «Пространства, в которых достаточно последовательностей II» (PDF) . Фундамента Математика . 61 (1): 51–56. дои : 10.4064/fm-61-1-51-56 . ISSN  0016-2736 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Горхэм, Энтони, «Последовательная сходимость в топологических пространствах», (2016)
• Грюнхаге, Гэри; Майкл, Эрнест; Танака, Йошио (1984). «Пространства, определяемые точечно-счетными покрытиями». Pacific Journal of Mathematics . 113 (2): 303–332. doi : 10.2140/pjm.1984.113.303 . ISSN  0030-8730.
• Майкл, EA (1972). «Пятикратный частный квест». Общая топология и ее приложения . 2 (2): 91–138. doi :10.1016/0016-660X(72)90040-2. ISSN  0016-660X.
• Шоу, Лин; Чуан, Лю; Мумин, Дай (1997). «Образы на локально сепарабельных метрических пространствах». Акта Математика Синика . 13 (1): 1–8. дои : 10.1007/BF02560519. ISSN  1439-8516. S2CID  122383748.
• Стинрод, NE (1967). «Удобная категория топологических пространств». The Michigan Mathematical Journal . 14 (2): 133–152. doi : 10.1307/mmj/1028999711 . Получено 10 февраля 2021 г.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.